Опря А.Т. Статистика (модульний варіант з програмованою формою контролю знань)
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ɉɪɢɤɥɚɞ. Ɂɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚɦɢ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨɝɨ ɨɛɫɬɟɠɟɧɧɹ 10 ɫɿɦɟɣ ɩɿɞɩɪɢɽɦɫɬɜ
ɯɚɪɱɨɜɨʀ ɩɪɨɦɢɫɥɨɜɨɫɬɿ ɨɬɪɢɦɚɧɿ ɫɟɪɟɞɧɿ ɪɿɜɧɿ ɦɿɫɹɱɧɨʀ ɡɚɪɨɛɿɬɧɨʀ ɩɥɚɬɢ, ɹɤɚ
ɩɪɢɩɚɞɚɽ ɧɚ ɨɞɧɨɝɨ ɱɥɟɧɚ ɫɿɦ’ʀ, ɝɪɧ.: 100, 106, 85, 94, 88, 102, 120, 60, 95, 90.
ɋɩɢɪɚɸɱɢɫɶ ɧɚ ɞɚɧɿ ɜɢɛɿɪɤɢ, ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɩɟɪɟɜɿɪɢɬɢ ɩɪɢɩɭɳɟɧɧɹ, ɳɨ
ɫɟɪɟɞɧɿɣ ɪɨɡɦɿɪ ɡɚɪɩɥɚɬɢ, ɹɤɢɣ ɩɪɢɩɚɞɚɽ ɧɚ ɨɞɧɨɝɨ ɱɥɟɧɚ ɫɿɦ’ʀ ɩɪɚɰɿɜɧɢɤɿɜ
ɯɚɪɱɨɜɨʀ ɩɪɨɦɢɫɥɨɜɨɫɬɿ (ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɚ ɫɭɤɭɩɧɿɫɬɶ), ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɟ 85 ɝɪɧ. (
ɯ
).
ʈɪɭɧɬɭɸɱɢɫɶ ɧɚ ɩɪɢɩɭɳɟɧɧɿ ɩɪɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ
ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɨɡɧɚɤɢ ɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɿɣ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ, ɜɢɤɨɧɭɽɦɨ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɢ:
ɨɛɱɢɫɥɸɽɦɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ
ɯ
= 94;
ɜ
V
=14,9.
ɉɪɢɣɧɹɜɲɢ
ɯ
= 85, ɜɢɡɧɚɱɚɽɦɨ ɱɢɫɥɨɜɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɧɨɪɦɨɜɚɧɨɝɨ
ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ
91,110
9,14
8594
10
~
V
ɯɯ
t
.Ɂɧɚɯɨɞɢɦɨ ɡɚ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɸ ɬɚɛɥɢɰɟɸ
(ɞɨɞɚɬɨɤ 2) ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɞɥɹ t = 1,9 ɿ ɱɢɫɥɚ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ ȣ= 10 - I. Ⱦɥɹ ɬɚɤɢɯ
ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ Ɋ = 0,955. Ɍɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ, ɞɥɹ
ɱɢɫɥɨɜɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɧɨɪɦɨɜɚɧɨɝɨ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ t = 1,91 ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ =
0,955. Ɍɨɛɬɨ, ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɹɜɢ ɡɧɚɱɟɧɧɹ t , ɛɿɥɶɲɢɦ, ɧɿɠ ɨɞɟɪɠɚɧɟ ɩɪɢ ɜɢɛɿɪɰɿ,
ɛɭɞɟ
D
= I - 0,955 = 0,045, ɚɛɨ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ ɨɞɢɧ ɜɢɩɚɞɨɤ ɡ 20. ȱɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɨɹɜɢ t,
ɹɤɟ ɩɨ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨɸ ɜɟɥɢɱɢɧɨɸ ɛɭɞɟ ɛɿɥɶɲɟ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɭɜɚɧɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ,
ɫɬɚɧɨɜɢɬɢɦɟ
D
2
=0,090, ɬɨɛɬɨ ɩɪɢɛɥɢɡɧɨ ɨɞɢɧ ɜɢɩɚɞɨɤ ɡ 10. Ɍɚɤɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ t
ɫɥɿɞ ɜɢɡɧɚɬɢ ɧɟɿɫɬɨɬɧɢɦ. Ɍɨɦɭ ɪɿɡɧɢɰɹ ɦɿɠ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨɸ ɿ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɸ
ɫɟɪɟɞɧɶɨɸ ɧɟ ɛɭɞɟ ɩɟɪɟɜɢɳɭɜɚɬɢ 9 ɝɪɧ. (94-85).
əɤɳɨ ɜɢɡɧɚɬɢ ɜɢɛɿɪɤɨɜɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ t ɿɫɬɨɬɧɢɦ, ɚ ɬɚɤɟ ɩɪɢɩɭɳɟɧɧɹ ɦɨɠɧɚ
ɜɢɫɭɧɭɬɢ, ɨɫɤɿɥɶɤɢ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɭɜɚɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ t ɦɚɥɨ ɿɦɨɜɿɪɧɟ, ɬɨ ɩɨɱɚɬɤɨɜɟ
ɩɪɢɩɭɳɟɧɧɹ, ɡɭɦɨɜɥɟɧɟ ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹɦ ɡɧɚɱɟɧɧɹ t, ɛɭɞɟ ɧɟɜɿɪɧɢɦ. ɉɨɞɿɛɧɟ
ɦɿɪɤɭɜɚɧɧɹ ɩɪɢɜɨɞɢɬɶ ɞɨ ɜɢɫɧɨɜɤɭ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɫɟɪɟɞ
ɧɿɣ ɪɨɡɦɿɪ ɡɚɪɩɥɚɬɢ ɭ
ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɧɚ ɨɞɧɨɝɨ ɱɥɟɧɚ ɫɿɦ’ʀ ɩɪɚɰɿɜɧɢɤɿɜ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨʀ ɝɚɥɭɡɿ 85 ɝɪɧ. ɽ
ɫɭɦɧɿɜɧɢɦ, ɚ ɪɿɡɧɢɰɹ ɦɿɠ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨɸ (
ɯ
=85) ɢ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨɸ (
ɯ
= 94)
ɫɟɪɟɞɧɶɨɸ ɥɟɝɤɨ ɦɨɝɥɚ ɩɟɪɟɜɢɳɢɬɢ 9 ɝɪɢɜɟɧɶ.
Ʉɪɿɦ ɪɨɡɝɥɹɧɭɬɨʀ ɜɢɳɟ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨʀ ɬɚɛɥɢɰɿ, ɲɢɪɨɤɟ ɩɪɚɤɬɢɱɧɟ
ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɡɧɚɯɨɞɢɬɶ ɿɧɲɚ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɚ ɬɚɛɥɢɰɹ ɡɧɚɱɟɧɶ ɤɪɢɬɟɪɿɸ
t ɞɥɹ ɪɿɡɧɢɯ ɪɿɜɧɿɜ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɿ
D
=
1-P. ȼɨɧɚ ɞɨɡɜɨɥɹɽ (ɩɪɢ ɩɟɜɧɨɦɭ
ɪɿɜɧɿ
D
) ɜɫɬɚɧɨɜɢɬɢ ɦɨɠɥɢɜɿ ɝɪɚɧɢɰɿ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ ɤɨɥɢɜɚɧɶ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨʀ
ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ (
ɯ
), ɚ ɬɚɤɨɠ ɡɧɚɣɬɢ ɞɨɜɿɪɱɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ, ɹɤɢɣ ɩɨɤɪɢɜɚɽ
ɫɟɪɟɞɧɸ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɭ ɭ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɿɣ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ (ɞɨɞɚɬɨɤ 1).
Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɜɢɩɚɞɨɤ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨʀ ɬɚɛɥɢɰɿ
«Ʉɪɢɬɢɱɧɿ ɬɨɱɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ (t-ɪɨɡɩɨɞɿɥ)» ɧɚ ɧɚɫɬɭɩɧɨɦɭ
ɩɪɢɤɥɚɞɿ.
ȼɧɚɫɥɿɞɨɤ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨɝɨ ɨɛɫɬɟɠɟɧɧɹ 20 ɫɿɥɶɫɶɤɨɝɨɫɩɨɞɚɪɫɶɤɢɯ
ɩɿɞɩɪɢɽɦɫɬɜ ɨɛɥɚɫɧɨɝɨ ɪɟɝɿɨɧɭ ɜɢɡɧɚɱɟɧɨ ɫɟɪɟɞɧɿɣ ɩɨɤɚɡɧɢɤ ɜɢɯɨɞɨɞɧɿɜ ɡ
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ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɧɚ ɨɞɧɨɝɨ ɩɪɚɰɸɸɱɨɝɨ, ɹɤɢɣ ɜɢɹɜɢɜɫɹ ɪɿɜɧɢɦ 250, ɡ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ
ɩɨɦɢɥɤɨɸ ɜɢɛɿɪɤɢ
5r m
. ɉɨɬɪɿɛɧɨ ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɞɨɜɿɪɱɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ
ɤɨɥɢɜɚɧɶ ɲɭɤɚɧɨʀ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɩɪɢ ɪɿɜɧɿ ɡɧɚɱɢɦɨɫɬɿ
D
= 0,05.
ɍ ɞɨɞɚɬɤɭ I ɧɚ ɩɟɪɟɬɢɧɿ ɝɪɚɮɢ, ɹɤɚ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ
D
= 0,05, ɿ ɪɹɞɤɭ 20 - I =19
(ɱɢɫɥɨ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ) ɡɧɚɯɨɞɢɦɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ t = 2,09. Ɉɬɠɟ, ɞɨɜɿɪɱɢɣ ɿɧɬɟɪɜɚɥ
ɞɨɪɿɜɧɸɽ
,45,10250509,2250
~~
r ur r ' tmɯɯ
ɚɛɨ ɡɚɤɪɭɝɥɟɧɨ 250
r
10.
Ɍɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ, ɦɟɠɿ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢɦɭɬɶ 240-260,
ɬɨɛɬɨ ɜ ɫɿɥɶɝɨɫɩɩɿɞɩɪɢɽɦɫɬɜɚɯ ɨɛɫɬɟɠɭɜɚɧɨɝɨ ɨɛɥɚɫɧɨɝɨ ɪɟɝɿɨɧɭ ɫɟɪɟɞɧɿɣ
ɪɿɜɟɧɶ ɩɨɤɚɡɧɢɤɚ ɤɿɥɶɤɨɫɬɿ ɜɢɯɨɞɨɞɧɿɜ ɡ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɧɚ ɨɞɧɨɝɨ ɩɪɚɰɸɸɱɨɝɨ
ɛɭɞɟ ɡɧɚɯɨɞɢɬɢɫɹ ɦɿɠ 240 ɿ 260. Ⱦɚɧɟ ɫɬɜɟɪɞɠɟɧɧɹ ɨɞɟɪɠɚɧɟ ɩɪɢ ɩɨɪɨɡɿ
ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ Ɋ =0,95. Ɋɿɜɟɧɶ ɿɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɜɢɛɢɪɚɽɬɶɫɹ ɡɚɥɟɠɧɨ ɜɿɞ ɤɨɧɤɪɟɬɧɢɯ
ɜɢɦɨɝ ɜɢɪɿɲɭɜɚɧɨɝɨ ɡɚɜɞɚɧɧɹ. ȼ ɟɤɨɧɨɦɿɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹɯ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɸɬɶ
ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ Ɋ = 0,95 (0,954).
ȼɢɫɥɨɜɥɟɧɟ ɪɚɧɿɲɟ ɩɨɥɨɠɟɧɧɹ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɩɪɢ ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɿ ɨɛɫɹɝɭ
ɜɢɛɿɪɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɧɚɛɥɢɠɚɽɬɶɫɹ ɞɨ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ
ɩɿɞɬɜɟɪɞɠɭɽ ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɹ ɞɚɧɢɯ ɞɜɨɯ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɢɯ ɬɚɛɥɢɰɶ: «Ʉɪɢɬɢɱɧɿ
ɬɨɱɤɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ (t-ɪɨɡɩɨɞɿɥ)» (ɞɨɞɚɬɨɤ 1) ɿ «Ɏɭɧɤɰɿɹ
ɧɨɪɦɨɜɚɧɨɝɨ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ» (ɞɨɞɚɬɨɤ 5). Ⱦɨɫɬɚɬɧɶɨ ɪɨɡɝɥɹɧɭɬɢ
ɮɪɚɝɦɟɧɬ ɡ ɨɛɨɯ ɬɚɛɥɢɰɶ ɞɥɹ ɤɿɥɶɤɨɯ ɜɢɛɿɪɨɤ, ɳɨɛ ɩɟɪɟɤɨɧɚɬɢɫɹ ɭ
ɫɤɚɡɚɧɨɦɭ ɜɢɳɟ ɜɢɫɧɨɜɤɭ (ɬɚɛɥ. 46).
Ɍɚɛɥɢɰɹ 46
ȼɢɬɹɝ ɡ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨʀ ɬɚɛɥɢɰɿ t-ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ (ɞɨɞɚɬɨɤ 1)
n
5
(ȣ=4)
20
(ȣ=19)
40
(ȣ=39)
60
(ȣ=59)
120
(ȣ=119)
f
95,0
t
2,78 2,09 2,02 2,00 1,98
1,96
Ɍɚɤ, ɭ ɞɨɞɚɬɤɭ 5 ɡɧɚɱɟɧɧɸ ɪɿɜɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ 0,95 ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ
ɜɟɥɢɱɢɧɚ 1,96. Ⱥɧɚɥɿɡɭɸɱɢ ɞɚɧɿ ɬɚɛɥɢɰɿ 46, ɛɚɱɢɦɨ, ɳɨ ɩɪɢ n= 60
ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɦɚɣɠɟ ɧɟ ɜɿɞɪɿɡɧɹɽɬɶɫɹ ɜɿɞ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ:
2.00 - 1,96 = 0,04.
ɉɪɢ ɧɟɜɟɥɢɤɨɦɭ ɨɛɫɹɡɿ ɜɢɛɿɪɤɢ ɰɿ ɞɜɚ ɜɢɞɢ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɦɚɸɬɶ
ɡɧɚɱɧɿ ɱɢɫɟɥɶɧɿ ɜɿɞɦɿɧɢ. ɇɚɩɪɢɤɥɚɞ, ɞɥɹ n =5 ɪɿɡɧɢɰɹ ɭ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɯ
ɫɬɚɧɨɜɢɬɢɦɟ 2,78 - 1,96 = 0,82.
ɇɚ ɡɚɜɟɪɲɟɧɧɹ ɳɟ ɪɚɡ ɡɪɨɛɢɦɨ ɚɤɰɟɧɬ ɧɚ ɬɨɦɭ, ɳɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪ
n
ɯɯ
t
V
~
ɦɚɽ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ ɡɚ ɭɦɨɜɢ, ɹɤɳɨ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɚ
ɜɢɩɚɞɤɨɜɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɩɿɞɩɨɪɹɞɤɨɜɚɧɚ ɡɚɤɨɧɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ, ɚ
ɫɟɪɟɞɧɹ ɨɛɱɢɫɥɸɽɬɶɫɹ ɡɚ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɦɢ ɞɚɧɢɦɢ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ
ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ.
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ɇɚɡɜɟɦɨ ɬɚɤɨɠ ɚɫɩɟɤɬɢ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɋɬɶɸɞɟɧɬɚ.
1) ɉɪɢ ɨɰɿɧɰɿ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɡɚ ɞɚɧɢɦɢ
ɦɚɥɢɯ ɜɢɛɿɪɨɤ (ɞɥɹ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɨɜɿɪɱɢɯ ɿɧɬɟɪɜɚɥɿɜ);
2) ɉɪɢ ɩɟɪɟɜɿɪɰɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɿɜ
ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ.
6.2.4. Ɋɨɡɩɨɞɿɥ ɏ
ɿ
- ɤɜɚɞɪɚɬ
ɉɪɢ ɩɟɪɟɜɿɪɰɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɝɿɩɨɬɟɡ ɪɨɡɝɥɹɞɚɸɬɶɫɹ ɩɢɬɚɧɧɹ ɩɪɨ
ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɭɡɝɨɞɠɟɧɨɫɬɿ. Ɉɫɬɚɧɧɿ ɞɨɡɜɨɥɹɸɬɶ ɜɢɪɿɲɢɬɢ ɡɚɞɚɱɭ ɩɪɨ
ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿɫɬɶ ɚɛɨ ɧɟɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿɫɬɶ ɩɟɜɧɨɝɨ ɡɚɤɨɧɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ, ɨɛɪɚɧɨɝɨ
ɞɥɹ ɜɿɞɨɛɪɚɠɟɧɧɹ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨɝɨ ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɹɞɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ.
Ɋɨɡɪɚɯɨɜɚɧɿ ɤɪɢɬɟɪɿʀ ɡɝɨɞɢ ɡɭɦɨɜɥɸɸɬɶ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ (ɚɛɨ
ɧɟɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ) ɩɪɢɣɧɹɬɬɹ ɞɥɹ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨɝɨ ɪɹɞɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɦɨɞɟɥɿ,
ɹɤɚ ɜɢɪɚɠɚɽɬɶɫɹ ɞɟɹɤɢɦ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɦ ɡɚɤɨɧɚɦ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ. Ɍɚ ɱɢ ɿɧɲɚ
ɦɨɞɟɥɶ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɳɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɽ ɜɢɡɧɚɱ
ɟɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ
ɩɪɢɣɧɹɬɚ ɲɥɹɯɨɦ ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɹ ɝɪɚɮɿɱɧɢɯ ɡɨɛɪɚɠɟɧɶ. ȼɱɟɧɢɦɢ-
ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚɦɢ ɪɨɡɪɨɛɥɟɧɨ ɪɹɞ ɤɪɢɬɟɪɿʀɜ ɭɡɝɨɞɠɟɧɨɫɬɿ, ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ
ɹɤɢɯ ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɞɚɬɢ ɤɿɥɶɤɿɫɧɭ ɨɰɿɧɤɭ ɧɚɛɥɢɠɟɧɨɫɬɿ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɿ
ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɪɨɡɩɨɞɿɥɿɜ. Ɉɤɪɟɦɿ ɡ ɧɢɯ ɨɰɿɧɸɸɬɶ ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ
ɪɨɡɯɨɞɠɟɧɧɹ ɮɚɤɬɢɱɧɨɝɨ ɿ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ, ɚ ɞɟɹɤɿ ɞɚɸɬɶ
ɩɪɹɦɭ ɜɿɞɩɨɜɿɞɶ ɩɪɨ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɜɿɞɨɛɪɚɠɟɧɧɹ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨɝɨ
ɟɦɩɿɪɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɨɛɪɚɧɢɦ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɦ ɡɚɤɨɧɨɦ.
Ⱦɥɹ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ (ɨɰɿɧɤɢ) ɪɨɡ
ɯɨɞɠɟɧɧɹ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɿ
ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɚɧɝɥɿɣɫɶɤɢɦ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɨɦ Ʉɚɪɥɨɦ ɉɿɪɫɨɧɨɦ
(1900) ɪɨɡɪɨɛɥɟɧɨ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɭɡɝɨɞɠɟɧɨɫɬɿ, ɬɚɤ ɡɜɚɧɢɣ «ɯɿ – ɤɜɚɞɪɚɬ».
Ⱦɚɧɢɣ ɤɪɢɬɟɪɿɣ ɡɚɫɬɨɫɨɜɭɽɬɶɫɹ ɜ ɬɢɯ ɜɢɩɚɞɤɚɯ, ɤɨɥɢ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ
ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɫɬɭɩɿɧɶ ɜɿɞɦɿɧɧɨɫɬɿ
ɮɚɤɬɢɱɧɨɝɨ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɱɚɫɬɨɬ ɜɿɞ
ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɨɝɨ.
Ɍɟɨɪɟɬɢɱɧɢɣ ɚɫɩɟɤɬ ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɯɿ - ɤɜɚɞɪɚɬɚ ɹɤ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɦɨɠɟ
ɛɭɬɢ ɡɜɟɞɟɧɢɣ ɞɨ ɬɚɤɢɯ ɦɿɪɤɭɜɚɧɶ.
əɤɳɨ ɭ ɜɢɛɿɪɤɭ ɡ ɝɟɧɟɪɚɥɶɧɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ, ɪɨɡɩɨɞɿɥɟɧɨʀ ɡɚ
ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɦ ɡɚ
ɤɨɧɨɦ (
n
ɯɯɯɯ ,...,,,
321
), ɜɜɟɫɬɢ ɰɟɧɬɪɨɜɚɧɿ ɿ ɧɨɪɦɨɜɚɧɿ
ɜɟɥɢɱɢɧɢ (
V
ɯɯ
t
ɿ
ɿ
) ɿ ɩɿɞɫɭɦɨɜɭɜɚɬɢ ʀɯ ɤɜɚɞɪɚɬɢ, ɨɞɟɪɠɢɦɨ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
ɜɟɥɢɱɢɧɢ «ɯɿ – ɤɜɚɞɪɚɬ» (
2
F
)
;
2
1
22
3
2
2
2
1
2
)()(...))()(
V
V
V
V
V
F
ɯɯɯɯɯɯɯɯɯɯ
ɿ
n
ɿ
n
6
ɍ ɞɚɧɨɦɭ ɜɢɩɚɞɤɭ ɜɟɥɢɱɢɧɚ
2
F
, ɹɤɚ ɡɭɦɨɜɥɸɽɬɶɫɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɽɸ
2
V
153
154
ɪɨɡɩɨɞɿɥɹɽɬɶɫɹ ɡɚ ɡɚɤɨɧɨɦ:
,)(
)
2
(
2
2
1
)(
22
2
22
2
F
F
QQ
F
ɟ
Ƚ
f
v
ɞɟ ȣ - ɱɢɫɥɨ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ, ɹɤɟ ɞɨɪɿɜɧɸɽ n-1 ;
)
2
(
Q
Ƚ
- ɝɚɦɚ-ɮɭɧɤɰɿɹ,
ɡɨɤɪɟɦɚ Ƚ(n+1)=n.
əɤ ɜɢɞɧɨ ɡ ɧɚɜɟɞɟɧɨɝɨ ɜɢɳɟ ɜɢɪɚɡɭ, ɪɨɡɩɨɞɿɥ «ɯɿ – ɤɜɚɞɪɚɬ»
ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɨɞɧɢɦ ɩɚɪɚɦɟɬɪɨɦ – ɱɢɫɥɨɦ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ.
Ⱦɥɹ ɪɿɡɧɢɯ ɨɛɫɹɝɿɜ ɜɢɛɿɪɤɢ (ɬɨɱɧɿɲɟ - ɡɧɚɱɟɧɶ ɱɢɫɥɚ ɫɬɭɩɟɧɿɜ
ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ) ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɜɟɥɢɱɢɧɢ «ɯɿ – ɤɜɚɞɪɚɬ» ɛɭɞɟ ɚɫɢɦɟɬɪɢɱɧɢɦ. ɉɪɢ
ɰɶɨɦɭ, ɱɢɦ ɦɟɧɲɚ ɜɢɛɿɪɤɚ, ɬɢɦ ɫɢɥɶɧɿɲɟ ɩɪɨɹɜɥɹɽɬɶɫɹ ɚɫɢɦɟɬɪɿɹ. ȱɡ
ɡɛɿɥɶɲɟɧɧɹɦ ɱɢɫɟɥɶɧɨɫɬɿ ɜɢɛɿɪɤɨɜɨʀ ɫɭɤɭɩɧɨɫɬɿ ɚɫɢɦɟɬɪɿɹ
ɡɦɟɧɲɭɽɬɶɫɹ ɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥ «ɯɿ – ɤɜɚɞɪɚɬ» ɩɟɪɟɯɨɞɢɬɶ ɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɢɣ.
ɇɚɨɱɧɨ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɬɚɤɨʀ ɡɦɿɧɢ ɿɥɸɫɬɪɭɽ ɝɪɚɮɿɤ (ɪɢ
ɫ. 18).
F(x
2
)
0,15 Ȟ=1 Ȟ=4
0,10 Ȟ=10
0,05 Ȟ=2
0 5 10 15 20 25 30 35 ɯ
2
Ɋɢɫ. 18. Ɋɨɡɩɨɞɿɥ «ɯɿ – ɤɜɚɞɪɚɬ» ɩɪɢ ɪɿɡɧɢɯ ɡɧɚɱɟɧɧɹɯ
ɱɢɫɥɚ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ
əɤɳɨ ɩɪɢɣɧɹɬɢ ɪɿɞ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɿ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ
ɡɚ
ɿ
n
ɿ
n
n
, ɨɛɱɢɫɥɟɧɧɹ «ɯɿ – ɤɜɚɞɪɚɬ» – ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɜɢɪɚɡɢɬɶɫɹ ɮɨɪɦɭɥɨɸ:
ɬ
ɬɿ
n
nn
2
2
)(
6
F
.
154
155
ɋɭɞɹɱɢ ɩɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɯ ɮɨɪɦɭɥɢ, ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɉɿɪɫɨɧɚ
ɹɜɥɹɽ ɫɨɛɨɸ ɫɭɦɭ ɜɿɞɧɨɲɟɧɶ ɦɿɠ ɤɜɚɞɪɚɬɚɦɢ ɪɿɡɧɢɰɶ ɟɦɩɿɪɢɱɧɢɯ ɿ
ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ ɞɨ ɬɟɨɪɟɬɢɱɧɢɯ ɱɚɫɬɨɬ.
ȱɧɬɟɝɪɭɜɚɧɧɹ ɞɢɮɟɪɟɧɰɿɚɥɶɧɨʀ ɮɭɧɤɰɿʀ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (ɡɚ ʀʀ
ɫɤɥɚɞɧɨɫɬɿ) ɹɜɥɹɽ ɩɟɜɧɿ ɨɛɱɢɫɥɸɜɚɥɶɧɿ ɭɬɪɭɞɧɟɧɧɹ. ɍ ɡɜ'ɹɡɤɭ ɡ ɰɢɦ
Ɋ.Ɏɿɲɟɪɨɦ ɪɨɡɪɨɛɥɟɧɨ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɿ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ «ɯɿ
– ɤɜɚɞɪɚɬ» (ɞɨɞɚɬɤɢ 6, 7). ɐɿ ɬɚɛɥɢɰɿ ɞɚɸɬɶ ɡɦɨɝɭ ɨɛɱɢɫɥ
ɢɬɢ
ɣɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɬɨɝɨ, ɳɨ ɜɢɩɚɞɤɨɜɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ, ɹɤɚ ɩɿɞɩɨɪɹɞɤɨɜɭɽɬɶɫɹ
ɡɚɤɨɧɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ «ɯɿ – ɤɜɚɞɪɚɬ» ɡ ɩɟɜɧɢɦ ɱɢɫɥɨɦ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ,
ɩɟɪɟɜɢɳɢɬɶ ɞɟɹɤɟ ɮɿɤɫɨɜɚɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
2
Q
F
, ɚɛɨ
)(
22
Q
FF
²Ɋ
.
Ⱦɪɭɝɢɣ ɚɫɩɟɤɬ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɧɚɡɜɚɧɢɯ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɢɯ ɬɚɛɥɢɰɶ
ɩɨɥɹɝɚɽ ɭ ɬɨɦɭ, ɳɨ ɡɚ ʀɯ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɦɨɠɧɚ ɜɫɬɚɧɨɜɢɬɢ ɤɪɢɬɢɱɧɟ
ɡɧɚɱɟɧɧɹ «ɯɿ – ɤɜɚɞɪɚɬɚ», ɩɟɪɟɜɢɳɟɧɧɹ ɹɤɨɝɨ ɞɥɹ ɜɿɞɨɦɨɝɨ ɱɢɫɥɚ
ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ ɛɭɞɟ ɫɜɿɞɱɢɬɢ ɩɪɨ ɧɟɜɿɞɩɨɜɿɞɧɿɫɬɶ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɨɝɨ
ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɧɨɪɦɚɥɶɧɨɦɭ ɡɚɤɨɧɭ. ȯ ɣ ɿɧɲɿ ɚɫɩɟɤɬɢ ɩɪɚɤɬɢɱɧɨɝɨ
ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ «ɯɿ – ɤɜɚɞɪɚɬ» - ɤɪɢɬɟɪɿɸ. Ɋɨɡɝɥɹɧɟɦɨ ɥɢɲɟ ɩɪɢɤɥɚɞ
ɞɥɹ ɜɢɩɚɞɤɭ ɜɫɬɚɧɨɜɥɟɧɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ
).(
22
Q
FF
²Ɋ
Ⱦɥɹ ɜɢɛɿɪɤɢ ɡ ɱɢɫɥɨɦ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ ȣ =21, ɳɨ ɩɿɞɩɨɪɹɞɤɨɜɭɽɬɶɫɹ
ɡɚɤɨɧɭ «ɯɿ – ɤɜɚɞɪɚɬ» ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ (
2
F
) ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɜɢɡɧɚɱɢɬɢ ɜɿɞɯɢɥɟɧɧɹ
2
Q
F
,
ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɟɪɟɜɢɳɟɧɧɹ ɹɤɨɝɨ ɞɨɪɿɜɧɸɽ 0,05, ɬɨɛɬɨ ɧɟɨɛɯɿɞɧɨ ɡɧɚɣɬɢ «ɯɿ –
ɤɜɚɞɪɚɬ» ɩɪɢ ȣ = 21, ɞɥɹ ɹɤɨɝɨ:
.05,0)(
2
21
2
²
FF
Ɋ
ɒɭɤɚɧɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɛɭɞɟ
ɡɧɚɯɨɞɢɬɢɫɶ (ɞɨɞɚɬɨɤ 7) ɧɚ ɩɟɪɟɬɢɧɿ ɪɹɞɤɚ 21 ɿ ɝɪɚɮɢ 0,95 ɿ ɫɬɚɧɨɜɢɬɢɦɟ
2
Q
F
=
32,7. Ɂɜɿɞɫɢ ɦɚɽɦɨ:
.05,0)7,32(
2
²
F
Ɋ
Ɍɚɤɢɦ ɱɢɧɨɦ, ɜɟɥɢɱɢɧɚ
2
Q
F
, ɿɦɨɜɿɪɧɿɫɬɶ ɩɟɪɟɜɢɳɟɧɧɹ ɹɤɨʀ 0,05, ɛɭɞɟ 32,7
ɋɥɿɞ ɜɿɞɡɧɚɱɢɬɢ ɞɟɹɤɿ ɧɟɬɨɱɧɨɫɬɿ, ɳɨ ɿɫɧɭɸɬɶ ɭ ɧɚɜɱɚɥɶɧɿɣ
ɥɿɬɟɪɚɬɭɪɿ ɩɪɢ ɜɢɤɥɚɞɿ ɩɢɬɚɧɶ «ɯɿ – ɤɜɚɞɪɚɬ – ɤɪɢɬɟɪɿɸ». ȼɿɞɧɨɫɧɨ
ɣɨɝɨ ɜɿɞɤɪɢɬɬɹ, ɤɪɿɦ ɞɚɬɢ 1900 ɪ. (ɉɿɪɫɨɧ), ɫɥɿɞ ɩɚɦ'ɹɬɚɬɢ ɿ ɞɚɬɭ 1876
ɪ. (ɏɟɥɶɦɟɪɬ).
ɓɨ ɠ ɫɬɨɫɭɽɬɶɫɹ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨʀ ɬɚɛɥɢɰɿ
2
F
. - ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ, ɬɨ ɛɭɞɟ
ɧɟɬɨɱɧɢɦ ʀʀ ɿɧɮɨɪɦɚɰɿɸ ɧɚɡɢɜɚɬɢ «Ʉɪɢɬɟɪɿɣ ɉɟɪɫɨɧɚ», ɛɨ ɪɨɡɪɨɛɤɚ
ɰɿɽʀ ɬɚɛɥɢɰɿ ɧɚɥɟɠɢɬɶ Ɋ.Ɏɿɲɟɪɭ. Ɉɫɬɚɧɧɿɣ ɜɜɚɠɚɜ ɡɚɦɿɫɬɶ ɡɧɚɱɟɧɶ
ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ
2
F
Ɋ
, ɳɨ ɜɿɞɩɨɜɿɞɚɸɬɶ ɞɟɹɤɨɦɭ ɪɹɞɭ
2
F
, ɪɨɡɪɚɯɨɜɭɜɚɬɢ
ɡɧɚɱɟɧɧɹ
2
F
, ɹɤɿ ɜɿɞɧɨɫɹɬɶɫɹ ɞɨ ɨɛɪɚɧɢɯ ɪɿɜɧɿɜ ɿɦɨɜɿɪɧɨɫɬɟɣ ɩɪɢ
ɪɿɡɧɨɦɭ ɱɢɫɥɿ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ.
155
156
ɓɟ ɨɞɧɟ ɡɚɭɜɚɠɟɧɧɹ ɳɨɞɨ ɫɢɦɜɨɥɿɤɢ ɧɚɩɢɫɚɧɧɹ «ɯɿ – ɤɜɚɞɪɚɬ».
Ɂɜɢɱɚɣɧɨ ɩɪɢɣɧɹɬɚ ɮɨɪɦɚ
2
F
. Ȼɿɥɶɲ ɩɪɚɜɢɥɶɧɢɦ ɛɭɞɟ
2
QD
F
Ⱥɥɟ, ɹɤɳɨ
ɜɢɤɥɸɱɟɧɚ ɦɨɠɥɢɜɿɫɬɶ ɧɟɜɿɪɧɨɝɨ ɪɨɡɭɦɿɧɧɹ, ʀʀ ɦɨɠɧɚ ɡɚɩɢɫɭɜɚɬɢ ɡ
ɨɞɧɢɦ ɩɿɞɪɹɞɤɨɜɢɦ ɱɢɫɥɨɦ (ɿɧɞɟɤɫɨɦ). əɤɳɨ ɰɟ ɧɟ ɡɚɜɚɠɚɽ
ɩɪɚɜɢɥɶɧɨɦɭ ɫɩɪɢɣɦɚɧɧɸ ɡɦɿɫɬɨɜɧɨɝɨ ɧɚɜɚɧɬɚɠɟɧɧɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ,
ɡɚɩɢɫ ɣɨɝɨ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɿ ɛɟɡ ɩɿɞɪɹɞɤɨɜɢɯ ɿɧɞɟɤɫɿɜ.
6.2.5. Ɋɨɡɩɨɞɿɥ Ɏɿɲɟɪɚ – ɋɧɟɞɟɤɨɪɚ
ɍ ɰɿɥɨɦɭ ɪɹɞɿ ɡɚɞɚɱ, ɜɢɪɿɲɭɜɚɧɢɯ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨɸ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɨɸ,
ɡɨɤɪɟɦɚ ɭ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɦɭ ɿ ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨ - ɪɟɝɪɟɫɿɣɧɨɦɭ ɚɧɚɥɿɡɿ ,
ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ «ɪɨɡɩɨɞɿɥ F», ɧɚɡɜɚɧɢɣ ɬɚɤ ɩɨ ɩɟɪɲɢɣ ɥɿɬɟɪɿ
ɩɪɿɡɜɢɳɚ ɚɧɝɥɿɣɫɶɤɨɝɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɚ-ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɚ Ɋ.Ɏɿɲɟɪɚ. əɤɳɨ
1
ɂ
ɿ
2
ɂ
ɧɟɡɚɥɟɠɧɿ ɜɢɩɚɞɤɨɜɿ ɜɟɥɢɱɢɧɢ ɡ ɪɨɡɩɨɞɿɥɚɦɢ
2
F
, ɿ ɡ
1
Q
- ɿ
2
Q
ɫɬɭɩɟɧɹɦɢ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ, ɬɨ ɜɢɩɚɞɤɨɜɚ ɡɦɿɧɧɚ. F ɛɭɞɟ
ɞɨɪɿɜɧɸɜɚɬɢ:
.
:
:
1
2
2
2
2
1
22
1
2
1
Q
Q
Q
Q
u
ɂ
ɂ
ɂ
ɂ
F
Ɉɞɟɪɠɚɧɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ ɧɚɡɢɜɚɽɬɶɫɹ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨɸ ɡɦɿɧɧɨɸ ɡ
pɨɡɩɨɞɿɥɨɦ Ɏɿɲɟɪɚ-ɋɧɟɞɟɤɨɪɚ ɡ
1
Q
ɬɚ
2
Q
ɫɬɭɩɟɧɹɦɢ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ.
ɉɪɢɣɦɚɸɱɢ, ɳɨ
2
2
2
1
ɂɂ ²
ɜɟɥɢɱɢɧɚ F ɛɭɞɟ ɦɚɬɢ ɥɢɲɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ, ɧɟ
ɦɟɧɲɟ ɹɤ ȱ.
ɓɿɥɶɧɿɫɬɶ ɿɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ F , ɹɤɚ ɦɚɽ ɪɨɡɩɨɞɿɥ
Ɏɿɲɟɪɚ -ɋɧɟɞɟɤɨɪɚ ɡ
1
Q
ɿ
2
Q
ɫɬɭɩɟɧɹɦɢ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ, ɦɚɽ ɜɢɝɥɹɞ:
2
1
2
2
2
21
1
221
212
)1(
)
2
()
2
(
)(
2
)(
QQQ
Q
Q
QQ
Q
Q
Q
Q
PP
ȽȽ
F
Ph
.
ȼɧɚɫɥɿɞɨɤ ɜɟɥɢɤɨʀ ɫɤɥɚɞɧɨɫɬɿ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɭ ɿɧɬɟɝɪɚɥɿɜ ɞɨɜɟɞɟɧɧɹ
ɬɭɬ ɧɟ ɧɚɜɨɞɢɬɶɫɹ. Ⱥɥɟ, ɹɤ ɜɢɞɧɨ, ɪɨɡɩɨɞɿɥ F ɡɭɦɨɜɥɟɧɢɣ ɿ
ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɞɜɨɦɚ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚɦɢ, ɬɨɛɬɨ ɱɢɫɥɚɦɢ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ
1
Q
ɿ
2
Q
. Ɋɨɡɩɨɞɿɥ ɜɢɩɚɞɤɨɜɨʀ ɡɦɿɧɧɨʀ F ɩɨɞɚɧɨ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɫɩɟɰɿɚɥɶɧɢɯ
ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɯ ɬɚɛɥɢɰɶ. Ɉɫɬɚɧɧɿ ɩɨɛɭɞɨɜɚɧɿ ɬɚɤ, ɳɨɛ ɞɥɹ ɪɿɡɧɢɯ ɪɿɜɧɿɜ
ɞɨɜɿɪɱɨʀ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ (ɜ ɨɫɧɨɜɧɨɦɭ ɞɥɹ Ɋ = 0,95; Ɋ = 0,99, Ɋ = 0,999) ɿ
ɞɥɹ ɪɿɡɧɢɯ ɫɩɨɥɭɱɟɧɶ ɱɢɫɥɚ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ
1
Q
ɿ
2
Q
ɞɚɸɬɶɫɹ
ɡɧɚɱɟɧɧɹ F. əɤɳɨ ɩɪɢɣɧɹɬɢ ɩɨɡɧɚɱɟɧɧɹ ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɨʀ ɿ ɬɚɛɥɢɱɧɨʀ
ɜɟɥɢɱɢɧɢ F ɜɿɞɩɨɜɿɞɧɨ ɹɤ
p
F
ɿ
Ɍ
F
, ɬɨ ɞɥɹ ɧɢɯ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɚ ɛɭɞɟ
ɪɿɜɧɿɫɬɶ
^
`
;
D
²
Ɍp
FFɊ
Ɍɚɤɿ ɬɚɛɥɢɰɿ ɧɚɜɟɞɟɧɨ ɜ ɞɨɞɚɬɤɚɯ 8, ɿ 9. ɉɪɚɤɬɢɱɧɟ
156
157
ʀɯ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɛɭɞɟ ɪɨɡɝɥɹɧɭɬɨ ɭ ɪɨɡɞɿɥɚɯ «Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ»;
«Ʉɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨ – ɪɟɝɪɟɫɿɣɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ»; «Ɇɟɬɨɞɢ ɛɚɝɚɬɨɦɿɪɧɨɝɨ
ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ». Ɍɭɬ ɧɚɜɟɞɟɦɨ ɥɢɲɟ ɫɯɟɦɚɬɢɱɧɢɣ ɩɪɢɤɥɚɞ.
ɉɪɢɤɥɚɞ. ȼɢɜɱɢɜɲɢ ɤɿɥɶɤɿɫɧɢɣ ɜɩɥɢɜ ɮɚɤɬɨɪɚ ɪɿɜɧɹ ɩɪɨɞɭɤɬɢɜɧɿɫɬɶ ɩɪɚɰɿ
ɧɚ ʀʀ ɨɩɥɚɬɭ ɩɨ ɜɢɛɿɪɰɿ 60 ɩɿɞɩɪɢɽɦɫɬɜ, ɨɞɟɪɠɚɧɿ ɧɚɫɬɭɩɧɿ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɫɬɢɤɢ:
ɮɚɤɬɨɪɧɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ
2
ɯ
V
3,06, ɡɚɥɢɲɤɨɜɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ
2
=
V
= 0,15. ɑɢɫɥɨ ɫɬɭɩɟɧɿɜ
ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ ɞɥɹ ɮɚɤɬɨɪɧɨʀ ɨɡɧɚɤɢ
ɯ
Q
= 3 - I =2; ɞɥɹ ɧɟɜɪɚɯɨɜɚɧɢɯ ɮɚɤɬɨɪɿɜ -
=
Q
60 -
3 = 57.
Ɋɨɡɪɚɯɭɧɤɨɜɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ F - ɤɪɢɬɟɪɿɸ ɫɬɚɧɨɜɢɬɢɦɟ:
4.20
15.0
06.3
p
F
.
Ɂɚ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɸ ɬɚɛɥɢɰɟɸ F - ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɧɚɯɨɞɢɦɨ ɞɥɹ ɪɿɜɧɹ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ
Ɋ =0,95 ɿ ɫɬɭɩɟɧɿɜ ɜɿɥɶɧɨɫɬɿ
1
Q
=2.ɿ
57
2
Q
ɬɚɛɥɢɱɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ
F
Ɍ
= 3,15 ; F
p
>F
r
(20.4 >3,15).
Ɂɧɚɣɞɟɧɿ ɩɚɪɚɦɟɬɪɢ ɫɜɿɞɱɚɬɶ ɩɪɨ ɬɟ, ɳɨ ɜ ɞɨɫɥɿɞɠɭɜɚɧɢɯ ɩɿɞɩɪɢɽɦɫɬɜɚɯ
ɜɩɥɢɜ ɪɿɜɧɹ ɩɪɨɞɭɤɬɢɜɧɿɫɬɶ ɩɪɚɰɿ ɧɚ ʀʀ ɨɩɥɚɬɭ ɜɢɹɜɢɜɫɹ ɜɿɪɨɝɿɞɧɢɦ ɿɡ ɪɿɜɧɟɦ
ɿɦɨɜɿɪɧɨɫɬɿ 0,95.
ɇɚ ɡɚɤɿɧɱɟɧɧɹ ɜɿɞɡɧɚɱɢɦɨ, ɱɨɦɭ ɪɨɡɩɨɞɿɥ F ɧɚɡɢɜɚɸɬɶ
ɪɨɡɩɨɞɿɥɨɦ Ɏɿɲɟɪɚ- ɋɧɟɞɟɤɨɪɚ. ɋɩɪɚɜɚ ɜ ɬɨɦɭ, ɳɨ Ɋ.Ɏɿɲɟɪ ɩɟɪɲɢɣ
ɞɨɫɥɿɞɢɜ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɜɿɞɧɨɲɟɧɶ ɞɜɨɯ ɜɢɛɿɪɤɨɜɢɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ, ɚɥɟ
ɩɪɟɞɦɟɬɨɦ ɣɨɝɨ ɜɢɜɱɟɧɧɹ ɛɭɜ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɧɟ ɜɿɞɧɨɲɟɧɶ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ, ɚ
ɥɨɝɚɪɢɮɦɿɱɧɨʀ ɜɟɥɢɱɢɧɢ
).ln(
2
1
2
2
2
1
V
V
Ⱦɟɳɨ ɩɿɡɧɿɲɟ ɚɦɟɪɢɤɚɧɫɶɤɢɣ
ɫɬɚɬɢɫɬɢɤ Ⱦɠ.ɋɧɟɞɟɤɨɪ ɪɨɡɪɚɯɭɜɚɜ ɬɚɛɥɢɰɿ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɡɦɿɧɧɨʀ (
2
2
2
1
V
V
) ,
ɳɨ ɜɢɹɜɢɥɨɫɹ ɡɧɚɱɧɨ ɡɪɭɱɧɿɲɟ ɞɥɹ ɩɪɚɤɬɢɱɧɨɝɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɜ
ɪɨɡɪɚɯɭɧɤɚɯ. ɐɟɣ ɪɨɡɩɨɞɿɥ ɜɿɧ ɧɚɡɜɚɜ ɧɚ ɱɟɫɬɶ Ɏɿɲɟɪɚ
«Ɋɨɡɩɨɞɿɥɨɦ F». ɉɿɡɧɿɲɟ ɞɚɧɢɣ ɜɢɞ ɪɨɡɩɨɞɿɥɭ ɩɨɱɚɥɢ ɧɚɡɢɜɚɬɢ
«Ɋɨɡɩɨɞɿɥɨɦ Ɏɿɲɟɪɚ-ɋɧɟɞɟɤɨɪɚ».
157
158
ɆɈȾɍɅɖ 3
ɌȿɆȺ 7. ɋɌȺɌɂɋɌɂɑɇȱ ɆȿɌɈȾɂ ȼɂɆȱɊɘȼȺɇɇə
ȼɁȺȯɆɈɁȼ’əɁɄȱȼ
§ 7.1. Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ
7.1.1. Ɂɚɝɚɥɶɧɨɬɟɨɪɟɬɢɱɧɿ ɨɫɧɨɜɢ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɦɟɬɨɞɭ ɚɧɚɥɿɡɭ
ȼ ɟɩɨɯɭ ɛɭɪɯɥɢɜɨɝɨ ɪɨɡɜɢɬɤɭ ɟɤɨɧɨɦɿɤɢ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɦɟɬɨɞɿɜ
ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɜ ɟɤɨɧɨɦɿɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹɯ ɫɬɚɽ
ɧɚɝɚɥɶɧɨɸ ɧɟɨɛɯɿɞɧɿɫɬɸ. Ɍɪɟɛɚ ɜɢɡɧɚɬɢ, ɳɨ ɨɫɬɚɧɧɿɦ ɱɚɫɨɦ
ɲɢɪɨɤɨɝɨ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɭ ɛɚɝɚɬɨɮɚɤɬɨɪɧɨɦɭ ɚɧɚɥɿɡɿ ɧɚɛɭɜ
ɤɨɪɟɥɹɰɿɣɧɨ – ɪɟɝɪɟɫɿɣɧɢɣ ɦɟɬɨɞ, ɜɨɞɧɨɱɚɫ ɦɚɣɠɟ ɡɨɜɫɿɦ ɧɟ
ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɞɨɫɢɬɶ ɟɮɟɤɬɢɜɧɢɣ ɫɩɨɫɿɛ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɨ –
ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɨʀ ɨɛɪɨɛɤɢ ɞɚɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹ – ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ. əɤ ɿ
ɿɧɲɿ ɣɦɨɜɿɪɧɨɫɧɨ – ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɿ ɦɟɬɨɞɢ, ɜɿɧ ɧɚɛɚɝɚɬɨ ɪɨɡ
ɲɢɪɸɽ
ɦɨɠɥɢɜɨɫɬɿ ɟɤɨɧɨɦɿɫɬɿɜ ɚɝɪɚɪɿʀɜ ɜ ɚɧɚɥɿɡɿ ɜɢɪɨɛɧɢɰɬɜɚ ɣ ɡɧɚɱɧɨ
ɩɿɞɜɢɳɭɽ ɪɿɜɟɧɶ ɧɚɭɤɨɜɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɶ.
Ƚɨɥɨɜɧɟ ɩɪɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ – ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨ
ɜɢɹɜɢɬɢ ɜɩɥɢɜ ɪɿɡɧɢɯ ɮɚɤɬɨɪɿɜ ɧɚ ɦɿɧɥɢɜɿɫɬɶ ɨɡɧɚɤɢ, ɳɨ ɜɢɜɱɚɽɬɶɫɹ.
Ɉɫɨɛɥɢɜɢɣ ɿɧɬɟɪɟɫ ɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɦɟɬɨɞɭ ɜ ɚɧɚɥɿɡɿ
ɟɤɨɧɨɦɿɱɧɢɯ ɩɪɨɰɟɫɿɜ ɬɚ ɹɜɢɳ, ɤɨɥɢ ɦɿɧɥɢɜɿɫɬɶ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢɜɧɨʀ
ɨɡɧɚɤɢ ɡɭɦɨɜɥɟɧɚ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɞɿɽɸ ɤɿɥɶɤɨɯ ɮɚɤɬɨɪɿɜ ɿɡ ɧɟɨɞɧɚɤɨɜɨɸ
ɫɢɥɨɸ ɜɩɥɢɜɭ. Ɂɨɤɪɟɦɚ, ɰɟ ɫɩɨɫɬɟɪɿɝɚɽɬɶɫɹ ɩɪɢ ɚɧɚɥɿ
ɡɿ
ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢɜɧɢɯ ɫɢɧɬɟɬɢɱɧɢɯ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ ɟɤɨɧɨɦɿɱɧɨʀ ɟɮɟɤɬɢɜɧɨɫɬɿ
ɜɢɪɨɛɧɢɰɬɜɚ. ɇɚɣɛɿɥɶɲ ɟɮɟɤɬɢɜɧɢɣ ɬɭɬ ɨɞɧɨɱɚɫɧɢɣ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ
ɚɧɚɥɿɡ ɭɫɿɯ ɜɿɞɿɛɪɚɧɢɯ ɮɚɤɬɨɪɿɜ – ɛɚɝɚɬɨɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ. Ɇɨɠɧɚ,
ɡɜɢɱɚɣɧɨ, ɡɪɨɛɢɬɢ ɣ ɩɨɩɚɪɧɟ ɩɨɪɿɜɧɹɧɧɹ ɮɚɤɬɨɪɿɜ, ɩɪɢ ɹɤɨɦɭ ɜɫɿ ɿɧɲɿ
ɿɝɧɨɪɭɸɬɶɫɹ, ɨɞɧɚɤ ɬɚɤɢɣ ɩɿɞɯɿɞ
ɞɨ ɪɨɡɜ’ɹɡɚɧɧɹ ɩɢɬɚɧɧɹ ɧɟ ɞɚɽ ɡɦɨɝɢ
ɜɢɹɜɢɬɢ ɿɫɧɭɸɱɭ ɜ ɞɿɣɫɧɨɫɬɿ ɦɧɨɠɢɧɧɿɫɬɶ ɟɮ
ɟɤɬɿɜ ɜɡɚɽɦɨɞɿʀ.
ɉɪɢɣɧɹɬɬɹ ɧɚ ɨɡɛɪɨɽɧɧɹ ɟɤɨɧɨɦɿɫɬɿɜ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɦɟɬɨɞɭ
ɞɨɡɜɨɥɹɽ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɜɚɬɢ ɞɨɫɢɬɶ ɜɚɠɥɢɜɿ ɡɚɜɞɚɧɧɹ ɜɢɯɨɞɹɱɢ ɿɡ ɫɭɱɚɫɧɢɯ
ɜɢɦɨɝ ɞɨ ɪɿɜɧɹ ɟɤɨɧɨɦɿɱɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ. ɍ ɫɮɟɪɿ ɚɝɪɚɪɧɨ ɟɤɨɧɨɦɿɱɧɢɯ
ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɶ ɰɟɣ ɟɮɟɤɬɢɜɧɢɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɨ –
ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɢɣ ɡɚɫɿɛ
ɩɨɜɢɧɟɧ ɡɚɣɧɹɬɢ ɨɞɧɟ ɡ ɩɪɨɜɿɞɧɢɯ ɦɿɫɰɶ ɧɚɫɚɦɩɟɪɟɞ ɬɨɦɭ, ɳɨ
ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɦɟɬɨɞɭ ɦɨɠɟ ɦɚɬɢ ɫɚɦɨɫɬɿɣɧɟ ɡɧɚɱɟɧɧɹ.
Ɂɨɤɪɟɦɚ, ɡɚ ɣɨɝɨ ɞɨɩɨɦɨɝɨɸ ɪɨɡɜ’ɹɡɭɸɬɶɫɹ ɬɚɤɿ ɡɚɜɞɚɧɧɹ: 1) ɤɿɥɶɤɿɫɧɟ
ɜɢɦɿɪɸɜɚɧɧɹ ɫɢɥɢ ɜɩɥɢɜɭ ɮɚɤɬɨɪɧɢɯ ɨɡɧɚɤ ɬɚ ʀɯ ɫɩɨɥɭɱɟɧɶ ɧɚ
ɪɟɡ
ɭɥɶɬɚɬɢɜɧɭ; 2) ɜɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɜɿɪɨɝɿɞɧɨɫɬɿ ɜɩɥɢɜɭ ɬɚ ɣɨɝɨ ɞɨɜɿɪɱɢɯ
158
159
ɦɟɠ; 2) ɚɧɚɥɿɡ ɨɤɪɟɦɢɯ ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɬɚ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɚ ɨɰɿɧɤɚ ʀɯ ɪɿɡɧɢɰɿ.
ɍ ɩɨɝɥɢɛɥɟɧɨɦɭ ɟɤɨɧɨɦɿɱɧɨɦɭ ɚɧɚɥɿɡɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɦɟɬɨɞ ɦɨɠɟ
ɜɢɤɨɧɭɜɚɬɢ ɞɨɩɨɦɿɠɧɿ ɮɭɧɤɰɿʀ. ɍ ɰɶɨɦɭ ɩɥɚɧɿ ɣɨɝɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ
ɜɿɞɤɪɢɜɚɽ ɲɢɪɨɤɿ ɦɨɠɥɢɜɨɫɬɿ ɳɨɞɨ ɧɚɭɤɨɜɨ ɨɛʉɪɭɧɬɨɜɚɧɨɝɨ ɩɿɞɯɨɞɭ
ɞɨ ɡɚɫɬɨɫɭɜɚɧɧɹ ɿɧɲɢɯ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɯ ɦɟɬɨɞɿɜ ɤɿɥɶɤɿɫɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ.
əɤ ɿ ɿɧɲɿ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɨ – ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɧɿ ɦɟɬɨɞɢ, ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ
ɹɜɥɹɽ ɫɨɛɨɸ ɱɢɫɬɨ ɬɟɯɧɿɱɧɢɣ ɡɚɫɿɛ ɧɚɭɤɨɜɨɝɨ ɩɿɡɧɚɧɧɹ. ȱ
ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɣɨɝɨ ɩɪɢ ɜɢɜɱɟɧɧɿ ɚɝɪɚɪɧɨ – ɟɤɨɧɨɦɿɱɧɢɯ ɩɪɨɰɟɫɿɜ
ɩɟɪɟɞɛɚɱɚɽ ɡɧɚɧɧɹ ɩɟɪɲ ɡɚ ɜɫɟ ɫɭɬɿ ɩɪɨɰɟɫɿɜ, ɪɨɡɭɦɿɧɧɹ ɩɪɢɱɢɧɧɨ –
ɧɚɫɥɿɞɤɨɜɢɯ ɡɜ’ɹɡɤɿɜ ɦɿɠ ɹɜɢɳɚɦɢ, ɳɨ ɜɢɜɱɚɸɬɶɫɹ, ɬɚ ɜɦɿɧɧɹ
ɜɢɞɿɥɢɬɢ ɧɚɣɛɿɥɶɲ ɜɚɠɥɢɜɿ ɫɬɨɪɨɧɢ ɜɡɚɽɦɨɩɨɜ’ɹɡɚɧɢɯ ɬɚ
ɜɡɚɽɦɨɡɭɦɨɜɥɟɧɢɯ ɟɤɨɧɨɦɿɱɧɢɯ ɹɜɢɳ.
Ⱦɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ – ɰɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɨ – ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɣ ɦɟɬɨɞ
ɜɢɜɱɟɧɧɹ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɿɜ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɧɹ, ɳɨ ɡɚɥɟɠɚɬɶ ɜɿɞ ɪɿɡɧɨɦɚɧɿɬɧɢɯ
ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɞɿɸɱɢɯ ɮɚɤɬɨɪɿɜ. ȼɿɧ ɫɬɜ
ɨɪɟɧɢɣ ɜ ɞɜɚɞɰɹɬɢɯ ɪɨɤɚɯ ɧɚɲɨɝɨ
ɫɬɨɥɿɬɬɹ ɡɭɫɢɥɥɹɦɢ Ɋ.Ɏɿɲɟɪɚ. ɭ ɩɨɞɚɥɶɲɨɦɭ ɫɭɬɬɽɜɨɝɨ ɪɨɡɜɢɬɤɭ
ɦɟɬɨɞ ɧɚɛɭɜ ɭ ɩɪɚɰɹɯ ȱɟɣɬɫɚ.
ɍ ɧɚɲɿɣ ɤɪɚʀɧɿ ɩɟɪɲɢɣ ɨɩɢɫ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ ɚɧɚɥɿɡɭ ɡɞɿɣɫɧɟɧɨ ɭ
1933 ɪ. Ɇ.Ɏ.Ⱦɟɪɟɜɢɰɶɤɢɦ ɭ ɞɨɞɚɬɤɨɜɢɯ ɪɨɡɞɿɥɚɯ ɞɨ ɩɿɞɪɭɱɧɢɤɚ
ȼ.ȱɨɝɚɧɫɟɧɚ «ȿɥɟɦɟɧɬɢ ɬɨɱɧɨɝɨ ɜɱɟɧɧɹ ɩɪɨ ɡɦɿɧɸɜɚɧɿɫɬɶ ɬɚ
ɫɩɚɞɤɨɜɿɫɬɶ».
ɋɥɿɞ ɜɿɞɡɧɚɱɢɬɢ, ɳɨ ɜ ɟɤɨɧɨɦɿɱɧɢɯ ɞɨɫɥɿɞɠɟɧɧɹɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɢɣ
ɦɟɬɨɞ ɳɟ ɧɟ ɧɚɛɭɜ ɬɚɤɨɝɨ ɲɢɪɨɤɨɝɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ, ɹɤ ɭ ɛɿɨɥ
ɨɝɿʀ,
ɡɨɨɬɟɯɧɿʀ, ɬɚ ɬɟɯɧɿɰɿ
. ɇɚɬɨɦɿɫɬɶ ɦɨɠɥɢɜɨɫɬɿ ɣɨɝɨ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɜ
ɫɮɟɪɿ ɟɤɨɧɨɦɿɤɢ ɞɨɫɢɬɶ ɲɢɪɨɤɿ. Ɉɫɧɨɜɧɟ ɩɪɢɡɧɚɱɟɧɧɹ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɝɨ
ɚɧɚɥɿɡɭ –ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨ ɜɢɹɜɢɬɢ ɜɩɥɢɜ ɮɚɤɬɨɪɿɜ ɧɚ ɜɚɪɿɚɰɿɸ ɨɡɧɚɤɢ, ɳɨ
ɜɢɜɱɚɽɬɶɫɹ. Ɉɫɨɛɥɢɜɢɣ ɿɧɬɟɪɟɫ ɫɬɚɧɨɜɢɬɶ ɜɢɤɨɪɢɫɬɚɧɧɹ ɰɶɨɝɨ ɦɟɬɨɞɭ
ɜ ɬɢɯ ɜɢɩɚɞɤɚɯ, ɤɨɥɢ ɡɦɿɧɚ ɡɝɚɞɚɧɨʀ ɨɡɧɚɤɢ ɡɭɦɨɜɥɟɧɚ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɞɿɽɸ
– ɮɚɤɬɨɪɿɜ, ɱɚɫɬɤɚ ɜɩɥɢɜɭ ɹɤɢɯ ɪɿɡ
ɧɨɦɚɧɿɬɧɚ
.
ɍ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣɧɨɦɭ ɚɧɚɥɿɡɿ ɜɢɤɨɪɢɫɬɨɜɭɽɬɶɫɹ ɜɥɚɫɬɢɜɿɫɬɶ ɫɭɦɢ
ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɰɟɧɬɪɚɥɶɧɢɯ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ. ɋɭɬɶ ʀʀ ɩɨɥɹɝɚɽ ɜ ɬɨɦɭ, ɳɨ ɤɨɥɢ
ɤɿɥɶɤɚ ɩɨɜɧɿɫɬɸ ɧɟɡɚɥɟɠɧɢɯ ɮɚɤɬɨɪɿɜ ɞɿɸɬɶ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨ ɣ ɡɭɦɨɜɥɸɸɬɶ
ɡɚɝɚɥɶɧɭ ɡɦɿɧɸɜɚɧɿɫɬɶ ɨɡɧɚɤɢ, ɬɨ ɫɭɦɚ ɨɤɪɟɦɢɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ, ɳɨ
ɜɢɦɿɪɸ
ɸɬɶ ʀɯ ɜɩɥɢɜ, ɞɨɪɿɜɧɸɽ ɡɚɝɚɥɶɧɿɣ ɞɢɫɩɟɪɫɿʀ: Ⱦ
1
+ Ⱦ
2
+
Ⱦ
3
+…+ Ⱦ
ɩ
= Ⱦ
ɡɚɝ.
Ɂɚ ɨɞɧɨɮɚɤɬɨɪɧɨɸ ɫɯɟɦɨɸ ɜɢɜɱɟɧɧɹ ɡɞɿɣɫɧɸɸɬɶ, ɦɚɧɟɜɪɭɸɱɢ
ɥɢɲɟ ɨɞɧɿɽɸ ɨɡɧɚɤɨɸ, ɜɜɚɠɚɸɱɢ ɿɧɲɿ ɧɟɡɦɿɧɸɜɚɧɢɦɢ. Ɍɚɤɢɣ ɦɟɬɨɞ
ɧɟ ɞɚɽ ɡɦɨɝɢ ɜɢɹɜɢɬɢ ɜɡɚɽɦɨɞɿɸ ɮɚɤɬɨɪɿɜ ɩɪɢ ɨɞɧɨɱɚɫɧɿɣ ʀɯ ɡɦɿɧɿ.
ɐɢɯ ɧɟɞɨɥɿɤɿɜ ɩɨɡɛɚɜɥɟɧɢɣ ɛɚɝɚɬɨɮɚɤɬɨɪɧɢɣ ɚɧɚɥɿɡ, ɩɪɢ ɹɤɨɦɭ ɤɨɠɧɟ
159
160
ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɧɹ ɫɥɭɠɢɬɶ ɞɥɹ ɨɞɧɨɱɚɫɧɨʀ ɨɰɿɧɤɢ ɜɫɿɯ ɮɚɤɬɨɪɿɜ ɬɚ ʀɯ
ɜɡɚɽɦɨɞɿɣ.
əɤɳɨ ɜɿɞɨɛɪɚɡɢɬɢ ɡɚɝɚɥɶɧɭ ɦɿɧɥɢɜɿɫɬɶ ɪɿɜɧɹ ɬɿɽʀ ɱɢ ɿɧɲɨʀ ɨɡɧɚɤɢ
ɱɟɪɟɡ ɋ
ɭ
, ɬɨ ʀʀ ɦɨɠɧɚ ɩɨɤɚɡɚɬɢ ɹɤ ɫɭɦɭ ɨɤɪɟɦɢɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ, ɳɨ
ɜɢɧɢɤɚɸɬɶ ɩɿɞ ɞɿɽɸ ɪɿɡɧɢɯ ɮɚɤɬɨɪɿɜ. Ɂɚɝɚɥɶɧɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ (ɋ
ɭ
)
ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ ɫɭɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɜɿɞɯɢɥɟɧɶ ɤɨɠɧɨʀ ɜɚɪɿɚɧɬɢ ɜɿɞ
ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨʀ ɿ ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɪɨɡɤɥɚɞɟɧɚ ɧɚ ɫɤɥɚɞɨɜɿ: 1) ɋ
ɯ
–
ɮɚɤɬɨɪɧɚ (ɦɿɠɝɪɭɩɨɜɚ) ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ, ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ, ɳɨ ɜɢɧɢɤɚɽ ɩɿɞ ɜɩɥɢɜɨɦ
ɜɪɚɯɨɜɚɧɢɯ ɮɚɤɬɨɪɿɜ; 2) ɋ
z
–ɡɚɥɢɲɤɨɜɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ
(ɜɧɭɬɪɿɲɧɶɨɝɪɭɩɨɜɚ), ɡɭɦɨɜɥɟɧɚ ɞɿɽɸ ɪɿɡɧɢɯ ɜɢɩɚɞɤɨɜɢɯ
(ɧɟɜɪɚɯɨɜɚɧɢɯ) ɮɚɤɬɨɪɿɜ.
ɍ ɡɚɝɚɥɶɧɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ (ɦɿɧɥɢɜɿɫɬɶ) ɨɡɧɚɤɢ ɜɢɪɚɠɚɽɬɶɫɹ
ɬɚɤ: ɋ
ɭ
=ɋ
ɯ
+ɋ
z
.
Ɏɚɤɬɨɪɧɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ (ɋ
ɯ
) ɹɜɥɹɽ ɫɨɛɨɸ ɫɭɦɭ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ ɨɤɪɟɦɢɯ
ɫɟɪɟɞɧɿɯ ɡɧɚɱɟɧɶ ɨɡɧɚɤɢ (Ɇ
ɯ
), ɨɞɟɪɠɚɧɢɯ ɭ ɝɪɭɩɚɯ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ
ɤɨɦɩɥɟɤɫɭ ɞɿɸɱɢɯ ɮɚɤɬɨɪɿɜ, ɬɚ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨʀ (Ɇ
ɡɚɝ.
), ɹɤɚ
ɨɛɱɢɫɥɸɽɬɶɫɹ ɞɥɹ ɜɫɶɨɝɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɨɝɨ ɤɨɦɩɥɟɤɫɭ ɿɡ ɩɨɤɚɡɧɢɤɿɜ
ɜɚɪɿɸɸɱɨʀ ɨɡɧɚɤɢ. ɐɟ ɦɨɠɥɢɜɨ ɜɿɞɨɛɪɚɡɢɬɢ ɭ ɜɢɝɥɹɞɿ: ɋ
ɯ
=(Ɇ
ɱɚɫɬ.
-
Ɇ
ɡɚɝ.
)
2
ɚɛɨ ɋ
ɯ
=ɩ
ɯ
(Ɇ
ɱɚɫɬ.
- Ɇ
ɡɚɝ.
)
2
, ɞɟ ɩ
ɯ
– ɤɿɥɶɤɿɫɬɶ ɫɩɨɫɬɟɪɟɠɟɧɶ ɡɚ
ɝɪɚɞɚɰɿɹɦɢ ɮɚɤɬɨɪɿɜ.
ȼɢɩɚɞɤɨɜɚ (ɋ
z
) ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɜɢɡɧɚɱɚɽɬɶɫɹ ɹɤ ɫɭɦɚ ɤɜɚɞɪɚɬɿɜ
ɪɿɡɧɢɰɶ ɜɚɪɿɸɸɱɨʀ ɨɡɧɚɤɢ (V) ɜɿɞɧɨɫɧɨ ɱɚɫɬɤɨɜɨʀ ɫɟɪɟɞɧɶɨʀ
ɚɪɢɮɦɟɬɢɱɧɨʀ: ɋ
z
=(V-Ɇ
ɱɚɫɬ..
)
2
.
ȼɿɞɧɨɲɟɧɧɹ ɫɤɥɚɞɨɜɢɯ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɞɨ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɽ
ɫɬɭɩɿɧɶ ɮɚɤɬɨɪɧɢɯ ɨɡɧɚɤ ɭ ɮɨɪɦɭɜɚɧɧɿ ɡɚɝɚɥɶɧɨʀ ɦɿɧɥɢɜɨɫɬɿ
ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢɜɧɨʀ ɨɡɧɚɤɢ. Ɍɚɤ, ɫɬɭɩɿɧɶ ɜɩɥɢɜɭ ɜɪɚɯɨɜɚɧɢɯ ɮɚɤɬɨɪɿɜ
ɫɬɚɧɨɜɢɬɶ
.
2
ɭ
ɯ
z
ɋ
ɋ
K
ȼɿɞɡɧɚɱɟɧɟ ɜɢɳɟ ɫɬɨɫɭɽɬɶɫɹ ɜɢɜɱɟɧɧɹ ɦɿɧɥɢɜɨɫɬɿ ɨɡɧɚɤ ɩɿɞ
ɜɩɥɢɜɨɦ ɨɞɧɨɝɨ ɮɚɤɬɨɪɚ. əɤɳɨ ɠ ɜɢɜɱɚɽɬɶɫɹ ɡɦɿɧɸɜɚɧɿɫɬɶ
ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢɜɧɨʀ ɨɡɧɚɤɢ, ɡɭɦɨɜɥɟɧɚ ɜɩɥɢɜɨɦ ɤɿɥɶɤɨɯ ɮɚɤɬɨɪɿɜ, ɬɨɞɿ
ɮɚɤɬɨɪɧɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɋ
ɯ
ɦɨɠɟ ɛɭɬɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɚ ɫɭɦɨɸ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ
ɤɨɠɧɨɝɨ ɮɚɤɬɨɪɚ ɨɤɪɟɦɨ (Ⱥ, ȼ,ɋ ɿ ɬ.ɞ.) ɬɚ ɞɢɫɩɟɪɫɿɣ ɫɩɿɥɶɧɨʀ ɞɿʀ
ɮɚɤɬɨɪɿɜ, ɳɨ ɚɧɚɥɿɡɭɸɬɶɫɹ ( Ⱥȼ, Ⱥɋ, ȼɋ, Ⱥȼɋ, ɿ ɬ.ɞ.) . Ⱦɥɹ ɜɢɩɚɞɤɭ,
ɤɨɥɢ ɞɨɫɥɿɞɠɭɽɬɶɫɹ ɜɩɥɢɜ ɧɚ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɢɜɧɭ ɨɡɧɚɤɭ ɬɪɶɨɯ ɮɚɤɬɨɪɿɜ, ɰɹ
ɞɢɫɩɟɪɫɿɹ ɡɚɩɢɫɭɽɬɶɫɹ ɜ ɬɚɤɨɦɭ ɜɢɝɥɹɞɿ
ɋ
ɯ
=ɋ
Ⱥ
+ɋ
ȼ
+ɋ
ɋ
+ɋ
Ⱥȼ
+ɋ
Ⱥɋ
+ɋ
ȼɋ
+ɋ
Ⱥȼɋ
.
ɇɚɜɟɞɟɧɟ ɪɿɜɧɹɧɧɹ ɦɚɽ ɫɢɥɭ, ɹɤɳɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɧɢɣ ɤɨɦɩɥɟɤɫ ɡɚ
ɫɩɿɜɜɿɞɧɨɲɟɧɧɹɦ ɱɚɫɬɨɬ ɧɚɥɟɠɢɬɶ ɞɨ ɪɿɜɧɨɦɿɪɧɨɝɨ ɩɪɨɩɨɪɰɿɣɧɨɝɨ
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