Новиков А.И. Тригонометрические функции, уравнения и неравенства. Пособие для поступающих
Подождите немного. Документ загружается.
Отрезок CD получается сдвигом отрезка АВ на
π
2
вправо.
Поскольку xy:AB
=
, то уравнение прямой
π
−
=
2xy:CD .
Аналогично
π
−
=
4xy:EF и т.д.
Теперь легко находятся любые значения
(
)
0
xsinarcsin .
Необходимо лишь правильно определить положение точки
0
x
на оси абсцисс и вычислить соответствующее значение
(
)
0
xsinarcsin . Имеем:
а) поскольку π<<π 38
2
5
, то в соответствии с рис.3.23
(
)
(
)
83x38sinarcsin
8x
−π=−π=
=
;
б)
( ) ( )
;103x310sinarcsin
2
7
103
10x
−π=−π=⇒π<<π
=
в) =
⇒π<<π
2
23
sinarcsin4
2
23
2
7
( )
;4
2
23
4x
2
23
x
π−=π−=
=
г)
( )
;41313sinarcsin
2
9
134 π−=⇒π<<π
д)
( ) ( )
.175x517sinarcsin
2
11
175
17x
−π=−π=⇒π<<π
=
Ответ: а)
83
−
π
; б)
103
−
π
; в) ;4
2
23
π−
г) ;413
π
−
д)
.175
−
π
Пример 3.23. Постройте график функции
(
)
xcosarccosy =
и вычислите:
а)
(
)
4cosarccos ; б)
2
11
cosarccos ;
в)
(
)
7cosarccos ; г)
(
)
14cosarccos .
Решение. Поскольку функция
x
cos
y
=
является
π
2
-
периодической, то функция
(
)
xcosarccos также будет
периодической с тем же периодом
π
2
. Кроме того, функция
(
)
xcosarccosy = является четной. Поэтому достаточно
построить график функции )xarccos(cosy
=
сначала на
[
]
π;0 ;
затем отобразить его симметрично относительно оси Оy. Далее
необходимо продолжить периодически построенный фрагмент
графика с отрезка
[
]
ππ− ; на всю числовую прямую.
На отрезке
[
]
π;0 x)xarccos(cos
=
(тождество 3.5) и
потому
x
y
=
, если
[
]
π∈ ;0x . На промежутке
[
)
xy0; −=π−
(в силу четности функции).
Таким образом,
( )
[
]
[
)
π∈−
π∈
==
.,0- xесли ,x
,0, xесли ,x
xcosarccosy
Выполнив периодическое продолжение построенного фрагмента
графика – «уголок» АОВ – с отрезка
[
]
ππ− ; на всю числовую
прямую, получим искомый график функции
(
)
xcosarccosy =
(рис. 3.24).
Теперь решим поставленные вычислительные задачи:
а)
(
)
(
)
;42x24cosarccos24
4x
−π=−π=⇒π<<π
=
б) ;
2
11
2
2
11
cosarccos2
2
11
−π=
⇒π<<π
в)
(
)
;277cosarccos372 π−=⇒π<<π
г)
(
)
(
)
.4144x14cosarccos5144
14x
π−=π−=⇒π<<π
=
Ответ: а)
42
−
π
; б)
2
11
2 −π ; в)
π
−
27
; г)
π
−
414
.
Пример 3.24. Постройте график функции
(
)
xcosarcsiny =
и вычислите:
а)
(
)
3cosarcsin ; б)
(
)
4cosarcsin ;
в)
(
)
8cosarcsin ; г)
(
)
14cosarcsin .
Решение. Поскольку
( )
π
−−=
−
π
=
2
xsinarcsinx
2
sinarcsinxcosarcsin
,
то для построения графика функции
(
)
xcosarcsiny =
необходимо:
- построить график функции
(
)
xsinarcsiny = (рис. 3.22);
- сдвинуть построенный график вдоль оси Ох вправо на
2
π
;
- полученный на втором шаге график симметрично
отобразить относительно оси Ох.
В результате получим график искомой функции
(
)
xcosarcsiny = (рис. 3.25).
График функции
(
)
xcosarcsiny = можно построить иначе
на основе тождества:
( ) ( )
.Rx,xcosarccos
2
xcosarcsin ∈−
π
=
В соответствии с этим тождеством для построения графика
функции
(
)
xcosarcsiny = необходимо:
- построить график функции
(
)
xcosarccosy
1
= (рис. 3.24);
- построенный график отобразить симметрично относительно
оси Ох
(
)
12
yy −= ;
- полученный на втором шаге график
(
)
xy
2
сдвинуть на
2
π
вверх вдоль оси Оу.
В результате будет получен график искомой функции
(
)
xcosarcsiny = (рис. 3.25).
Решим поставленные вычислительные задачи:
а)
( )
;3
2
3cosarcsin30 −
π
=⇒π<<
б)
( )
;
2
3
44cosarcsin24 π−=⇒π<<π
в)
( )
;8
2
5
8cosarcsin382 −π=⇒π<<π
г)
( )
.14
2
9
14cosarcsin5144 −π=⇒π<<π
Ответ: а) 3
2
−
π
; б) π−
2
3
4 ; в) 8
2
5
−π ; г) 14
2
9
−π .
Пример 3.25. Постройте график функции
(
)
tgxarctgy = и
вычислите:
а)
(
)
3tgarctg ; б)
(
)
5tgarctg ;
в)
(
)
7tgarctg ; г)
2
21
tgarctg .
Решение. Функция
tgx
y
=
является периодической с
основным периодом
π
. Соответственно периодической с
основным периодом
π
будет и функция
(
)
tgxarctgy = .
Поэтому достаточно построить фрагмент графика на интервале
ππ
−
2
;
2
,
где
(
)
xtgxarctgy == (тождество 3.8) и затем продолжить его
периодически на всю числовую ось (рис. 3.26).
Решим поставленные вычислительные задачи:
а) π<<
π
2
3
3
2
(
)
π−=⇒ 33tgarctg ;
б) π<<π
2
5
5
2
3
(
)
π−=⇒ 255tgarctg ;
в) π<<π
2
5
7
2
3
(
)
π−=⇒ 277tgarctg ;
г) π<<π
2
7
2
21
2
5
π−=
⇒ 3
2
21
2
21
tgarctg .
Ответ: а)
π
−
3
; б)
π
−
25
; в)
π
−
27
; г) π−3
2
21
.
3.2.5. Уравнения и неравенства
с обратными тригонометрическими функциями
Пример 3.26. Решите уравнения:
а)
3
xarcsin
π
= ; б)
8
xarcsin
π
−= ;
в)
2xarcsin
=
; г)
1xarcsin
=
.
Решение. С учетом определения и свойств функции
xarcsiny
=
()
[ ]
() ( )
−=
ππ
−=−= xarcsinx-arcsin ;
2
;
2
yE;1;1yD
имеем:
а)
2
3
3
sinx
3
xarcsin =
π
=⇔
π
= ;
б)
8
sin
8
sinx
8
xarcsin
π
−=
π
−=⇔
π
−= ;
в) ,x 2xarcsin
∅
∈
⇒
=
так как
2
2
π
> ;
г)
1sinx 1xarcsin
=
⇔
=
.
Ответ: а)
2
3
; б)
8
sin
π
− ; в)
∅
; г)
1sin
.
Пример 3.27. Решите неравенства:
а)
6
xarcsin
π
< ; б)
5
xarcsin
3
π
<<
π
− ; в)
π
≥
π
−<
.
4
xarcsin
;
6
xarcsin
Решение. Функция xarcsiny
=
является монотонно
возрастающей на области определения
(
)
[
]
1;1yD −= :
а) ;
2
1
x1
1x1
6
sinx
6
xarcsin <≤−⇔
≤≤−
π
<
⇔
π
<
б) ⇔
π
<<
π
−⇔
π
<<
π
−
5
sinx
3
sin
5
xarcsin
3
;
5
sinx
2
3 π
<<−⇔
в)
⇔
≤≤−
π
≥
π
−<
⇔
π
≥
π
−<
1x1
4
sinx
6
sinx
4
arcsinx
6
xarcsin
∪
−−∈⇔ 1;
2
1
2
1
;1x
.
Отметим, что здесь имеем дело с совокупностью
неравенств, а не с системой. Система данных неравенств, как
нетрудно видеть, не имеет решения.
Ответ: а)
−∈
2
1
;1x ; б) ;
5
sin;
2
3
x
π
−∈
в)
∪
−−∈ 1;
2
1
2
1
;1x
.
Пример 3.28. Решите уравнения:
а)
3
arcctgx
π
= ; б) π=
3
2
xarcctg ; в)
π
=
arcctgx
;
г) 3arcctgx
=
; д )
(
)
1xarcctg =− .
Решение. С учетом определения и свойств функции
x
arcctg
y
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
xarcctgx-arcctg ,;0yE;RyD −π=π==
имеем:
а)
3
1
3
ctgx
3
arcctgx =
π
=⇔
π
=
;
б) =
π
+
π
=π=⇔π=
62
ctg
3
2
ctgx
3
2
arcctgx
;
3
1
6
tg −=
π
−=
в) ,x arcctgx
∅
∈
⇒
π
=
так как
(
)
yE ∉π ;
г) ;3ctgx 3arcctgx
=
⇔
=
д)
(
)
⇔=π⇔=− 1arcctgx- 1xarcctg
(
)
1-ctgx1-arcctgx π=⇔π=⇔ .
Ответ: а)
3
1
; б)
3
1
−
; в)
∅
; г) 3ctg ; д)
(
)
1ctg −π .
На рис. 3.27 приведена
иллюстрация решения примеров
а), б), г) .
Пример 3.29. Решите
неравенства:
а) π>
3
2
arcctgx ;
б) π<<
π
4
3
arcctgx
4
; в)
6
arcctgx
π
< .
Решение. Функция
arcctgx
y
=
является монотонно
убывающей на области определения
(
)
RyD = . Поэтому
а)
;
3
1
x
3
2
ctgx
3
2
arcctgx −<⇔π<⇔π>
б) ⇔
π
<<π⇔π<<
π
4
ctgx
4
3
ctg
4
3
arcctgx
4
;1x1
<
<
−
⇔
в) .3x
6
ctgx
6
arcctgx >⇔
π
>⇔
π
<
Ответ: а)
3
1
x −<
; б)
1
x
1
<
<
−
; в) 3x > .
Пример 3.30. Решите неравенство
3
arctgx
6
π
≤<
π
.
Решение. Для решения
данного неравенства
целесообразно использовать
графический подход. На
рис. 3.28 изображены график
функции arctgxy = и
решение двойного
неравенства (заштрихованное множество на оси
Ox
).
Функция arctgxy = является четной и потому, если
промежуток
(
]
21
x,x есть решение неравенства, то и
промежуток
[
)
12
x,x −− также будет решением.
Ответ:
∪
−−∈ 3;
3
1
3
1
;3x
.
Пример 3.31. Решите уравнение
(
)
01xarcsinxarcsin2
2
=−− .