Новиков А.И. Тригонометрические функции, уравнения и неравенства. Пособие для поступающих
Подождите немного. Документ загружается.
3.4. Ответы
1.
()
≤<+
≤≤−−
=
−
8.x2 ,
3
5
x
3
2
,2x1 ,1x2
xf
1
2.
()
≥−
<≤−+
−
=
−
1. x ,x1
,1x
2
1
,
3
1
3
x
xf
1
3.
(
)
1x,1x1xf
1
≥−+=
−
. 4. 2x;1x
=
=
.
5.
()
2x,
2
x
x25
xf
1
>
−
−
=
−
. 6.
()
≥−+
<≤
=
−
3. x,2x3
,2x0 ,x
xf
2
1
7. а)
()
x11xf
1
++−=
−
,
1
x
−
≥
;
б)
()
x11xf
1
+−−=
−
,
0x1
≤
≤
−
;
в)
()
x11xf
1
+−=
−
,
0x1
≤
≤
−
;
г)
()
x11xf
1
++=
−
,
1
x
−
≥
.
8. а)
2
51
x,1x,0x
−
=−== ; б)
2
51
x
+
= .
9. а)
2
331
x,1x
±−
== ; б) 3x,1x,4x
=
=
−
=
. 10. .
8
9
x =
11.
4
x
1
<
<
−
. 12. Zm,n,m2
3
x,n2x ∈π+
π
±=π+π= .
13. Zn,n
2
x ∈π+
π
= . 14. 1x ;2x
=
−
=
.
15.
2
32−
или
12
sin
π
. 16.
15
2
2
15
2
+ . 17. 21
25
4
. 18.
8
7
.
19.
26
1
. 20.
5
4
. 21.
22
1
. 22.
7
24
. 23. 21
17
4
− .
24.
1534
1543
+
−
. 25.
5
1
. 26.
5
1
. 27.
64
23
−
. 28.
2
3
2
1
.
29.
6
53+
. 30.
10
3
. 31.
26
5
. 32.
5
4
. 33.
17
19
− . 34.
2
1
.
35.
25
1
−
. 37.
3
π
− . 38. π
10
7
. 39.
8
π
. 40. π
18
7
. 41. π
8
5
. 42.
10
π
.
43.
6
π
. 44. π
7
3
. 45. π−
7
2
. 46. π
18
5
. 47. π
26
15
. 48. π
22
13
.
49.
165
−
π
. 50.
238
−
π
. 51. 8
2
5
−π . 52. 12
2
9
−π . 53.
π
−
413
.
54.
π
−
311
.55. 5
2
3
−π .56. 18
2
13
−π .
57. а) π−
2
9
17 ; б)
2
3
π
− ;
в) 10
2
7
−π ; г) .
2
11
19 π−
58. а)
π
−
414
; б)
π
−
725
;
в)
3
−
π
; г)
.124
−
π
59.
а) 7
2
5
−π ; б) 15
2
9
−π ;
в) π−
2
3
5 ; г) .
2
9
13 π−
60. а) 9
2
7
−π ; б) 16
2
11
−π ;
в) π−
2
3
7 ; г) .
2
9
17 π−
61. а) 5,1sinx
−
=
; б)
2
1
x = ; в)
∅
; г) π−=
9
4
sinx .
62. а)
2
3
x = ; б ) π=
40
39
cosx ; в)
3cosx
=
; г)
∅
.
63. а)
2
3
x = ; б)
2
1
x = ; в) 3x = ; г)
3
1
x =
.
64. а)
3
1
x −=
; б) 1tgx
=
; в)
∅
; г) 5,1tgx
−
=
.
65. а)
2
1
сtgx = ; б) 3x −= ; в) 3ctgx
=
; г)
∅
.
66. а)
∅
; б)
∅
; в)
[
]
1;1x −∈ . 67. а)
∅
; б)
∅
; в)
R
x
∈
.
68.
2
1
x −= ;
2
3
x = . 69.
1sinx
−
=
;
2
3
sinx = .
70.
2
1
x −= ;
0x
=
. 71.
0x
=
. 72.
2
3
x −= .
73. 1ctgx
=
;
2
5
сtgx = . 74.
2
1
x =
. 75.
5
1
x = . 76.
1
x
=
.
77.
1
x
=
. 78.
2
3
x = . 79.
8
3
x −= . 80.
2
1
x =
.
81. ;
2
1
x =
2
3
x = . 82.
2
1
x −= . 83.
1
x
=
. 84.
6
1
x −= .
85. ;
2
3
x =
2
3
1x += . 86. 3x −= . 87.
1
3
1
x −=
. 88.
2
1
x = .
89. а)
4
4
3
x ±= ; б)
2
3
sinx ±= ; в)
1
x
±
=
; г) 1tgx ±= .
90
*
. π±=π±=π±==
2
7
x;
4
7
x;
6
7
x;0x .
91
*
. .
4
9
x;
2
3
x;
4
3
x π=π=π= 92
*
.
4
x
π
−= ;
2
x
π
= ; π=
4
5
x .
93.
5
1
x −=
;
1
x
−
=
;
1
x
=
. 94.
2
x
−
=
;
2
x
=
.
95.
2
15
x
−
= . 96.
1
x
=
. 97.
2
3
x = ;
2
5
x = .
98.
0x
=
. 99.
0x
=
.
100. а)
2
3
x1 −<≤− ; б) 1x
2
1
≤<− ; в)
1sinx1
<
≤
−
;
г)
2
1
sinx
2
3
−<≤− ;
2
3
x
2
1
sin ≤< .
101. а) 1x
2
3
≤<− ; б)
2
1
x1 <≤− ;
в)
1x3cos
<
<
; г)
2
3
x
2
3
≤≤− .
102. а)
1
x
≤
; б) R;x
∈
в)
3
1
x >
; г) 1tgx
2
3
tg ≤<− .
103. а)
3
1
x −≤
; б) 1.3ctgx
>
;
в) 3x > ;г) 3x3 <≤− .
104.
5x4
≤
≤
.105.
1
x
=
. 106.
1
x
2
−
<
≤
−
.
107.
2
1
x
2
3
≤≤− . 108.
2
1
x1 <≤− ;
1x
2
1
≤<
.
109. 3x −≤ . 110. 3x1 <<− . 111.
2
3
x1 −≤≤− .
112. 3x −> . 113.
0x
≥
. 114.
3
1
x
2
1
<≤
. 115.
2
1
x
3
1
<≤−
.
116.
2
1
x
4
3
4
<<− ,
4
4
3
x
2
1
<< .
117. ;1x1tg −≤≤− .1tgx1 ≤≤ 118.
.
2
1
x =
119.
2
3
x
2
1
<< . 120.
2
1
x1 ≤≤− ; 1x
2
3
≤≤ . 121.
1
x
≥
.
122.
0x1
≤
≤
−
. 123.
2
3
x1 <≤ . 124.
2
x
1
≤
≤
.
125.
1
x
=
;
21x
3
2
1 +≤≤+
; 32x += .126.
2
5
x
2
3
≤≤ .
127
*
. π−=
2
7
x ; π−≤≤π−
6
7
x
4
7
; π≤≤
6
7
x0 ; π≥
4
7
x .
128
*
.
4
x
π
≤ , n
2
x π+
π
≠ , ,...;3,2,1n
−
−
−
=
π≤<
π
x
2
; π≤<π
4
7
x
2
3
.
129
*
. Zn,n2
4
xn2
4
∈π+
π
≤≤π+
π
− .
130
*
.
asinx
=
при π≤≤
π
2
3
a
2
.
131
*
.
5
a52
sinx
22
π−±π
= при
2
a
5
π
≤≤
π
;
5
a52
sinx
22
π−−π
= при π≤<
π
2
17
a
2
.
Указания
8 – 9. См. пример 3.5.
90
*
. См. пример 3.37
*
из раздела 3.2 и задачу 57 из раздела 3.3.
91
*
. См. задачу 58.
92
*
. См. задачу 59.
104.
( ) ( )
≤−≤−
≤≤⇔≤−≤−
−≤−
⇔−≤−
.19x21
,5x415x1
,9x25x
9x2arcsin5xarcsin
105. Учесть, что
x
arccos
- монотонно убывающая функция.
127
*
. См. пример 90.
128
*
. Построить графики функций
(
)
tgxarctgy
1
= и
3
3
x
y
2
π
+−= и решить неравенства.
129
*
. Построить графики функций
(
)
xcosarcsiny
1
= и
(
)
xcosarccosy
2
= и решить неравенства.
130
*
. Принять t
2
xarccos,txarcsin −
π
== и учесть, что
2
t
2
π
≤≤
π
− .
131
*
. Приняв t
2
xarccos,txarcsin −
π
== , получить
квадратное уравнение
0at4t5
222
=−π+π−
. Найти
координаты вершины параболы .
5
2
t
B
π
= Далее
рассмотреть два случая:
1) уравнение имеет 2 корня, если
≥
π
≥
,0
2
f
,0D
где
(
)
222
at4t5tf −π+π−= ;
2) уравнение имеет один корень
B1
tt < , если
≥
π
−
<
π
.0
2
f
,0
2
f
4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
4.1. Простейшие уравнения
•
Простейшими называются уравнения
atgx,axcos,axsin
=
=
=
,
где
a
- заданное действительное число.
•
Уравнения axsin
=
и
a
x
cos
=
имеют решение
только при 1a ≤ .
Уравнение
a
tgx
=
имеет решение при любом
Ra
∈
.
При этом справедливы формулы
( )
≤∈π+−=
>∅∈
⇔=
;1a если ,Zn,naarcsin1x
,1a если ,x
axsin
n
(4.1)
≤∈π+±=
>∅∈
⇔=
;1a если,Zn,n2aarccosx
,1a если ,x
axcos (4.2)
Zn,narctgaxatgx
∈
π
+
=
⇔
=
. (4.3)
•
Хотя все решения уравнения
axsin
=
при 1a ≤
задаются одной формулой
(
)
Zn,naarcsin1x
n
∈π+−= , но это
уравнение при 1a < имеет две серии корней
Zn,n2aarcsin
∈
π
+
и Zm,m2aarcsin
∈
π
+
−
π
.
Важные частные случаи:
;Zn,nx0xsin
∈
π
=
⇔
=
;Zn,n2
2
x1xsin ∈π+
π
=⇔=
.Zn,n2
2
x1xsin ∈π+
π
−=⇔−=
•
Уравнение
a
x
cos
=
при 1a < также имеет две серии
корней Zn,n2aarccos
∈
π
+
и Zm,m2aarccos
∈
π
+
−
.
Важные частные случаи:
;Zn,n
2
x0xcos ∈π+
π
=⇔=
;Zn,n2x1xcos
∈
π
=
⇔
=
.Zn,n2x1xcos
∈
π
+
π
=
⇔
−
=
Приводимые ниже примеры 4.1 и 4.2 простейших
уравнений объясняют происхождение двух серий решений
уравнений вида
axsin
=
и
a
x
cos
=
при 1a <
Пример 4.1. Решите уравнение
2
2
xsin = .
Решение. Прямая
2
2
y
~
= пересекает единичную
окружность в двух точках
1
M
и
2
M , расположенных
симметрично относительно
оси y
~
O (рис. 4.1). Этим
точкам отвечают углы
11
OAM α=∠ и
122
OAM α−π=α=∠ .
Это означает, что числа