Мота А.Н. Конспект лекций по начертательной геометрии
Подождите немного. Документ загружается.
72
p
2
x
y
z
C
2
A
2
p
1
S
C
1
B
1
B
2
S
2
D
1
B
1
A
1
B
2
E
1
E
2
D
2
S
1
C
1
C
2
D
1
2
2
≡
( D
2
)
A
1
A
2
S
2
S
1
E
1
1
2
≡
( E
2
)
1
1
x
2
1
а б
Рис. 80
Если боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскости
основания, то призма называется прямой. Боковая поверхность
прямой призмы называется проецирующей, если ее боковые
ребра перпендикулярны плоскости проекций (рис. 81, а).
3
2
1
2
≡
( B
2
)
2
2
C
1
A
1
B
1
A
2
C
2
1
1
2
1
≡
( 3
1
)
K
2
L
2
M
2
K
1
≡
K
/
1
M
1
≡
M
/
1
L
1
≡
L
/
1
K
/
2
L
/
2
M
/
2
B
/
1
C
/
1
D
/
1
A
/
1
A
/
2
B
/
2
D
/
2
C
/
2
D
2
D
1
а б
Рис. 81
73
На рис. 81, б даны проекции наклонной призмы
ABCDA
/
B
/
C
/
D
/
, ее боковые ребра не перпендикулярны плоско-
сти основания (AA
/
⊥ ABCD). Видимость ребер призмы опреде-
лена с помощью фронтально конкурирующих точек 1 и B и го-
ризонтально конкурирующих точек 2 и 3.
5.2. СЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКА ПЛОСКОСТЬЮ
Сечение многогранника плоскостью, в общем случае, пред-
ставляет собой плоский многоугольник, вершины которого яв-
ляются точками пересечения секущей плоскости с ребрами
многогранника, а его стороны — линиями пересечения секущей
плоскости с гранями многогранника. Поэтому при построении
сечения многогранника применяют два способа: способ ребер и
способ граней.
Способ ребер
При построении сечения способом ребер определяют вер-
шины многоугольника, каждую из которых находят как точку
пересечения прямой (ребра многогранника) с секущей плоско-
стью. Т. е. многократно решают задачу с применением алгорит-
ма, рассмотренного в 4.4. Определив вершины сечения, их со-
единяют между собой отрезками прямых линий с учетом види-
мости: отрезок виден
, если он принадлежит видимой грани
многогранника; и не виден, если лежит в невидимой грани.
Рассмотрим построение сечения наклонной призмы плос-
костью способом ребер.
ЗАДАЧА. Построить сечение призмы ABCDA
/
B
/
C
/
D
/
плоскостью β (рис. 82).
РЕШЕНИЕ.
1.
AA
/
I β =1;
2.
BB
/
I β =2;
3.
BC I β =3;
4.
DC I β =4;
5.
DD
/
I β =5;
6.
1 U 2 U 3 U 4 U 5 U 1 =12345.
74
1
2
C
1
A
1
B
1
A
2
C
2
B
/
1
C
/
1
D
/
1
A
/
1
A
/
2
B
/
2
D
/
2
C
/
2
D
2
D
1
B
2
3
2
≡
4
2
5
2
2
2
2
1
1
1
3
1
4
1
5
1
b
2
Рис. 82
Плоскость β ⊥ π
2
, поэтому фронтальные проекции вершин
сечения определяют без дополнительных построений, а гори-
зонтальные их проекции 1
1
, 2
1
, 3
1
, 4
1
и
5
1
строят с помощью
вертикальных линий связи на соответствующих проекциях ре-
бер.
Видны горизонтальные проекции [5
1
1
1
] и [1
1
2
1
], так как они
принадлежат видимым граням
/
1
/
111
ADDA
и
/
1
/
111
ABBA
соответ-
ственно. Горизонтальные проекции остальных сторон пяти-
угольника [2
1
3
1
], [3
1
4
1
] и [4
1
5
1
] невидимы, так как горизонталь-
ные проекции граней, которым они принадлежат — невидимы.
Видимые фронтальные проекции [1
2
2
2
] и [2
2
3
2
] отрезков [12 ] и
[23 ], расположенные в гранях АВВ
/
А
/
и ВСС
/
В
/
, закрывают
невидимые проекции [ 1
2
5
2
] и [ 5
2
4
2
], так как все стороны се-
чения принадлежат фронтально проецирующей плоскости β.
Способ граней
При решении задачи способом граней определяют стороны
сечения, т. е. строят линии пересечения граней многогранника
с секущей плоскостью (см. 4.5.).
75
5.3. АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
МНОГОГРАННИКА С ПРЯМОЙ ЛИНИЕЙ
Многогранник со всех сторон ограничен плоскими много-
угольниками (см. 5.1.), т. е. отсеками плоскостей. Следователь-
но, все положения о плоскости верны для поверхности много-
гранника. Точки пересечения многогранника с прямой линией
строят по тому же алгоритму, что и точку пересечения прямой с
плоскостью (см. 4.4.). Отличие лишь в том, что, заключив пря-
мую
во вспомогательную плоскость, строят не прямую, по ко-
торой пересекается данная плоскость со вспомогательной, а
ломаную замкнутую линию m пересечения поверхности много-
гранника со вспомогательной плоскостью (рис. 83).
a
B
C
S
A
A
/
B
/
C
/
l
K
L
m
Рис. 83
АЛГОРИТМ:
1. Заключить прямую во вспомогательную плоскость.
l ⊂ α
2. Построить сечение поверхности многогранника вспомогатель-
ной плоскостью
SABC
I α
=
m
≡
A
/
B
/
C
/
3. Определить точки пересечения заданной прямой с построен-
ным сечением
l
I
A
/
B
/
C
/
=
K, L
76
ЗАДАЧА. Построить точки пересечения призмы
АВСA
/
B
/
C
/
с прямой а и определить взаимную видимость пря-
мой и призмы (рис. 84).
РЕШЕНИЕ.
1.
а ⊂ α ⊥π
2
;
2.
АВСA
/
B
/
C
/
I α = 123;
3.
а I 123 = K, L.
Видимость прямой отно-
сительно поверхности много-
гранника определяют следую-
щим образом:
а) отрезок [KL] между точками
пересечения прямой с поверх-
ностью многогранника всегда
не виден (расположен внутри
многогранника);
б) если проекция точки пере-
сечения прямой с многогран-
ником видима L
2
, K
2
, L
1
), то и
проекция прямой видима от
этой точки пересечения;
в) если проекция точки пересечения прямой с многогранником
невидима (K
1
), то и проекция прямой невидима от этой точки
пересечения до очерковой линии многогранника.
5.4. ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ
Линия пересечения поверхностей двух многогранников, в
общем случае, представляет собой пространственную ломаную
линию. Эта линия может распадаться на две и более отдельные
части, которые могут быть и плоскими многоугольниками
(рис. 85). Вершины линии пересечения двух многогранников
являются точками пересечения ребер одного многогранника с
гранями другого, а звенья (стороны) пространственной лома-
ной —
отрезками линий пересечения граней одного многогран-
ника с гранями другого многогранника (рис. 86).
Исходя из вышесказанного, можно сформулировать порядок
построения линии пересечения многогранников:
1. Построить точки пересечения ребер первого многогранника с
гранями второго.
Рис. 84
3
2
2
2
C
1
B
1
A
2
C
2
1
1
C
/
1
B
/
1
A
/
2
B
/
2
C
/
2
B
2
A
1
A
/
1
a
1
a
2
≡
a
2
L
2
K
2
1
2
2
1
L
1
K
1
3
1
77
2. Найти точки пересечения ребер второго многогранника с гра-
нями первого.
3. Соединить между собой каждые две точки, лежащие в одной
грани одного многогранника и в одной грани другого многогранни-
ка, отрезком прямой линии.
B
C
A
A
/
B
/
C
/
L
K
M
5
K
/
L
/
M
/
2
1
6
3
4
A
B
C
D
E
F
Рис. 85 Рис. 86
Точки пересечения ребер одного многогранника с гранями
другого строят с помощью алгоритма (см. 4.4. и 5.3.).
Видимость отрезков, являющихся звеньями ломаной, опре-
деляют в зависимости от видимости граней многогранников:
если обе грани, которым принадлежит отрезок, видимы, то и
отрезок виден;
если хотя бы одна грань, в которой лежит отрезок, невиди-
ма, то и
отрезок невидим.
ЗАДАЧА. Построить проекции линии пересечения двух
призм (рис. 87).
Наглядное изображение призм, данных в условии задачи,
представлено на рис. 86.
РЕШЕНИЕ.
1.
а) [CC
/
] I LMM
/
L
/
= 1;
б) [CC
/
] I KMM
/
K
/
= 2;
2.
а) [LL
/
] I ACC
/
A
/
= 3;
б) [LL
/
] I BBC
/
B
/
= 4;
в) [KK
/
] I ACC
/
A
/
= 5;
г) [KK
/
] I BCC
/
B
/
= 6;
78
3.
1 U 3 U 5 U 2 U 6 U 4 U 1 = 135264 — пространственная
ломаная, по которой пересекаются призмы АВСA
/
B
/
C
/
и
KLMK
/
L
/
M
/
.
Боковая поверхность призмы АВСA
/
B
/
C
/
— горизонтально
проецирующая, а боковая поверхность призмы KLMK
/
L
/
M
/
—
профильно проецирующая, поэтому построения точек 1 и 2
следует начинать с определения их профильных проекций
1
3
и 2
3
, а построение точек 3, 4, 5 и 6 — с определения их гори-
зонтальных проекций.
L
1
M
1
K
1
L
/
1
K
/
1
M
/
1
6
1
4
1
3
1
5
1
C
1
≡
C
/
1
≡
1
1
≡
2
1
B
1
≡
B
/
1
A
1
≡
A
/
1
B
/
2
C
/
2
1
2
2
2
M
2
L
2
K
2
A
/
2
5
2
6
2
L
/
1
K
/
2
M
/
2
4
2
3
2
B
2
C
2
A
2
C
3
A
3
≡
B
3
L
3
≡
L
/
3
≡
3
3
≡
4
3
K
3
≡
K
/
3
≡
5
3
≡
6
3
C
/
3
M
3
≡
M
/
3
2
3
1
3
A
3
≡
B
/
3
Рис. 87
79
Лекция 6 (2 часа)
Тема «Способы преобразования ортогональных
проекций»
План
1.
Основные понятия и определения.
2.
Способы замены плоскостей проекций.
3.
Способ плоскопараллельного перемещения.
6.1. ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Как уже отмечалось, все многообразие задач начертательной
геометрии делят на позиционные и метрические (см. 1.5.).
Из приведенных примеров (4.1.—4.3.) видно, что задачи ре-
шаются значительно проще в случае задания в условии частного
положения геометрической фигуры относительно плоскости
проекций. Наиболее выгодным частным положением проеци-
руемой фигуры считают:
а) положение, перпендикулярное к плоскости проекций
(
при решении позиционных задач);
б) положение, параллельное по отношению к плоскости
проекции (для метрических задач).
В связи с этим, возникает вопрос. Каким путем получить
удобные проекции для решения задачи по заданным неудобным
проекциям?
Ответ на этот вопрос кроется в изменении взаимного поло-
жения проецируемой фигуры и плоскости проекций. При орто-
гональном
проецировании это изменение осуществляется двумя
путями:
1. Выбором новой плоскости проекций так, чтобы проеци-
руемая фигура (не меняющая своего положения) заняла по от-
ношению к ней частное положение;
2. Перемещением в пространстве заданной фигуры так, что-
бы она заняла частное положение относительно плоскостей
проекций, которые не меняют своего положения.
Первый путь
лежит в основе способа замены плоскостей про-
екций; второй составляет теоретическую базу способа плоскопа-
раллельного перемещения.
80
6.2. СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ. АЛГОРИТМ
ПОСТРОЕНИЯ НОВОЙ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ
Изменение взаимного положения заданной, в условии зада-
чи, геометрической фигуры и плоскостей проекций способом
замены достигается путем перехода от старой системы плоско-
стей проекций к новой системе. Проецируемые фигуры, задан-
ные в пространстве, не меняют своего положения, а заменяется
одна из плоскостей проекций. Новая плоскость проекций рас-
полагается параллельно или перпендикулярно
заданной фигуре
и перпендикулярно оставшейся не замененной плоскости про-
екций.
При этом рассматривают два случая перехода от исходной
1
2
π
π
x
системы плоскостей проекций к новой:
1.
1
2
π
π
x
→
1
3
1
π
π
x
→
4
3
2
π
π
x
→ …
2.
1
2
π
π
x
→
3
2
1
π
π
x
→
3
4
2
π
π
x
→ …
Замена фронтальной плоскости проекций
Рассмотрим переход от системы
1
2
π
π
x
к системе
1
3
1
π
π
x
, т. е.
в исходной системе
1
2
π
π
x
плоскость π
2
заменим на новую фрон-
тальную плоскость проекций π
3
. Пусть в системе
1
2
π
π
x
задана
точка А (А
1
, А
2
) (рис. 88, а и б ), проследим этапы построения
новой фронтальной проекции точки А
3
.
Новая ось проекций х
1
определяется как линия пересечения
плоскости π
1
с плоскостью π
3
. Положение точки А и плоскости
π
1
не меняется, поэтому проекция А
1
точки А остается на месте.
Для построения новой фронтальной проекции А
3
, точку А
нужно спроецировать ортогонально на плоскость π
3
. Так как
точка А и плоскость π
1
не меняют своего положения, расстояние
от точки А до плоскости π
1
, равное аппликате точки А
(рис. 88, а), есть расстояние от новой проекции точки А
3
до
новой оси х
1
:
| АА
1
| = | А
x
А
2
| = |
1
x
A
А
3
|.
81
A
1
A
2
x
p
2
x
y
z
p
3
A
3
A
2
A
3
p
1
A
1
A
x
1
p
3
2
2
p
3
x
1
p
1
A
X
1
A
3
A
X
A
X
p
1
2
2
2
2
A
X
1
1
1
а б
Рис. 88
Чтобы перейти от пространственного чертежа к эпюру, не-
обходимо совместить плоскость π
3
с плоскостью π
1
, как показа-
но на рис. 88, б.
Равенство аппликат |
1
x
A
А
3
| = | А
x
А
2
| у новой А
3
и старой А
2
фронтальных проекций точки А определяет построение новой
фронтальной проекции А
3
точки А, если известно направление
новой оси проекций х
1
:
1) провести новую ось проекций х
1
(на рис. 88, б выбрана
произвольно, так как строится проекция точки);
2) через незаменяемую проекцию точки А
1
провести линию
связи (А
1
1
x
A
) перпендикулярно новой оси проекции х
1
;
3) замерить расстояние | А
x
А
2
| от старой оси x (от оси в ис-
ходной системе) до старой фронтальной проекции А
2
точки А и
отложить его от новой оси х
1
по новой линии связи на поле
плоскости проекций π
3
| А
x
А
2
| = |
1
x
A
А
3
|.
Замена горизонтальной плоскости проекций
Переход от исходной системы
1
2
π
π
x
к новой
3
2
1
π
π
x
осущест-
вляется аналогично случаю замены фронтальной плоскости
проекций, рассмотренному выше. Т. е. новая горизонтальная
проекция А
3
точки А строится в том же порядке. Отличие лишь
в том, что остается без изменения фронтальная плоскость про-