Козлов В.В. Надёжность горных машин и оборудования

Подождите немного. Документ загружается.

141

lim

−

−=

Представляет существенный интерес связь между кван-

тилью u

, как характеристикой вероятностного расчета и коэф-

фициентом безопасности ,/

lim

YYn = рассчитанным по сред-

ним значениям. Соответственно разделим числитель и знамена-

тель дроби на

и введем коэффициенты вариации

lim

limlim

/YS=υ и YS

/=υ ; тогда

lim

υυ +

−

−=

Зависимость для параметра Y может быть представлена сле-

дующим образом

),...,,,(

21 n

XXXY ϕ=

Среднее значение

и среднеквадратическое отклонение

параметра Y как известной функции ϕ случайных аргументов

определяют по следующим зависимостям (см. также гл.5):

,),...,,,(

∑













∂

SXXXY

142

где

X∂

∂

- частная производная функции ϕ по фактору X

в кото-

рую подставляют средние значения факторов ;...,

−

XXX

SSS ...,

среднеквадратические отклонения факторов.

Эти зависимости вытекают из разложения функции ϕ в ряд

Тейлора и отбрасывания членов, начиная с третьего вследствие

их малости.

В расчетах деталей машин широко применяют форму-

лы, описывающие параметр Y степенной функцией вида

∏

где

- показатель степени для i-го фактора.

Среднее значение и коэффициент вариации соответственно

равны

∑∏

iiY

XY υαυ

где

- коэффициент вариации (фактора.

В случае описания Y полиномом

∑

XY среднее зна-

чение равно

∑

= . Коэффициент вариации

∑

= υυ

Значения числовых характеристик распределения случай-

143

ных факторов

SиX , где i = 1, 2, …n, выбирают по справоч-

ным данным или в особо ответственных случаях на основе спе-

циальных экспериментов. До накопления данных по этим харак-

теристикам их можно оценивать по предельным значениям фак-

тора, т. е. по минимальному

mini

X и максимальному

maxi

значениям.

Тогда среднее значение

и среднее квадратическое от-

клонение S

, определяют но формулам

minmaxminmax

−

где d – коэффициент, зависящий от числа испытаний N:

N…

5 10 15 20 30 50 100

d… 1,13 2,3 3,1 3,5 3,7 4,1 4,5 5,0

minmax ii

−

Эго предположение соответствует вероятности Р=0,997

нахождения значения фактора в пределах допуска. При других

Для факторов, максимальные

maxi

X и минималь-

ные

mini

X значения которых нормированы (например,

технологические допуски), обычно полагают, что поле

допуска покрывается интервалом 6Si

144

значениях вероятности Р среднеквадратическое отклоне-

ние фактора при нормальном распределении определяют но фор-

муле

minmax

−

где 2 u

выбирают в зависимости от Р:

P… 0,9 0,95 0,98 0,99 0,995 0,999

… 3,29 3,92 4,66 5,16 5,62 6,38

9.2 Характеристика нагруженности машин в

вероятностном аспекте

Нагруженность машин и отдельных деталей, подлежащих

расчету на сопротивление усталости, характеризуют соответст-

вующим спектром нагрузок, т.е. совокупностью значений, кото-

рые может принимать нагрузка. Спектры нагрузок могут быть

дискретными или непрерывными.

Дискретные спектры (рис. 9.1)представляют в коорди-

натах: нагрузка F – относительная продолжительность р дей-

ствия нагрузки или в координатах суммарная продолжительность

∑

р действия - нагрузки в порядке убывания (ранжированный

спектр). Первая фаза может рассматриваться как дифференциаль-

ная, вторая как интегральная.

Для непрерывного спектра нагрузок задают функцию

плотности распределения f(F) (рис.9.2, а) или интегральную

функцию

∫

dFFfFP

)()(

. Последняя физически означает

145

долю продолжительности действия нагрузки меньше дан-

ной величины или соответствующую вероятность, что нагрузка

меньше данной величины.

Практически чаще пользуются интегральными графи-

ками непрерывных распределений (рис. 9.2, б) в координатах

ранжированного спектра, т. е. нагрузка откладывается по оси

ординат, а соответственно по оси абсцисс - функция (1- P(F)),

которая означает долю продолжительности действия нагрузки

больше данной величины или соответствующую вероятность.

Использование непрерывного плавного спектра в расче-

тах не всегда удобно, поэтому в целях упрощения функции f(F) и

1– P(F) могут быть заменены ступенчатыми кривыми (рис. 9.2).

Для этого интервал возможных нагрузок разбивают на равно-

мерные участки ∆F; среднее значение нагрузки i-го участка обо-

значают через F

. Тогда относительная продолжительность

действия нагрузки F

равна FFfp

∆= )( .

Статистический анализ нагруженности машин раз-

личных типов показал, что при всем многообразии спектров

нагрузок их можно свести к нескольким типовым.

Это становится очевидным при представлении нагружен-

ности в виде спектра относительных нагрузок, обычно выражен-

ных в долях от максимальной.

Функции плотности f(F/F

max

) и интегральные функции

1– P(F/F

max

) спектров относительных нагрузок для типовых ре-

жимов нагружений приведены на рис. 9.3. Для описания спек-

тров нагрузок тяжелого (рис. 9.3, кривая 1), легкого (кривая 4) и

особо легкого (кривая 5) режимов используются функции бета-

распределения; для среднего равновероятного режима (кривая

2) - функция равновероятного распределения; для среднего

146

нормального (кривая 3) - функция нормального распре-

деления.

Начальные моменты k-го порядка определяют по фор-

мулам: для

дискретных спектров нагрузок

∑

= ;)(

max i

pFFµ

для непрерывных спектров нагру-

зок

∫

∞

∞−

= ).()()(

maxmaxmax

FFdFFfFF

Начальные моменты отражают основные свойства спектра:

начальный момент первого порядка равен среднему значению и

характеризует центр группирования нагрузок спектра; первый и

второй начальные моменты рассеяние (дисперсию) нагрузки от-

носительно центра группирования; первые три начальные момен-

та  асимметрию распределения нагрузок и т. д.

В соответствии со структурой формул расчета на

сопротивление усталости при переменных амплитудах

нагрузок, в частности при переменных режимах, спек-

тры нагрузок удобно задавать их начальными момен-

тами µk. Индекс k = 1, 2, 3 ... в обозначении соответству-

ет порядку начального момента.

147

Рисунок 9.1 - Дифференциальная (а) и интегральная (б)

формы дискретного спектра нагрузок

В расчетах деталей машин на сопротивление усталости ба-

зируются на гипотезе линейного суммирования повреждений

При определении эквивалентного числа циклов перемен напря-

жений используют коэффициент эквивалентности циклов k

равный начальному моменту k-го порядка µ

, т. е.

kEN

k µ= .

Рисунок 9.2 - Дифференциальная (а) и интегральная (б)

формы непрерывного спектра нагрузок

148

Рисунок 9.3 - Функции плотности (а) и интегральные (б)

функции спектров относительных нагрузок

типовых режимов нагружений

При контактных напряжениях, пропорциональных корню

квадратному из нагрузки, порядок начального момента k = m / 2.

Значения начальных моментов k-го порядка для

При определении эквивалентной нагрузки ис-

пользуют коэффициент эквивалентности режима на-

гружений Креж., равный

реж

= µ

порядок на-

чального момента совпадает с показателем степени k и

выбирается в зависимости от показателя степени m

кривой усталости в координатах напряжение  число

циклов перемен напряжении. Так, при напряжениях,

пропорциональных нагрузке, k = m.

149

спектров относительных нагрузок типовых режимов нагру-

жений приведены в табл. 9.1.

Таблица 9.1

Порядок начального момента k Режим

1 2 3 6 9 12

Тяжелый 0,772

0,615

0,501

0,300 0,200 0,142

Средний равно-

вероятный

0,50 0,333

0,250

0,143 0,100 0,0769

Средний нор-

мальный

0,50 0,286

0,179

0,0651

0,0358

0,0266

Легкий 0,423

0,218

0,127

0,0384

0,0164

0,00845

Особо легкий 0,310

0,128

0,0622

0,0126

0,00408

0,00169

Для расчетов на прочность нагруженность может быть за-

дана максимальной нагрузкой

max

F и соответствующим началь-

ным моментом

спектра относительных нагрузок. Учитывая

случайный характер нагрузок, обе величины должны рассматри-

ваться в вероятностном аспекте.

Случайная природа нагрузки обычно связана со сле-

дующими факторами.

Технологические машины. Рассеяние объектов производ-

ства в пределах универсальности машин и иногда вынужденное

расширение регламентированного диапазона использования.

Использование машин в разных (обычно смежных) видах

мелкосерийного, серийного, крупносерийного и массового про-

изводства.

Технологическое рассеяние свойств заготовок (припусков,

150

правильности форм, твердости).

Рассеяние состояния инструмента (углов резания, затупле-

ния и др.).

Вариации технологических процессов.

Ненормальности эксплуатации: недопустимое форсирова-

ние режимов, поломка инструмента, глубокое врезание в заготов-

ку, переохлаждение заготовки при горячей обработке.

Транспортные машины. Рассеяние режимов эксплуатации

по нагрузке и скорости.

Использование машин в разных отраслях — в индивиду-

альном пользовании, горнодобывающей промышленности,

строительстве, сельском хозяйстве и др.

Рассеяние состояния дорог (асфальтовые, бетонные, про-

селочные и др.), гористости местности, погоды, ветра, волн.

Влияние частот включения и торможения, квалификации

водителей .

Ненормальности использования: наезды на крупные неров-

ности, экстренные торможения, загрузка с ударами.

Горные, торфяные, землеройные и почвообрабатывающие

машины. Рассеяние механических свойств среды, твердые вклю-

чения, неровности поверхности, переменности режима.

Двигатели. Рассеяние нагрузки в значительной степени оп-

ределяется рассеянием режимов нагрузок машин, приводимых

двигателями (см. выше). Существенную роль играют динамиче-

ские нагрузки при пуске и торможении.

Внутренняя динамика машин. Динамические нагрузки от

работы зубчатых передач и других передач и механизмов, от не-

уравновешенности, от пусков, остановок, переключения скоро-

стей, перераспределения нагрузок в двух и многоконтактных пе-

редачах и соединениях.