Новиков А.И. Тригонометрические функции, уравнения и неравенства. Пособие для поступающих
Подождите немного. Документ загружается.
2. Если уравнение
(
)
0xf = , где
(
)
xf - непрерывная
нечетная функция, имеет корни, то их количество является
нечетным числом.
1.2.4. Периодичность тригонометрических функций
Решение задач данного пункта основано на определении и
свойствах периодической функции.
Определение 1.6. Число
0T
≠
называется периодом
функции
(
)
Xx,xfy ∈= , если для любого
X
x
∈
значения
T
x
−
и
T
x
+
также принадлежат
X
и выполняются равенства
(
)
(
)
(
)
TxfxfTxf +==− .
Функция
(
)
xf в этом случае называется периодической с
периодом
T
.
Отметим, что, если
T
-период функции
f
, то каждое число
,...,T3,T2
±
±
также является периодом этой функции.
Определение 1.7. Наименьшее положительное число
T
будем называть основным периодом функции
f
.
Из определения периодической функции следует, что
а) ее областью определения является либо вся числовая
прямая, либо объединение бесконечного числа промежутков
одинаковой длины, кратной основному периоду. Так, например,
R)x(cosD)x(sinD
=
=
,
Zk),k
2
;k
2
()x(secD)tgx(D ∈π+
π
π+
π
−== U , т. е. область
определения функций
tgx
y
=
и
x
sec
y
=
является
объединением бесконечного числа интервалов длины
,
π
равной
основному периоду функции
tgx
y
=
или половине основного
периода функции
.
x
sec
y
=
б) любое значение
0
y из области значений )y(E
периодическая функция принимает бесконечное число раз.
Поэтому график периодической функции является
объединением бесконечного числа следующих друг за другом
(периодически повторяющихся) одинаковых фрагментов.
Свойства.
1. Если функция
(
)
xf является периодической с основным
периодом
0T
>
, то функция
(
)
baxf + ,
0a
≠
также является
периодической с периодом
a
T
T
1
= .
2. Если функции
(
)
xf и
(
)
xg являются периодическими с
основными периодами
1
T и
2
T соответственно и при этом
числа
1
T и
2
T соизмеримы, то функция
(
)
(
)
xgbxfay += ,
Rb,a
∈
, 0b,0a
≠
≠
, также будет периодической с основным
периодом
T
, кратным числам
1
T и
2
T . Соизмеримость чисел
1
T и
2
T означает, что существуют
Nn
∈
и
Nm
∈
такие, что
TmTnTT
21
=== и
n
,
m
взаимно просты.
Определение периода
T
линейной комбинации
(
)
(
)
xgbxfa +
двух периодических функций
(
)
xf и
(
)
xg эквивалентно нахождению отрезка минимальной
длины
T
, в котором целое число раз укладывается каждый из
отрезков длин
1
T и
2
T (рис. 1.11).
3. Если
(
)
xf - дифференцируемая периодическая функция с
основным периодом
T
, то и ее производная
(
)
xf
′
будет
периодической функцией с тем же периодом
T
.
Пример 1.14. Являются ли периодическими следующие
функции а)
[
]
xy = ,
R
x
∈
; б)
{
}
;Rx,xy ∈=
в
*
)
(
)
;Zk,1k10xk10,k10xy ∈+<≤−=
г)
[
]
ππ−∈= 100;100x,xsiny
и если да, то определите их основные периоды.
Решение: а) Функция
[
]
xy = называется целой
частью действительного числа
x
или «антье от
x
». По
определению целая часть
[
]
x
числа
x
равна наибольшему
целому числу, не
превосходящему
x
.
Например,
[
]
53.5 = ;
[
]
78.7 = ;
[
]
42.3 −=− . График функции
[
]
xy = изображен на
рис. 1.12. Очевидно, что не существует положительного числа
T
такого, что
[
]
[
]
xTx =+ для любого
R
x
∈
. Поэтому
функция
[
]
xy = не является периодической.
Отметим одно важное свойство функции
[
]
:x для любого
Z
n
∈
и любого
R
x
∈
справедливо свойство
[
]
[
]
xnxn +=+ .
б) Функция
{
}
xy =
называется дробной частью
действительного числа
x
.
По определению
{
}
[
]
xxx −= ,
то есть дробная часть числа
x
равна разности между этим
числом и его целой частью. График функции
{
}
xy = изображен
на рис. 1.13.
Покажем, что функция
{
}
xy = является периодической с
основным периодом
1
T
=
. В соответствии с определением
периодической функции и с учетом свойств функции
[
]
x имеем
{
}
[
]
[
]
(
)
[
]
{
}
xxx1x1x1x1x1x =−=+−+=+−+=+ ,
т.е.
{
}
{
}
x1x =+ для любого
R
x
∈
.
в) Функция
определена на всей
числовой оси. Покажем,
что она является
периодической с
периодом
10T
=
. Пусть
(
)
[
)
1k10;k10x +∈ ,
k10xy
⋅
−
=
, где
Z
k
∈
– некоторое фиксированное число.
Вычислим
(
)
10xy + . Так как
(
)
(
)
[
)
,2k10,1k1010x
+
+
∈
+
то
(
)
(
)
=−−+=+−+=+ 10k1010x1k1010x10xy
(
)
xyk10x =−= .
График функции ,k10xy
−
=
(
)
[
)
Zk,1k10,k10x ∈+∈ ,
изображен на рис. 1.14.
г) Функция ,xsiny
=
[
]
ππ−∈ 100,100x , не является
периодической, так как множество, на котором задана эта
функция, ограничено (отрезок конечной длины), а из
определения периодической функции следует, что область ее
определения (задания) должна быть бесконечной длины.
Ответ: а) непериодическая; б)
1
T
=
;
в)
10T
=
; г) непериодическая.
Пример 1.15. Определите основной период функций
а) ;
3
x4sin3y
π
+= б)
+= 4x
5
2
cos2y ;
в) x6tgy
=
; г)
π
+=
4
x
3
8
sec2y .
Решение: а)
2
4
2
T
y
π
=
π
= ; б)
( )
π=
π
= 5
52
2
T
y
;
в)
6
T
y
π
= ; г)
( )
π=
π
=
4
3
38
2
T
y
.
Ответ: а)
2
π
; б)
π
5
; в)
6
π
; г) π
4
3
.
Пример 1.16. Определите основной период функции
Rx,x12cosx3sin2y
∈
+
=
.
Решение. ;
3
2
T
x3sin
π
=
6
12
2
T
x12cos
π
=
π
= .
Тогда
4
m
nm
6
n
3
2
TT
y
=⇒
π
=⋅π== .
Наименьшее положительное
m
, делящееся на 4, равно 4.
Поэтому
π=⋅
π
=
3
2
4
6
T
y
.
Ответ: .
3
2
π
Пример 1.17. Определите основной период функций
а) ;x
5
12
sinx
3
8
cosy += б) x9ctgx8secx6tgy
+
+
=
;
в) x2cosx2siny
⋅
=
.
Решение: а)
( )
π=
π
=
4
3
38
2
T
x
3
8
cos
;
( )
π=
π
=
6
5
512
2
T
x
5
12
sin
.
Тогда TT
y
= и m
9
10
m
6
5
3
4
n
6
5
m
4
3
nT =⋅=⇒π=π⋅= .
Имеем 10n;9m
=
=
и π=
2
15
T
y
;
б)
6
T
x6tg
π
= ; ;
4
8
2
T
x8sec
π
=
π
=
9
T
x9ctg
π
= .
Тогда
9
k
4
m
6
n
k
9
m
4
n
6
T
y
==⇔
π
=
π
=
π
= .
Последние равенства означают, что
,9k;4m;6n
M
M
M
т.е. 9k,4m,6n
=
=
=
и π=
y
T ;
в) x4sin
2
1
x2cosx2siny == и
2
4
2
T
y
π
=
π
= .
Ответ: а) π
2
15
; б)
π
; в)
2
π
.
Пример 1.18. Определите основной период функции
x8cosy
2
= .
Решение. Способ 1:
(
)
⇒−=⋅−=
′
x16sin88x8sinx8cos2y
8
T
8
16
2
T
yy
π
=⇒
π
=
π
=⇒
′
.
Способ 2: Используя формулу понижения степени,
получаем 8
16
2
T
2
x16cos1
y
y
π=
π
=⇒
+
= .
Ответ:
8
π
.
Пример 1.19. Установите, являются ли периодическими
функции а) ;x2sinx4cosy
+
π
=
б) ;x2sinx6cosy +=
в) x6sinx4cosy
π
+
π
=
и если являются, то найдите их основной период.
Решение. а) π=
π
==
π
π
=
π
2
2
T;
2
1
4
2
T
x2sinx4cos
.
Функция x2sinx4cosy
+
π
=
не будет периодической, так
как равенство mn
2
1
π= невозможно ни при каких
рациональных
n
и
m
, кроме ;0mn
=
=
б)
π=
π
=
π
=
π
= 2
2
2
T;
36
2
T
x2sin
x6cos
.
И здесь равенство 2m
3
n
2mn
3
=⇔π=
π
невозможно ни
при каких рациональных
n
и
m
, кроме ;0mn
=
=
в) TT
3
1
6
2
T;
2
1
4
2
T
yx6sinx4cos
=⇒=
π
π
==
π
π
=
ππ
и
=
=
⇒⋅=⇒==
,2n
,3m
3
m
2n
3
m
2
n
T
1T
y
= .
Ответ: а) непериодическая; б) непериодическая; в) 1T
y
= .
1.2.5. Монотонность тригонометрических функций.
Экстремумы
Определение 1.8. Функция
(
)
xfy = ,
X
x
∈
называется:
а) строго возрастающей на интервале
(
)
Xb,a ⊂ , если для
любых точек
(
)
b;ax,x
21
∈ таких, что
21
xx < выполняется
неравенство
(
)
(
)
21
xfxf < ;
б) строго убывающей на интервале
(
)
Xb,a ⊂ , если для любых
точек
(
)
b;ax,x
21
∈ таких, что
21
xx < выполняется
неравенство
(
)
(
)
21
xfxf > .
Строго возрастающие и строго убывающие функции
называются строго монотонными.
Определение 1.9.Функция
(
)
xfy = ,
X
x
∈
называется:
а) возрастающей на интервале
(
)
Xb,a ⊂ , если для любых точек
(
)
b;ax,x
21
∈ таких, что
21
xx < выполняется неравенство
(
)
(
)
21
xfxf ≤ ;
б) убывающей на интервале
(
)
Xb,a ⊂ , если для любых точек
(
)
b;ax,x
21
∈ таких, что
21
xx < выполняется неравенство
(
)
(
)
21
xfxf ≥ .
Возрастающие и убывающие функции называются
монотонными.
Достаточным условием строгого возрастания
дифференцируемой на
(
)
b;a функции
(
)
xf , является
выполнение неравенства
(
)
0xf >
′
для всех
(
)
b;ax∈ . Если же
(
)
0xf <
′
, то
(
)
xf строго убывает на
(
)
b;a .
Определение 1.10. Точка
0
x , принадлежащая области
определения функции
(
)
xfy = ,
X
x
∈
, называется точкой
локального максимума функции
f
, если существует интервал
(
)
Xx,x
00
⊂ε+ε− ,
0
>
ε
такой, что для всех точек
x
из этого
интервала выполняется неравенство
(
)
(
)
0
xfxf ≤ .
Если неравенство строгое
(
)
(
)
00
xx,xfxf ≠< , то говорят,
что
0
x - точка строгого локального максимума функции
(
)
xf .
Аналогично определяются точки локального минимума и
строго локального минимума:
Определение 1.11. Точка
0
x , принадлежащая области
определения функции
(
)
xfy = ,
X
x
∈
, называется точкой
локального минимума функции
f
, если существует интервал
(
)
Xx,x
00
⊂ε+ε− ,
0
>
ε
такой, что для всех точек
x
из этого
интервала выполняется неравенство
(
)
(
)
0
xfxf ≥ .
Если неравенство строгое
(
)
(
)
00
xx,xfxf ≠> , то говорят,
что
0
x - точка строгого локального минимума.
Точки локального максимума и локального минимума
объединяют общим названием точек локального экстремума.
Для нахождения точек локального экстремума
дифференцируемой функции используют необходимые (теорема
Ферма) и достаточные условия.
Теорема Ферма. Если
0
x - точка локального экстремума
функции
(
)
xfy = ,
X
x
∈
и в точке
0
x существует конечная
производная
(
)
0
xf
′
, то
(
)
0xf
0
=
′
.
Точки Xx
0
∈ , в которых
(
)
0xf
0
=
′
, называются
стационарными точками функции
(
)
xf . Стационарные точки
являются точками возможного экстремума функции
f
.
Теорема (достаточное условие локального экстремума).
Если
0
x - стационарная точка функции
(
)
xf ;
(
)
xf имеет
конечную производную в некотором интервале
(
)
ε+ε−
00
x,x ,
то в стационарной точке
0
x будет:
а) строгий локальный максимум, если
(
)
0xf >
′
при
(
)
00
x;xx ε−∈ и
(
)
0xf <
′
при
(
)
ε+∈
00
x;xx ;
б) строгий локальный минимум, если
(
)
0xf <
′
при
(
)
00
x;xx ε−∈ и
(
)
0xf >
′
при
(
)
ε+∈
00
x;xx .
Если же
(
)
xf
′
сохраняет знак в некоторой окрестности
слева и справа от точки
0
x , то в стационарной точке
0
x нет
экстремума.
Определение 1.12. Число
M
называется наибольшим
значением функции
(
)
xfy = ,
X
x
∈
на множестве
X
, если
существует точка Xx
M
∈ такая, что
(
)
(
)
M
xfMxf =≤
для всех
X
x
∈
,
M
xx ≠ .
В этом случае пишут
(
)
(
)
M
Xx
xfxfmaxM ==
∈
.
Определение 1.13. Число
m
называется наименьшим
значением функции
(
)
xfy = ,
X
x
∈
на множестве
X
, если
существует точка Xx
m
∈ такая, что
(
)
(
)
m
xfmxf =≥