Моклячук М.П., Ямненко Р.Є. Лекції з теорії вибору та прийняття рішень (на укр. языке)

Подождите немного. Документ загружается.

3. Розв’язати попередню задачу у випадку, коли банкiвськi комiсiйнi

складають 15% i 14% при кредитуваннi приватних осiб i купiвлi

автомобiлiв вiдповiдно.

4. Нафтопереробна установка може працювати в двох рiзних режи-

мах. При роботi в першому режимi з однiєї тонни сирої нафти ви-

готовляється 300 кг темних i 600 кг свiтлих нафтопродуктiв. При

роботi в другому режимi виготовляється 700 кг темних i 200 кг

свiтлих нафтопродуктiв. Щоденно необхiдно виготовляти не мен-

ше 150 т темних, а також не бiльше 70 т свiтлих нафтопродуктiв,

причому виробництво темних нафтопродуктiв не повинно переви-

щувати виробництво свiтлих нафтопродуктiв бiльш нiж у 2,5 разiв.

Скласти план роботи нафтопереробної установки, при якому буде

витрачатися мiнiмальна кiлькiсть нафти.

5. Невелике сiльськогосподарське пiдприємство спецiалiзується на ви-

рощуваннi овочiв, зокрема капусти i томатiв, використовуючи для

цього мiнеральнi добрива (фосфорнi та калiйнi). Норми внесення

мiнеральних добрив пiд кожну культуру i запас добрив у господар-

ствi подано у таблицi.

Норма внесення добрива,

Мiнеральнi кг дiючої речовини/га Запас добрив,

добрива Капуста Томати кг

Фосфорнi 150 400 6000

Калiйнi 500 300 9000

Пiд вирощування овочiв вiдведено земельну дiлянку площею 20

га. Очiкуваний прибуток господарства вiд реалiзацiї 1 ц капусти

становить 50 грн, а 1 ц томатiв – 100 грн. Середня врожайнiсть

капусти в господарствi дорiвнює 300 ц/га, а томатiв – 200 ц/га.

Визначити такий варiант розмiщення культур на земельнiй дiлянцi,

який максимiзує прибуток господарства.

6. Компанiя виготовляє фарбу для внутрiшнiх (

)iзовнiшнiх(F

)

робiт iз сировини двох типiв:

i C

. Наступна таблиця наводить

основнi данi для задачi.

Витрати сировини Максимально

(в тоннах) можливi щоденнi

на тонну фарби витрати

сировини

Сировина C

6 4 24

Сировина C

1 2 6

Прибуток

(в тис. грн) 25 20

на тонну фарби

Вiддiл маркетингу компанiї обмежив щоденне виготовлення фарби

до 2,5 т (внаслiдок вiдсутностi вiдповiдного попиту), а також

поставив умову, щоб щоденне виробництво фарби

не переви-

щувало бiльш нiж на пiвтонни аналогiчний показник виробництва

фарби

. Визначити оптимальне спiввiдношення мiж видами про-

дукцiї для максимiзацiї загального щоденного прибутку.

7. Розв’язати попередню задачу, для якої витрати сировини на виго-

товлення фарби i прибуток заданi у такiй таблицi:

Витрати сировини Максимально

(в тоннах) можливi щоденнi

на тонну фарби витрати

сировини

Сировина C

5 7 18

Сировина C

3 1 9

Прибуток

(в тис. грн) 21 18

на тонну фарби

8. Пiсля проведеної пiдприємством рекламної кампанiї рiзко зрiс по-

пит на два типи мангалiв для приготування шашликiв на вiдкрито-

му повiтрi: газовi мангали та вугiльнi мангали. Пiдприємство може

укласти договiр на щомiсячну поставку в магазини по 250 манга-

лiв кожного типу. Виробництво мангалiв обмежується потужнiстю

дiлянок виготовлення деталей, збирання i упаковки (див. таблицю).

Трудовитрати на Фонд

вугiльний газовий часу

Дiлянка мангал, (год) мангал, (год) (люд.-год)

Виробництво 5 8 2600

Збирання 0,8 1,2 400

Упаковка 0,5 0,5 200

Чи в змозi пiдприємство виконати контракт? Якщо нi, на скiльки

людино-годин i на якiй дiлянцi потрiбно розширити виробництво з

мiнiмальними загальними витратами?

9. Фiрма виготовляє деталi до автомобiлiв, ринок збуту яких практи-

чно необмежений. Будь-яка деталь має пройти послiдовну обробку

на трьох верстатах, час використання яких становить 10 годин на

добу.Тривалiстьобробкиоднiєїдеталiнаведеноутаблицi.

Тривалiсть обробки деталi, хв.

Деталь 1 2 3

A 10 6 8

B 5 20 15

Прибуток вiд гуртової реалiзацiї однiєї деталi кожного виду стано-

вить вiдповiдно 100 та 150 грн.

Визначити оптимальнi добовi обсяги виробництва деталей кожного

виду.

10. Завод побутової хiмiї виготовляє два види прального порошку,

A i

B, використовуючи для цього сировини I та II. Оброблення однiєї

умовної одиницi сировини

I коштує 40 грн, а в результатi виготов-

ляється 0,5 одиницi порошку

A iстiлькижпорошкуB. Оброблення

однiєї одиницi сировини

II коштує 25 грн, а в результатi виготов-

ляється 0,6 одиницi порошку

A i 0,4 одиницi порошку B.Щоденне

виробництво прального порошку

A повинно бути не менше 10 i не

бiльше 15 одиниць. Для виготовлення порошку

B аналогiчнi обме-

ження складають 12 i 20 одиниць. Знайти оптимальну структуру

випуску пральних засобiв.

11. На кондитерськiй фабрицi виготовляють два види схiдних солодо-

щiв, для яких використовують горiхи: мигдаль, фундук i арахiс.

Мигдаль закуповується фабрикою за цiною 15 грн/кг, фундук – 12

грн/кг, а арахiс – 9 грн/кг. Продукт 1 повинен мiстити 12% ми-

гдалю i 28% фундуку, продукт 2 – 25% мигдалю i 15% фундуку.

Цiни готових продуктiв вiдповiдно 14 i 15 грн за кiлограм. Щоден-

но фабрика отримує 33 кг мигдалю, 80 кг фундуку, 60 кг арахiсу.

Скласти оптимальний план виробництва, при якому фабрика отри-

муватиме максимальний прибуток.

12. Консервний завод переробляє за змiну 60 000 кiлограмiв спiлих

помiдорiв (80 коп за кг) в томатний сiк i пасту. Готова продукцiя

пакується в упаковки по 24 банки. Виготовлення однiєї банки соку

потребує одного кiлограма спiлих помiдорiв, а однiєї банки пасти –

третини кiлограма. Заводський склад може прийняти за змiну ли-

ше 2000 упаковок соку i 6000 упаковок пасти. Гуртова цiна однiєї

упаковки томатного соку складає 90 грн, однiєї упаковки томатної

пасти – 45 грн. Знайти оптимальну структуру виробництва кон-

сервного заводу.

13. Фармацевтична фiрма щоденно виготовляє не менше 800 кг деякої

харчової добавки, яка складається iз сумiшi кукурудзяної i соєвої

муки, склад яких наведено у такiй таблицi:

Бiлок Клiтковина Вартiсть

Мука (в кг на кг муки) (грн за кг)

Кукурудзяна 0,09 0,02 1,50

Соєва 0,60 0,06 4,50

Дiєтологи вимагають, щоб у харчовiй добавцi було не менше 30%

бiлка i не бiльше 5% клiтковини. Визначити рецептуру сумiшi най-

меншої вартостi з урахуванням вимог дiєтологiв.

14. Завод виготовляє два види електричних двигунiв, кожен на окре-

мiй складальнiй лiнiї. Продуктивнiсть цих лiнiй складає 600 i 700

двигунiв за день. При складаннi двигуна першого типу використо-

вуються 10 одиниць комплектуючих

K1 i 3 одиницi комплектуючих

K2, а двигуна другого типу – 8 i 7 одиниць комплектуючих K1 i

K2 вiдповiдно. Прибутковiсть двигунiв першого типу складає 300

грн, другого — 200 грн. Визначити оптимальну структуру щоден-

ного виробництва двигунiв.

15. Розв’язати попередню задачу, якщо замiсть комплектуючих виду

K1 i K2 на заводi використовують комплектуючi K3 i K4,яких

необхiдно 5 i 7 одиниць для виготовлення двигуна першого типу

та 11 i 4 одиниць вiдповiдно для виготовлення двигунiв другого

типу.

16. На меблевiй фабрицi зi стандартних листiв фанери потрiбно ви-

рiзати 24, 28 i 18 заготовок трьох розмiрiв. Лист фанери можна

розрiзати двома способами. Кiлькiсть отриманих заготовок i пло-

щу вiдходiв за кожного способу розрiзування одного листа фанери

наведено у таблицi.

Число отриманих заготовок, шт.

Заготовка Спосiб 1 Спосiб 2

1 2 6

2 4 4

3 2 3

Площа вiдходiв, см

12 18

Скiльки листiв фанери та за яким способом слiд розрiзати, щоб

отримати потрiбну кiлькiсть заготовок з найменшими вiдходами?

17. Винзавод виготовляє двi марки сухого вина. Гуртовi цiни, по яким

реалiзується готова продукцiя, рiвнi 12 i 14 грн за лiтр. Iнгредiєн-

тами для виготовлення цих вин є бiле, рожеве i червоне вина, що

закуповуються у Молдавiї по цiнi 15, 10 i 8 грн за лiтр. В середньо-

му на винзавод щоденно надходить 2000 л бiлого, 2500 рожевого

i 1200 л червоного вина. У винi першої марки повинно мiститися

60% бiлого i 20% червоного, а другої марки – 60% червоного i 15%

бiлого. Визначити оптимальне спiввiдношення мiж двома марками

вин.

18. Гiрничо-добувна корпорацiя є власником електрогенеруючої стан-

цiї. Оскiльки ця корпорацiя має багатi запаси вугiлля, на електро-

станцiї для генерування електричного струму використовується ву-

гiлля. Служба захисту навколишнього середовища встановила на-

ступнi обмеження: концентрацiя сiрчастого газу, що викидається

у повiтря, не повинна перевищувати 0,002, кiлькiсть аерозольних

часточок, якi викидаються, не повинна перевищувати 17 кг на го-

дину. Для генерування електричного струму корпорацiя використо-

вує пиловидне вугiлля двох сортiв,

i C

. Перед спалюванням цi

сорти вугiлля змiшуються. Для простоти припустимо, що сiрча-

ста складова у сумiшi вугiлля визначається, як середньозважене

вiд частки вугiлля кожного сорту в сумiшi. Характеристики сортiв

вугiлля наведенi у таблицi.

Сорт Концент- Кiлькiсть аеро- Згенерована,

вугiлля рацiя сiрки зольних часточок потужнiсть

(кг/год) (кг/год)

0,0018 2,1 12000

0,0021 0,9 9000

Знайти оптимальну сумiш вугiлля.

19. Компанiя може рекламувати свою продукцiю на мiсцевому радiо

i телебаченнi. Бюджет на рекламу обмежено сумою 50 000 грн в

мiсяць. Одна хвилина рекламного часу на радiо коштує 75 грн, а на

телебаченнi – 1500 грн. Компанiя вважає, що час реклами на радiо

повинен перевищувати рекламу на телебаченнi не менш нiж удвiчi.

Разом з тим вiдомо, що нерацiонально використовувати бiльше 400

хвилин реклами на радiо в мiсяць. Останнi дослiдження показали,

що реклама на телебаченнi у 25 разiв ефективнiша реклами на

радiо. Необхiдно розробити оптимальний бюджет для реклами.

20. Пiдприємство використовує 3 типи токарних верстатiв,

– T

для виробництва деталей двох видiв:

i D

.Внаступнiйтаблицi

наведенi технологiчнi данi, що характеризують виробництво цих

деталей.

Тип Час обробки одного Фонд маши-

токарного виробу (хвилини) нного часу

верстату D1 D2 (хвилини)

2 5 5300

2 3 5300

3 4 5300

Прибуток вiд

одного виробу, грн 3 6

Знайти оптимальну структуру виробництва для пiдприємства.

21. Магазин продає два види кондитерських виробiв: торти вiдомого

виробника

i торти власного виробництва T

.Прибутоквiдодно-

го торта

становить 55 коп, тодi як прибуток вiд одного торта

власного виробництва – 80 коп. В середньому магазин за день про-

дає не бiльше 200 тортiв обох видiв. Незважаючи на те, що

–

вiдома торговельна марка, покупцi вiддають перевагу тортам

бо вони значно дешевшi. Пiдраховано, що об’єми продажу тортiв

i T

повиннi вiдноситися не менш, як 2:5. Крiм того, вiдомо,

що магазин продає не менше 50 тортiв

в день. Скiльки тортiв

кожного виду повинен мати магазин на початку робочого дня для

максимiзацiї прибутку?

22. Фабрика iграшок виготовляє два види продукцiї: моделi потягiв i

легкових автомобiлiв. При збираннi кожного виду використовую-

ться три типи операцiй. Щоденний фонд робочого часу на кожну

операцiю обмежений граничними величинами 400, 480 i 440 хви-

лин. Прибуток на одну iграшку кожного виду становить вiдповiдно

25 i 15 грн. На кожну iз трьох операцiй при збираннi моделi по-

тяга необхiдно витратити 1, 3 i 1 хвилини робочого часу, а при

збираннi моделi автомобiля – 4, 1 i 3 хвилини вiдповiдно. Знайти

оптимальний план виробництва iграшок.

23. Розв’язати попередню задачу, якщо час, необхiдний на виконання

кожної iз трьох операцiй при збираннi моделi потяга, дорiвнює 2, 1

i 5 хвилинам, а для моделi легкового автомобiля – 4, 0 i 3 хвилинам

вiдповiдно.

24. Птахофабрика вирощує 15 000 курчат. Для того, щоб курчата на-

брали потрiбну для вiдправлення на ринок вагу, на кожного з них

необхiдно витратити 10 кг корму, який задовольняє певнi вимо-

ги до калорiйностi. Для спрощення обмежимось тут лише двома

iнгредiєнтами: вапняк i зерно. Вимоги до якiсного складу рацiо-

ну обмежимо трьома показниками: кальцiєм, бiлком i клiтковиною,

вмiст яких у кормових iнгредiєнтах дано в таблицi:

Вмiст речовини

(кг/кг iнгредiєнту) Цiна

Iнгредiєнт Кальцiй Бiлок Клiтковина (грн/кг)

Вапняк 0,38 0 0 0,6

Зерно 0,002 0,5 0,08 1,2

Кормовий рацiон повинен мiстити не менше 8% i не бiльше 12%

кальцiю та не менше 22% бiлка. Скласти оптимальний кормовий

рацiон, який мiнiмiзує затрати на корми.

25. Пiдприємство виготовляє гаманцi i невеликi рюкзаки. Конструкцiя

обох виробiв передбачає використання шкiри i синтетичних мате-

рiалiв, причому шкiра є дефiцитним матерiалом. У виробничому

процесi використовується 2 види ручної роботи: прошивання i за-

чищення. Скласти оптимальний план виробництва (данi, що хара-

ктеризують виробничий процес, наведенi у таблицi).

Ресурси, необхiднi

для виготовлення Щоденне

одного виробу обмеження

Ресурс Гаманець Рюкзак ресурсу

Шкiра (кв.м) 0,5 2 30

Прошивання (год.) 1,5 2 40

Зачищення (год.) 1 1 45

Вiдпускна цiна (грн) 55 160

26. Пiдприємство електронної промисловостi виготовляє двi моделi ра-

дiоприймачiв, причому кожна модель складається на окремiй техно-

логiчнiй лiнiї. Добовий обсяг виробництва першої лiнiї становить

60, а другої – 70 одиниць. На один радiоприймач першої моделi

витрачається 10 однотипних елементiв електронних схем, а радiо-

приймач другої моделi – 8. Максимальний добовий запас елементiв,

що використовуються у виробництвi, становить 1000 од. Прибуток

вiдреалiзацiїодногорадiоприймачапершоїтадругоїмоделiдорiв-

нює вiдповiдно 165 та 125 грн.

Визначити оптимальнi обсяги виробництва радiоприймачiв обох мо-

делей.

27. Пiдприємство виготовляє двi моделi електронних пристроїв, при

виготовленнi яких використовуються резистори, конденсатори i мi-

кросхеми. Данi, що характеризують виготовлення цих моделей, на-

веденi у таблицi.

Кiлькiсть

комплектуючих Лiмiт ком-

на один вирiб плектуючих

Ресурс Модель 1 Модель 2 (шт.)

Резистор 3 2 1300

Конденсатор 3 1 1400

Мiкросхема 0 5 600

Прибуток на

1вирiб(грн) 10 16

Скласти оптимальний план виробництва.

28. Фiрма спецiалiзується на виготовленнi офiсних меблiв, зокрема во-

на випускає двi моделi збiрних книжкових полиць –

A та B.Поли-

цi обох моделей обробляють на двох верстатах. Тривалiсть обробки

однiєї полицi кожної моделi подано таблицею.

Тривалiсть обробки полицi, хв

Верстати A B

1 30 15

2 12 26

Час роботи верстатiв 1 i 2 становить вiдповiдно 40 та 36 год на

тиждень. Прибуток фiрми вiд реалiзацiї однiєї полицi моделi

дорiвнює 250 грн, а моделi B – 150 грн. Вивчення ринку збуту

показало, що тижневий попит на книжковi полицi моделi

A нiколи

не перевищує попиту на полицi моделi

B бiльш нiж на 30 одиниць,

причому попит на полицi моделi

B не перевищує 80 одиниць на

тиждень.

Визначити обсяги виробництва книжкових полиць обох моделей,

що максимiзують прибуток фiрми.

29. Для того, щоб пошити один вирiб, необхiдно викроїти з тканини

4деталi,

– D

. На швейнiй фабрицi було розроблено два варi-

анти розкрою 10 м

тканини. В таблицi наведенi характеристики

варiантiв розкрою тканини i комплектнiсть, тобто кiлькiсть деталей

певного виду, необхiдних для пошиття одного виробу. Щомiсячнi

запаси тканини для пошиття виробiв даного типу становить 380

. Найближчого мiсяця планується пошити 70 виробiв.

Кiлькiсть деталей, Вiдходи,

Варiант (шт./вiдрiз) (м

/вiдрiз)

розкрою D

1 50 40 0 60 0,5

2 80 25 35 15 0,35

Комплектнiсть,

(шт./вирiб) 1 2 2 1

Побудувати план з пошиття з мiнiмальною кiлькiстю вiдходiв.

30. Пiдприємство виготовляє письмовi столи типiв

A та B.Длявиго-

товлення одного столу типу

A потрiбно витратити 2 м

деревини, а

для столу

B –3м

. Пiдприємство може отримати до 1200 м

дере-

вини за тиждень. Для виготовлення одного столу типу

A необхiдно

12 хвилин роботи обладнання, а столу типу

B –30хв.Обладнан-

ня може використовуватися 160 годин на тиждень. Оцiнено, що за

тиждень може бути реалiзовано до 550 столiв.

Вiдомо, що прибуток вiд реалiзацiї одного письмового столу типу

A становить 150 грн, а типу B – 200 грн. Скiльки столiв кожного

типу необхiдно виготовляти за тиждень?

1.5. СТАНДАРТНА ФОРМА ЗАДАЧI ЛIНIЙНОГО

ПРОГРАМУВАННЯ. БАЗИСНI РОЗВ’ЯЗКИ

Будь-яка задача лiнiйного програмування може бути записана у на-

ступнiй стандартнiй формi:

Знайти точку

x =(x

,...,x

) n-вимiрного простору R

, що задоволь-

няє системi обмежень



j=1

= b

,i=1,...,m; (1.5.1)

≥ 0,j=1,...,n, (1.5.2)

i мiнiмiзує лiнiйну функцiю цiлi

f(x)=(c,x)=



j=1

. (1.5.3)

Тут

– сталi величини, m<n.

Для задачi (1.2.1) – (1.2.5) це здiйснюється таким чином. Обмежен-

ня-нерiвностi перетворюються в обмеження-рiвностi шляхом введення

невiд’ємних змiнних

n+i

таких, що



j=1

± x

n+i

= b

де знак “плюс” береться для нерiвностей типу (1.2.2), а знак “мiнус” –

для нерiвностей типу (1.2.3). Тi iз змiнних

, для яких не виконується

умова (1.2.4), можуть бути представленi у виглядi рiзницi невiд’ємних

змiнних

та x

−

= x

− x

−

Цiльова функцiя (1.2.5) залишається без змiн. Такi перетворення при-

водять до еквiвалентної задачi лiнiйного програмування. Отже, шляхом

збiльшення розмiрностi задачу лiнiйного програмування завжди можна

представити в стандартнiй формi.

Визначимо вектори

=(a

,...,a

)



,j=1,...,n; b =(b

,...,b

)



якi називаються векторами умов. Тодi задачу лiнiйного програмування

(1.5.1) – (1.5.3) можна записати у виглядi



j=1

= b, (1.5.4)

≥ 0,j=1,...,n, (1.5.5)