Паничев В.В., Соловьев Н.А. Компьютерное моделирование

Подождите немного. Документ загружается.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

“Оренбургский государственный университет”

В.В. ПАНИЧЕВ,

Н.А. СОЛОВЬЕВ

КОМПЬЮТЕРНОЕ

МОДЕЛИРОВАНИЕ

Рекомендовано Ученым советом государственного образовательного

учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский

государственный университет» в качестве учебного пособия для студентов,

обучающихся по программам высшего профессионального образования по

специальности «Программное обеспечение вычислительной техники и

автоматизированных систем»

Оренбург 2008

УДК 519.876.5

ББК 22.18

С 56

Рецензент

кандидат технических наук И. Шевченко

Паничев В.В.

С 56 Компьютерное моделирование: учебное пособие / В.В. Паничев,

Н.А. Соловьев – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2008. – 130 с.

ISBN 5-06-004087-9

В пособии рассмотрены основы теории моделирования систем;

принципы и методы математического и имитационного моделирования

динамических систем и систем

массового обслуживания. Теоретический

материал дополнен примерами и задачами с решениями, вопросами для

самопроверки.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по

программам высшего профессионального образования по специальности

230105.65 «Программное обеспечение вычислительной техники и

автоматизированных систем», при изучении дисциплины «Компьютерное

моделирование».

УДК 519.876.5

ББК 22.18

ISBN

Содержание

стр.

Введение…………………………………………………………………….5

1 Принципы построения математических моделей систем……………...6

1.1 Основные понятия теории моделирования систем…………………..6

1.1.1 Понятие модели. Виды моделирования…………………………….6

1.1.2 Этапы компьютерного моделирования……………………………..8

1.1.3 Принципы моделирования………………………………………….10

1.1.4 Математическая модель…………………………………………….11

1.1.5 Классификация математических моделей…………………………14

1.2 Моделирование сложных систем…………………………………….18

1.2.1 Основные понятия и определения…………………………………18

1.2.2 Модель сложной системы…………………………………………..20

1.2.3 Ограничения на параметры и характеристики модели…………...22

1.2.4 Общий подход к формированию математических моделей……...23

1.3 Типовые математические схемы моделирования…………………...25

Вопросы для самоконтроля…………………………………………..29

2 Принципы имитационного моделирования систем…………………..30

2.1 Статистическое моделирование систем……………………………..30

2.1.1 Характеристика методов моделирования вероятностных объек-

тов…………………………………………………………………………..30

2.1.2 Формирование базовой последовательности случайных чисел….33

2.1.3 Моделирование случайных событий………………………………35

2.1.4 Моделирование случайных величин……………………………….36

2.2 Имитационное моделирование сложных систем……………………39

2.2.1 Характеристика имитационных моделей…………………………..39

2.2.2

Принципы изменения модельного времени ……………………….40

2.2.3 Этапы имитационного моделирования системы ………………….43

2.2.4 Способы имитации поведения системы …….……………………..47

Вопросы для самоконтроля…………………………………………48

3 Эксперимент с моделью. Обработка результатов моделирования…...49

3.1 Планирование эксперимента………………………………………….49

3.1.1 Методы теории планирования………………………………………49

3.1.2 Стратегическое планирование эксперимента……………………...50

3.1.3 Обеспечение точности и достоверности результатов моделирова-

ния…………………………………………………………………………..53

3.2 Статистический анализ результатов моделирования………………..60

3.2.1 Оценивание вероятностных распределений и их

числовых харак-

теристик…………………………………………………………………….60

3.2.2 Проверка адекватности моделей……………………………………63

3.2.3 Проверка устойчивости и чувствительности моделей…………….67

3.2.4 Критерии согласия…………………………………………………...69

3.3 Статистическое исследование зависимостей………………………...72

анализ……………………………………………

7.2 Корреляционный анализ…………………………………………..

анализ…………………………………………….

3.3.1 Дисперсионный анализ………………………………………………72

3.3.2 Корреляционный анализ…………………………………………….74

3.3.3 Регрессионный анализ……………………………………………….76

Вопросы для самоконтроля…………………………………………...77

4 Моделирование динамических систем…………………………………78

4.1 Идентификация динамических систем……………………………….78

4.2 Алгоритмизация непрерывно – детерминированных моделей……..81

4.2.1 Решетчатые функции. Разностные и рекуррентные уравнения…..81

4.2.2 Алгоритмизация НДМ на основе z преобразований………………85

4.2.3 Особенности алгоритмизации моделей систем автоматического

управления…………………………………………………………………89

Вопросы для самоконтроля…………………………………………92

5 Моделирование систем массового обслуживания…………………….93

5.1 Аналитические

модели систем массового обслуживания………….93

5.1.1 Потоки событий……………………………………………………..93

5.1.2 Марковские случайные процессы………………………………….95

5.1.3 Непрерывно-вероятностные модели……………………………..102

5.2 Имитационное моделирование процессов функционирования

систем массового обслуживания……………………………………….108

5.2.1 Формирование воздействий………………………………………108

5.2.2 Способы построения моделирующего алгоритма………………110

5.2.3 Особенности имитации процесса функционирования систем…112

5.2.4 Моделирующие алгоритмы процессов функционирования

системы…………………………………………………………………..113

5.3 Имитационное моделирование систем массового обслуживания

в среде «MATLAB»…………………………………………………….121

5.3.1 Имитация потоков заявок

и обслуживаний…………………......121

5.3.2 Модели накопителей и каналов обслуживания…………………123

5.3.3 Модели типовых схем систем массового обслуживания………124

Вопросы для самоконтроля………………………………………128

Литература………………………………………………………...130

Введение

Современный этап информатизации общества выдвигает в разряд при-

оритетных направлений развитие образования. Для практической деятельно-

сти существенное значение приобретают фундаментальные знания, необхо-

димые для развития личности. Важна не только конструктивность приобре-

таемых знаний, но и умение структурировать их в соответствии с поставлен-

ными целями. В этом плане особое место занимает модельный

подход, осно-

ванный на методологии системного анализа. Возможности его крайне много-

образны как по используемым формальным моделям, так и по способам реа-

лизации методов моделирования. Физическое моделирование ограничено

рамками простых систем.

Исследование сложных и больших систем из-за трудностей математи-

ческого описания, как правило, осуществляют методами имитационного мо-

делирования. Появление

новых информационных технологий не только рас-

ширяет возможности моделирующих систем, но и позволяет широко приме-

нять многообразие уже разработанных моделей и способов их реализации.

По этим причинам машинное моделирование в настоящее время стало

средством решения многих сложных задач автоматизации исследований,

экспериментов и проектирования систем. Однако научится моделированию

как рабочему инструменту инженера

, освоить его возможности можно только

при полном овладении приемами и технологией моделирования процессов

функционирования систем на ЭВМ. Именно эту цель преследует данное

учебное пособие. Учебное пособие обеспечивает изучение студентами обще -

профессиональной дисциплины «Компьютерное моделирование» в системе

подготовки специалистов по направлению «Информатика и вычислительная

техника».

Учебный материал пособия излагается в пяти

разделах.

Первые три раздела посвящены основам теории моделирования систем.

При этом в первом и втором разделах рассматриваются принципы построе-

ния математических и имитационных моделей, а в третьем – вопросы плани-

рования модельных экспериментов, методы анализа и интерпретации резуль-

татов моделирования систем.

Четвертый раздел посвящен идентификации динамических систем и

алгоритмизации математических моделей

этих систем на основе рекуррент-

ных соотношений, получаемых с помощью дискретного преобразования

дифференциальных или разностных уравнений.

В пятом разделе рассматриваются: основные положения теории массового

обслуживания; принципы построения моделирующих алгоритмов и особен-

ности имитации процессов функционирования систем массового обслужива-

ния; способы построения имитационных моделей систем массового обслу-

живания в среде «MATLAB» и

методы их исследования.

1 Принципы построения математических моделей систем

1.1 Основные понятия теории моделирования систем

1.1.1 Понятие модели. Виды моделирования

Основным методом научных исследований является эксперимент с изу-

чаемым объектом, явлением или процессом. Под экспериментом понимают

научную постановку опытов и наблюдение за поведением исследуемого яв-

ления в строго учитываемых условиях. Зачастую он может быть трудновы-

полним, экономически не выгоден или просто невозможен, например, ввиду

отсутствия исследуемого объекта. В этом случае применяют

особую форму

эксперимента, называемую моделированием. По своему содержанию модели-

рование направлено на выявление свойств изучаемого объекта, построение

его модели и прогнозирование поведения исследуемого объекта. В ряде наи-

более важных случаев к целям моделирования относятся:

обоснование достоверности математического описания объекта;

получение функциональных зависимостей между переменными модели;

сравнение стратегий поведения сторон в

конфликтных ситуациях;

идентификация исследуемого объекта;

оптимизация модели и выбор целевой функции;

применение модели для обучения и тренировок.

Сущность моделирования заключается в следующем.

Построение модели начинается с изучения объекта и выдвижения гипо-

тезы о характере свойств его на основе ограниченных сведений, некоторых

догадках и предположениях. Для этого анализируются объекты-аналоги, из

них выбирается прототип, наиболее близкий аналог объекта, исследование

свойств которого доступно исследователю. В результате анализа прототипа

создается некоторая логическая схема, позволяющая провести эксперимент и

уточнить свойства объекта. Такую логическую схему называют моделью объ-

екта. При сходстве математического описания модели и объекта, т.е. при ус-

ловии их подобия, результаты исследования свойств

модели можно пересчи-

тать (перенести) на объект. Модель считается адекватной объекту, если ре-

зультаты моделирования подтверждаются.

Моделированием называют способ, прием познания, позволяющий с

помощью одной системы, чаще всего, искусственной воспроизвести в необ-

ходимом объеме и с требуемой точностью исследуемые стороны, свойства

другой более сложной системы, являющейся объектом исследования.

Модель-это

физическая или абстрактная система, воспроизводящая

объект исследования и удобная для проведения экспериментов.

Уд о б с т во проведения исследований может определяться различными

факторами: легкостью и доступностью получения информации, сокращением

сроков и уменьшением материальных затрат на исследование и др.

Рассмотрим краткую классификацию видов моделирования систем

(рис. 1.1).

Рисунок 1.1 Классификация видов моделирования систем

Различают моделирование физическое и математическое.

Физическое моделирование предполагает, что в качестве модели ис-

пользуется либо сама исследуемая система (например, в случае производст-

венного эксперимента), либо другая система с той же или подобной физиче-

ской природой. Обычно изготавливается макетный или опытный образец

объекта, проводятся испытания,

в процессе которых определяются его вы-

ходные параметры и характеристики, оцениваются надежность функциони-

рования и степень выполнения технических требований, предъявленных к

объекту. Если вариант технической разработки оказался неудачным, все по-

вторяется сначала, то есть осуществляется повторное проектирование, изго-

товление опытного образца, испытания и т.д. Примером такого физического

моделирования является продувка

моделей самолетов в аэродинамических

трубах. Понятно, что физическое моделирование сопряжено с большими

временными и материальными затратами.

Под математическим моделированием понимается процесс установ-

ления соответствия данной реальной системы некоторой математической мо-

дели и исследование этой модели, позволяющее получить характеристики ре-

альной системы.

Математическое моделирование может быть как аналитическим, так и

компьютерным

Для аналитического моделирования характерно то, что процесс

функционирования элементов системы записывается в виде некоторых мате-

матических соотношений (алгебраических, интегральных, разностных и т.д.)

или логических условий. Аналитическая модель может исследоваться:

аналитически, когда стремятся получить явные зависимости для иско-

мых характеристик системы;

численно, когда, не умея решать уравнения, стремятся получить чис-

ленные результаты, при конкретных исходных и начальных условиях;

качественно, когда, не имея решения в явном виде, можно найти неко-

торые свойства решения (например, оценить устойчивость решения).

Математическая модель приближенно описывает реальный процесс,

явление или объект с помощью математических соотношений. Математиче-

ские модели могут представлять собой системы дифференциальных уравне-

ний (обыкновенных или в частных производных), системы алгебраических

уравнений, разностные уравнения, линейные, нелинейные уравнения и т.д.

Компьютерное моделирование можно разделить на три вида: числен-

ное, имитационное, статистическое.

Для

компьютерного моделирования характерно, что математическая

модель системы представлена в виде программы на ЭВМ или компьютерной

модели, позволяющей проводить с ней вычислительные эксперименты. При

численном моделировании для построения компьютерной модели исполь-

зуются методы вычислительной математики, а вычислительный эксперимент

заключается в численном решении некоторых математических уравнений при

заданных значениях параметров и начальных

условиях. Имитационное мо-

делирование – это вид компьютерного моделирования, для которого харак-

терно воспроизведение на ЭВМ (имитация) процесса функционирования ис-

следуемой системы. При этом имитируются элементарные явления, состав-

ляющие процесс, с сохранением их логической структуры, последовательно-

сти протекания во времени, что позволяет получить информацию о состоянии

системы в заданные моменты времени. Статистическое

моделирование –

это вид компьютерного моделирования, позволяющий получить статистиче-

ские данные о процессах в моделируемой системе.

1.1.2 Этапы компьютерного моделирования

Для компьютерного моделирования можно выделить три ступени раз-

вития. Первая ступень связана с началом появления точных наук. Поэтому

некоторые методы вычислений носят имена таких корифеев наук, как Нью-

тон, Эйлер, а

слово «алгоритм» происходит от имени средневекового арабско-

го ученого Аль - Хорезми. Вторая ступень начинается с 50-х годов 20 века,

когда появились скромные по нынешним меркам ЭВМ (компьютеры), кото-

рые избавили ученых от огромной по объему вычислительной работы. Сей-

час общество подошло к третьей ступени развития, когда моделирование

«встраивается» в структуры информационного

общества.

Компьютерное моделирование какого-либо объекта порождает такой

план действий, который можно разбить на три этапа: модель – алгоритм –

программа (рис. 1.2).

На первом этапе строится «эквивалент» объекта. Этот «эквивалент» от-

ражает в математической форме важные для данного исследования свойства

объекта: законы, которым подчиняется объект, связи, присущие его частям и

т.д

. Затем математическая модель исследуется теоретическими методами, что

позволяет получить предварительные знания об объекте.

Второй этап – разработка алгоритма для реализации модели на компью-

тере. Модель представляется в форме, удобной для применения численных

методов, определяется последовательность вычислительных и логических

операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с за-

данной точностью. Вычислительные алгоритмы не должны искажать основ-

ные свойства модели и, следовательно, исходного объекта, быть экономич

ными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач и используемых

компьютеров.

Рисунок 1.2 - Технология компьютерного моделирования

На третьем этапе создаются программы, «переводящие» модель и алго-

ритм на доступный компьютеру язык. К ним также предъявляются требова-

ния экономичности и адаптивности. Их можно назвать «электронным» экви-

валентом изучаемого объекта, уже

пригодным для испытания на компьютере.

Создав триаду «модель – алгоритм – программа», исследователь полу-

чает в руки универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который отла-

живается и тестируется в «пробных» вычислительных экспериментах. После

того, как адекватность (достаточное соответствие) триады исходному объекту

имеется, с моделью проводятся разные «опыты», дающие все требуемые

свойства и характеристики объекта

. Важно, что процесс моделирования со-

провождается улучшением и уточнением всех звеньев триады.

Модель

Объект

Программа

Алгоритм

Такой метод познания сочетает в себе преимущества и теории, и экспе-

римента. Действительно, работа не с самим объектом (явлением или процес-

сом), а с компьютерной моделью дает возможность относительно быстро, без

существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мысли-

мых ситуациях. Это составляет преимущества теории. В то же время

вычис-

лительные эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь

вычислительных методов и компьютеров, глубоко и полно изучать объекты,

что недоступно чисто теоретическим подходам. Это уже составляет преиму-

щества эксперимента.

Компьютерное моделирование как методология не подменяет собой

математику, физику, биологию и другие научные дисциплины, а играет синте-

зирующую роль. Создание

и применение триады невозможно без опоры на

самые разные методы и подходы - от качественного анализа нелинейных мо-

делей до современных языков программирования.

Но, решая проблемы информационного общества, нельзя уповать толь-

ко на мощь компьютеров. Необходимо постоянное совершенствование триа-

ды математического моделирования.

1.1.3 Принципы моделирования

Практический опыт, накопленный к настоящему времени

в области

разработки и использования математических моделей позволяет

сформулировать основные принципы моделирования, к которым относят

следующие [3].

Принцип информационной достаточности. При полном отсутствии

информации об исследуемой системе построение ее модели невозможно. При

наличии полной информации о системе ее моделирование лишено смысла.

Существует некоторый критический уровень априорных сведений о системе

(уровень информационной

достаточности), при достижении которого может

быть построена ее адекватная модель.

Принцип осуществимости. Создаваемая модель должна обеспечивать

достижение поставленной цели исследования с вероятностью, существенно

отличающейся от нуля, и за конечное время. Обычно задают некоторое

пороговое значение вероятности достижения цели моделирования, а также

приемлемую границу времени достижения этой цели.

Принцип множественности моделей.

Данный принцип является

ключевым. Речь идет о том, что создаваемая модель должна отражать в

первую очередь те свойства реальной системы (или явления), которые

влияют на выбранный показатель эффективности. Соответственно при

использовании любой конкретной модели исследуются лишь некоторые

стороны реальной системы. Для более полного ее исследования необходим

ряд моделей, позволяющих с

разных сторон и с разной степенью детальности

отражать рассматриваемую систему.

Принцип агрегирования. В большинстве случаев сложную систему

можно представить состоящей из подсистем, для адекватного описания