Натареев С.В. Моделирование и расчет процессов химической технологии

Подождите немного. Документ загружается.

. (3.5.3)

Граничные условия (по Данквертсу):

Нх

GвхG

Dvv

+θ=θ ; (3.5.4)

; (3.5.5)

0х

LвхL

Dww

−θ=θ ; (3.5.6)

. (35.7)

Здесь

- концентрация целевого компонента в газе и жидкости,

- равновесная концентрация целевого компонента в газе, v и w – скорость

потока газа и жидкости, K

– коэффициент массопередачи, Г – постоянная

Генри, х – продольная координата, Н – высота насадки, индексы: вх –

входящий, вых – выходящий.

Для нахождения функций )x(

и )x(

достаточно решить одно

уравнение (3.5.2). Функцию )x(

, после того как найдена функция )x(

можно найти из уравнения материального баланса:

)(L)(G

LвыхLGвхG

−

, (3.5.8)

где G и L – массовые расходы газа и жидкости.

Используем в уравнении материального баланса (3.5.2) уравнение

равновесия (3.5.3) и введем следующие переменные:

LвхL

−

;

Pe = ;

HГK

E =

;

z = . (3.5.9)

Уравнение материального баланса по жидкой фазе и соответствующие

граничные условия примут вид:

0EN

=−− ; (3.5.10)

вх

−= ; (3.5.11)

. (3.5.12)

Общее решение дифференциального уравнения (3.5.10) имеет вид:

eAeAN += , (3.5.13)

где r

, r

– корни характеристического уравнения:

0ErPer

=−− , (3.5.14)

т.е.

2,1













±= . (3.5.15)

Константы А

и А

найдем, используя граничные условия.

Подстановка z=0 и N=1 в (3.5.11) дает:

( )

вх221121

NArAr

AA =+−+ . (3.5.16)

Удовлетворим решение (3.5.10) условию (3.5.12):

0eAreAr

=+ . (3.5.17)

Решая совместно уравнения (3.5.16) и (3.5.17), находим:













−+−

−=

2вх

Ре

1er

erN

; (3.5.18)

вх

Ре

−+−

= . (3.5.19)

Подставим значения А

и А

в уравнение (3.5.13) и запишем решение

задачи в прежних переменных:

rrr

вхLmaxL

LmaxL

Ре

1122

−+−

−

θ−θ

+−

. (3.5.20)

На рис. 3.8 представлен пример расчета кривых изменения концентрации

целевого компонента в жидкой и газовой фазах по высоте насадочного

абсорбера, выполненный в системе Mathcad.

Рис. 3.8. Пример расчета насадочного абсорбера

Окончание рисунка 3.8

Из приведенных на рис. 3.8 кривых видно, что концентрация целевого

компонента в жидкости на входе в абсорбер в случае расчета при граничных

условиях по Данквертсу уменьшается скачкообразно по причине влияния

продольного перемешивания.

3.5. Каскад адсорберов емкостного типа с мешалками

В каскаде емкостных аппаратов одинакового объема протекает

непрерывный прямоточный процесс очистки раствора с помощью адсорбента

(рис. 3.9). Общее количество аппаратов в каскаде равно m. В первый аппарат

каскада поступают раствор с объемной скоростью Q и концентрацией С

вх

, а

также адсорбент с объемной скоростью Q и с начальным содержанием

целевого компонента

вх

C .

Рис. 3.9. Схема движения фаз в каскаде реакторов

При постановке математической модели сделаем следующие допущения:

равновесие в системе адсорбент-раствор описывается уравнением линейной

изотермы адсорбции, скорость процесса определяется смешенной диффузией,

перемешивание жидкой и твердой фаз является идеальным, частицы адсорбента

имеют сферическую форму со средним диаметром 2r

Введем в рассмотрение безразмерное время:

=θ

. (3.6.1)

С учетом формулы (3.6.1) запишем уравнение для расчета средней

концентрации целевого компонента в адсорбенте на выходе из i-го аппарата:

() ()

θθ

∫

θ=

∞

dCfC

icp

iвых

. (3.6.2)

Для описания структуры потоков используем ячеечную модель. Функция

распределения времени пребывания частиц адсорбента имеет вид:

()

( )

θ−θ

−

=θ

−

mexp

!1m

, (3.6.3)

где m − число ячеек.

В качестве уравнения кинетики используем решение задачи о поглощении

целевого компонента частицей сферической формы при граничных условиях

первого рода [2], которое запишем с учетом введения безразмерного времени

(3.6.1):

∑

∞













τµ

−−=

−

−θ

i0эф

iвх0

iвхicp

expA1

C)(C

, (3.6.4)

где

= ,

, а

– предельное значение адсорбции,

эф

D –

коэффициент диффузии в адсорбенте, r

– радиус частицы..

Подставляя (3.6.3) и (3.6.4) в уравнение (3.6.2) и применяя формулу

(

)

zp1k

!1k

dzez

−

∫

∞

−−

, (3.6.5)

получаем

∑













τµ

−=

−

∞

=1n

icpэф

iвх0

iвхiвых

. (3.6.6)

Уравнение (3.6.6) позволяет рассчитать степень отработки зерна

адсорбента на выходе из i–го аппарата каскада.

Замыкает математическое описание процесса уравнение материального

баланса:

(

)

(

)

iвхiвыхiвыхiвх

СCQСCQ −=−

. (3.6.7)

На рис. 3.10 приведен пример расчета каскада емкостных аппаратов,

выполненный в системе Мathcad.

Рис. 3.10. Пример расчета каскада адсорберов

3.6. Адсорбер с неподвижным слоем адсорбента

Рассмотрим процесс адсорбции целевого компонента из парогазовой

смеси в аппарате с неподвижным слоем адсорбента (рис. 3.11).

Рис. 3.11. Адсорбер с неподвижным слоем адсорбента:

1 – корпус, 2 – опорная решетка, 3 и 4 – верхнее и нижнее

распределительные устройства, 5 - слой адсорбента

Предполагаем, что слой адсорбента высотой Н является

монодисперсным. Он состоит из зерен сферической формы с диаметром 2r

имеющих однородную изотропную структуру. В момент времени, принятый

за начальный, распределение концентрации целевого компонента в твердой

(

C )и газовой (С

) фазах по высоте аппарата является равномерным. Во время

работы аппарата парогазовая смесь с объемной скоростью Q и исходной

концентрацией С

вх

поступает через верхнее распределительное устройство,

равномерно распределяется по поперечному сечению аппарата и проходит

сквозь слой адсорбента. Допустим, что движение парогазовой смеси в

аппарате является одномерным и зависит от координаты x. Изменение

концентрации целевого компонента в парогазовой смеси происходит за счет

его движения с некоторой средней по сечению аппарата скоростью v,

продольного перемешивания сплошной фазы и процесса адсорбции между

адсорбентом и парогазовой смесью. Очищенная парогазовая смесь выводится

из аппарата через нижнее распределительное устройство. Скорость процесса

адсорбции лимитируется внутренней диффузией. Равновесие процесса

описывается уравнением линейной изотермы Генри.

С учетом принятых допущений составим математическое описание

процесса. Математическая модель включает следующие уравнения:

уравнение материального баланса:

ср

∂

τ∂

∂

τ∂

∂

;

(3.6.1)

- уравнение кинетики диффузии в сферическую частицу:













∂

τ∂

∂

эф

;

(3.6.2)

начальные и граничные условия:

C),x(C

=τ

;

(3.6.3)

вх

C),x(C =τ

(3.6.4)

),x(C

∂

;

(3.6.5)

C)r,(C =τ

=τ

;

(3.6.6)

ГС)r,(C

=τ

;

(3.6.7)

)x,(C

∂

τ∂

(3.6.8)

- уравнение связи между локальной концентрацией вещества в частице

)x,r,(C τ и средним ее значением )x,(C

ср

τ :

∫

τ=τ

ср

dr)x,r,(Cr

)x,(C

(3.6.9)

Здесь С – концентрация целевого компонента в парогазовой смеси; C -

концентрация целевого компонента в адсорбенте; D

– коэффициент

продольной диффузии, r – радиальная координата внутри зерна адсорбента; х

текущая координата по высоте слоя адсорбента; τ – время. Индексы: ср –

средний; о – начальный.

Концентрации С и

C рассчитаны на единицу объема слоя и связаны с

традиционными концентрациями, отмеченными штрихом, соотношениями:

;

cpcp

C)1(C ε−= . Здесь ε – порозность слоя.

Второе слагаемое левой части уравнения (3.6.1) представляет собой сток

вещества из парогазовой фазы в твердую фазу за счет физической адсорбции.

Величина этого стока может быть найдена путем решения системы

уравнений (3.6.2), (3.6.6) – (3.6.9) по аналогии с известной задачей о переносе

теплоты в сферической частице [2]. Опуская громоздкий вывод, запишем

решение искомой задачи в новых переменных:













τπ

−

∑

−

∞

эф

cp0

expВ

(3.6.10)

Здесь а

– предельное значение адсорбции.

Заменим второе слагаемое в левой части уравнения (3.6.1) с учетом

(3.6.10) следующим образом: