Мота А.Н. Конспект лекций по начертательной геометрии

Подождите немного. Документ загружается.

В проективном пространстве (SB)

∞1

B (рис. 1) и, сле-

довательно, фиксированный аппарат проецирования (S

∧

) по-

зволяет строить проекции для любой точки этого пространства.

Таким образом, любая проекция представляет собой геометри-

ческое место (множество) точек пересечения проецирующих

лучей с плоскостью.

1.4.1. ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Метод центрального проецирования — общий случай метода

проекций. Аппарат проецирования этого метода был рассмотрен

в 1.4. (рис. 1). S — центр проецирования является собственной

точкой пространства. A

— центральная проекция точки A на

плоскость π

. Для любой точки A центральную проекцию строят

по следующему алгоритму:

1. A U S = ( AS )

2. (AS ) I π

= A

Так как через две различные точки (A и S ) проходит единст-

венная прямая, можно сделать вывод: при заданном аппарате

проецирования каждая точка пространства имеет только одну

центральную проекцию.

Обратное утверждение (каждой центральной проекции точки

однозначно соответствует точка в пространстве) не имеет места.

Из рис. 1 видно, что точка A

может быть центральной про-

екцией точек A, A

, A

,…A

, принадлежащих прямой (AS ).

Поэтому одна центральная проекция точки не определяет по-

ложения самой точки в пространстве.

Чтобы определить положение точки необходимо иметь две

ее центральные проекции, полученные при проецировании этой

точки из двух различных центров S и S

(рис. 1). Имея две цен-

тральные проекции A

A можно определить положение точ-

ки A в пространстве. Для этого достаточно провести прямые

S ) и (

A S

) и отметить точку их пересечения:

( A

S ) I (

) = A.

На рис. 1 показано также определение точки C по ее цен-

тральным проекциям

C и

C .

1.4.2. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Параллельное проецирование является частным случаем

центрального проецирования, когда центр проекций помещен в

несобственную точку

∞

S . Положение несобственной точки за-

дают направлением s (рис. 3).

Проекция определяется по тому же алгоритму, что и в слу-

чае центрального проецирования:

1. A

∞

S = (A

∞

S ) ∨ (AA

) || s

;

2. (A

∞

S ) I π

= A

∨ (AA

) I π

= A

Соединить точку A с цен-

тром

∞

S — значит провести

прямую AA

параллельную на-

правлению s.

Очевидно, что при таком

расположении центра проек-

ций все проецирующие прямые

будут параллельны между со-

бой (BB

) || (CC

) ||…|| (A

∞

S )

так как имеют общую несобст-

венную точку, совпадающую с

центром проекций.

Параллельность проеци-

рующих прямых определяет

название — параллельное про-

ецирование, а полученные с его помощью проекции — парал-

лельными проекциями.

Являясь частным случаем центрального проецирования, па-

раллельное проецирование сохраняет все его свойства, поэтому

каждая точка пространства при заданном аппарате проецирова-

ния

будет иметь только одну парал-

лельную проекцию.

Обратное утверждение, как и в

случае центрального проецирования,

места не имеет, так как точка A

(рис. 3) может быть параллельной

проекцией любой точки A

, A

… A

, принадлежащей прямой

∞

S ).

Для определения положения точки

в пространстве необходимо иметь две

Рис. 3

Рис.4

ее параллельные проекции, полученные при двух различных на-

правлениях проецирования.

Положение точки A (рис. 3) определяется пересечением

прямых, проведенных через A

A параллельно соответст-

вующим направлениям s и s

. На рис. 4 показано построение в

пространстве точки В по известным ее параллельным проекци-

ям В

B .

1.4.3. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ

Параллельное (косоугольное) проецирование называется

прямоугольным или ортогональным (от слова orthoqonios — пря-

моугольный, если направление проецирования перпендикуляр-

но плоскости проекций (s ⊥ π

рис. 5).

Прямоугольную (ортогональную)

проекцию точки строят по известному

алгоритму (см. 1.4.2.):

1. (AA

)

⊥ π

;

2. (AA

) I π

= A

Как уже отмечалось, (см. 1.4.2.),

положение точки в пространстве оп-

ределяют две ее параллельные проек-

ции. Через точку можно провести

только одну прямую, перпендикуляр-

ную к плоскости, поэтому для полу-

чения двух проекций одной точки

при ортогональном проецировании

вводят вторую плоскость проекций

(π

= π

) (рис. 6).

При ортогональном проецировании плоскости проекций π

и π

располагают перпендикулярно друг другу (π

⊥π

Множество точек пространства {A, B, C, …} проецируют ор-

тогонально на обе плоскости проекций. Множество

, B

, C

, …} образует поле проекций плоскости π

, называемое

горизонтальной плоскостью проекций, а множество

, B

, C

, …} — поле проекций плоскости π

, называемое фрон-

тальной плоскостью проекций.

При фиксированном положении плоскостей π

и π

каждой

точке пространства A соответствует упорядоченная пара точек

, A

) на полях проекций: A ⇒ (A

, A

Рис. 5

Справедливо и обратное утвержде-

ние — упорядоченной паре точек полей

проекций соответствует единственная

точка пространства (A

, A

) ⇒ A, т. е.

A ⇔ (A

, A

Отмеченное свойство ортогонально-

го проецирования лежит в основе по-

строения чертежа, так как обеспечивает

его обратимость и простоту графиче-

ских построений (см. 1.4.).

Ортогональное проецирование ши-

роко применяется в технике при вы-

полнении машиностроительных черте-

жей.

1.5. ИНВАРИАНТНЫЕ СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНОГО

ПРОЕЦИРОВАНИЯ

При проецировании оригинала на плоскость одни его части

искажаются по форме и размерам, а другие — и на проекции

остаются без изменения. Например, прямая линия при проеци-

ровании на плоскость остается прямой; точка, лежащая на пря-

мой, проецируется в точку, лежащую на проекции той же пря-

мой и т. д.

Свойства оригинала

, которые не изменяются в процессе

проецирования, называют независимыми или инвариантными

(инварианты) относительно выбранного способа проецирования.

Чем больше количество инвариантов имеет метод проециро-

вания, тем проще построение проекций, удобнее осуществление

процесса обратимости чертежа.

Инвариантные свойства имеет любой из способов проециро-

вания. Эти свойства являются опорными при выявлении гео-

метрической характеристики изображенного пространственного

объекта.

Рассмотрим инвариантные свойства ортогонального (прямо-

угольного) проецирования:

1. Проекция точки есть точка:

A → A

Рис.6

2. Если фигура Ф

принадлежит фигуре Ф

, то проекция фигу-

ры Ф

принадлежит проекции фигуры Ф

⊂ Ф

⇒

Ф ⊂

Это свойство называют свой-

ством инцидентности (см. 1.3.,

табл. 3).

Свойство 1 следует из по-

строения проекций точки

(см. 1.4.). Через каждую точку A

проходит единственная прямая

(AA

), которая пересекает плос-

кость проекций π

в единствен-

ной точке A

(рис. 5).

При проецировании линии l,

проецирующие лучи проходящие

через каждую из ее точек, обра-

зуют поверхность α

{а

, а

,а

, … а

}, называемую проецирующей

(рис. 7).

Из свойства 1 имеем:

1 а. Проекция проецирующей поверхности есть линия пересечения

этой поверхности с плоскостью проекций:

α{a

, a

, … a

} ∧ (a

||, a

||,…|| a

⊥π

) ⇒ α

= α I π

= h

Проекция проецирующей поверхности α

(рис. 7), представ-

ляющая собой геометрическое место (множество) точек пересе-

чения проецирующих лучей с плоскостью π

(см. 1.4.), принад-

лежит и поверхности α и плоскости π

, т. е. α

= α I π

Линия пересечения плоскости (поверхности) с плоскостью

проекций называется ее следом (см. 1.3.). В данном случае h

—

горизонтальный след поверхности α, который совпадает с ее,

вырожденной в линию, горизонтальной проекцией:

1 б. Проекция прямой на плоскость есть прямая линия, в частном

случае (когда прямая перпендикулярна плоскости) — точка.

l → l

∨ → H

При проецировании прямой линии (AВ ) (рис. 8) проеци-

рующие лучи образуют плоскость α. Из свойства 1а следует:

= α I π

, но две плоскости пересекаются по прямой, поэтому

— прямая.

Рис. 7

≡

Из свойства 2 имеем:

2 а. Если фигура Ф принадлежит плоскости α, перпендикулярной

плоскости проекций π

(или проецирующей поверхности α), то

проекция этой фигуры принадлежит соответствующему следу

плоскости α (или проецирующей поверхности α):

(Ф ⊂ α)

∧

(α ⊥ π

) ⇒

⊂ h

≡

Рис. 9

В данном случае (рис. 9), π

— горизонтальная плоскость

проекций, следовательно, соответствующий след плоскости α —

горизонтальный (h

Из свойства 1а:

(Ф ⊂ α) ∧ (α ⊥ π

) ⇒ Ф

⊂ α I π

= h

следовательно:

(Ф ⊂α) ∧ (α⊥π

) ⇒ Ф

⊂ h

2 б. Если фигура Ф принадлежит плоскости α, параллельной

плоскости проекций π

, то проекция этой фигуры Ф

на плос-

кость π

конгруэнтна самой фигуре.

(Ф ⊂ α) ∧ (α || π

) ⇒ Ф

≅ Ф

Действительно, пусть α || π

Ф ⊂ α, а Ф

— ортогональная

проекция Ф (рис. 10). При дви-

жении плоскости α параллельно

самой себе по направлению

s ⊥ π

, на расстояние | AA

| фигу-

ры Ф и Ф

совместятся всеми

своими точками, так как

|AA

| = |BB

| = |СС

| = … = |NN

| =

= | απ

|, как отрезки параллельных

прямых, заключенные между па-

раллельными плоскостями. Фигу-

ры, совпадающие при совмеще-

нии всеми своими точками со-

гласно определению (см. 1.3.)

конгруэнтны, т. е. Ф

≅

Свойства ортогонального проецирования лежат в основе

решения задач начертательной геометрии. Множество всех за-

дач, решаемых графическим путем, условно можно разделить на

позиционные и метрические.

Позиционными называют задачи, в результате решения которых

можно получить ответ на вопрос об инцидентности заданных

геометрических фигур.

Метрическими называют задачи, решение которых связано с на-

хождением линейных и угловых характеристик геометрических

фигур.

Решение позиционных задач базируется на инвариантном

свойстве 2 ортогонального проецирования, а решение метриче-

ских задач на свойстве 2б.

1.6. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

Аксонометрические изображения широко применяются бла-

годаря хорошей наглядности и простоте построений.

Слово «аксонометрия» в переводе с греческого означает из-

мерение по осям. Аксонометрический метод может сочетаться и

с параллельным, и центральным проецированием при условии,

что предмет проецируется вместе с координатной системой.

Рис. 10

Сущность метода параллельного аксонометрического проециро-

вания заключается в том, что предмет относят к некоторой

системе координат и затем проецируют параллельными лучами

на плоскость вместе с координатной системой.

На рис. 11 показана точка A,

отнесенная к системе прямо-

угольных координат xyz, s опре-

деляет направление проециро-

вания на картинную плос-

кость π

(плоскость аксономет-

рических проекций).

Для создания аксонометри-

ческой (в нашем случае парал-

лельной) проекции точки A

проведем через нее проеци-

рующий луч (параллельный на-

правлению s) и найдем пересе-

чение его с плоскостью π

точке A

. Это построение пока-

зывает, что при заданном на-

правлении проецирования каж-

дой точке A пространства на

плоскости проекций соответст-

вует определенная точка A

Но обратно, как известно, утверждать нельзя. Действитель-

но, каждой точке A

на плоскости π

соответствует любая точка

проецирующего луча (A

A].

Для того чтобы устранить эту неопределенность и обеспе-

чить взаимную однозначность между точками пространства и

точками картинной плоскости, поступают следующим образом:

на плоскость π

проецируют не только точку A, но и одну из ее

ортогональных проекций (обычно горизонтальную проек-

цию A

Аксонометрическую проекцию

A горизонтальной проекции

точки A принято называть вторичной проекцией. Этот термин

хорошо выражает тот факт, что точка

получается в результа-

те двух последовательных проецирований.

Рассмотрев рис. 11, можно сделать вывод о том, что если за-

даны система координат xyz, направление проецирования s и

плоскость π

, то аксонометрическая проекция точки и ее вторич-

Рис. 11

ная проекция однозначно определяют положение точки в про-

странстве. Действительно, проведя через вторичную проекцию

A точки A прямую, параллельную s и определив точку пересе-

чения этой прямой с координатной плоскостью xOy найдем го-

ризонтальную проекцию A

точки A. Положение же точки A в

пространстве определяется пересечением двух прямых A

A и

A, первая из которых проходит через A

параллельно s, а вто-

рая — через A

перпендикулярно плоскости xOy.

На плоскости картины π

(рис. 11) показана и аксонометри-

ческая проекция осей координат — плоская система x

. В

общем случае длина отрезков осей координат в пространстве не

равна длине их проекций.

Искажение отрезков осей координат при их проецировании

на плоскость π

характеризуется, так называемым, коэффициен-

том искажения.

Коэффициентом искажения называется отношение длины аксо-

нометрической проекции отрезка оси к его истинной длине.

Так, коэффициент искажения по оси x

Ох

хО

, по

оси y

Оy

yО

и по оси z

Оz

zО

(см. рис. 11).

В зависимости от соотношения коэффициентов искажения

аксонометрические проекции могут быть:

1) изометрическими, если коэффициенты искажения по

всем трем осям равны между собой; в этом случае

000

zyx

KKK ==

;

2) диметрическими, если коэффициенты искажения по двум

любым осям равны между собой, а по третьей — отличаются от

первых двух;

например,

000

zyx

KKK

;

3) триметрическими, если все три коэффициента искажения

по осям различны, т.е. когда

000

zyx

KKK

Аксонометрические проекции различаются также и по тому

углу ϕ (рис. 11), который образуется проецирующим лучом с

плоскостью проекций π

. Если ϕ° = 90°, то аксонометрическая

проекция называется косоугольной, а если ϕ° = 90° — прямо-

угольной.

Естественно, что изометрические, диметрические и тримет-

рические проекции могут быть как прямоугольными, так и ко-

соугольными.

Зная коэффициент искажения и

свойства взаимного расположения

точек, линий и плоских фигур, ко-

торые сохраняются при их парал-

лельном проецировании можно по-

строить аксонометрическое изобра-

жение точки A. Это изображение

определяется как граничная точка

координатной ломаной, состоящей

из отрезков

, отложен-

ных от начала аксонометрических

осей О

на соответствующих прямых

параллельных этим осям (рис. 12)

или совпадающих с ними:

AAAO

Построение координатной ломаной требует измерения трех

прямоугольных координат точки x, y, z, перевода их при помо-

щи коэффициентов искажения в аксонометрические и вычерчи-

вания этой ломаной, при построении которой попутно строится

и одна из вторичных проекций

точки A.

Основная теорема аксонометрии

При построении параллельной аксонометрической проекции

можно произвольно выбрать плоскость проекций π

и направ-

ление проецирования. Очевидно, любое изменение взаимного

положения осей координат и плоскости проекций и всякое из-

менение положения аксонометрических осей вызовет как изме-

нение положения аксонометрических осей, так и коэффициен-

тов искажения по ним.

Геометр XIX века К. Польке в 1853 г., изучая вопрос о том,

в какой зависимости находятся направления

аксонометрических

осей и коэффициенты искажения по ним от направления про-

ецирования и положения плоскости проекций, пришел к сле-

дующему выводу.

Теорема Польке. Три произвольно выбранных отрезка

, О

на плоскости π

, выходящие из одной точки, представляют

Рис. 12