Кожухар В.М. Основы научных исследований: Учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

181



123456

Основной уровень

факторов экспе-

римента

(О)

50 28

Интервал варь-

ирования факто-

ров (I)

20 14

Верхний уровень

фактора (+1)

Нижний уровень

фактора (–1)

30 14

Номера опытов:

1 + 1

–1

–1 (1)

2 + 1 + 1 –1

3 + 1 –1 + 1

4 + 1 + 1 + 1

a · bY

План 2

Значения “+1”, “–1” в графах “3–4” заменяют вышепри-

веденными: 70, 30, 42. В графу “6” заносятся значения фактор-

функции, полученные в каждом опыте.

Соответствующий пример приведен ниже в табл. 50.

Окончание табл. 49

Устанавливаемые до начала эксперимента значения

Получено: 50 + 20.

Кодированные обозначения уровней факторов

Собственно «план» эксперимента отражен в графах 3 и 4 табл. 49. В пер-

вой строке плана всегда стоит знак «–», а в последней — «+».Уровни фактора

варьируются минус-плюс, а фактора x

— два минуса–два плюса. Значения

графы «2» нужны для вычисления свободного члена уравнения регрессии «b

».

Значения графы «5» получают умножением значений граф «3» и «4».

Обозначение столбца (1) гласит: все варьируемые факторы берутся на

нижнем уровне; a — только фактор x

взят на верхнем уровне, остальные —

на нижнем; b — только фактор x

взят на верхнем уровне; a · b — оба варьи-

руемых фактора взяты на верхнем уровне.

182

Таблица 50

Исходные данные для составления

системы нормальных уравнений (исходная матрица)

Номер

опыта

Значения факторов

Столбец

свободного

члена (b

)

Y (вектор-

столбец функции)

1 +1 30 14 198,7

2 +1 70 14 101,8

3 +1 30 42 246,4

4 +1 70 42 119,9

По этим данным или составляют системы нормальных

уравнений и вычисляют значения b

, b

, или вычисляют их

в матричной форме. С увеличением числа факторов потребность

в числе опытов возрастает. Чтобы избежать увеличения числа

опытов без особой потери информации, вместо полного фактор-

ного эксперимента (ПФЭ) ограничиваются так называемыми

дробными репликами от него.

Коэффициенты регрессии по данным табл. 50 определяют

при помощи формулы

B = (X

· X)

–1

· (X

· Y), (87)

где B — обозначение вектора-столбца коэффициентов регрес-

сии;

X — обозначение факторной матрицы;

Т — знак транспонирования;

Y — обозначение вектора-столбца функции.

Пример соответствующих вычислений приводится ниже.

Умножение прямой и транспонированной факторных мат-

риц и его результаты:

Пунктиром обозначена факторная матрица. Данные столбца “Y” —

условные.

183

Умножение транспонированной факторной матрицы на

вектор-столбец функции и его результаты:

Решение системы уравнений методом Гаусса.

Запись системы:

1-е преобразование (деление уравнений на значения коэф-

фициентов первого столбца):

184

2-е преобразование (вычитание первого уравнения из пос-

ледующих):

3-е преобразование (деление второго уравнения на значение

коэффициентов во втором столбце и третьего — на значение

коэффициента в третьем столбце):

Обратный ход:

= 1,18;

= –2,79;

= 166,70 – 50 · (–2,79) – 28 · 1,18 = –273,16.

Таким образом, уравнение линейной множественной рег-

рессии по данным рассмотренного примера имеет вид:

y = –273,16 – 2,79 · x

+ 1,18 · x

или R

пр

= –273,16 – 2,79(В / Ц) + 1,18 · .

Проверка значимости результатов. Проверка значимости

полученного эмпирического уравнения сводится к вычислению

общей и остаточной дисперсии результирующего фактора (y

) по

формулам (88; 89), и определению с их помощью фактического

значения:

(88)

(89)

где y

— фиксируемые значения результирующего фактора

(фактора-функции) в опытах;

;

— среднеарифметическое значение результирующего

фактора;

n — количество опытов;

185

p — количество факторов, варьируемых (учитываемых) при

проведении эксперимента.

Фактическое значение критерия Фишера определяется по

формуле

(90)

Табличное значение F-критерия (F

) принимают по прил. 1

при принятых числах степеней свободы для числителя 

= n – 1

и знаменателя 

= n – p – 1 при 5%-ном уровне значимости.

Для рассмотренного примера:

= [(198,7 – 166,7

)

+ (101,8 – 166,7)

+ (246,4 – 166,7)

+ (119,9 – 166,7)

] / n = 13 778,33 / 4 = 3444,58.

= 13 778,33 / (4 – 2 – 1) = 13 778,33.

= 3444,58 / 13 778,33 = 0,25<<215,71.

Таким образом, полученное уравнение незначимо. Значи-

мость коэффициентов регрессии проверяют при помощи t-кри-

терия Стьюдента, сравнивая вычисленные по формулам (91; 92)

значения (

) c табличными ( ):

(91)

(92)

где C

— значения диагональных элементов матрицы, обратной

матрице нормальных уравнений (транспонированной);

— табличное значение при числе степеней свободы

 = n – p – 1 при 45%-ном уровне доверительности.

Для рассматриваемого примера:

= = 234,76;

= 2985,76 / 234,76 = 12,72 > 6,3138;

= = 12 642,33;

= 2,79 / 12 642,33 = 0,00<<6,3138;

= = 7349,22;

= 117,57 / 7349,22 = 0,02<<6,3138.

Полученные по данным рассмотренного примера значения

коэффициентов регрессии за исключением b

— незначимы.

Среднеарифметическое значение.

186

Известен и упрощенный способ обработки результатов экс-

перимента для случая линейной функции двух независимых пе-

ременных, если обрабатываемые результаты измерений можно

представить в виде таблицы с двумя входами

(табл. 51).

Таблица 51

Основной уровень фактора x

)

– x

/ I

– x

/ I

–1 + 1 Суммы

–1 198,7 101,8 300,5

+ 1 246,4 119,9 366,3

Суммы 445,1 221,7 666,8

Общий вид линейной функции при этом:

y = b

+ b

– x

) / I

+ b

– x

) / I

, (93)

где I — значения интервалов варьирования факторов х

и х

(см. табл. 49).

Значения коэффициентов регрессии определяются в этом

случае по численным выражениям

= 666,8 / 4 = 166,7;

= 0,25

· (–1 · 445,1 + 1 · 221,7) = 55,85;

= 0,25 · (–1 · 300,5 + 1 · 366,3) = +16,45.

В результате подстановки и преобразований выражение (93)

приобретает вид:

y = 166,7 – 55,85 · (x

– 50) / 20 + 16,45 · (x

– 28) / 14 =

= 273,16 – 2,79 · x

+ 1,18 · x

Тематическая литература

1. Лаева, Т. В. Сценарный анализ как основа стратегического пла-

нирования в организации / Т. В. Лаева // Менеджмент в России и за

рубежом. — 2006. — № 2. — С. 56–63.

2. Львовский, Е. Н. Статистические методы построения эмпири-

ческих формул: Учеб. пособие. — 2-е изд., перераб. и доп. / Е. Н. Львов-

ский. — М.: Высшая школа,1988.

3. Румшиский, Л. З. Математическая обработка результатов экс-

перимента / Л. З. Румшиский. — М.: Наука, 1971.

Приведен в [3, с. 79–81].

Постоянный множитель при двух уровнях варьирования и отсутствии

опытов при основном уровне факторов.

187

23. Метод анализа иерархий

При этом методе формируется так называемый перекрест-

ный граф проблемы, общий вид которого приведен на рис. 35.

Исходя из логики этого графа осуществляется, например,

оценка технического уровня изделий.

Рис. 37. Пример графа проблемы

(некоторые связи показаны с разрывами)

Общий алгоритм метода анализа иерархий освещен в работе

его автора [3; 4] и российских последователей [1; 2].

Согласно алгоритму метода формируется ряд матриц по-

парного экспертного сравнения: самих потребительских свойств

(частных характеристик технического уровня) изделий; изделий

по отношению каждого свойства. Полученные матрицы соответ-

ственно обрабатываются.

Общий вид матрицы попарного экспертного сравнения

(предпочтения) и ее обработки приведен в табл. 52.

Главная диагональ матрицы заполняется единицами, вос-

прещающими сравнение свойства с самим собой.

Для фиксации экспертных предпочтений используется де-

вятибалльная (девятиместная) шкала, состав которой приведен

в табл. 53.

Технический уровень изделия

Свойства

Потребляемая

мощность

Чистота

звучания Дизайн Масса

ГВАБ

188

Таблица 52

Матрица попарного сравнения свойств изделий

и результаты ее обработки

Свойства, с которыми сравнивают

Нормали-

зованное

значение

Потреб-

ляемая

мощность

Чистота

звуча-

ния (j)

Дизайн Масса

Свойства, которые сравнивают

Потребляемая

мощность (i)

1 0,25 8 7 14

1,93

0,32

Чистота

звучания

5 6 120 3,30 0,54

Дизайн

0,13 0,20

0,25 0,01 0,31 0,05

Масса

0,14 0,17 4 1 0,10 0,55 0,09

Итого 6,09 1,00

Примечание: a

— значение балльной оценки предпочтения свойства i

свойствам j (жирной линией выделена матрица экспертных оценок, пункти-

ром — вектор-схема приоритетов); цифры в кружках указывают на последо-

вательность заполнения матрицы.

Поскольку извлечение корней высоких степеней представляет опре-

деленные трудности, то в предшествующей графе вместо произведения мо-

жет проставляться сумма баллов

а в этой — среднеарифметическое

значение. При этом точность нормализованных значений (вектора весов)

несколько снижается.

Получено: 1 · 0,25 · 8 · 7.

Получено: .

Получено: 1,93 : 6,09.

189

Таблица 53

Состав девятибалльной шкалы

Градация шкал: баллы и доли единицы

Шкала предпочтения 1

худшее

значение

2345678 9

лучшее

значе-

ние

Шкала

не предпочтения

в дробях

натуральных 1 1 / 2 1 / 3 1 / 4 1 / 5 1 / 6 1 / 7 1 / 8 1 / 9

десятичных 1,00 0,50 0,33 0,25 0,20 0,17 0,14 0,13 0,11

Очередность заполнения матрицы отражена в табл. 52 циф-

рами в кружках, находящимися у начала парных стрелок. Одно-

временно заполняются строка и столбец. При этом используются

сопряженные (находящиеся в одном столбце табл. 53) градации

шкал. В пользу свойства, которое сравнивают, засчитываются

баллы, записываемые в строке этого свойства. Например, сравни-

вая пару свойств “потребляемая мощность” и “чистота звучания”

эксперт отдает предпочтение чистоте звучания и считает, что чис-

тота звучания важнее потребляемой мощности в 4 раза. В первой

строке в пользу потребляемой мощности записывается 0,25 балла,

а в первом столбце в пользу чистоты звучания — 4 балла.

При предпочтении мощности над дизайном в 8 раз (запись в

первой строке), в первом столбце в пользу дизайна записывают

0,13 балла.

Назначая пары оценок, следует иметь в виду, что все оценки

матрицы должны быть согласованы, т. е. качественные (профес-

сиональные) оценки характеризуются транзитивностью, логич-

ностью. Так, рассматривая совокупность свойств “потребляемая

мощность” — “чистота звучания” — “дизайн” эксперт зафик-

сировал (см. табл. 52), что потребляемая мощность оценивается

в 0,25 балла по сравнению с чистотой звучания, а по сравнению

с дизайном в 8 раз. Следовательно, чистота звучания важнее ди-

зайна в 32 раза (8:0,25), что отмечено опосредованно (см. первую

строку табл. 52). Между тем эксперт прямо указывает (см. вторую

190

строку табл. 52), что чистота звучания важнее дизайна только в

5 раз. Это свидетельствует о существенно недостаточной “внут-

ренней” согласованности экспертных оценок, о слабой логич-

ности, неучете транзитивности оценок. Разумеется, эксперты

отражают не строго логичные, а интуитивные представления о

предпочтительности свойств. Поэтому какое-то, но не чрезмер-

ное отклонение от строго логических оценок допустимо.

Умение оценивать согласованно (системно) вырабатывает-

ся достаточной практикой. Методом анализа иерархий (МАИ)

предусмотрена специальная процедура проверки логичности

экспертных оценок. И, если они существенно не согласованы,

эксперту предлагают повторить процедуру и добиться прием-

лемой логичности. В противном случае от услуг недостаточ-

но квалифицированного эксперта отказываются. Весомость

свойств, оцененная разными экспертами, может усредняться,

объективизироваться.

Образцы формирования матриц экспертного попарного

сравнения и их обработки представлены в нижеприведенном

примере.

Оценка собственного значения матрицы и проверка согла-

сованности экспертных оценок осуществляется следующим

образом. Для получения промежуточной информации умножа-

ется матрица оценок на вектор столбец приоритетов (на норма-

лизованные значения

, см. последний столбец табл. 52).

Результаты умножения приведены ниже:

1 · 0,32 + 0,25 · 0,54 + 8 · 0,05 + 7 · 0,09 = 1,48;

4 · 0,32 + 1 · 0,54 + 5 · 0,05 + 6 · 0,09 = 2,61;

0,13 · 0,32 + 0,20 · 0,54 + 1 · 0,05 + 0,25 · 0,09 = 0,22;

0,14 · 0,32 + 0,17 · 0,54 + 4 · 0,05 + 1 · 0,09 = 0,42.

С той же целью результаты умножения делятся на вектор-

столбец приоритетов. Результаты деления приведены ниже:

[1,48; 2,61; 0,22; 0,42]

: [0,32; 0,54; 0,05; 0,09]

= [4,63

; 4,83; 4,40; 4,63]

Получено 1,48:0,32.