Малхорта, Нэреш К. Маркетинговые исследования. Практическое руководство

Подождите немного. Документ загружается.

ПРИЛОЖЕНИЕ 19А

Фундаментальные уравнения факторного анализа

В модели факторного анализа выводят гипотетические компоненты, которые объясняют

линейную зависимость между наблюдаемыми

переменными

Модель факторного анализа

требует, чтобы зависимость между переменными была линейной, а переменные имели не-

нулевые корреляции между собой. Выводимые гипотетические компоненты обладают сле-

дующими свойствами.

1. Они образуют линейно независимый набор переменных. Ни один из гипотетических ком-

понент не выводится из других гипотетических компонент, как их линейная комбинация.

2. Переменные, являющиеся гипотетическими компонентами, можно разделить на два ос-

новных вида —

общие

факторы и характерные факторы. Они отличаются структурой весов в

линейном уравнении, которое выводит значение наблюдаемой переменной из гипотетиче-

ских компонент. Общий фактор имеет несколько переменных с ненулевым весом или фак-

торной нагрузкой, соответствующей этому фактору. (Фактор называется общим, если хотя

бы две его нагрузки значительно отличаются от нуля.) Характерный фактор имеет только

одну переменную с ненулевым весом. Следовательно, только одна переменная зависит от

характерного фактора.

3. Всегда принимают, что общие факторы не коррелируют с характерным фактором. Также

обычно принимают, что характерные факторы взаимно

некоррелированы,

но общие факто-

ры могут или не могут коррелировать между собой.

4. Обычно принимают, что число общих факторов немного меньше, чем число наблюдаемых

переменных. Однако число характерных факторов обычно принимают равным числу на-

блюдаемых переменных.

Используют следующие условные обозначения:

Х=

х 1 — случайный вектор наблюдаемых случайных переменных

...

Принимают, что

Е(Х)

= 0 и

Е(ХХ)

АИ

— корреляционная матрица с

единицами

на главной диагонали.

т х 1

—

вектор т общих факторов

/",,

...

Принимают, что

E(F)

= 0 и

£(FF)

Rff—

корреляционная матрица.

U—

х 1 — случайный вектор л характерных факторов переменных

t/,,

...

Принимают, что

Характерные факторы нормированы с единичными дисперсиями и взаимно некорре-

лированы.

А = п х т — матрица коэффициентов, называемая

матрицей

факторных нагрузок (матрицей

факторной модели).

V— п х п — диагональная матрица коэффициентов для характерных факторов.

Приложение

подготовлено на основании

Stanley

Muiiak.

The

Foudations

of Factor Analysis (New

york:

McGraw-Hill,

1972).

744 Часть III.

Сбор,

подготовка и анализ данных

Наблюдаемые переменные, которые являются координатами X, представляют собой взве-

шенные комбинации

общих

факторов и характерных факторов. Основное уравнение фактор-

ного анализа можно записать так:

X=AF+VU

Корреляции между

переменными,

выраженные факторами, можно вывести следующим

образом;

Е(ХХ') =

Е{(АР

УЦ)

(AF +

VU)

}

E(AFF'A'+AFU'V'

VUF'A')

VUU'V')

Задав, что общие факторы не

коррелировали

с характерными факторами, получим:

R^'

= 0.

Следовательно,

R^.

—

AR^A'

Предположим, что мы вычли

матрицу

дисперсии характерного фактора

из

обеих частей

уравнения. В результате получим:

RX,

зависит только от переменных общего фактора, и корреляции между переменными свя-

заны только с общим фактором.

Пусть

—

вычисленная корреляционная матрица.

Мы уже определили матрицу факторной модели А. Коэффициенты матрицы модели фак-

торов представляют собой веса, присвоенные общим факторам, когда наблюдаемые перемен-

ные выражены линейными комбинациями общего и характерного факторов. Теперь мы опре-

делим матрицу факторной структуры. Коэффициенты матрицы факторной структуры пред-

ставляют собой ковариации между наблюдаемыми переменными и факторами. Матрица

факторной структуры полезна при интерпретации

факторов,

так как она показывает, какие пе-

ременные аналогичны по отношению к переменной общего фактора. Матрицу факторной

структуры

А.

определяют по формуле:

А, = E(XF')

Е[ (AF +

W)F'}

VR,

Таким образом, матрица факторной структуры эквивалентна матрице модели факторов А,

умноженной на матрицу

ковариаций

между факторами

Заменив

на

А,

получим

вычис-

ленную (редуцированную) матрицу как произведение матрицы факторной структуры на мат-

рицу модели факторов.

АА

КОММЕНТАРИИ

1. Gerhard

Mels,

Christo

Boshoff,

Deon

Nel,

"The Dimensions of Service Quality: The Original Euro-

pean Perspective Revisited", Service Industries

Journal,

January 1997, p.

173—189;

James M. Sinu-

kula,

Leanna

Lawtor,

"Positioning in the Financial Services Industry: A Look at the Decomposition

of Image", in Jon M.

Hawes,

George B. Glisan (eds.), Developments in Marketing Science, vol. 10

(Akron, OH: Academy of Marketing Science, 1987), p. 439-442.

2. Более подробно о факторном анализе см. работы Jacques Tacq,

Multivariate

Analysis Techniques

in Social Science Research (Thousand Oaks, CA: Sage Publications, 1996); George H. Dunteman,

Principal

Components

Analysis

(Newbury

Park, CA: Sage Publications, 1989). О современном при-

менении факторного анализа см. статью Jennifer L. Aaker,

''Dimensions

of Btand Personality",

Journal of Marketing

Research,

August 1997, p. 347-356.

3. См., например, статьи

Shirely

Bo Edvardsson, Gerry

Larsson,

Sven Setterlind,

"Internal

Service

Quality and the

Psychosocial

Work Environment: An Empirical Analysis of Conseptual

Interrelated-

ness",

Service Industries

Journal,

April 1997, p.

252—263;

Shirley Taylor, "Waiting for Service: The Re-

lationship between Delays and Evaluations of Service", Journal of Marketing, April 1994, p.

56—69.

Глава

19.

Факторный анализ 745

4. См. работы Janjay

Gaur,

"Adelman

and

Morris Factor Analysis of Developing Countries",

Journal

Policy Modeling, August

1997,

407-415;

John

Lastovicka,

Kanchana

Thamodaran,

"Common Factor Score Estimates in Multiple Regression

Problems",

Journal of Marketing Research,

February 1991, p. 105-112;

W.R.

Dillon, M. Goldstein,

Muitivariate

Analysis:

Methods and

Applications

(New York,

NY:

John Wiley, 1984),

23-99.

5. О современном применении факторного анализа см. статью Christopher D. Ittner, David F.

Larker,

"Product Development Cycle Time and Organizational Performance", Journal of Marketing

Research, February 1997, p. 13-23.

6. Alexander

Basilevsky,

Statistical Factor Analysis & Related Methods: Theory & Applications (New

York:

John Wiley, 1994); Joseph F. Hair, Jr., Ralph E.

Andersom,

Ronald L.

Tatham,

William C. Black,

Muitivariate Data Analysis with Readings,

5th

ed. (Upper Saddle River, NJ: Prentice

Hall,

Inc., 1999).

7. На факторный анализ оказывает большее влияние относительная, а не абсолютная величи-

на коэффициентов корреляций.

8. См. работы James A. Roberts, Donald R. Beacon, "Exploring the Subtle Relationships between En-

vironmental Concern and Ecologically Conscious Behavior", Journal of Business Research, September

1997, p.

79—89;

Sangit

Chatterjee, Linda Jamieson, Frederick Wiseman, "Identifying Most Influen-

tial Observations in Factor Analysis", Marketing

Science,

Spring 1991, p.

145—160;

Frank Acito,

Ronald D. Anderson, "A Monte Carlo Comparison of Factor Analytic

Methods",

Journal of

Marketing

Research, May 1980, p. 228-236.

Существуют

и другие методы ортогонального вращения, Метод

квартимакс

минимизирует

число факторов, необходимых для объяснения переменной. Метод эквимакс представляет

собой комбинацию методов варимакс и квартимакс.

10. James E. Zemanek, Jr., "Manufacturer Influence versus Manufacturer Salesperson Influence

over

the

Industrial

Distributor"',

Industrial

Marketing Management, January 1997, p.

59—66;

Ronald C. Cur-

ban, Robert J.

Kopp,''Obtaining

Retailer Support for Trade Deals: Key Success Factor", Journal of

Advertising

Research,

December

1987—January

1988, p.

51—60.

11. William M.

Bulkeley,

"Rebates'

Secret Appeal to Manufacturers: Few Consumers Actually Redeem

Them",

Wall

Street Journal, February

10,

1998,

B1-B2;

Donald

Lichtenstein,

Nancy

Ridgway,

Richard G.

Netemeyer,

''Price

Perceptions and Consumer Shopping Behavior: A Field

Study", Journal of Marketing Research, May 1993, p.

234—245;

Peter Tat, William A. Cunningham

III, Emin Babakus,

"Consumer

Perceptions of Rebates", Journal of Advertising Research, August-

September 1988, p. 45-50.

12.

"Return

the Beetle", The Economist, January 10, 1998, p. 54.

13. William J, Bigoness, Gerald L. Blakely, "A

Cross-National

Study of Managerial Values", Journal of

Internationa! Business Studies, Fourth Quarter 1996, p.

739—752;

Ishmael

Akaah,

Edward A. Rior-

dan, "The

Incidence

of Unethical Practices in Marketing Research: An

Imperical

Investigation",

Journal

the

Academy of Marketing Science

18(1990),p.

143—152.

14. Eric L. Einspruch, An Introductory Guide to SPSS for

Windows

(Thousand Oaks, CA: Sage Publica-

tions, 1998); Paul E.

Specter,

SAS Programming for Researchers and

Social

Scientists (Thousand Oaks,

CA: Sage Publications, 1993); Mohamed

Afzal

Norat,

"Software Reviews", Economic

Journal:

The

Journal

the

Royal

Economic Society,

May

1997,

857-882;

Seiter Charles,

"The

Statistical

Differ-

ence",

Macworld,

October 1993, p. 116-121.

746 Часть III.

Сбор,

подготовка и анализ данных

Глава 2 О

Кластерный анализ

После изучения материала этой главы вы должны уметь ...

1. Описывать основную идею, область применения кластерного анализа и его важность в мар-

кетинговых исследованиях.

2. Анализировать статистики, используемые в ходе кластерного анализа.

3. Объяснять ход выполнения кластерного анализа, включая формулирование

проблемы,

вы-

бор способа измерения расстояния, выбор метода кластеризации, принятие решения о чис-

ле кластеров,

интерпретацию

и профилирование кластеров.

4. Описывать цель и методы оценивания качества результатов кластеризации.

5. Рассматривать надежность и достоверность результатов

кластеризации.

6. Обсуждать применение неиерархической кластеризации и кластеризации

переменных.

КРАТКИЙ ОБЗОР

помощью

кластерного анализа, как и рассмотренного ранее факторного (глава 19), марке-

тологи проверяют весь набор взаимозависимых связей. В кластерном анализе не проводят раз-

личия между зависимыми и независимыми переменными. Более

того,

проверяются взаимоза-

висимые связи всего набора переменных. Цель кластерного

анализа—

классификация объек-

тов на относительно гомогенные (однородные) группы, исходя из рассматриваемого набора

переменных. Объекты в группе относительно схожи с точки зрения этих переменных и отли-

чаются от объектов в других группах. Если кластерный анализ использовать именно таким об-

разом,

то он становится составной частью факторного анализа, так как снижает число объектов,

а не число переменных, сгруппировывая их в меньшее число кластеров.

В этой главе описана основная идея кластерного анализа. Этапы кластерного анализа

рассматриваются и иллюстрируются в контексте иерархической группировки с помощью

статистического программного пакета. Далее представлено применение не иерархи

чес

кой

кластеризации, которое следует за обсуждением разбиения переменных на кластеры. Начнем

с двух примеров.

СКВОЗНОЙ ПРИМЕР. ВЫБОР УНИВЕРМАГА

Кластерный анализ

Маркетологи разделили респондентов на группы (кластеры), исходя из оценок важности,

которую они

присвоили

каждому критерию выбора универмага. Результаты кластеризации

показали, что респондентов можно разбить на четыре сегмента. Различия между сегментами

были

подвергуты

статистической проверке. Маркетологи обнаружили, что в каждый сег-

мент входили респонденты, относительно однородные по критерию выбора магазина. Затем

отдельно для каждого сегмента разработали модель

выбора

магазина. В результате

маркето-

j логи получили модели выбора

магазина,

достаточно хорошо показывающих то, как проис-

1 ходит выбор респондентами магазинов в конкретных сегментах.

Глава 20. Кластерный

анализ

747

ПРИМЕР. Любители мороженого

Руководство

компании ffaagen-Dazs

Shoppe,

которая имеет около 300

магазинов

по про-

даже мороженого на всей территории

Соединенных

Штатов Америки, искало возможности

привлечения новых покупателей. С этой

целью

было решено провести маркетинговое ис-

следование для определения новых сегментов потенциальных потребителей, за счет которых

можно было бы увеличить объемы продаж. Для решения этой задачи применили геодемо-

графию, т.е. метод кластеризации потребителей, основанный на географических, демогра-

фических характеристиках, а также характеристиках образа жизни. Первоначально провели

исследование для разработки демографических и психографических профилей покупателей

продукции фирмы ffaagen-Dazs, включая частоту покупок, время, дни недели и другие пе-

ременные, связанные с использованием товара. Кроме того, маркетологи получили адреса и

почтовые индексы респондентов. Затем, исходя из метода кластеризации, разработанного

Claritas,

респондентов распределили по 40 геодемографических кластерам. Используя эту

| информацию, компания ffaagen-Da& определила несколько потенциальных групп

потреби-

телей,

которые могли увеличить объем продаж [1].

Пример компании

Haagen-Dazs

иллюстрирует использование кластерного анализа для по-

лучения однородных сегментов с целью формулирования конкретных маркетинговых страте-

гий. В примере с универмагами метод кластеризации использовался для разбивки

респонден-

тов на группы для последующего выполнения многомерного анализа.

СУЩНОСТЬ КЛАСТЕРНОГО АНАЛИЗА

Кластерный анализ представляет собой класс методов, используемых для классификации

объектов или событий в относительно однородные группы, которые называют

мастерами

(clusters). Объекты в каждом кластере должны быть похожи между собой и отличаться от объек-

тов в других кластерах. Кластерный анализ также называют классификационным

анализом

(classification

analysis)

или

численной

таксономией (систематикой) (numerical taxonomy) [2]. Мы

рассмотрим процедуры кластеризации, которые относят каждый объект к одному и только од-

ному

кластеру

[3]. На рис. 20.1 показана идеальная ситуация кластеризации, когда кластеры

четко отделены друг от друга на основании различий двух переменных: ориентация на качество

(переменная 1), и чувствительность к цене (переменная 2),

Переменная 2

Рис.

20,1.

Идеальная

ситуация

кластеризации

Следует отметить, что каждый потребитель попадает в один из кластеров, и перекрываю-

щихся областей нет. С другой стороны, на рис. 20.2 представлена ситуация кластеризации, ко-

торая чаще всего встречается на практике.

748

Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных

•

• •

• . •

..v

•%"•«

.•*.*

Переменная 2

Рис. 20.2. Реальная ситуация

кластеризации

На рис. 20.2 границы некоторых кластеров очерчены нечетко, и отнесение некоторых по-

требителей к конкретному кластеру не очевидно, поскольку многие из них нельзя сгруппиро-

вать в тот или иной кластер.

Кластерный анализ, как и дискриминантный, предназначен для классификации перемен-

ных. Однако в дискриминантном анализе необходима предварительная информация о кла-

стерной (групповой) принадлежности каждого рассматриваемого объекта или события для то-

го, чтобы разработать правило классификации. В отличие от этого, в кластерном анализе нет

необходимости в

предварительной

информации о кластерной принадлежности любого из объ-

ектов. Группы, или кластеры, определяют с

помощью

собранных данных, а не заранее [4].

Кластерный анализ используют в маркетинге для различных целей

[5].

• Сегментация рынка. Например, потребителей можно разбить на кластеры на основе

выгод, которые они ожидают получить от покупки данного товара. Каждый кластер

может состоять из потребителей, которые ищут схожие выгоды [6]. Этот метод назы-

вают сегментаций преимуществ

(benefit

segmentation). Мы проиллюстрируем его на

следующем примере.

ПРИМЕР. Отпускники бывают разными

В исследовании, посвященном моделям принятия решений людьми, проводящими

свой отпуск за рубежом, маркетологи получили от 260 респондентов информацию, ка-

сающуюся

шести

психографических направлений:

психологического,

образовательного,

социального, релаксационного, физиологического и эстетического. Для разбивки рес-

пондентов на психографические сегменты использовали кластерный анализ. Первый

сегмент (53%) состоял из людей с высоким (или близким к нему) уровнем жизни. Эту

группу назвали

"требовательными".

Во вторую группу (20%) входили лица с высоким об-

разовательным уровнем, ее назвали "интеллектуалы". Лица, входящие в

последнюю

груп-

пу (26%), оказались большими любителями релаксации (развлечений). Они получили

низкую оценку по социальной шкале, и были названы

"беглецами"

(от действительно-

сти). Чтобы привлечь отпускников в каждый из сегментов, разработали специальные

маркетинговые стратегии [7].

Глава 20. Кластерный анализ

749

• Понимание поведения покупателей. Кластерный анализ используется для идентифика-

ции однородных групп покупателей. Затем поведение каждой группы при покупке то-

вара изучается отдельно, как, например, в проекте "Выбор универмага". В этом случае

респондентов разбили на группы, исходя из оценок важности, которую они присвоили

каждому критерию, используемому для выбора универмага. Кластерный анализ также

использовали, чтобы определить виды стратегий, применяемых покупателями автомо-

билей для получения внешней информации.

• Определение возможностей нового товара. Кластеризацией торговых марок и товаров

можно определить конкурентоспособные наборы в пределах данного рынка. Торговые

марки в одном и том же кластере конкурируют более

жестхо

между собой, чем с марка-

ми других кластеров. Фирма может изучить свои

текущие

предложения в сравнении с

предложениями своих конкурентов, чтобы определить потенциальные возможности

новых товаров.

• Выбор тестовых

рынков.

Группировкой городов в однородные кластеры можно подоб-

рать сравнимые города для проверки различных маркетинговых стратегий,

• Сокращение размерности данных. Кластерный анализ можно использовать как основной

инструмент сокращения размерности данных при создании кластеров или подгрупп

данных, более удобных для анализа, чем отдельные наблюдения.

Последующий

много-

мерный анализ выполняют над кластерами, а не над отдельными наблюдениями. На-

пример,

чтобы

описать отличия в поведении потребителей по отношению к товарам, их

вначале разбивают на группы. Затем различия между группами проверяют с помощью

множественного

дискриминантаого

анализа.

СТАТИСТИКИ, СВЯЗАННЫЕ С КЛАСТЕРНЫМ

АНАЛИЗОМ

Прежде чем начать разговор о статистиках, соответствующих кластерному анализу, следует

упомянуть о том, что большинство методов кластеризации — относительно простые

процеду-

ры, не требующие изощренных статистических расчетов. Можно даже

сказать,

что методы кла-

стеризации представляют собой эвристические методы, основанные на определенных алгорит-

мах действий исследователя. Тем самым кластерный анализ резко отличается от дисперсионно-

го, регрессионного, дискриминантного и факторного, которые базируются на

обширных

статистических расчетах. Хотя многие методы кластеризации обладают важными статистиче-

скими свойствами, необходимо признать фундаментальную простоту этих методов [8]. Сле-

дующие статистики и понятия связаны с кластерным анализом.

• План агломерации,

объединения

(agglomeration schedule). Дает информацию об объектах

(событиях, случаях), которые должны быть объединены на каждой стадии процесса иерар-

хической кластеризации.

• Кластерный

центроид

(cluster

centroid).

Среднее значение переменных для всех случаев или

объектов в конкретном кластере,

• Кластерные центры (cluster centers). Исходные начальные точки в неиерархической класте-

ризации. Кластеры строят вокруг этих центров, или зерен кластеризации.

• Принадлежность кластеру (cluster membership). Указывает кластер, которому принадлежит

каждый случай или объект.

• Древовидная диаграмма

(дендрограмма)

(dendrogram). Ее также называют древовидный

граф— графическое средство для показа результатов кластеризации. Вертикальные линии

представляют объединяемые кластеры. Положение вертикальной линии на шкале расстоя-

ния (горизонтальная ось) показывает расстояния, при которых объединяли кластеры. Дре-

вовидную диаграмму (рис, 20.8) читают слева направо.

750 Часть

III.

Сбор, подготовка и анализ данных

Расстояния между кластерными центрами (distances between cluster centres). Указывают, на-

сколько разнесены отдельные пары кластеров, Кластеры, которые разнесены широко, ясно

выражены и поэтому желательны.

Сосульчатая

диаграмма (icicle diagram), Это графическое отображение результатов класте-

ризации. Она названа так потому, что имеет сходство с рядом сосулек, свисающих с крыши

дома.

Сосульчатую

диаграмму (рис. 20.7) читают сверху вниз.

Матрица сходства/матрица расстояний между

объединяемыми

объектами

(similarity/distance

coefficient matrix). Матрица сходства (расстояний) — это нижняя треугольная

матрица,

со-

держащая значения

расстояния

между парами объектов или

случаев.

ВЫПОЛНЕНИЕ КЛАСТЕРНОГО АНАЛИЗА

Этапы выполнения кластерного анализа представлены на рис. 20.3.

терпретация

профилирование

кластеров

Рис. 20.3.

Выполнение

кластерного

анализа

Первый этап — формулировка проблемы кластеризации путем определения переменных,

на базе которых она будет проводиться, Затем выбирается соответствующий способ измерения

расстояния. Мера расстояния показывает, насколько

объекты,

подвергнутые кластеризации,

схожи или не схожи между собой. Разработано несколько методов кластеризации, и исследова-

телю необходимо выбрать наиболее подходящий для решения данной проблемы. Решение о

числе кластеров также принимает исследователь. Сформированные кластеры нужно анализи-

ровать с точки зрения переменных, использованных для их получения, а также для профили-

рования кластеров можно использовать дополнительные явно выраженные переменные. И на-

конец, исследователь должен оценить достоверность (качество) процесса кластеризации.

Формулировка проблемы

Возможно, самая важная часть формулирования проблемы кластеризации — это выбор пере-

менных, на основе которых проводят кластеризацию. Включение даже одной или двух посторон-

них (не имеющих отношение к группированию) переменных может исказить результаты класте-

ризации. Задача состоит в том, чтобы выбранный набор переменных смог описать сходство между

объектами с точки зрения признаков, имеющих отношение к данной проблеме маркетингового

исследования.

Переменные

следует выбирать, исходя из опыта прошлых исследований, теории

или тестируемой

гипотезы.

Экспериментатор должен обладать интуицией и уметь делать выводы.

Глава 20. Кластерный анализ

751

Для

иллюстрации

сказанного рассмотрим кластеризацию

потребителей

на основе их отно-

шения к

посещению

магазинов для покупки товаров. Опираясь на прошлый опыт, маркетоло-

ги

определили

шесть переменных. Потребителей попросили

выразить

их степень согласия со

следующими

утверждениями по семибалльной шкале

— не согласен, 7 — согласен):

Посещение магазинов для покупки

товаров

— приятный процесс.

1/2

Посещение магазинов для

покупки

товаров плохо

сказывается

на вашем

бюджете,

^з

Я совмещаю посещение магазинов для

покупки

товаров с питанием вне дома.

1/4

Я стараюсь сделать лучшие покупки при посещении магазинов.

Мне не

нравится

посещение магазинов

для

покупки товаров.

Вы можете сэкономить много

денег,

сравнивая цены в разных магазинах,

Данные, полученные от 20 респондентов, приведены в табл.

20.1.

Таблица 20.1. Данные для кластеризации

Номер

п/п

Уз

.•'

•

-•:

•1

•

;

На практике кластеризацию выполняют для значительно больших по размеру выборок, со-

стоящих из

100

и больше респондентов. Мы взяли небольшую выборку для

иллюстрации

про-

цесса

кластеризации.

Выбор способа измерения расстояния или меры сходства

Цель кластеризация — группирование схожих объектов. Поэтому для того чтобы

оценить,

насколько они похожи или непохожи, необходимо использовать некую единицу измерения.

Наиболее распространенный метод заключается в том, чтобы в качестве такой меры использо-

вать

расстояния

между двумя объектами. Объекты с меньшими расстояниями между собой

больше похожи, чем объекты с большими расстояниями. Существует несколько способов вы-

числения расстояния между двумя объектами [9].

752 Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных

Наиболее часто используемая мера сходства— евклидово расстояние или его квадрат [10].

Евклидово расстояние (геометрическое расстояние в многомерном пространстве) равно квад-

ратному корню из суммы квадратов разностей значений для каждой переменной.

Евклидово расстояние

(euclidean

distance)

Квадратный

корень из суммы квадратов разностей в значениях для каждой переменной

Существуют и другие способы измерения расстояния. Расстояние

городских

кварталов)

(city-block, или

манхэттенское

расстояние (Manhattan distance) между двумя объектами — это

сумма абсолютных разностей в значениях для каждой переменной. Расстояние

Чебышева

(Chebychev

distance)

между двумя объектами — это максимальная абсолютная разность в значе-

ниях для любой переменной. Для нашего примера используем квадрат евклидова

расстояния.

Если переменные измерены в различных

единицах,

то единица измерения влияет на реше-

ние кластеризации. В исследовании, посвященном посещению супермаркетов для покупки то-

варов, переменные, выражающие отношение к посещению магазина, можно измерить по шка-

ле

Лайкерта;

патронаж (постоянство в посещении магазина) можно выразить через частоту по-

сещений магазина в месяц и через сумму, потраченную на покупки; лояльность к торговой

марке — через процент средств, потраченных на покупку товаров в любимом супермаркете.

В этих случаях перед кластеризацией респондентов мы должны нормализовать

данные,

изме-

нив

шкалу

измерения каждой переменной таким образом, чтобы среднее равнялось нулю, а

стандартное отклонение — единице. Хотя нормализация может исключить влияние единицы

измерения, она также уменьшает различия между группами по переменным, которые наилуч-

шим образом дискриминируют (отличают) группы или кластеры. Кроме того, желательно уда-

лить выбросы

(т.е.

случаи с нетипичными значениями) [111.

Использование различных способов измерения расстояния ведет к разным результатам кла-

стеризации. Следовательно, целесообразно использовать различные меры сходства и затем

сравнить результаты. Выбрав меру сходства, затем можно выбрать метод кластеризации.

Выбор метода кластеризации

На рис. 20.4 приведена классификация методов кластеризации.

Методы кластеризации могут быть иерархическими и неиерархическими. Иерархическая

кластеризация (hierarchical clustering) характеризуется построением иерархической, или древо-

видной, структуры.

Иерархическая кластеризация (hierarchical clustering)

Метод кластеризации, характеризующийся построением иерархической, или древовидной,

структуры.

Иерархические методы могут быть

агломеративными

(объединительными) и

дивизивны-

ми. Агломеративная

кластеризация

(agglomerative

clustering) начинается с каждого объекта в от-

дельном кластере. Кластеры объединяют, группируя объекты каждый раз во все более и более

крупные кластеры. Этот процесс продолжают до тех пор, пока все объекты не станут членами

одного единственного кластера.

Агломеративная, или

объединительная,

кластеризация (agglomerative clustering)

Иерархический метод кластеризации, при которой каждый объект первоначально находится

в отдельном кластере. Кластеры

формируют,

группируя объекты каждый раз во все более и

более крупные кластеры.

Разделяющая, или

дивизивная,

кластеризация (divisive clustering) начинается со всех объек-

тов, сгруппированных в единственном кластере. Кластеры делят

(расщепляют)

до тех пор, пока

каждый объект не окажется в отдельном кластере.

Глава 20. Кластерный анализ 753