2.3. Обратная связь по выходу. Наблюдаемость 51
Заметим, что V
T
.
= [C
T
A
T
C
T
. . . (A
T
)
n−1
C
T
] — матрица управляемости для систе-
мы ˙x = A
T
x+C
T
u, y = B
T
x, которая называется двойственной к системе ˙x = Ax+ Bu,
y = Cx, поскольку управляемость одной из них эквивалентна наблюдаемости другой.
Необходимые и достаточные условия наблюдаемости, аналогичные сформулированным
в Теореме 1, получаются заменой A → A
T
, B → C
T
.
Доказательство. Необходимость. Пусть rank V < n. Тогда найдется вектор v ∈ R
n
,
v 6= 0, такой, что Cv = CAv = . . . = CA
n−1
v = 0. Как и при доказательстве необходи-
мости в Теореме 1 об управляемости отсюда следует, что CA
m
v = 0 для всех m ≥ 0 и,
следовательно, Ce
Aτ
v ≡ 0. Поэтому при x(0) = v имеем
y(t) = Cx(t) = Ce
At
v ≡ 0.
С другой стороны, при x(0) = 0 также имеем y(t) ≡ 0. Таким образом, разным началь-
ным условиям отвечают одинаковые выходы, и система ненаблюдаема.
Достаточность. Имеем
y(t) = Cx(t), ˙y(t) = CAx(t), . . . , y
(n−1)
(t) = CA
n−1
x(t),
т.е. Y = V x, где Y =
³
y(t), ˙y(t), . . . , y
(n−1)
(t)
´
∈ R
nl
, x = x(t). Эта линейная система
имеет решение, если выход y(t) порожден системой (2.11) в силу установленной выше
связи x(t) и производных выхода, и это решение единственно, так как ранг V равен n.
Способ оценивания состояния, вытекающий из приведенного выше доказательства
Теоремы 3 о наблюдаемости, неудовлетворителен — он требует вычисления n − 1 про-
изводных от выхода. Меньшим числом производных обойтись нельзя, если выход ска-
лярный; конечно, если размерность l выхода больше, то число требуемых производных
можно уменьшить (например, если матрица C квадратная невырожденная, то можно
просто взять x(t) = C
−1
y(t)). Поэтому для оценивания состояний используют другой
подход, не требующий вычисления производных. Он основан на построении наблю-
дателя, т.е. оценки
b
x вектора состояния, описываемой линейным дифференциальным
уравнением, в которое входит рассогласование выхода y и его прогноза
b
y
.
= C
b
x:
˙
b
x(t) = A
b
x + F (y − C
b
x).
Здесь F — некоторая матрица размера n × l, которую можно выбирать.
Возвращаясь к задаче при наличии управления
˙x = Ax + Bu
y = Cx,
возьмем наблюдатель в форме
˙
b
x(t) = A
b
x + Bu + F (y −C
b
x).
Тогда, очевидным образом, невязка e(t)
.
= x(t) −
b
x(t) описывается линейным диффе-
ренциальным уравнением
˙e = (A − F C)e.