Мота А.Н. Конспект лекций по начертательной геометрии

Подождите немного. Документ загружается.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КОНСПЕКТ

лекций по начертательной геометрии

I модуль

А. Н. Мота

К. С. Рушелюк

Красноярск

СФУ

2007

Лекция 1 (4 часа)

Тема «Начертательная геометрия и ее роль

в подготовке инженеров»

План

1. Предмет начертательной геометрии.

2. Неопределяемые понятия

3. Взаимодействие геометрических образов

4. Метод проекций

5. Инвариантные свойства ортогонального проецирования.

6. Аксонометрические проекции.

1.1. ПРЕДМЕТ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

В практической деятельности инженера основным средством

для выражения творческих замыслов является создание графи-

ческой модели будущего изделия, которая представляется в

плоском изображении пространственного объекта. Это изобра-

жение должно полностью отражать все основные элементы про-

странственного объекта: форму, положение, размеры, пропор-

ции и пр. Кроме того, оно должно позволять составить об изо

бражаемом объекте наглядное (пространственное) представле-

ние.

Среди различных графических моделей особое место в тех-

нике занимают чертежи. Их строят по определенным законам

так, чтобы по ним можно было воспроизвести все элементы

изображенного объекта.

Начертательная геометрия составляет теоретическую базу

для выполнения чертежа: занимается разработкой методов ото-

бражения пространственных форм предметов и

алгоритмов ре-

шения позиционных, метрических и конструктивных задач.

1.2. НЕОПРЕДЕЛЯЕМЫЕ ПОНЯТИЯ

К неопределяемым понятиям любой геометрии, в том числе

и начертательной, относят точку, прямую, плоскость, расстоя-

ние и множество; они не могут быть определены с помощью

других, более простых понятий. Перечисленные неопределяе-

мые понятия считают основными.

1.3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ

Геометрические фигуры или геометрические образы (ГО)

рассматриваются в курсе начертательной геометрии во взаимо-

действии друг с другом, отраженном в табл. 1. Точка взаимодей-

ствует с точкой; линия с точкой и линией; плоскость — с точ-

кой, линией, плоскостью; поверхность — с точкой, линией,

плоскостью и поверхностью.

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для

отображения отношения между ними, а также для краткости

записей геометрических предложений и алгоритмов решения

задач принимают обозначение и символы, принятые в курсе

математики.

Символы, обозначающие геометрические фигуры и отношения

между ними (первая группа)

1. Геометрическая фигура обозначается — Ф.

2. Точки обозначаются прописными буквами латинского ал-

фавита или арабскими цифрами:

A, В,

С, D … .

1, 2, 3, 4 … .

Таблица 1

Г О

Т о ч к а

Л и н и я П л о с к о с т ь

П о в е р х н о с т ь

Л и н и я

П л о с к о с т ь

П о в е р х н о с т ь

3. Линии, произвольно расположенные относительно плос-

костей проекций, обозначают строчными буквами латинского

алфавита:

a, b, c, d, … ;

окружность с центром в точке О, радиуса R — O (О, R ).

Линии уровня обозначаются: h — горизонталь; f — фронталь.

Для прямых используют также следующие обозначения:

( AВ ) — прямая, проходящая через точки A и В

;

[ AВ ) — луч с началом в точке A;

[ AВ ] — отрезок прямой, ограниченный точками A и В.

4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческо-

го алфавита:

α, β, γ, δ, … .

При указании способа задания поверхности указывают гео-

метрические образы, которыми они определяются, например:

α (а || b) — плоскость α определяется параллельными

прямы-

ми а и b;

Ф ( g, i ) — поверхность Ф определяется образующей g и

осью вращения i;

Сф. (O, R ) — сфера с центром О и радиусом R.

5. Углы обозначаются:

∠ AВС — угол с вершиной в точке В, а также ∠ α°, ∠ β°, ∠ γ

°.

6. Угловая величина (градусная мера) обозначается

знаком , который ставится над углом:

ABC — величина угла AВС;

ϕ° — величина угла ϕ.

Прямой угол отмечается квадратом .

7. Расстояние между геометрическими фигурами обозначает-

ся двумя вертикальными отрезками — || :

AВ

| — расстояние между точками A и В (длина отрезка AВ );

| Aa | — расстояние между точкой A и прямой линией a

;

Aα

| — расстояние от точки A до поверхности α ;

a b

| — расстояние между линиями a и b;

αβ

| — расстояние между поверхностями α и β.

8. Для плоскостей проекций приняты обозначения π

и π

где π

— горизонтальная плоскость проекций;

— фронтальная плоскость проекций.

При замене плоскостей проекций (или введении новых

плоскостей проекций) последние обозначают π

, π

и т. д.

9. Оси проекций обозначают x, y, z, где x — ось абсцисс; y —

ось ординат; z — ось аппликат.

Постоянную прямую Монжа обозначают k.

10. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометри-

ческой фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами),

что и оригинал, с добавлением нижнего индекса соответствую-

щего плоскости проекций, на которой они

получены:

, В

, С

, D

, … — горизонтальные проекции точек;

, В

, С

, D

, … — фронтальные проекции точек;

, b

, c

, d

, … — горизонтальные проекции линий;

, b

, c

, d

, … — фронтальные проекции линий;

, β

, γ

, δ

, … — горизонтальные проекции поверхностей;

, β

, γ

, δ

, … — фронтальные проекции поверхностей.

11. Следы прямых (линий) обозначаются прописными бук-

вами, с которых начинаются слова, определяющие название (в

латинской транскрипции) плоскости проекций, которую пере-

секает линия с нижним индексом, указывающим принадлеж-

ность к линии.

Например: H

— горизонтальный след прямой (линии) а;

— фронтальный след прямой (линии) а.

12. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются строч-

ными буквами латинского алфавита с подстрочным индексом

указывающим на принадлежность плоскости.

Например: h

— горизонтальный след плоскости α;

— фронтальный след плоскости α

13. Последовательность точек линий (любой фигуры) отли-

чаются с помощью верхнего индекса:

, A

, … , A

;

, a

, … , a

;

, α

, … , α

;

, Ф

, … , Ф

и т. д.

Вспомогательная проекция точки, полученная в результате

преобразования для получения действительной величины гео-

метрической фигуры, обозначается той же буквой с подстроч-

ным индексом

, B

, С

, D

, … .

14. Аксонометрические проекции точек, линий, поверхно-

стей обозначаются теми же буквами, что и натура с добавлени-

ем верхнего индекса

, В

, С

, … ;

, 2

, 3

, … ;

, β

, γ

, … .

Взаимодействие ГО рассмотренных в табл. 1 обозначают

символами, представленными в табл. 2.

Таблица 2

№

п/п

Обозначение Смысловые значения Пример символической записи

≡

Совпадают

A ≡ B — точки A и B совпадают;

α ≡ β — плоскость α совпадает с

плоскостью β

2 ~ Подобны

UABC ~ UCDE — треугольники

ABC и CDE — подобны

≅

Конгруэнтны

≅ Ф

— фигура Ф

конгруэнт-

на Ф

4 || Параллельны

a || b — прямые a и b параллель-

ны

⊥

Перпендикулярны

α ⊥ β — плоскости α и β пер-

пендикулярны

•

Скрещиваются

•

d — прямые c и d скрещи-

ваются

Касательные

α I β — поверхность α касается

поверхности β.

а IO (A, R ) прямая a касается

окружности (с центром в точке

A и радиуса R)

→

Отображается

→ Ф

фигура Ф

отображает-

ся в фигуру Ф

9 S

Центр проецирования.

Если центр проециро-

вания несобственная

точка, то его положение

обозначается стрелкой,

указывающей направле-

ния проецирования

–

10 s

Направление

проецирования

–

В табл. 3 приведены символы, отражающие теоретико-

множественные отношения ГО (см. табл. 1).

Таблица 3

№

п\п

Обозначение

Смысловые

значения

Пример символической

записи

Пример символиче-

ской записи

в геометрии

1 M, N Множество — —

2 A, B, C, …

Элементы

множества

— —

{…}

Состоит из

{…}

Ф {A, B, C, …}

фигура Ф состоит

из точек

A, В, С,…

Пустое

множество

L — — множество L

пустое (не содержит

элементов)

—

∈

⊂

Принадлежит,

является

элементом

Включает

содержит

5 ∈ Z (где Z — множе-

ство целых чисел) —

исло 5 принадлежит

множеству целых чи-

сел

N ⊂ Z (где N — мно-

жество натуральных

чисел) — множество N

является частью (под-

множеством) Z

A ∈ а

(или A ⊂ а) — A

инцидентна а, т. е.

точка A принадле-

жит прямой а, или

прямая а про

одит

через точку A.

Объединение

В — множество

С есть объединение

множеств A и B

A U В U С U A =

= UAВС — есть

объединение (со-

единение точек A,

В и С отрезками

прямой линии

Пересечение

множеств

М = К I L — множест-

во М есть пересечение

множеств К и L (со-

держит в себе элемен-

ты, принадлежащие

как множеству К, так

и множеству L)

A = a I b — точ-

ка A есть точка

пересечения пря-

мых a и b.

с I d = прямые c

и d

не пересекают-

ся (не имеют об-

щих точек).

Логические операции между ГО (см. табл.1) представлены

символами в табл. 4.

Таблица 4

№

п/п

Обозначение Смысловое значение Пример символической записи

∧

Конъюнкция предложений;

(соответствует союзу «и»).

Предложение (р

∧

q) истинно

только тогда, когда р и q оба

истинны

α I β = t ;

t = {М

М ∈ α ∧ М ∈ β }

Пересечение плоскостей α и

β есть прямая t — множество

точек, состоящее из всех тех

и только тех точек М, при-

надлежащих как поверхности

α так и поверхности β.

∨

Дизъюнкция предложений;

соответствует союзу «или».

Предложение (p

∨

q) истин-

но, когда истинно хотя бы

одно из предложений p или q

(т. е. или p, или q, или оба)

A ≡ B ∨A

≡ B — точка A совпа-

дает с точкой B или точка A

не совпадает с точкой B

⇒

Импликация — логическое

следствие. Предложение

⇒ q означает: «если p, то

и q»

a || b ∧ c || b ⇒ a || c.

Если две прямые параллель-

ны третьей, то они парал-

лельны между собой.

⇔

Эквивалентность. Предложе-

ние (p ⇔ q) понимается в

смысле: «если p, то и q;

если q, то и p»

A ∈ t ⊂ α ⇔ A ∈ α

Если точка A принадлежит

прямой а, принадлежащей

плоскости α, то она принад-

лежит плоскости α. Справед-

ливо и обратное утверждение:

если точка

A принадлежит

плоскости α, то она принад-

лежит прямой а, располо-

женной в этой плоскости

5 \ Отрицание знака

| а b | = | c d | — расстояние

между прямыми a и b, не

равно расстоянию между

прямыми c и d.

Применяя обозначения и символы, рассмотренные выше,

табл. 1. взаимодействия ГО можно представить в виде табл. 5.

Таблица 5

ГО

○ B

Линия b

Плоскость β

Поверхность Ф

○ A

A ≡B ∨ A ≡ B

Линия а

B ∈

а ∨B ∈ а

а || b ∨ а ≡ b ∨

∨ a I b ∨ a

•

Плоскость α

B ∈α ∨B ∈α

≡

α∨b || α∨b I α α ≡ β∨α || β∨α I β

Поверхность Ф

B ∈Ф

∨B ∈ Ф

b ∈Ф ∨ b I Ф

∨

∨b I Ф

∨b I

I Ф

I β ∨ Ф I β ∨

∨ Ф

I β =

I Ф

∨

∨ Ф

I Ф

∨

∨ Ф I Ф

1.4. СУЩНОСТЬ МЕТОДА ПРОЕКЦИЙ

Любая геометрическая фигура, с точки зрения теории мно-

жеств, рассматривается как множество всех принадлежащих ей

точек.

Изображения геометрической фигуры на плоскости (поверх-

ности) можно получить путем проецирования ее точек на дан-

ную плоскость (поверхность). Эти изображения должны полно

и точно отражать геометрические свойства проецируемой фигу-

ры (оригинала), что обуславливает ряд предъявляемых

к ним

требований.

Наиболее важные из них:

а) обратимость, т. е. возможность восстановить оригинал по

его изображениям;

б) простота графических построений;

в) наглядность.

Изображения, удовлетворяющие этим требованиям, могут

быть получены с помощью метода проекций — основного мето-

да начертательной геометрии. Сущность метода проекций со-

стоит в следующем.

Задают плоскость π

и точку S (S ∈ π

) (рис. 1). Берут произ-

вольную точку A (A ∈ π

) ∧ (A = S ). Через заданную точку S и

точку A проводят прямую (SA) и находят точку A

, в которой

прямая (SA) пересекает плоскость π

. Плоскость π

называют

плоскостью проекций, точку S — центром проекций,

прямую (SA) — проецирую-

щей прямой. Положение

плоскости π

и центра S оп-

ределяют аппарат проециро-

вания.

Очевидно, что фиксиро-

ванный аппарат проецирова-

ния позволяет строить про-

екции не для любой точки

трехмерного евклидова про-

странства. Например, про-

ецирующая прямая (SB) || π

не пересекает плоскость про-

екций (рис. 1). Следовательно, точка B и все остальные точки,

расположенные в плоскости, проходящей через центр проекций

S и параллельной плоскости проекций π

, исключаются из мно-

жества точек трехмерного пространства, для которых возможно

построение проекции на данной плоскости.

Для того чтобы была возможность построения проекции

любой точки при заданном аппарате проецирования, евклидово

трехмерное пространство дополняют несобственными элемен-

тами. Считают, что параллельные прямые пересекаются в бес-

конечно удаленной точке, которую называют несобственной

(рис. 2): a

|| b ∧ a I b =

∞

A . Тогда все несобственные точки, по

которым пересекаются параллельные прямые, расположенные в

параллельных плоскостях, образуют несобственную прямую

∞

u ,

и, следовательно, параллельные плоскости пересекаются по не-

собственной прямой α || β ∧ α I β =

∞

u .

Все несобственные точки

пространства считают принад-

лежащими несобственной (бес-

конечно удаленной) плоско-

сти

∞

γ . Остальные точки про-

странства называют обыкно-

венными или собственными.

Дополненные несобственными

элементами плоскость и про-

странство называют соответст-

венно проективной плоскостью

и проективным пространством.

Рис. 2

Рис. 1