Костюков В.Н., Науменко А.П., Бойченко С.Н., Тарасов Е.В. Основы виброакустической диагностики машинного оборудования

Подождите немного. Документ загружается.

В.Н. Костюков, А.П. Науменко Основы виброакустической диагностики машинного оборудования – 2007 _

261

Переходной процесс

Переходным называется детерминированный или случайный процесс,

имеющий конечную длительность.

Передаточная функция

Передаточная функция линейной системы с постоянными параметрами есть

преобразование Лапласа импульсной

()

переходной функции (характеристики)

системы. Значения передаточной функции на мнимой оси определяет частотную

характеристику системы.

Плотность вероятности

)

(

в моменты времени

задается отношением

(,)

()

PxW

= ,

где

)

(

– вероятность попадания значения

()

в интервал шириной

с цен-

тром в точке

. Иными словами,

)

(

- есть оценка интенсивности изменения ве-

роятности значения функции

()

В случае стационарного процесса ширину интервала

следует устремить к

нулю; на практике она всегда конечна. Функция

)

(

удовлетворяет при всех x

условию

)

(

, а площадь под кривой

)

(

равна единице.

Преобразование Гильберта

Преобразование Гильберта действительной функции

()

, заданной на ин-

тервале

, называется вещественная функция )(

tx , определенная равен-

ством

[ ]

()

()()

()

xt Г xtdu

ptu

-¥

Таким образом, преобразование Гильберта есть свертка исходной функции

()

с функцией 1/(pt).

Преобразование Лапласа

)

(

функции

()

(вещественной или мнимой,

определенной при

и тождественно равной нулю при отрицательных значени-

ях времени) задается интегралом:

()()

Fpxtedt

Функция

()

называется оригиналом, функция

)

(

ее изображением по

Лапласу. Переменная p может быть отождествлена с комплексной частотой

В.Н. Костюков, А.П. Науменко Основы виброакустической диагностики машинного оборудования – 2007 _

262

Зная изображение можно восстановить функцию с помощью обратного пре-

образования Лапласа:

()()

xtFpedp

+¥

-¥

Преобразование Фурье

()

функции

()

, называемое также спектром Фу-

рье, есть комплексная функции частоты

, определяемая в виде,

()()

Sstedt

-¥

Предполагается, что функция

()

такова, что

()

существует. Функция

времени

()

определяется из

()

в виде

()()

stSed

-¥

Функции из

()

называются соответственно прямым и обратным

преобразованиями Фурье.

Функция из

()

выражается через свои действительную и мнимую части в

виде

()Re[()]Im[()],Re[()]()cos(),Im[()]()sin

()

SSiSSsttdtSsttdt

¥¥

-¥-¥

=-==

òò

wwwwwww

На практике

()

задается на интервале конечной длины

, так что

()

оценивается по финитному преобразованию Фурье

()()

Sstedt

Такие финитные интегралы существуют всегда.

Равенство Парсеваля

Суммарный средний квадрат

последовательности

()

может быть полу-

чен интегрированием функции спектральной плотности мощности )( fG

или

двухсторонней функции спектральной плотности )( fS

()()

xxxx

xGfdfSfdf

¥¥

-¥

òò

При фильтрации процесса

()

с помощью полосового фильтра с частотами

среза

f и

f средний квадрат процесса после фильтра определяется с помощью

В.Н. Костюков, А.П. Науменко Основы виброакустической диагностики машинного оборудования – 2007 _

263

выражения

()()

xGfff

=-.

Реализация функции или временная реализация

Реализацией функции

()

называется ее представление в зависимости от

временного параметра

, причем сама функция может быть детерминированной

или случайной. Если реализация является периодической, то величина, обратная

периоду, называется частотой реализации. Вместо времени можно использовать

любую другую переменную, изменив соответствующим образом определение час-

тоты.

Ряд Фурье

Ряд Фурье представляет периодическую функцию

()

как сумму индивиду-

альных гармоник. Если

()

– периодическая функция с периодом

, так что

()()

ststT

, то

()(cossin)

kkkk

stsatbt

=++

где

= ;

- длительность сигнала;

,1,2,3,...

=×=

Частота

= называется фундаментальной частотой. Коэффициенты

Фурье равны

()cos(),()sin()

kkkk

asttdtbsttdt

òò

Свертка

Преобразование двух последовательностей в третью, у которой каждый член

последовательности есть линейная комбинация исходных.

Случайный процесс

Случайным процессом называется ансамбль реализаций, который можно

описать с помощью соответствующих статистических характеристики, задающих,

например, средние свойства этих реализаций в фиксированные моменты времени.

Состоятельность оценки

Если оценка случайной величины сходится к оцениваемому параметру с ве-

роятностью, стремящейся к единице по мере увеличения размера выборки, то та-

кая оценка называется состоятельной.

Спектр

Спектром любой величины называется ее описание как функции частоты.

Спектр может быть линейчатым, непрерывным или кусочно-непрерывным.

В.Н. Костюков, А.П. Науменко Основы виброакустической диагностики машинного оборудования – 2007 _

264

Спектральная плотность

)

(

есть амплитуда напряжения (тока), приходя-

щаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рас-

сматриваемую частоту

(см. функция спектральной плотности).

Среднее значение

Средним значением

функции

()

называется величина, получаемая при

усреднении по времени

значений

()

на некотором интервале усреднения

()

xxtdt

В случае эргодического процесса истинное среднее значение

получается

переходом к пределу при усреднении

к бесконечности.

Среднеквадратичное значение

Среднеквадратичное значение есть положительный квадратный корень из

среднего квадрата. Если среднее значение равно нулю, то среднеквадратичное

значение совпадает со среднеквадратичным отклонением.

Среднеквадратичное отклонение

Среднеквадратичное отклонение есть положительный квадратный корень из

дисперсии. При нулевом среднем значении среднеквадратичное отклонение равно

среднеквадратичному значению.

Средний квадрат

Средним квадратом

функции

()

) называется величина, получаемая при

усреднении по времени t значений

()

на некотором интервале усреднения

()

xxtdt

В случае эргодического процесса истинный средний квадрат получается пе-

реходом к пределу при устремлении

к бесконечности (см. также определения

ковариационной функции, функции спектральной плотности и теоремы Парсева-

ля).

Стационарный процесс

Стационарный случайный процесс есть ансамбль реализаций, статистиче-

ские свойства которого инвариантны по отношению к переносу начала отсчета

времени. Стационарный процесс может быть эргодическим или неэргодическим.

Теорема Парсеваля

Если

()

(

)

, являющиеся функциями времени, имеют преобразование

Фурье

()

соответственно, то справедливо равенство

В.Н. Костюков, А.П. Науменко Основы виброакустической диагностики машинного оборудования – 2007 _

265

()()()()

xtytdtXfYfdf

¥¥

-¥-¥

òò

Узкополосный случайный процесс

Узкополосным называется случайный процесс, спектральная плотность ко-

торого существенно отлична от нуля лишь в пределах узкой полосы частот, сосре-

доточенной вблизи некоторой центральной частоты. Если мгновенные значения

процесса имеют гауссовское распределение вероятностей, то его экстремальные

значения приближенно подчиняются распределению Релея.

Функция взаимной спектральной плотности

В рамках методов, основанных на финитном преобразовании Фурье, функ-

ция взаимной спектральной плотности определяется для частот

в интервале от

до

=¥

в виде

()()()

Txy

GfEXfYf

éù

ëû

где

[]

означает усреднение при фиксированной частоте

по ансамблю из

функций

()

, вычисленных по имеющимся парам реализаций

()

(

)

заданным на интервале длиной

каждая. Величина

есть комплексно сопря-

жение финитного преобразования Фурье

()

функции

(

)

, а

()

- финитное

преобразование Фурье функции

(

)

. Функция

()

равна 0 при

, и имен-

но ее измеряют на практике.

В теоретических исследованиях используется двухстороння функция взаим-

ной спектральной плотности

()

, существующая при всех значениях

от

=-¥

до

=¥

()()

xyxy

SfGf

= , при

()()

SfSf

-= .

В стационарном случае функция взаимной спектральной плотности

()

равна удвоенному преобразованию Фурье взаимной ковариационной функции

()

Функция взаимной спектральной плотности энергии

В рамках методов, основанных на финитном преобразовании Фурье, функ-

ция взаимной спектральной плотности энергии определяется для частот

в ин-

тервале от

до

=¥

в виде

()2()()

Э fEXfYf

éù

ëû

где

[]

означает усреднение при фиксированной частоте

по ансамблю из

имеющихся

пар финитных преобразований Фурье (переходных) реализаций

В.Н. Костюков, А.П. Науменко Основы виброакустической диагностики машинного оборудования – 2007 _

266

()

, заданных на интервале длиной

каждая. Величина

есть ком-

плексно сопряжение финитного преобразования Фурье

()

функции

(

)

, а

()

- финитное преобразование Фурье функции

()

. Функция

()0

Э f

при

, и именно ее измеряют на практике.

Функция взаимной спектральной плотности энергии переходных случайных

процессов связана с обычной функция взаимной спектральной плотности тех же

процессов соотношением

()()

xyxy

Э fTGf

где

– длина реализаций.

В теоретических исследованиях используется двухстороння функция взаим-

ной спектральной плотности энергии, существующая при всех значениях

от

=-¥

до

=¥

()()

xyxy

Э f Э f

, при

()()

xyxy

Э f Э f

Функция когерентности

Функцией когерентности

()

двух последовательностей

()

на-

зывается отношение квадрата модуля взаимной спектральной плотности к произ-

ведению функций спектральной плотности

()

()()

xxyy

GfGf

= .

Величина

()

удовлетворяет при всех f неравенству

0()1

££

.Функция обычной когерентности служит мерой оптимального линейного прогно-

за последовательности

()

по значениям последовательности

()

. Другими сло-

вами, значения функции когерентности определяют точность восстановления зна-

чений

()

по значениям

()

во все моменты времени (

Функция распределения

Функцией распределения

)

(

называется вероятность того, что в любой

момент времени t значение

()

удовлетворяет условию

()

xtx

. Функция распре-

деления связана с плотностью вероятности соотношением

()()

Pxpudu

-¥

где u – переменная интегрирования. Необходимо заметить, что P(-¥)=0 и P(¥)=1.

Функция спектральной плотности

В рамках методов, основанных на конечном преобразовании Фурье, функ-

В.Н. Костюков, А.П. Науменко Основы виброакустической диагностики машинного оборудования – 2007 _

267

ция спектральной плотности (называемая также функцией спектральной плотно-

сти мощности)

()

определяется для частот

в интервале от

до

=¥

виде

()()

GfEXf

éù

êú

ëû

где

[]

означает усреднение при фиксированной частоте

по ансамблю из

имеющихся

выборочных реализаций

|()|

при фиксированной частоте

Величина

()

есть финитное преобразование Фурье последовательности

(

)

заданной на интервале времени

. Функция

()

равна 0 при

, и именно

ее измеряют на практике.

В теоретических исследованиях используется двухстороння функция спек-

тральной плотности, существующая при всех значениях частот

в интервале от

до

=¥

()()

xxxx

SfGf

= , при

()()

xxxx

SfSf

-= .

В случае стационарного случайного процесса функция спектральной плот-

ности

()

равна удвоенному преобразованию Фурье взаимной ковариацион-

ной функции )(

R .

Функция спектральной плотности энергии

В рамках методов, основанных на финитном преобразовании Фурье, функ-

ция спектральной плотности энергии определяется для частот

в интервале от

до

=¥

в виде

()2()

Э fEXf

éù

êú

ëû

где

[]

означает усреднение при фиксированной частоте

по ансамблю из

имеющихся пар финитных преобразований Фурье (переходных) реализаций

|()|

при фиксированной частоте

. Величина

()

есть финитное преоб-

разование Фурье функции

(

)

, заданной на интервале времени

. Функция

()0

Э f

при

, и именно ее измеряют на практике.

Функция спектральной плотности энергии переходного случайного процесса

связана с обычной функция спектральной плотности «мощности» того же процес-

са соотношением

()()

xxxx

Э fTGf

где

– длина реализаций. Необходимо заметить, что в случае переходного про-

цесса функция )( fG

должна стремиться к нулю при стремлении

к бесконеч-

В.Н. Костюков, А.П. Науменко Основы виброакустической диагностики машинного оборудования – 2007 _

268

ности.

В теоретических исследованиях используется двухстороння функция спек-

тральной плотности энергии, существующая при всех значениях

от

=-¥

до

=¥

()()

xxxx

Э f Э f

, при

()()

xxxx

Э f Э f

Характеристическая функция

В теории вероятности под характеристической функцией )(

случайной

величины

или характеристической функцией данного распределения

()

под-

разумевается среднее значение функции

, т.е. ][)(

eE=Q (здесь

- веще-

ственная переменная).

При заданной плотности вероятности

()

среднее значение величины

можно определить с помощью обратного преобразования Фурье

()()

uepxdx

-¥

Характеристическая функция

()

полностью определяется моментами

случайного процесса.

Частотная характеристика

Частотной характеристикой

()

линейной системы с постоянными пара-

метрами называется преобразование Фурье импульсной переходной характери-

стики (функции)

()

, отвечающей этой системе. Эта связь имеет вид

()()

jpf

Hfhed

-¥

Функцию H(f) часто называют передаточной функцией системы, хотя в дей-

ствительности этот термин относится к преобразованию Лапласа от импульсной

переходной функции.

В полярных координатах частотная характеристика имеет вид:

()

()()

HfHfe

где

|()|

- амплитудная характеристика системы,

()

– фазовая характеристи-

ка системы.

В случае линейной системы функцию

()

можно оценивать для детерми-

нированных, переходных или стационарных случайных процессов, поскольку ее

свойства не зависят от типа процесса, проходящего через систему.

Широкополосный случайный процесс

Широкополосным случайным процессом называется процесс, спектральная

В.Н. Костюков, А.П. Науменко Основы виброакустической диагностики машинного оборудования – 2007 _

269

плотность которого существенно отличается от нуля в пределах широкой полосы

частот относительно некоторой центральной частоты.

Экстремальное значение

Экстремальным значением последовательности

(

)

называется ее макси-

мальное или минимальное значение. Число экстремумов в единицу времени может

относиться только к ее максимумам или минимумам, либо к тем и другим одно-

временно.

Эргодический случайный процесс

Эргодическим называется случайный стационарный процесс, для которого

результаты усреднения по времени в пределах отдельной реализации одинаковы

для всех реализаций. Таким образом, усреднение по времени для любой отдельной

реализации эквивалентно соответствующему усреднению по ансамблю реализа-

ций.

Рассмотрим стационарный случайный процесс

{()}

, где

1,2,3...

- но-

мер реализации. Для любой реализации

()

среднее по времени значение стати-

стической характеристики, например, средний квадрат, определяется равенством

lim()

xxtdt

®¥

Если процесс эргодический, то этот результат не должен зависеть от

и бу-

дет одним и тем же для всех реализаций. Соответствующее среднее по ансамблю

значение определяется равенством

lim()

Exxt

®¥

éù

ëû

и в случае стационарного процесса не зависит от

. Для эргодического процесса

оба усреднения дают одинаковый результат.

Эффективность оценки

Если среднеквадратичная ошибка оценки случайной величины является

наименьшей среди всех возможных оценок, то такая оценка называется эффектив-

ной.

Турбулентность

Явление, наблюдаемое во многих течениях жидкостей и газов и заключаю-

щееся в том, что в этих течениях образуются многочисленные вихри различных

размеров, вследствие чего их гидродинамические и термодинамические характе-

ристики (скорость, температура, давление, плотность) испытывают хаотические

флуктуации и потому изменяются от точки к точке и во времени нерегулярно.

Этим турбулентные течения отличаются от так называемых ламинарных течений.

Благодаря большой интенсивности турбулентного перемешивания турбу-

лентные течения обладают повышенной способностью к передаче количества

движения (и потому к повышенному силовому воздействию на обтекаемые твёр-

В.Н. Костюков, А.П. Науменко Основы виброакустической диагностики машинного оборудования – 2007 _

270

дые тела), передаче тепла, ускоренному распространению химических реакций (в

частности, горения), способностью нести и передавать взвешенные частицы, рас-

сеивать звуковые и электромагнитные волны и создавать флуктуации их амплитуд

и фаз, а в случае электропроводной жидкости - генерировать флуктуирующее маг-

нитное поле и т.д.

Турбулентность возникает вследствие гидродинамической неустойчивости

ламинарного течения, которое теряет устойчивость и превращается в турбулент-

ное, когда так называемое число Рейнольдса

= превзойдёт некоторое кри-

тическое значение

кр

(

- характерные длина и скорость в рассматриваемом

течении,

- кинематический коэффициент вязкости).

Возникновение турбулентности при обтекании твёрдых тел может прояв-

ляться не только в виде турбулизации пограничного слоя, но и в виде образования

турбулентного следа за телом в результате отрыва пограничного слоя от его по-

верхности. Турбулизация пограничного слоя до точки отрыва приводит к резкому

уменьшению полного коэффициента сопротивления тела. Турбулентность может

возникнуть и вдали от твёрдых стенок, как при потере устойчивости поверхности

разрыва скорости (например, образующейся при отрыве пограничного слоя или

являющейся границей затопленной струи или поверхностью разрыва плотности),

так и при потере устойчивости распределения плотностей слоев жидкости в поле

тяжести, то есть при возникновении конвекции.

Турбулентное течение

Турбулентное течение (от лат. turbulentus — бурный, беспорядочный), фор-

ма течения жидкости или газа, при которой их элементы совершают неупорядо-

ченные, неустановившиеся движения по сложным траекториям, что приводит к

интенсивному перемешиванию между слоями движущихся жидкости или газа.

Наиболее детально изучены Турбулентное течение в трубах, каналах, погранич-

ных слоях около обтекаемых жидкостью или газом твёрдых тел, а также так назы-

ваемых свободные Турбулентное течение — струи, следы за движущимися отно-

сительно жидкости или газа твёрдыми телами и зоны перемешивания между пото-

ками разной скорости, не разделёнными какими-либо твёрдыми стенками. Турбу-

лентное течение отличаются от соответствующих ламинарных течений как своей

сложной внутренней структурой, так и распределением осреднённой скорости по

сечению потока и интегральными характеристиками — зависимостью средней по

сечению или максимальной скорости, расхода, а также коэффициента сопротивле-

ния от числа Рейнольдса

В отличие от ламинарных пограничных слоев, турбулентный пограничный

слой обычно имеет отчётливую границу, беспорядочно колеблющуюся со време-

нем (в пределах

(0,41,2)

, где

- расстояние от стенки, на котором осреднён-

ная скорость равна

0,99

, a

- скорость вне пограничного слоя).

Ламинарное течение

Ламинарное течение (от лат. lamina - пластинка), упорядоченное течение

жидкости или газа, при котором жидкость (газ) перемещается как бы слоями, па-