Прохоров В.Т. Особенности защиты человека от воздействия низких температур
Подождите немного. Документ загружается.
381
полученных показателей производится путем установления из соот-
ветствия физико-гигиеническим требованиям, предъявляемым к сис-
темам материалов определенного назначения.
Гигиенические свойства многослойных систем материалов
изучены не полностью. В настоящее время для оценки полученных
показателей нет единого нормируемого критерия.
Оценка влагообменных свойств исследуемых систем мате-
риалов, по данным работы [3], проводится в соответствии с гигиени-
ческими требованиями, предъявляемыми к материалам и по показа-
телям гигроскопичности и паропроницаемости. Для зимней одежды
эти показатели составляют: паропроницаемость - не менее 40 г/(м
2
-ч),
гигроскопичность — не более 13 % [3].
Анализ результатов исследований показал, что влагообмен-
ные свойства представленных систем материалов на основе нетради-
ционных обувных утеплителей удовлетворяют предъявляемым ги-
гиеническим требованиям. Это открывает широкие возможности их
применения в производстве специальной теплозащитной обуви.
382
Глава 5
Разработка математической модели системы «стопа-
обувь-окружающая среда»
5.1 Основные условия и особенности, использованные для
построения математической модели. Разработка геометрического об-
раза модели ботинка
Основными критериями комфортности обуви приняты: темпе-
ратура стопы, которая не должна быть ниже 27-33
0
С, и температура
внутриобувного пространства должна быть не ниже 21-25
0
С [105].
Таким образом, микроклимат внутри обуви является показате-
лем ее комфортности, в том числе при воздействии на нее низких тем-
ператур. Для человека не безразлично, какая часть тела охлаждается
больше при сохранении суммарной теплоотдачи. Например, сильное
охлаждение ног не может быть полностью компенсировано нагрева-
нием другой части тела без нарушения чувства комфортности челове-
ка [58]. Поэтому так важно разработать математическую модель для
обоснования выбора пакета материалов с целью создания комфортно-
сти стопе с учетом величины и продолжительности воздействия на
нее низких температур.
Сложность рассматриваемого процесса теплообмена и невоз-
можность учесть все многообразие действующих факторов требуют
введения ряда условий и ограничений:
- стопа человека рассматривается как неотъемлемая часть це-
лостного организма, получающая часть тепла из общей теплопродук-
ции;
383
- комфортное тепловое состояние стопы характеризуется тем-
пературой внутриобувного пространства различных участков стопы;
- охлаждение стопы рассматривается на первой стадии, когда
самочувствие человека сохраняется нормальным, терморегуляторные
функции не напряжены. Температура кожи не ниже критической, что
позволяет стопе поддерживать теплообразование на определенном
среднем уровне, зависящим от физической активности человека;
- одежда, защищающая основные части тела человека (туло-
вище, руки, ноги, кроме стоп) соответствует метеорологическим ус-
ловиям, в которых находится человек;
- увлажнение деталей обуви влагой из внешней среды учиты-
вается при выборе коэффициента теплопередачи с поверхности обуви
в окружающую среду и выборе коэффициентов теплопроводности и
температуропроводности внешних слоев обуви;
- при носке обуви зимой испарение пота не имеет существен-
ного значения в терморегуляции стопы и может учитываться при не-
большом снижении теплозащитных свойств внутренней обуви.
Тепловые сопротивления верха и низа, обычно рассматривае-
мых как системы, состоящие из отдельных материалов, представляют
собой сумму тепловых сопротивлений отдельных слоев и прослоек
(наружные детали, подкладка, межподкладка, прослойки технологи-
ческих клеев, воздуха и т.д.), а также сумму сопротивлений переходу
тепла из одной среды в другую на границе, разделяющей отдельные
слои.
Основными факторами, влияющими на температуру внутри-
обувного пространства при построении математической модели, яв-
ляются температура окружающей среды, теплообразование стопы, те-
плофизические свойства материалов, составляющих обувные пакеты,
384
форма этих пакетов и теплоотдача с внешней поверхности обуви в ок-
ружающую среду.
В основу концепции математической модели положено пред-
ставление обуви как совокупность многослойных пакетов материалов
различной формы и состава. Для ее разработки с помощью программы
3D Studio MAX 5 построили геометрический образ модели обуви (на
примере ботинка) (рис. 5.1).
Рис. 5.1. Геометрический образ модели ботинка
Модель обуви построена с использованием базовых геометри-
ческих объектов:
1 – подошва (составная многослойная пластина);
2 – голенище (вертикальный многослойный цилиндр);
3 – пяточно-перейменный участок (многослойный цилиндри-
ческий сегмент, развернутый под углом к продольной оси модели);
385
4 – пучковый участок (горизонтальный многослойный цилин-
дрический сегмент);
5 – носочная часть (многослойный сферический сегмент);
6 – пяточная часть (вертикальный многослойный цилиндриче-
ский сегмент).
Разработанная математическая модель предполагает рассчи-
тать распределение температуры для пакета различных материалов,
используемых для деталей низа и верха обуви. При построении моде-
ли ботинка (рис. 5.1) были использованы геометрические объекты:
пластина, полые цилиндры и шар, поэтому построенная обобщенная
математическая модель теплообмена между стопой и окружающей
средой распадается соответственно на три краевые задачи теплопро-
водности.
5.2 Решение краевой задачи теплопроводности для низа обуви
(многослойной пластины) с граничными условиями 1-4-го рода
Для построения соответствующей математической модели
распределения температуры подошвы введем следующие обозначе-
ния:
−
i
δ
толщина i-го слоя;
−=
∑
=
i
k
i
l
1
k
δ
пределы изменения координаты
i
x
i-го слоя
(
iii
lxl
≤
≤
−1
);
−
t
время;
−
i
λ
коэффициент теплопроводности i-го слоя;
386
−
i
a
коэффициент температуропроводности i-го слоя;
−
),(θ tx
ii
температура i-го слоя
iii
lxl
≤
≤
−1
;
C
T
– температура окружающей среды;
−
−
=
Ciiii
TtxtxT ),(θ),(
относительная температура i-го
слоя
iii
lxl
≤
≤
−1
,
n
i
1,
…
=
.
При построении математической модели мы рассмотрим низ
обуви как n-слойную пластину, между слоями которой будем предпо-
лагать идеальный контакт.
Задача о распределении температуры сводится к решению сис-
темы:
( )
(
)
.,..,1,0,,
,
,
1
2
2
nitlxl
x
txT
atx
t
T
iii
i
ii
ii
i
=><<
∂
∂
=
∂
∂
−
(5.1)
Начальное распределение температуры
(
)
(
)
nixfxT
iiii
,..,1,0,
=
=
. (5.2)
Функция
(
)
ii
xf
предполагается гладкой на отрезке
[
]
n
l,0
, т.е.
имеет непрерывную производную на этом отрезке (если обувь наде-
вают непосредственно перед тем как выйти на улицу, то можно счи-
тать
(
)
constxf
ii
=
-
равной
относительной температуре в помеще-
нии).
Граничные условия: относительная температура на внешней
поверхности подошвы поддерживается равной 0, т.е. равной темпера-
туре окружающей среды:
(
)
0,
=
tlT
nn
. (5.3)
Внутренняя поверхность подошвы нагревается тепловым по-
током стопы плотности
q
:
387
(
)
0
,0
λ
1
1
1
=+
∂
∂
q
x
tT
, (5.4)
Между слоями пакета предполагается идеальный контакт, ко-
торый выражается условиями сопряжения на стыках:
(
)
(
)
tlTtlT
iiii
,,
111 −−−
=
,
( ) ( )
nitl
x
T
tl
x
T
i
i
i
ii
i
i
i
K,2,,λ,λ
11
1
1
1
=
∂
∂
=
∂
∂
−−
−
−
−
. (5.5)
Решение задачи, будем искать в виде
(
)
(
)
(
)
nitxNxRtxT
iiiiii
,...1,,,
=
+
=
, где функция
(
)
ii
xR
явля-
ется решением краевой задачи стационарной теплопроводности при
соответствующих неоднородных условиях вида (5.3), (5.4) и условиях
сопряжения (5.5). Функция
(
)
txN
ii
,
является решением нестацио-
нарной краевой задачи с однородными краевыми условиями и неод-
нородным начальным условием.
Итак, функция
(
)
ii
xR
должна быть решением системы:
( )
nix
dx
Rd
i
i
i
,..,1,0
2
2
==
с граничными условиями
(
)
,0
=
nn
lR
(
)
qR −=0λ
/
1
1
,
(
)
),(
111 −−−
=
iiii
lRlR
(
)
)(λλ
1
/
1
/
11 −−−−
=
iiiiii
lRlR ,
n
i
,...
2
=
.
Решением этой системы является niBxAxR
iiiii
,...1,)(
=
+
=
.
Используя граничные условия, находим коэффициенты
i
A
и
i
B
.
n
n
q
A
λ
−
=
,
n
n
n
ql
B
λ
=
,
i
i
q
A
λ
−
=
,
388
,
λ
1
λ
1
λ
1
1
−+=
∑
−
=
+
n
ik
kk
k
n
n
i
l
l
qB
.
1
,...
1
−
=
n
i
(5.6)
Для нахождения функций
),( txN
ii
решаем систему:
ni
x
N
a
t
N
i
i
i
i
,...1,
2
2
=
∂
∂
=
∂
∂
. (5.7)
Граничные условия на поверхностях:
(
)
0
;0
1
1
=
∂
∂
x
tN
,
(
)
0,
=
tlN
nn
. (5.8)
Условия сопряжения на стыках:
(
)
(
)
tlNtlN
iiii
,,
111 −−−
=
,
( )
(
)
,
,
λ,λ
1
1
1
1
1
i
ii
ii
i
i
i
x
tlN
tl
x
N
∂
∂
=
∂
∂
−
−
−
−
−
(5.9)
.
,...
2
n
i
=
Начальные условия
(
)
(
)
(
)
nixRxfxN
iiiiii
,...1,0,
=
−
=
. (5.10)
Используя метод Фурье, решение задачи (5.7) - (5.9) ищем в виде:
(
)
(
)
(
)
nitxXtxN
iiii
,...1,
µ
exp,
~
2
=−=
.
Подставляя эту функцию в (5.7), получим дифференциальное уравне-
ние
0
µ
2
=+
′′
i
i
i
X
a
X
, общее решение которого можно записать в ви-
де
+=
i
i
i
ii
a
AX
ϕ
µx
sin
~
. Следовательно,
( )
( )
ni
a
tAtxN
i
i
i
iii
,...1,
µx
sinµexp
~
,
~
2
=
+−=
ϕ
.
389
Удовлетворяя условиям сопряжения (5.9), будем иметь
+=
+
+=
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
,
µ
cosλ
~
µ
cosλ
~
,
µ
sin
~
µ
sin
~
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
ii
i
i
i
a
l
a
A
a
l
a
A
a
l
A
a
l
A
ϕϕ
ϕϕ
(5
.
11)
.
,
2
n
i
K
=
Отсюда
+=
+
2
2
1
2
2
1
1
1
1
1
µ
λ
µ
λ
ϕϕ
a
l
tg
a
a
l
tg
a
,
(5.12)
+=
+
−
−
−
−
−
−
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
l
tg
a
a
l
tg
a
ϕϕ
1
1
1
1
1
1
µ
λ
µ
λ
.
На границах
0cos
1
=
ϕ
,
0
µ
sin =
+
n
n
n
a
l
ϕ
. (5.13)
Из системы (5.12), (5.13) определяем последовательность соб-
ственных чисел
0
>
k
µ
и значений
k
ϕ
, соответствующим этим чис-
лам. Используя первое равенство (5.9), получим:
niAMA
kkiki
K
,3,
~
~
111
==
−−
, где
,1
1
=
k
M
390
0sin,
sin
µ
sin
П
П
2
1
1
≠
+
=
=
−
=
rk
rk
i
r
rk
r
rk
i
r
ik
a
l
M
ϕ
ϕ
ϕ
. (5.14)
Таким образом, решение задачи (5.7) - (5.10):
( )
( )
.,2,1,
µ
sinµexp
~
,
1
2
1
∑
∞
=
=
+−=
k
ik
i
ik
kikkii
ni
a
x
tMAtxN K
ϕ
(5.15)
Постоянные
k
A
1
~
определяем, используя ортогональность
функций
( )
+=
ik
i
ik
ikiik
a
x
MxX
ϕ
µ
sin
на отрезке
[
]
n
l,0
:
( ) ( )
∑
∫
=
−
≠
=
=
n
i
l
l
iiipiik
i
i
i
i
pk
pkconst
dxxXxX
a
1
1
.
,0
,
λ
Из начальных условий имеем
( ) ( ) ( )
∑
∞
=
+=−=
1
1
µ
sin
~
0,
k
ik
i
ik
ikkiiiiii
a
x
MAxRxfxN
ϕ
.
Умножим обе части на
( )
iip
i
i
xX
a
λ
и, интегрируя на
[
]
ii
ll
,
1−
, получим:
( )
∫
−
=
+
i
i
l
l
iip
i
ip
iiip
i
i
dx
a
x
xNM
a
1
µ
sin0,
λ
ϕ
.,...1,
µ
sin
µ
sin
λ
~
1
1
1
∑
∫
∞
=
−
=
+
+=
k
l
l
iip
i
ip
ik
i
ik
i
i
ikipk
i
i
nidx
a
x
a
x
a
MMA
ϕϕ
Суммируя по i от 1 до n и используя ортогональность
ik
X
, будем
иметь: