Пелих А.С., Терехов Л.Л., Терехова Л.А. Экономико-математические методы и модели в управлении производством

Подождите немного. Документ загружается.

Среднее число элементов в очереди:

1-(т+1)—+

т-> «+1

Среднее число элементов в системе: М = М, + М^.

Среднее время ожидания:

t =^^.

Среднее время пребывания элементов в системе:

*^ \^

Если длина очереди не ограничена, установившийся режим

будет существовать при

—

< 1.

При — >

очередь будет бесконечно возрастать.

Так как каждый элемент рано или поздно будет обслужен,

то

P^^

0,q=l,A

= Xq = l.

Остальные характеристики СМО (среднее число элементов

в очереди, среднее время ожидания, среднее число занятых ап-

паратов) находятся с помощью предельного перехода.

Мы рассматривали системы СМО, где элементы приходили

извне и интенсивность потока элементов не зависела от состоя-

ния системы. Теперь рассмотрим СМО другого типа—такие, в

которых интенсивность потока поступающих элементов зави-

сит от состояния СМО. Такие системы называются замкнуты-

ми

системами. В качестве примера такой СМО рассмотрим слу-

чай,

когда бригада из т рабочих — наладчиков обслуживает п

станков. Каждый станок может

любой момент выйти из строя

и потребовать обслуживания со стороны наладчика. Интенсив-

ность потока неисправностей каждого станка равна X, Если в

этот момент хотя бы один из рабочих бригады свободен, он

100

берется за наладку станка и тратит в среднем время

to6=->

где

jU —

интенсивность потока обслуживании.

Если в момент выхода станка из строя все рабочие заняты,

станок становится в очередь и ждет обслуживания. Требуется

найти вероятность состояний данной Системы и ее характерис-

тики:

вероятность

того,

что рабочий

не

будет

занят;

вероятность

наличия очереди; среднее число станков, ожидающих очереди

на ремонт

и т.

д.

Мы рассматриваем такую

СМО,

где число эле-

ментов ограничено и интенсивность общего потока элементов

зависит от

того,

сколько элементов связано с процессом обслу-

живания (непосредственно обслуживается или стоит в очере-

ди).

Очевидно, система может находиться в одном из следую-

щих состояний:

— все аппараты свободны (станки работают, рабочие не

заняты);

Sj — занят один аппарат, остальные свободны (занят один

рабочий);

— заняты двое рабочих, остальные свободны;

—

занято т аппаратов (заняты все рабочие);

Очереди нет

S^^, - занято т аппаратов, один элемент ждет очереди;

—

занято т аппаратов, л +

элементов ждут очереди.

Вероятности этих состояний:

n(n~l)(n-2)

/^ V

1^^

^0,

р« =

n(n-l)(w-2)...(n-/n

( 1 \^

\И)

Р =

n(n~l)(n-2)...(n-m)fA

mim

-I

p..

101

п(п-1)(п-2)...(п-т-1)ГЯ

т!т

1+2

-I Ро.

р.

Ро =

п{п-1)..Л(Х

^0,

п А

п(п-1)

1 +

+ ^ '

Г^\'

V.ti

V^y

+ ...+

л(п-1)...(п-от + 1)

т!

i\'

v^^y

/i(n-l)~.(w"~'w)

mim

( 1 ^^^

K^",

n(n-l)...l

( 1 Y

Ki"

J J

Через эти вероятности выражаются и остальные

характери-

стики

СМО.

Средняя длина

очереди:

М,= Е (к-т)Р.

ik=m+l

Коэффициент простоя обслуживаемого

объекта:

—.

Среднее число

заявок,

находящихся в

системе:

Мз

= Е(т-п)Р^.

Среднее число свободных обслуживающих

аппаратов:

m-l

M=E(m-n)P..

*=0

Коэффициент простоя обслуживающего аппарата равен

102

Основные термины и понятия

математическое программирование;

линейное программирование;

нелинейное программирование;

динамическое программирование;

оптимальный план;

критерий оптимальности;

двойственные оценки;

оптимизация производственной программы предприятия;

оптимизация рецептуры смеси;

оптимизация раскроя материалов;

теория массового обслуживания;

теория управления запасами.

Упражнения

Задача 1.

Промышленное предприятие располагает двумя видами ре-

сурсов:

I вид - фонд времени работы оборудования, равный

нор-

мо-часам, и II вид -

кг сырья.

Необходимо найти план производства продукции двух ви-

дов /А и Б/, при котором прибыль предприятия от ее реализа-

ции была бы максимальной.

Продукцию видов А и Б можно вьшускать в любых соотно-

шениях, сбыт ее не ограничен.

Нормы расхода ресурсов на производство единицы каждо-

го вида продукции, а также прибыльность изделий заданы в

таблице.

Номер

ресурсов

Виды ресурсов

Оборудование

/фонд времени/

Сырье

[Прибыльность единицы изделий

Единица

измерения

Нормо-

часы

кг

руб.

Нормы затрат

ресурсов на

единицу

продукции вида {

103

Требуется:

Составить математическую модель

задачи,

решить

ее

гра-

фическим методом.

Составить модель двойственной задачи, решить ее гра-

фическим методом.

Проанализировать полученные результаты.

Задача 2.

Выпускаемая предприятием продукция трех видов -

А,

Б,

имеет практически неограниченный сбыт. Уровень выпуска

лимитируется имеющимися

распоряжении предприятия

ресур-

сами

сырья,

материалов

оборудования

двух

различных групп.

Предприятие заинтересовано в определении такого уровня вы-

пуска продукции, при котором ее общая стоимость достигает

максимума. Числовые данные задачи приведены в таблице.

Требуется:

Сформулировать исходную

двойственную задачи

ре-

шить их симплексным методом.

Дать экономический анализ результатов решения исход-

ной и двойственной задач.

Вид ресурсов

1 Сырье, кг

Материалы, кг

Оборудование I

группы,

час

Оборудование II

группы,

час

1 Стоимость единицы продукции,

|руб.

Объем ресурсов,

которыми

располагают

240

800

100

Нормы затрат на

единицу

продукции вида |

Задача 3.

На окладе предприятия имеется 10000 металлических прут-

ков длиной 6 м и 15000 прутков длиной 4 м. Необходимо изго-

товить комплекты, состоящие

из трех

деталей:

две

детали - дли-

ной 1,25 м и одна - 3,2 м.

104

Определить оптимальный план резки, при котором будет

получено максимальное число комплектов.

Задача 4.

В справочное бюро вокзала поступает в среднем в дневное

время два запроса в

мин. Средняя длительность разговора -

0,5 мин. Для правильной организации работы бюро нужно

знать:

1) вероятность того, что при первом звонке абонент услы-

шит короткие гудки - отказ;

2) среднюю долю времени, в течение которого справочное

бюро вообще не загружено;

3) средний процент загрузки рабочего времени телефонис-

ток.

Решить задачу для случая обслуживания тремя, двумя и од-

ной телефонистками. Сравнить полученные результаты.

Примечание. Поток требований считать простей-

шим, время обслуживания - распределенным по

экспоненциальному закону.

Тесты

Каковы составные

части модели

задачи

линейного

програм-

мирования:

а) уравнения спроса и предложения;

б) целевая функция и система ограничений;

в) взаимосвязи экономического равновесия.

В чем состоит

смысл двойственных

оценок

линейном

про-

граммировании:

а) в определении размеров прибыли или убытков в процес-

се производства;

б) в оценке целесообразности торгово-экономических ме-

роприятий;

в) в определении сравнительной дефицитности различных

видов ресурсов в отношении принятого в задаче показа-

теля эффективности.

105

Основные разделы математического программирования:

а)

линейное,

нелинейное,

динамическое программирование;

б) алгебра, геометрия, тригонометрия;

в) закономерности

на

монопольном, конкурентном

моно-

полистически конкурентном рьшке.

Модель оптимизации производственной программы пред-

при$1тия:

а) задача качественного анализа;

б) задача.из теории риска и неопределенности;

в) экономико-математическая задача.

5. Классификация систем массового обслуживания:

а) по времени ожидания и длине очереди;

б) с ожиданием, с потерями и смешанного типа;

в) со случайными характеристиками.

Контрольные вопросы

Охарактеризуйте сущность методов математического про-

граммирования.

В чем состоят математические методы и модели управле-

ния хозяйственной деятельностью предприятий?

3. Опишите сущность и содержание методов оперативно-

календарного планирования на предприятиях.

4. Охарактеризуйте основы теории и приложений динами-

ческого программирования.

5. Дайте описание методов и моделей теории массового

обслуживания.

6. Опишите методы и модели управления запасами в эконо-

мических системах.

]^ЛАВА

БАЛАНСОВЫЕ МЕТОДЫ

И МОДЕЛИ

3.1.

Межотраслевой баланс производства

и распределения продущии

Для

анализа

планирования производства

распределения

продукции на различных уровнях — от народного хозяйства

до отдельного

предприятия применяется

межотраслевой

балан-

совый

метод.

Он обеспечивает составление полностью сбалан-

сированных, внутренне согласованных планов.

Межотраслевой баланс производства и распределения про-

дукции,

как составная часть системы

баланса народного

хозяй-

ства,

является

инструментом

анализа и

планирования общеэко-

номических

межотраслевых пропорций

народном хозяйстве.

Представляя собой развернутую схему баланса общесгвенного

продукта и национального дохода, межотраслевой баланс яв-

ляется экономико-математической моделью, отражающей

объективно существующие в экономике структурные взаимо-

связи

между общеэкономическими пропорциями

пропорция-

ми развития отдельных отраслей.

При разработке перспективных и текущих народнохозяй-

ственных планов межотраслевой баланс используется для ва-

риантных расчетов темпов, пропорций и отраслевой структу-

ры развития экономики с учетом основных социально-эконо-

мических задач и важнейших тендеьщий научно-технического

прогресса в отраслях народного хозяйства. На основе межот-

раслевого метода разрабатывают матричные экономико-мате-

матические модели. В матричных моделях балансовый метод,

являющийся одним из важнейших методов планирования, по-

лучает строгое математическое выражение.

107

к матричным моделям

относятся:

межотраслевой

межрай-

онный баланс производства и распределения продукции в на-

родном хозяйстве, матричные модели планов развития отрас-

лей

народного хозяйства, межотраслевые балансы производства

и распределения продукции экономических районов, матрич-

ные модели бизнес-планов предприятий. Несмотря на специ-

фику, эти модели объединяют общий формальный принцип

построения, единство системы расчетов, аналогичность ряда

экономических характеристик (в частности, коэффициентов

полных

прямых

затрат).

Это позволяет рассмотреть содержа-

ние,

структуру и основные зависимости матричных моделей на

примере одной

из них,

допустим, межотраслевого баланса про-

изводства и распределения продукции в народном хозяйстве.

Межотраслевой народнохозяйственный баланс отражает

производство и распределение общественного продукта в от-

раслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, ис-

пользование материальных и трудовых ресурсов, создание и

распределение национального дохода. Принципиальная схема

баланса приведена в таблице 3.1, в которой рассматривается

отчетный баланс за один год в ценностном выражении.

Таблица 3.1

Математическая модель межотраслевого баланса

Производящие

отрасли

Оплата труда

Чистый доход

Валовая

продукция

Потребляющие

отрасли

1 1 2 1 3

...

Хц Xi2 Xi3 ... Xin

Х21 Х22 Х23 ... X2n

X31 X32 X33 ... Хзп

Xnl Xn2 Xn3 ... Xnn

Vl V2 V3 ... Vn

m2 шз ... mn

Хз

Конечная

продукция

У1

У2

Уз

Уп

ГПк

Валовая

продукция

Хг

Хз

х1

108

Основу баланса составляет совокупность всех отраслей

материального производства {п отраслей). Каждая отрасль

дважды фигурирует

балансе: как производящая и как потреб-

ляющая. Отрасли как производителю продукции соответству-

ет определенная строка, как потребителю продукции — опре-

деленный столбец. Обозначим через / номер производящей от-

расли, а через

— потребляющей отрасли. Величины х^ пока-

зывают стоимость средств производства, произведенных в /-ой

отрасли и потребленных в>ой отрасли.

В столбцах баланса отражается структура материальных

затрат

{х^.,

х^,...,

х^^

и чистой продукции (v. +

т^у-ой

отрасли.

Итог материальных затрат и чистой продукщш равен вало-

вой продукции отрасли:

X^=X^,+v^+m^. (3.1)

1=1

Формула (3.1) охватывает систему из п уравнений, отража-

ющих стоимостной состав продукции всех отраслей материаль-

ной сферы. В строках межотраслевого баланса содержатся дан-

ные о распределении годового объема продукции каждой от-

расли материального производства. Величины

у.^

— это затра-

ты продукции вне сферы материального производства, т. е. для

целей конечного (личного и общественного) потребления, а

также для накопления, капиталовложений.

Для любой производящей отрасли имеем:

X, =^дг^+>^.. (3.2)

j=i

Имеется п уравнений вида (3.2), они называются уравнения-

ми распределения или использования продукции отраслей ма-

териального производства. Таким образом, рассмотрение дан-

ных баланса по отдельным отраслям показьшает стоимостную

структуру годовой продукции и распределение этой продукции

по направлениям использования.

Рассмотрим схему баланса в разрезе его крупных составных

частей. Вьщеляются четыре части, имеющие различное эконо-

мическое содержание, они называются квадрантами баланса. На

схеме (табл. 3.1) каждый квадрант обозначен римской цифрой.

109