93
арифметики: одна – при помощи абака, другая – посредством индийской нумерации или
алгоритма. Если одни применяли абак, то другие использовали листы бумаги с
проведенными прямыми линиями, т.е. проводили счет на линиях. Флагом для первого
течения был Герберт, а для второго – Леонардо Пизанский. В конечном счете победу
алгорифмиков обеспечила практика, а именно развитие торговли с Востоком. Европейские
купцы оценили преимущества той арифметики, которой пользовались арабские. Каждый
торговый город заводил своего «учителя арифметики», который обучал новой арифметике
работников, связанных с торговлей. Эти учителя и обеспечили победу данной арифметики
и ее основы – позиционной системы счисления.
Вместе с расширением торговли интерес к прематематике постепенно стал
распространяться на северные страны. Поначалу это был практический интерес, и в
течение нескольких столетий арифметику и алгебру преподавали вне университетов
профессиональные мастера счета, которые обычно не знали классиков, но зато обучали
бухгалтерии и навигации. Им же пришлось удовлетворять практические потребности в
проведении числовых расчетов в строительстве, архитектуре, торговле и других отраслях
деловой деятельности, основанных на опыте и интуиции. Благодаря этим мастерам счета,
а также различным специалистам был накоплен большой опыт в решении практических
задач, который выразился в создании методик их решения, т.е. порядка проведения
числовых расчетов. Свидетельства этому можно легко найти, например, в работах
инженеров и архитекторов времен Возрождения. Эти методики проведения практических
расчетов пополнили арсенал прематематики. Однако сами по себе расчеты, связанные с
инженерной и хозяйственной деятельностью, были относительно простыми.
До XV в. вся прематематика, используемая в Европе, была в своей основе индийской,
переданной с небольшими изменениями арабами. В это время, как и у индийцев и арабов,
по традиции, идущей от Диофанта, для обозначения часто встречающихся понятий
употреблялись отдельные буквы или сокращения соответствующих слов.
Принципиальные изменения начали происходить в XV в., когда в прематематике стали
использовать символы. Необходимость в обозначениях, которые позволили бы сократить
вычисления, с развитием торговли и становлением товарного хозяйства становилась
постоянной. Немецкая школа, которая получила название «косс», стремилась выработать
удобные обозначения и ввела в формулах сокращения от таких слов, как res, radix, census
и т.д. Эти обозначения называются классическими символами. Улучшение символики для
выполнения арифметических действий, а также повышение эффективности самого
процесса выполнения действий продолжались несколько столетий.
Под давлением практических потребностей и в связи с изобретением книгопечатания
появились многочисленные учебники арифметики. Самыми старыми из таких учебников
была «Арифметика из Тревизы» (1478) неизвестного итальянского автора и ее немецкий
аналог – «Бамберская книга о счете» (1483). Книга М. Штифеля «Полная арифметика»
(1544) содержит в себе все символы арифметических операций, которые были введены
ранее (например, + и -). В своей книге Штифель также ввел в употребление современное
обозначение радикала. Это книга имела большой резонанс, и обозначения Штифеля
распространились далеко за пределы Германии вплоть до Италии.
Другое направление в прематематике связано с построением числовых таблиц, что
применялись при использовании астрономической системы Птолемея – Гиппарха. Первые
подобные таблицы, как уже отмечалось выше, были построены Гиппархом, а затем
пополнены и улучшены Птолемеем еще во времена Римской империи. Очень часто в
современной исторической литературе эти таблицы называют таблицами
тригонометрических функций. Такое утверждение – это еще один наглядный пример, как
современный математический язык неверно отражает содержание того, что делалось в те
давние времена. Те объекты, которыми пользовался Птолемей, только по далекой
аналогии напоминают тригонометрические функции, математическая формулировка