72 Глава 3. Устойчивость
то ∆ arg P (jω) = πn/2, и arg P (jω) монотонно возрастает от нуля до πn/2 с ростом ω
от 0 до ∞ (как сумма монотонных функций). Обратно, если arg P (jω) определен при
всех ω и монотонно возрастает от arg P (j 0) = 0 до arg P (j ∞) = πn/2, то полином P(s)
не имеет чисто мнимых корней, а из формулы (3.14) заключаем, что m = n. Таким
образом, доказана эквивалентность условий 1 и 3.
Если P (s) гурвицев, то в силу условия 3 имеем ∆ arg P (jω) = πn/2, т.е. arg P (jω) мо-
нотонно меняется от arg P (0) = arg a
0
= 0 до πn/2, поэтому годограф последовательно
проходит через n квадрантов. Обратно, если P (jω) последовательно проходит через n
квадрантов, то ∆ arg P (jω) ≥ (n − 1)π/2. Из формулы (3.14) (она применима, так как
P (jω) не проходит через начало координат, т.е. P (s) не имеет мнимых корней) следует,
что m = n. Итак, условие 2 эквивалентно 1 и 3.
Наконец, условие 4 является просто алгебраической формулировкой условия 2: по-
следовательное прохождение квадрантов эквивалентно последовательному пересече-
нию вещественной и мнимой осей, т.е. наличию положительных перемежающихся кор-
ней у полиномов U(t) и V (t). При этом никаких других корней у этих полиномов нет,
так как нетрудно сосчитать, что сумма степеней U(t) и V (t) равна n − 1 — числу пере-
сечений с осями. Таким образом, теорема доказана полностью.
Рассмотрим несколько примеров.
1. Полином второй степени: P (s) = a
0
+ a
1
s + a
2
s
2
, a
2
> 0.
Имеем
P (jω) = a
0
− a
2
ω
2
+ ja
1
ω, U(t) = a
0
− a
2
t, V (t) = a
1
; t
1
= a
0
/a
2
.
Годограф P (jω) — парабола; условие того, что она проходит через I и II квадранты:
figure=c:/sher/book/figs/3mikh2.eps,height=2.5in,width=3in
Рис. 3.2: Годограф Михайлова для устойчивого полинома второй степени.
a
1
> 0, a
0
/a
2
> 0, т.е. для n = 2 необходимое и достаточное условие устойчивости —
положительность всех коэффициентов:
a
0
> 0, a
1
> 0, a
2
> 0.
Вообще, положительность коэффициентов является необходимым условием гурви-
цевости полинома, — это так называемый критерий Стодолы, который следует из пред-
ставления
P (s) = a
n
Y
λ
k
∈R
(s − λ
k
)
Y
λ
j
∈C
(s
2
− 2sRe λ
j
+ |λ
j
|
2
), a
n
> 0,
и если λ
k
< 0, Re λ
j
< 0, то все коэффициенты полинома положительны. При n > 2
положительность коэффициентов перестает быть достаточным условием устойчивости,
и требуется проверка дополнительных условий.
2. Полином третьей степени: P (s) = a
0
+ a
1
s + a
2
s
2
+ a
3
s
3
, a
3
> 0.