Сапожников С.З. Китанин Э.Л. Техническая термодинамика и теплопередача
Подождите немного. Документ загружается.
141
Рис. 77.
(во всех одномерных стационарных задачах следовало бы ис-
пользовать обозначения dT, dх и т. д.; сохраним знак частной
производной лишь для однообразия и в силу традиции). Задача
(2.20) допускает прямое интегрирование:
1
C
x
T
=
∂
∂
(2.21)
21
CxCT
+
=
(2.22)
где С
1
, С
2
— постоянные интегрирования.
При х = 0 из равенства (2.22) следует, что Т
w1
= С
2
; при х = δ
Т
w2
= С
1
+ Тw
1
, откуда .
δ
12
1
ww
TT
C
−
= Получаем
1
12
δ
w
ww
Tx
TT
T +
−
=
(2.23)
Ранее были известны лишь температуры Т
w1
и Т
w2
уравнение
(2.23) позволяет определить температуру в любом сечении
пластины и показывает, что по координате х температура меняется
линейно.
Возможен и другой случай: если Т(х) задана, то постоянную
во всех сечениях пластины плотность теплового потока найдем,
подставляя в уравнение (2.4) значение
x
T
∂
∂
и уравнения (2.21):
142
δ
λ
21 ww
TT
q
−
=
(2.24)
Величину
λ
λ
δ
R=
называют
внутренним термическим
сопротивлением
4
; ее размерность — м
2
⋅К/ Вт; очевидно, что
λ
21
R
TT
q
ww
−
=
Решения (2.23) и (2.24) можно обобщить для многослойной
пластины (рис. 78).
Рис. 78.
4
Заметим, что
q
TT
R
ww 21
λ
−
= — отношение разности
температур на двух изотермических поверхностях к плотности
теплового потока. Для пластины q = idem, в более общем случае q
может задаваться для одной из изотермических поверхностей.
143
Пусть в пластине n слоев с толщинами δ
1
, δ
2
,...,δ
n
и
теплопроводностями λ
1
, λ
2
,...,λ
n
, соответственно; температуры
границ слоев равны Т
w1
, Т
w2
,...,Т
wn+1
. Физически ясно, что в
стационарном режиме плотность теплового потока q во всех
сечениях пластины остается одинаковой:
n
n
wnwn
ww
ww
TT
q
TT
q
TT
q
λ
δ
.......................
;
λ
δ
;
λ
δ
1
2
2
32
1
1
21
+
−
=
−
=
−
=
Разрешим эти уравнения относительно разностей температур,
а затем сложим почленно:
()
n
wnw
n
n
n
wnw
n
n
wnwn
ww
ww
RRR
TT
q
RRRq
qTT
q
TT
q
TT
q
TT
λ2λ1λ
11
λ2λ1λ
2
2
1
1
11
1
2
2
32
1
1
21
...
поэтому,...
λ
δ
...
λ
δ
λ
δ
;
λ
δ
.......................
;
λ
δ
;
λ
δ
+++
−
=
+++=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++=−
=−
=−
=−
+
+
+
(2.25)
Величину
Σ
=
+
+
+
λ
λ
2
λ
1
λ
... RRRR
n
назовем суммарным
внутренним термическим сопротивлением многослойной
пластины (здесь видна аналогия с сопротивлением электрических
цепей постоянного тока: суммарное сопротивление
144
последовательно соединенных проводников равно сумме
составляющих). В осях Т–х распределение температур в сечении
пластины представляет ломаную линию; наклон любого ее звена
тем больше, чем меньше теплопроводность соответствующего слоя.
Усложним задачу (рис. 79): пусть обе поверхности пластины
омывают жидкости с различными температурами (Т
f1
> Т
f2
), а
коэффициенты теплоотдачи на этих поверхностях равны
соответственно α
1
и α
2
. Рассмотрим, таким образом, задачу
теплопроводности при граничных условиях III рода.
Поскольку в любой стационарной задаче теплопроводности
плотность теплового потока во всех сечениях пластины остается
неизменной, определим значение q: на левой границе
(
)
,α
111
0
wf
x
TTq −=
=
внутри пластины
λ
δ
21
0
ww
x
TT
q
−
=
<<
δ
и на
правой границе
(
)
.α
212
δ
fw
x
TTq
−
=
=
Рис. 79.
Выполнив те же преобразования, что и в предыдущем случае,
получим
,
α
1
λ
δ
α
1
2αλ1α
21
21
21
RRR
TTTT
q
ffff
++
−
=
++
−
=
(2.26)
145
где
2
2α
1
1α
α
1
,
α
1
== RR —
внешние термические
сопротивления, (м
2
⋅К)/Вт — величины, обратные коэффициентам
теплоотдачи α
1
и α
2
.
Величину
,
11
1
21
α+λδ+α
=k
которая характеризует
интенсивность передачи теплоты, называют. Из формулы (2.26)
следует, что значение k численно равно отношению плотности
теплового потока, передаваемого через пластину от одной
жидкости к другой, к разности между температурами жидкостей
(теплоносителей)
5
.
Если величина α характеризует только конвективный теп-
лообмен на поверхности пластины, то коэффициент
теплопередачи k является характеристикой всей
теплопередающей системы, поскольку кроме коэффициентов
теплоотдачи α
1
и α
2
она включает параметры δ и λ!
Величина
k
R
k
=
1
— ясно, что
2α
λ
1αk
RRRR
+
+
=
.
Распределение температур в многослойной пластине при
граничных условиях III рода в пределах каждого слоя остается
линейным, а в жидкости или газе вблизи границ пластины
приобретает нелинейный характер (рис. 80); плотность теплового
потока
()
.
α
1
λ
δ
α
1
21
21
2
1
1
21
ff
k
ff
n
i
ff
TTk
R
TTTT
q −=
−
=
++
−
=
∑
=
(2.27)
5
Подробнее о теплоносителях см. разд. 2.12.
146
Рис. 80.
Нередко требуется определить температуру в произвольном
сечении пластины 0 < х < δ. Запишем значения перепадов
температур, используя прежнее условие q = idem:
.
α
;
λ
δ
.......................
;
λ
δ
;
α
1
21
1
1
1
21
1
11
+
+
+
=−
=−
=−
=−
n
fwn
n
n
wnwn
ww
wf
q
TT
q
TT
q
TT
q
TT
Температуры на границах слоев
.
α
1
λ
δ
...
λ
δ
α
1
;
λ
δ
...
λ
δ
α
1
.....................................................
λ
δ
α
1
α
1
11
1
1
11
1
1
1
11
1
1
1
12
1
11
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++++−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+++−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
+
+
+
nn
n
ffn
n
n
fwn
fw
fw
qTT
qTT
qTT
qTT
Пусть сечение х находится в j-м слое стенки. Тогда
расстояние от этого сечения до границы с температурой Т
wj
будет
равно x
j
= х – (δ
1
+ ... + δ
j–1
), а температура
147
()
.
λλ
δ
...
λ
δ
α
1
1
1
1
1
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++++−=
−
−
j
j
j
j
f
x
qTxT
(2.28)
Рассуждения остаются в силе, если расчет начинать не с Т
f1
, а
с Т
f2
перед q поставить знак “+”, а все члены суммировать в
обратном порядке.
Теплопроводность цилиндрической стенки при граничных
условиях I рода рассчитать чуть сложнее, поскольку в этом случае
плотность потока q зависит от текущего радиуса r (рис. 81).21.10
Рис. 81.
Обычно цилиндрические стенки достаточно “длинные”
(трубы, каналы и т. п.); их поле температуры вполне точно
описывают одномерным уравнением Фурье, т. е. считают, что
температура вдоль оси цилиндра постоянна.
Краевая задача Фурье для осесимметричной цилиндрической
стенки без внутренних источников имеет вид
.
;
;0
1
22
r
11
2
2
w
r
wrr
TT
TT
r
T
r
r
T
=
=
=
∂
∂
+
∂
∂
=
=
(2.29)
Введем новую переменную ,
r
T
U
∂
∂
= чтобы понизить порядок
производных, тогда
148
;0;
1
;
2
2
=+
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
r
U
r
U
r
U
r
T
rr
U
r
T
разделим переменные и проинтегрируем; получим последовательно
.ln
,
,lnln
21
1
1
CrCT
r
r
CT
CrU
+=
∂
∂
=∂
=
+
(2.30)
Постоянные С
1
и С
2
найдем из граничных условий задачи
(2.29):
()
()
()
.
ln
ln
;
ln
;ln;при
;ln;при
21
1
2112
21
21
1
221222
211111
rr
r
TTTC
rr
TT
C
CrCTTTrr
CrCTTTrr
www
ww
ww
ww
−−=
−
=
+===
+
=
=
=
После подстановки получим значение температуры Т на
произвольном радиусе r:
() ( )
()
.
ln
ln
21
1
211
rr
rr
TTTrT
www
−−=
(2.31)
Уравнение (2.31) описывает убывающую логарифмическую
функцию, что физически вполне объяснимо: с увеличением
значения r плотность теплового потока снижается, хотя тепловой
поток, подводимый на поверхности r =r
1
, и отводимый с
поверхности r = r
2
, остается неизменно равным
rl
r
T
Q π
∂
∂
λ−= 2
(здесь l — длина расчетного участка).
Поскольку в соответствии с равенством (2.30)
()
()
(
)
()
Вт.,
ln
2
,
ln
21
21
21
21
1
rrr
TTl
Q
rrr
TT
r
C
r
T
wwww
−
π
λ
=
−
==
∂
∂
Для цилиндрической стенки плотность теплового потока
удобнее рассматривать либо на поверхности 2πr
1
l, либо на
поверхности 2πr
2
l:
149
(
)
()()
,мВт,
ln2
2
121
21
1
1
rrr
TT
lr
Q
q
ww
λ
−
=
π
=
(2.32)
(
)
()()
,мВт,
ln2
2
122
21
2
2
rrr
TT
lr
Q
q
ww
λ
−
=
π
=
(2.33)
Можно также рассчитать тепловой поток, протекающий через
единицу длины цилиндра,
(
)
()()
,мВт,
ln21
12
21
rr
TT
l
Q
q
ww
l
λ
−
π
==
(2.34)
эту величину назовем линейной плотностью теплового потока.
Легко заметить, что
;22
2211
qrqrq
l
π
=
π
=
(2.35)
иначе говоря, линейная плотность теплового потока
l
q , не зависит
от текущего радиуса r. Для n-слойной цилиндрической стенки все
рассуждения проведем так же, как для многослойной пластины; при
этом линейная плотность теплового потока окажется равной
()
()
.мВт,
ln
2
1
1
1
21
ii
n
i
i
ww
l
rr
TT
q
+
=
∑
λ
−
π
=
(2.36)
Величину
()
ii
i
il
rrR
1
ln
2
1
+λ
λ
=
назовем линейным
внутренним термическим сопротивлением i-го слоя, а сумму
()
∑
=
+Σλ
λ
=
n
i
ii
i
l
rrR
1
1
ln
2
1
— суммарным линейным внутренним
термическим сопротивлением многослойной цилиндрической
стенки, (м·К)/Вт.
Для граничных условий III рода (рис. 82)
()
(
)
()
,мВт,
2
1
ln
2
1
2
1
11
1
1
11
11
++
+
=
+
α
+
λ
+
α
−
π
=
∑
nn
ii
n
i
i
nff
l
r
rr
r
TT
q
(2.37)
150
Рис. 82/
где
21
1211
2
1
,
2
1
α
+
α
=
α
=
α
l
n
l
R
r
R
r
— линейные внешние
термические сопротивления, (м·К)/Вт. Равенство (2.37) можно
представить в виде
()
(
)
,мВт,
11 +
−
π=
nffll
TTkq
(2.38)
где
()
Км
Вт
,
2
1
ln
2
1
2
1
1
11
1
11
1
1
11
⋅
=
α
+
λ
+
α
=
+
αΣλα
++
++
+
=
∑
n
lll
RRR
nn
ii
n
i
i
l
r
rr
r
k
—
линейный коэффициент теплопередачи, а величина
Вт
Км
,
1
⋅
=
lk
l
R
k
— полное линейное термическое сопротивление.
Если расчет ведут для плотностей теплового потока
(
)
2111 ff
TTkq −= и
(
)
,
2122 ff
TTkq
−
= где k
1
, k
2
— коэффициенты
теплопередачи, Вт/(м
2
·К), рассчитанные для соответствующих
поверхностей однородного цилиндра, то справедливо соотношение
2211
22 krkrk
l
== .
Температура на радиусе r, отдаленном на расстояние ∆r
j
от
границы (j – 1)-го и j -го слоев (см. рис. 82), равна