Пчельник В.К. Пособие по курсу высшая математика. Матрицы и определители

101 102

Решение. Искомое расстояние d найдем по формуле (11).

В нашем случае

.

15

19

225

4564

4121100

45)1(2211410

=

−

=

++

−−⋅−⋅+⋅

=d

Ответ: .

15

19

Пример 8. Дана треугольная пирамида с вершинами

А(-1; 1; -2), В(1; -1; 1), С(-2; 1; 3), D(4; -5; -2). Найти расстоя-

ние от точки А до грани ВСD.

Решение. Составим уравнение плоскости, проходящей

через точки В, С, D:

.0

343

223

111

=

−−

−

−+− zyx

Вычислим определитель

.011632,0663322

,06)1(3)1(2)1(

,0

43

23

)1(

33

23

)1(

34

22

)1(

=−+−=−+−−−

=⋅−+⋅+−⋅−

=

−−

−

⋅−+

−

⋅+−

−−

⋅−

zyxzyx

zyx

Найдем расстояние

d от точки А до плоскости ВСD:

.

39

3928

39

28

3694

11123)1(2

==

++

−−−−⋅

=d

Ответ:

.

39

3928

Пример 9. Составить уравнение прямой, проходящей че-

рез точку

М

0

(1; 2; 3) параллельно вектору

{

}

8 ;5 ;3 −=a

.

Решение. Воспользовавшись формулой (13), в нашем

случае находим:

.

8

3

5

2

3

1 −

=

−

=

− zyx

Ответ: х=1+3t, y=2-5t, z=3+8t.

Пример 10. Найти угол между прямыми

2

3

1

2

1 −

=

−

=

+ zyx

и

.

1

5

1

3

1

2

−

+

=

+

=

−

+ zyx

Решение. Угол α между прямыми равен углу между об-

разующими векторами

{

}

2 ;1 ;2

1

=e и

{

}

.1 ;1 ;1

2

−−=e Тогда

.

3

33

3

111414

)1(211)1(2

cos −=

−

=

++⋅++

−⋅+⋅+−⋅

=

α

Ответ: α= arccos(

3

− ).

Пример 11. Вычислить расстояние от точки М(1; 1; -1) до

прямой

.

4

5

3

4

2

3

−

=

−

=

− zyx

Решение. По условию М

0

(3; 4; 5),

{

}

.4 ;3 ;2=n Тогда

{

}

.6;3;2

0

−−−=MM Расстояние d от точки М до прямой найдем

по формуле:

=

−−

+

−−

+

−−

=×=

222

0

32

42

62

43

63

nMMd

Ответ: .132

9.2. Задачи для самостоятельного решения

.13252163646

22

==+=+=

103 104

1. Составить уравнения плоскостей, параллельных коорди-

натным плоскостям и проходящих через точку М

0

(2; -3; 1).

2.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

М

0

и имеющей нормальный вектор n , в каждом из следующих

случаев:

1) М

0

(4; 3; -2),

{}

;5 ;7 ;1 −=n 2) М

0

(1; -6; 8),

{

}

.2 ;1 ;2 −=n

3.

Написать уравнение плоскости в каждом из следующих

случаев:

1) плоскость параллельна оси Ох и проходит через точки

Р(3; -5; 6), Q(2; 1; 1);

2) плоскость параллельна оси Оу и проходит через точки

R(1; -2; 1), S(2; 3; -1);

3) плоскость параллельна оси Оz и проходит через точки

К(3; 1; -1), N(1; -1; 2).

4.

Написать уравнение плоскости, проходящей через две точ-

ки М

1

и М

2

и параллельной данному вектору a :

1)

{

}

4 ;3 ;5a ),1 ;1 ;4( M ),1 ;2 ;1( M

21

=−−

;

2)

{}

2 ;1 ;2a ),3 ;4 ;1( M ),1 ;2 ;3( M

21

−−=− .

5.

Написать уравнение плоскости, проходящей через три ука-

занные точки:

1)

М

1

(9; -11; 5), М

2

(7; 4; -2), М

3

(-7; 13; -3);

2)

М

1

(-1; 2; 1), М

2

(-3; 1; 2), М

3

(3; -2; 2).

6.

Пересекает ли плоскость 2х-5у+3z-7=0 отрезок, соединяю-

щий начало координат с точкой М(2; -3; 1)?

7.

Пересекает ли плоскость 3х+4у-6z+5=0 отрезок М

1

М

2

в

случае, когда:

1) М

1

(1; 2; 3), М

2

(4; 6; 5); 2) М

1

(4; -1; 1), М

2

(2; 1; 2)?

8.

Найти отрезки, отсекаемые на осях координат плоскостями:

1)

3x-4y+2z-12=0;

2)

x+5y-4z+20=0;

3)

6x-y+7z=42;

4)

2x-3y+5z+15=0.

9.

Определить координаты какого-либо нормального вектора

каждой из следующих плоскостей. В каждом случае написать

общее выражение координат произвольного нормального век-

тора:

1)

2x-y-2z+5=0;

2)

x+5y-2=0;

3)

3x-2y-7=0;

4)

5y-3z=0;

5)

x+2=0; 6) y-3=0.

10. Определить, какие из следующих пар уравнений определя-

ют параллельные плоскости:

1) 2x-3y+5z-7=0, 2x-3y+5z+3=0;

2) 2) 4x+2y-4z+5=0, 2x=y+2z-1=0;

3) 3) x-3z+2=0, 2x-6z-7=0.

11.

Установить, какие из следующих пар уравнений определя-

ют перпендикулярные плоскости:

1)

3x-y-2z-5=0, x-9y-3z+2=0;

2)

2x+3y-z-3=0, x-y-z+5=0;

3)

2x-5y+z=0, x-2z-3=0.

12.

Определить, при каких значениях l и m следующие пары

уравнений будут определять параллельные плоскости:

1)

2x+ly+3z-5=0, mx-6y-6z+2=0;

2)

3x-y+lz-9=0, 2x+my+2z-3=0;

3)

mx+3y-2z-1=0, 2x-5y-lz=0.

13.

Определить, при каком значении l следующие пары урав-

нений будут определять перпендикулярные плоскости:

1)

3x-5y+lz-3=0, x+3y+2z+5=0;

2)

2) 5x+y-3z-3=0, 2x+ly-3z+1=0;

3)

7x-2y-z=0, lx+y-3z-1=0.

14.

Составить уравнение плоскости, которая проходит через

начало координат параллельно плоскости 5x-3y+2z-3=0.

15.

Найти углы между двумя плоскостями:

1)

5x+4y-2z-3=0, 20x+16y-8z+5=0;

2)

3x-2y+5z+2=0, x+4y+z-4=0;

3)

3) 11x-8y-7z+6=0, 4x-0y+z-5=0;

4)

5x-y+3z-2=0, -x+2y+10z-7=0;

5)

5) 3x-5y-4z+9=0, x+2y-z+4=0;

6)

x-z+8=0, y-5z+7=0.

16.

Вычислить расстояния от данных точек М

1

, М

2

до указан-

ных плоскостей:

105 106

1) x-2y+2z-3=0, M

1

(4; 2; -1), M

2

(-3; 5; -7);

2)

2x+3y-6z-7=0, M

1

(-2; 5; 1), M

2

(9; 1; 2);

3)

10x-11y+2z-45=0, M

1

(0; 1; -2), M

2

(6; -1; 2).

17.

Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:

1)

2x+y-2z-6=0, 2x+y-2z-15=0;

2)

3x-2y+6z-7=0, 3x-2y+6z-35=0;

3)

x+2y+2z-9=0, 2x+4y+4z+15=0;

4)

2x-10y+11z+30=0, 2x-10y+11z-45=0.

18.

Дана треугольная пирамида с вершинами А(1; 1; 1),

В(-11; 3; -3), С(5; 2; 4), D(2; 2; -5). Вычислить длину высоты,

проведенной из вершины D к грани АВС.

19.

Две грани куба лежат на плоскостях 2x-2y+z-1=0,

2x-2y+z+5=0. Вычислить объем этого куба.

20.

На оси Оу найти точку, отсекаемую от плоскости

x+2y-2z-2=0 на расстоянии d=4.

21.

В каждом из следующих случаев составить уравнения

плоскостей, которые делят пополам двугранные углы, образо-

ванные двумя пересекающимися плоскостями:

1)

x-3y+2z-5=0, 3x-2y-z+3=0;

2)

5x-5y-2z-3=0, x+7y-2z+1=0;

3)

2x-y+5z+3=0, 2x-10y+4z-2=0.

22.

Составить параметрические уравнения прямой, проходя-

щей через точку М

0

(1; -2; 3) параллельно: 1) вектору

{}

7 ;5 ;4a −= ; 2) оси Ох; 3) оси Оу; 4) оси Оz.

23.

Составить канонические уравнения прямой, проходящей

через точку М

1

(1; -1; -3) параллельно: 1) вектору

{

}

4 ;3 ;2a −= ;

2) прямой

0

1

4

2

1

−

=

+

=

− zyx

; 3) прямой x = 3t - 1, y = -2t + 3,

z = 5t + 2.

25.

Дан треугольник с вершинами А(1; 2; -4), В(5; -6; 2),

С(3; 8; -10). Написать уравнения его медиан.

26.

Найти угол между двумя прямыми:

1)

;

2

1

2

6

1

3

,

2

7

1

5

2

4 −

=

+

=

−

=

−

=

+ zyxzyx

2)

;

7

4

11

2

8

5

,

8

2

7

6

2

3 +

=

−

=

−

++

=

+

=

− zyxzyx

3)

x=1+3t, y=9-2t, z=8+4t; x=-7+6t, y=2-4t, z=1+8t;

4) x=3-2t, y=7+10t, z=-5+11t; x=8+t, y=9+2t, z=6+2t.

27. Вычислить расстояние от точки М(2; -3; 5) до каждой из

следующих прямых:

1)

x=5+2t, y=-4-t, z=6-2t;

2) x=1-6t, y=-2-3t, z=8+2t.

28. Найти расстояние между двумя прямыми:

1)

x=3-6t, y=1+4t, z=t; x=-2+3t, y=4, z=3-t;

2)

.

33

2

1

,

2

1

3 zyxzyx

=

−

=

−

=

−

=

−

29.

Составить параметрические уравнения следующих прямых:

1)

4x-3y+2z-1=0, 5x-2y+3z-3=0;

2) x-3y+z+3=0, 3x+y-2z-6=0;

3) x+2y+z-1=0, 2x+2y-3z+6=0;

4) x+y+z-3=0, x-y+z-1=0.

30.

Найти угол между прямой и плоскостью в каждом из сле-

дующих случаев:

1)

x=5+11t, y=4-8t, z=3-7t; 7x+2y-8z-10=0;

2)

;

2

4

1

8

1

3

+

=

−

=

−

+

zyx

2x-4y+2z-9=0;

3)

x-3y+z+3=0, 3x+y-2z-6=0; x-2y-z+5=0;

4)

x+y+z-5=0, x+2y+3z-6=0; 2x+2y-2z+7=0.

31.

Доказать, что прямая x=1+4t, y=-3+2t, z=6+2t и плоскость

x+3y-5z-2=0 параллельны.

32.

Доказать, что прямая x=3+t, y=-2+4t, z=5+4t лежит в плос-

кости 4x-7y+6z-56=0.

33.

Доказать, что прямая x=6-2t, y=3+5t, z=-1-4t перпендику-

лярна к плоскости 2x-5y+4z+52=0. Найти точку их пересече-

ния.

34.

Найти точку пересечения прямой x=1+3t, y=-2+4t, z=5-2t с

плоскостью 6x-5y+3z-7=0.

35.

Найти проекцию. точки М(2; 5; -3) на прямую x=2-5t,

y=-3+t, z=4+2t.

36.

Найти проекцию точки М(5; 1; 3) на прямую x+y+z-3=0,

107 108

x+2y+3z-6=0.

37.

Найти проекцию точки М(1; -2; 4) на плоскость

5x-3y+6z+35=0.

38.

Найти точку, симметричную точке М(2; 2; 5) относительно

прямой x=7-2t, y=5+3t, z=-2+4t.

39.

Найти точку, симметричную точке М(8; 9; -1) относительно

плоскости 3x+4y-2z-4=0.

10. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Поверхностью второго порядка называется множество

точек пространства, координаты которых x и y удовлетворяют

алгебраическому уравнению второй степени

.0222222

222

=+++++++++ KLzHyGxFyzExzDxyCzByAx

В этом уравнении не все коэффициенты при членах второго

порядка одновременно равны нулю.

Может оказаться, что приведенное выше уравнение оп-

ределяет вырожденную поверхность (пустое множество, точку,

плоскость, пару плоскостей, прямую).

Если же поверхность невырожденная, то с помощью пре-

образования декартовой системы координат (параллельного

переноса и поворота осей координат в пространстве) ее

урав-

нение может быть приведено к одному из указанных ниже ти-

пов, называемых каноническими и определяющих тип поверх-

ности:

1

2

=++

c

z

b

y

a

x

Эллипсоид

(при

a=b=c

получаем сферу

2222

Rzyx =++

);

2

b

y

a

x

z +=

Эллиптиче-

ский парабо-

лоид

3

1

2

=−+

c

z

b

y

a

x

Однополост-

ной гипербо-

лоид

109 110

4

0

2

=−+

c

z

b

y

a

x

Конус второго

порядка

5

1

2

−=−+

c

z

b

y

a

x

Двухполост-

ной гипербо-

лоид

6

2

b

y

a

x

z −=

Гиперболиче-

ский парабо-

лоид

7

1

2

=+

b

y

a

x

Эллиптиче-

ский цилиндр

8

1

2

=−

b

y

a

x

Гиперболиче-

ский цилиндр

111 112

9

pxy 2

2

=

Параболиче-

ский цилиндр

Заметим, что цилиндрической называется поверхность,

образованная движением прямой

L, которая перемещается в

пространстве, сохраняя постоянное направление, и пересекает

некоторую кривую. Уравнение цилиндра, образующие которо-

го параллельны оси

OZ, не содержит координаты z. Название

цилиндра определяется названием направляющей.

Поверхность, образованная прямыми линиями, проходя-

щими через данную точку и пересекающими данную плоскую

линию, не проходящую через указанную точку, называется

конической поверхностью.

При

D=0, E=0, F=0 общее уравнение поверхности второ-

го порядка принимает вид

.0222

222

=++++++ KLzHyGxCzByAx

В этом случае приведение общего уравнения к каноническому

виду достигается с помощью метода выделения полных квад-

ратов и параллельного переноса осей координат.

Основным методом исследования формы поверхности

второго порядка является метод параллельных сечений. Его

суть состоит в том, что поверхности пересекаются координат-

ными плоскостями и им параллельными плоскостями. Вывод о

форме исходной поверхности делается на основании вида по-

лученных в сечении линий.

9.1. Примеры решения типовых задач

Пример 1. Привести уравнение данной поверхности к ка-

ноническому виду и определить ее тип.

а).

;03524244

222

=++−−−+ zyxzyx

б).

;06

2

=−+ xzz

в).

.12

22

xzy −=+

Решение.

а). Применяя метод выделения полных квадратов, приведем

уравнение к каноническому виду:

.21 ,1

4

)(

4

)(

1

)(

;4)1()2()3(4

;035)1)1((4)2()9)3((4

;035)1)12((4)44()9)96((4

;035)2()4()6(4

2'2'2'

222

====−+

=−−−+−

=+−−−−−+−−

=+−+−−−+−+−+−

=+−−−+−

c, ba

zyx

zzyyxx

б).

Выделим полный квадрат в данном уравнении

06

2

=−+ xzz

при переменной z:

.9)3( èëè 09)96(

22

+=+=−−++ xzxzz

Данная поверхность является параболическим цилиндром. При

параллельном переносе осей координат по формулам

3 9 +==+= zzy, y, xx

'''

получим каноническое уравнение поверхности

.)(

'2'

xz = Точка

О

1

(-9; 0; -3) служит началом новой системы координат.

в).

Перепишем исходное уравнение в виде

).1(

15,0

22

−−=+ x

zy

Получим уравнение эллиптического параболоида с вершиной

в точке О

1

(1; 0; 0).

Пример 1. Какую поверхность определяет уравнение

94

22

yx

z −=

?

113 114

Решение. Установим форму поверхности с помощью ме-

тода параллельных сечений. Сначала пересечем поверхность

плоскостью y=0:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

−=

.0

,

94

22

y

yx

z

Получим

.4

2

zx = Это уравнение параболы в плоскости Oxz.

Пересечем поверхность плоскостью x=0:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

−=

.0

,

94

22

x

yx

z

Получим

.9

2

zy −= Сечением является парабола. В результате

пересечения поверхности плоскостью z=0

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

−=

0

,

94

22

z

yx

z

получим пару пересекающихся прямых

.

2

3

xy ±=

Сечения по-

верхности плоскостями x=h дают параболы

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

−=

.

,

94

22

hx

yh

z

При сечении поверхности плоскостями z=h получаются ги-

перболы

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=−

.0

,1

94

22

z

h

y

h

x

При h>0 действительная ось гиперболы параллельна оси Ox, а

при h<0 – оси Oy. По виду полученных сечений можно заме-

тить, что исследуемая поверхность ― гиперболический пара-

болоид.

9.2. Задачи для самостоятельного решения

Определить вид поверхности и изобразить ее на рисунке.

1.

а) ;01124632

222

=−−−+++ zyxzyx б) .4

2

xz −=

2.

а) ;014123

22

=−++ zyx б) .42

22

xyz =−

3.

а) ;016164

222

=−−− zyx б) .04

2

=+ zx

4.

а) ;0993

222

=−++ zyx б) .022

22

=−+ zyx

5.

а) ;0202105

222

=+−+− zyx б) .54

222

xzy =+

6.

а) ;02484

222

=++− zyx б) .9

22

zyx −=−

7.

а) ;06

222

=+− zyx б) .2137

222

=−− zyx

8.

а) ;48

22

yxz −−= б) .723694

222

=++ zyx

9.

а) ;962464

222

=−+ zyx б) .208

222

xzy =+

10.

а) ;040554

222

=+−− zyx б) .35

22

zxy +=

11.

а) );(8

222

zyx += б) .1832

222

=−+ zyx

12.

а) ;1052

22

xzy =+ б) .060534

222

=+−− xyz

13.

а) ;021147

222

=−−− zyx б) .42

22

zxy +=

14.

а) ;01236

222

=−+− zyx б) .28

22

xzy =+

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

1. Даны две матрицы А и В третьего порядка. Найти:

; â); á) ; à)

1−

ABAAB

(

)

;23 å) ; ä) ; ã)

11

T

BAAAAA −

−−

ж) реше-

ние матричного уравнения

B

X

A

=

. Элементы матриц A и B

приведены в таблице 1.

Таблица 1

A B

115 116

1.1 2 0 2 -5 -4 3

0 0 5 1 1 7

9 3 5 9 3 1

1.2 2 -2 4 -4 -2 1

3 7 4 4 4 9

4 5 4 8 9 3

1.3 -3 -3 -2 -4 2 3

3 3 9 5 2 0

0 7 8 1 5 3

1.4 0 3 -2 -3 -2 -3

1 9 4 7 4 3

6 4 3 8 3 8

1.5 0 2 1 3 -4 0

9 6 4 4 2 5

6 7 5 6 2 9

1.6 -3 3 -3 -2 -2 3

9 4 3 5 4 4

4 7 2 3 5 5

1.7 0 -5 0 1 1 4

0 4 7 9 5 0

8 7 3 6 3 4

1.8 -5 -5 -2 -2 3 -3

9 4 3 8 4 7

3 1 2 8 5 3

1.9 2 2 -3 4 -1 1

9 3 4 6 8 1

8 1 6 6 3 4

1.10 3 -5 -5 -5 4 -1

1 0 7 0 2 1

8 5 4 7 2 9

1.11 -5 1 -4 -3 4 2

4 6 0 3 4 5

3 4 2 9 7 5

1.12 3 0 2 -5 0 -4

204 244

157 447

1.13 3 -1 -3 -1 -5 -4

540 382

786 795

1.14 -5 1 -3 -4 -1 4

213 443

539 201

1.15 -2 -5 -2 -5 -5 2

026 479

-3 3 -1 -5 4 0

1.16 7 9 0 1 5 7

605 456

-522 1-42

1.17 5 4 0 0 7 7

003 640

-2 2 1 1 4 0

1.18 3 4 1 6 8 5

148 411

-2 -5 4 0 -4 0

1.19 1 9 9 2 3 4

666 905

-4 -3 2 0 -2 -2

1.20 9 6 3 4 4 3

898 061

32-2 01-2

1.21 4 5 3 4 2 2

227 045

-3 0 -1 -4 1 -1

1.22 7 3 5 4 4 9

759 064

2-4 0 0 3 1

117 118

1.23 2 6 5 7 2 5

0 8 0 0 1 7

-1 -1 0 4 -2 -2

1.24 6 4 2 9 1 9

4 5 4 1 0 6

-4 -2 -5 -1 -3 1

1.25 1 7 9 8 9 7

5 8 5 2 5 9

434 -5 4-1

1.26 8 5 3 0 7 3

9 2 3 0 2 9

-5 -5 -5 1 -1 -5

1.27 5 4 4 0 9 6

3 3 -4 0 -3 -3

6 5 5 0 7 2

1.28 0 4 4 2 8 8

-2 -3 3 -1 3 -1

4 7 8 9 4 0

1.29 0 2 6 8 2 5

4 4 0 1 -5 -3

7 5 6 1 7 6

1.30 2 2 8 7 1 6

-1 0 0 0 -1 2

9 9 8 0 9 5

2. Проверить на совместимость систему линейных урав-

нений третьего порядка вида АХ=В и в случае совместимости

решить ее а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной

матрицы; в) методом Гаусса. Элементы матриц A и B приведе-

ны в таблице 2.

Таблица 2

A B A B

2.1 6 8 6 4 2.16 4 0 4 6

5 8 0 7 7 7 8 1

596 0 250 3

2.2 8 5 8 5 2.17 9 3 5 2

839 7 965 2

594 5 563 1

2.3 6 6 3 0 2.18 3 7 7 6

030 3 134 7

563 6 930 3

2.4 1 0 1 3 2.19 5 8 3 0

940 7 562 9

008 0 351 9

2.5 3 0 8 0 2.20 0 9 4 8

729 8 924 7

229 8 454 4

2.6 6 4 9 2 2.21 5 2 4 2

456 6 240 4

313 8 937 2

2.7 3 2 7 5 2.22 1 8 4 8

207 9 286 9

790 2 004 2

2.8 1 6 6 6 2.23 6 5 9 2

497 7 693 9

684 0 412 1

2.9 9 9 5 1 2.24 3 2 7 9

760 2 215 6

650 3 788 1

2.10 1 7 3 5 2.25 2 3 9 8

734 4 080 4

533 3 044 4

2.11 8 5 8 7 2.26 0 6 9 0

761 6 235 0

529 4 847 4

119 120

2.12 6 9 9 3 2.27 4 2 6 5

6 6 4 7 6 4 2 2

4 7 7 2 6 5 8 3

2.13 6 9 7 1 2.28 4 1 4 6

1 1 1 4 6 2 4 4

1 9 2 1 6 2 3 4

2.14 4 3 1 9 2.29 2 3 9 8

1 2 7 9 0 8 0 4

1 8 2 4 0 4 4 4

2.15 8 4 2 0 2.30 0 6 9 0

8 6 4 2 2 3 5 0

0 4 5 8 8 4 7 4

3. Проверить на совместимость систему линейных урав-

нений четвертого порядка вида АХ=В. Найти фундаменталь-

ную систему решений соответствующей однородной системы

и общее решение данной системы. Элементы матриц A и B

приведены в таблице 3.

Таблица 3

A

B

3.1

-1 -5 1 2 0

-1 2 -2 0 -1

-1 -12 4 4 4

1 33 -13 -10 3

3.2

-2 4 0 3 -5

1-1 4 0 1

-5 9 -4 6 -5

14 -24 16 -15 -4

3.3

0 -4 -5 -3 -1

3 -5 -3 4 -3

-3 -3 -7 -10 -1

12 0 13 31 -5

3.4

03 -43 1

02 -21 3

0 4 -6 5 -2

0-712-11 -5

3.5

-5 -2 4 -5 1

-1 -5 -3 -3 -2

-9 1 11 -7 3

21 -10 -32 13 0

3.6

-2 -5 -5 3 -1

-3 4 -2 2 -4

-1 -14 -8 4 -1

-2 41 17 -7 -2

3.7

-1 -1 1 -5 4

3 -4 3 -3 -4

-5 2 -1 -7 0

17 -11 7 13 -2

3.8

-2 -4 -5 -2 -4

-5 3 -5 -2 -1

1 -11 -5 -2 0

-10 32 5 2 0

3.9

-3 -2 -5 4 2

-2 2 -2 0 2

-4 -6 -8 8 -4

71817-20 -1

3.10

-2 3 4 0 -1

10-42 0

-5 6 12 -2 -5

14 -15 -36 8 -2

3.11

3322 4

3043 -3

3601 1

-3 -15 6 2 -3

3.12

-3 -3 -3 -4 -4

2-5-4-3 -3

-8 -1 -2 -5 4

Пчельник В.К. Пособие по курсу высшая математика. Матрицы и определители

Подождите немного. Документ загружается.