Новиков А.И. Тригонометрические функции, уравнения и неравенства. Пособие для поступающих
Подождите немного. Документ загружается.
48. xsinxcosy
−
=
. 49. x3cos3x3cos2y
2
−= .
50.
xcos
3y
−
= . 51.
tgx
3y
−
= . 52. xcos2xsin37y
2
−−= .
53
*
. Найдите локальные экстремумы и множество )y(E
значений функции ecxcos
2
1
xsiny += .
Пункт 1.2.6
Постройте графики функций
54.
xcos3xsiny +=
. 55. xcosxsiny += .
56. xsin2y −= . 57.
2
xsiny
π
−= . 58.
xtg1
xsin
y
2
+
= .
59.
xcos1
2
x
cos2
y
+
= . 60.
x2cos1
x2sin2
y
−
= .
61. xsincosxcosxsiny += . 62. ecxcos
2
1
xsiny += .
1.4. Ответы
1. а)
2
1
; б)
2
1
− ; в)
3
1
−
; г)
3
1
−
; д)
2
3
− ; е) -2.
2. а)
2
3
; б)
2
3
; в)
1
−
; г) 2; д) 2.
3.
π
3
2
π
4
3
π
6
5
π
6
7
π
4
5
π
3
4
π
3
5
π
4
7
π
6
11
120
0
135
0
150
0
210
0
225
0
240
0
300
0
315
0
330
0
4. 390
0
450
0
510
0
570
0
600
0
780
0
π
6
13
π
2
5
π
6
17
π
6
19
π
3
10
π
3
13
810
0
840
0
900
0
930
0
1000
0
π
2
9
π
3
14
π
5
π
6
31
π
9
50
5. π=
2
5
l см;
π
=
15S
см
2
. 6.
;
6
5
π=α
(
)
.
3
354
S
−
π
=
7. π=∠
24
13
A ; π=∠
8
5
B ; π=∠
24
11
C ; π=∠
8
3
D .
8. а)
[
]
ππ 2; ; б)
[
]
ππ3;2 ; в)
[
]
ππ5;4 ; г)
[
]
ππ8;7 ; д)
[
]
ππ11;10 .
9.
0A
<
. 10.
0A
>
. 11.
0A
>
. 12. 3− . 13. -2. 14. 0.
15. а)
22
12 +
; б)
22
12 −
; в)
12 −
. 16. 6сos
−
. 17.
2
1
. 18. -1.
19. а), б) – четные; г), д) – нечетные.
20. а) четная при 0b,Ra
=
∈
, нечетная при 0a,0b
=
≠
;
б) четная при ;Rb,Ra
∈
∈
в) нечетная при
0ba
22
≠+
;
г) четная при ,0b,Ra
=
∈
нечетная при .0a,Rb
=
∈
21. б), д), е) – четные; в), г) – нечетные. 22.
.1a
=
23. 1a < .
24. 1a = . 25. а) π
19
6
; б)
4
π
; в) π
2
5
; г)
11
π
.
26. а)
π
15
; б) π
2
9
; в)
3
π
.
27. а)
π
; б)
π
; в)
π
; г)
π
=
T
при n четном;
π
=
2T
при n
нечетном. 28. а) не является периодической; б)
4
T
=
;
в) не является периодической; г)
π= 2T
.
29. а)
π
12
; б)
2
9
; в) π
5
3
; г)
2
9
.
30. а)
ππ
+
π
−
2
n
;
2
n
4
,
Z
n
∈
,- интервалы возрастания;
π
+
ππ
2
n
4
;
2
n
,
Z
n
∈
,- интервалы убывания;
Zn,
2
n
4
x ∈
π
+
π
−= ,- точки локальных минимумов;
Zn,
2
n
x ∈
π
= ,- точки локальных максимумов;
б)
π
+
ππ
+
π
−
2
n
12
;
2
n
6
,
Z
n
∈
,- интервалы возрастания;
π
+
ππ
+
π
2
n
3
;
2
n
12
,
Z
n
∈
,- интервалы убывания;
Zn,
2
n
6
x ∈
π
+
π
−= ,- точки локальных минимумов;
Zn,
2
n
12
x ∈
π
+
π
= ,- точки локальных максимумов.
31. 6cos,1cos,5cos,8cos,3cos
(
)
6cos1cos5cos8cos3cos <<<< .
32. а) ;41ctg,41cos,41sin
000
б) ;53tg,53sin,53cos
000
в) .230cos,230sin,230tg
000
33. .43ctg,46tg,43cos,46sin,142tg,148ctg
000000
34.
π−−
45
34
tg;2cos . 35.
π
90
113
tg;2sin .
36.
[
]
2tg;3
3
2
;0 ∪
. 37.
3
19
y;2y
maxmin
=−= .
38.
[
]
7;1E
y
−= . 39.
(
]
[
)
+∞∪−∞− ;22; . 40.
(
]
[
)
+∞∪−∞− ;31; .
41.
[
]
1;3 −− . 42.
[
]
5;1 . 43.
[
]
0;1− . 44.
[
)
+∞∪
;8
2
1
;0 .
45.
(
]
[
)
+∞∪−∞− ;11; . 46.
(
]
[
)
+∞∪−∞− ;12; .
47.
(
]
[
)
+∞∪ ;21;0 . 48. 2y
.наим
−= ; 2y
.наиб
= .
49.
8
9
y
.наим
−= ; 5y
.наиб
= . 50.
3
1
y
.наим
= ; 1y
.наиб
= .
51.
.наим
y не достигается; 1y
.наиб
= .
52. 3y;
3
11
y
.наиб.наим
== .
53. 2y
min
= в точках Zn,n2
4
2
x ∈π+
π
±
π
= ;
2
3
y
min
−= в точках Zn,n2
2
x ∈π+
π
−= ;
2y
max
−= в точках Zn,n2
4
2
x ∈π+
π
±
π
−= ;
2
3
y
max
= в точках Zn,n2
2
x ∈π+
π
= .
(
]
[
)
+∞∪−∞−= ;22;E
y
.
54.
π
+=+=
3
xsin2xcos3xsiny
(рис. 1.21)
55. Указание. Функция сosxxsiny += является четной и
периодической с основным периодом
π
=
T
. Построить график
функции на отрезке
[
]
π;0 и затем продолжить периодически на
всю числовую ось (рис. 1.22).
56. Рисунок 1.23.
57. Рисунок 1.24
58. xcosxsin
xtg1
xsin
y
2
⋅=
+
= , n
2
x π+
π
≠ ,
Z
n
∈
(рис. 1.25.
59.
==
+
=
2
x
сos
2
x
сos
xcos1
2
x
сos2
y
∈π+π<<π+π−
∈π+π<π+π−
=
.Zn,n23xn2,1
,Zn,n2n2,1
(рис. 1.26).
60.
xcos
xsin
xsin
2
x2cos1
x2sin2
y ⋅=
−
=
(рис. 1.27).
61. Рисунок 1.28.
62. Рисунок 1.29 (см. пример 1. 25).
2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ,
ТОЖДЕСТВА И ВЫЧИСЛЕНИЯ
2.1. Тригонометрические формулы
Успех решения тригонометрических уравнений и
неравенств, доказательства тригонометрических тождеств и
решения вычислительных задач в значительной мере
определяются знанием основных формул тригонометрии. Это
непростая задача для каждого изучающего тригонометрию,
потому что только основных формул тригонометрии более 30.
Одновременно необходимо знать различные приемы
преобразования тригонометрических выражений из одного вида
в другой (тригонометрические тождества).
Данное замечание в полной мере относится и к обратным
тригонометрическим функциям (раздел 3.2) и связанным с ними
формулам. Это еще больше увеличивает формульную базу
тригонометрии. Поэтому каждому, кто начинает изучать
расширенный курс тригонометрии, нужно настроиться на
серьезную и систематическую работу. Правильный путь
изучения и запоминания формул тригонометрии заключается в
последовательном выводе этих формул. Механическое
заучивание формул приводит к тому, что они быстро
забываются и перемешиваются в сознании.
Замечание 1. Следуя сложившейся традиции, будем
обозначать аргументы тригонометрических функций в
приводимых ниже формулах буквами
γ
β
α
,, греческого
алфавита, а не латинского
z
,
y
,
x
, что вытекает из логики
обозначений, которые использовались в первом разделе.
Замечание 2. Для придания тригонометрическим формулам
лучшей читаемости будем записывать их без указания
допустимых значений входящих в них аргументов.
1. Соотношения между тригонометрическими функциями
одного аргумента
1cossin
22
=α+α
(2.1)
α
α
=α
α
α
=α
sin
cos
ctg;
cos
sin
tg (2.2)
α+=
α
2
2
tg1
cos
1
(2.3)
α+=
α
2
2
ctg1
sin
1
(2.4)
2. Тригонометрические функции суммы и разности углов
(
)
βα+βα=β+α sincoscossinsin
(2.5)
(
)
βα−βα=β−α sincoscossinsin
(2.6)
(
)
βα−βα=β+α sinsincoscoscos
(2.7)
(
)
βα+βα=β−α sinsincoscoscos
(2.8)
( )
βα
β
±
α
=β±α
tgtg1
tgtg
tg
m
(2.9)
3. Тригонометрические функции двойного и тройного
аргументов
α
α
=
α
cossin22sin
(2.10)
α−α=α
22
sincos2cos
(2.11)
1cos22cos
2
−α=α
(2.12)
α=α
2
2sin-1cos2
(2.13)
α−
α
=α
2
tg1
tg2
2tg
(2.14)
α−α=α
3
sin4sin33sin
(2.15)
α−α=α cos3cos43cos
3
(2.16)
4. Формулы понижения степени