Сапожников С.З. Китанин Э.Л. Техническая термодинамика и теплопередача
Подождите немного. Документ загружается.
171
()
.
L
Fo
;
L
;
L
2
2
2
2
2
22
2
0
0
∂
Θ∂
=
∂
Θ∂
∂
Θ∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
δ
τ
∂
Θ∂
∂δ
Θ∂ϑ
=
τ∂
Θ∂
ϑ
a
a
(2.78)
Краевые условия в безразмерной форме:
,1
Bi
L
0Fo
1L
=Θ
Θ=
∂
Θ∂
=
±=
w
(2.79)
(2.80)
где
f
fw
TT
TT
−
−
=Θ
0
— безразмерная избыточная температура на
поверхности пластины.
Искомая функция зависит всего от трех переменных:
(
)
,LFo,Bi,
Θ
=Θ
(2.81)
вот почему запись краевой задачи Фурье в форме (2.78)–(2.80)
удобнее, чем в размерной форме (2.75)–(2.77). Кроме того, задача
получает обобщение: решение (2.81) описывает поле температуры в
любой пластине, независимо от численных значений α,δ, a = λ/(ρс),
и в любой момент .
Fo
2
a
δ
=τ
Решение (2.81) представляют собой сумму бесконечного ряда
()
,Lcos)(
Fo
1
2
n
eA
nn
n
np
µ−
∞
=
µµ=Θ
∑
(2.82)
где µ
n
— корни характеристического уравнения
.Bi/ctg
µ
=
µ
(2.83)
172
Рис. 92.
Трансцендентное уравнение (2.83) решим графически,
построив кривые
µ
= ctg
1
y и Bi/
2
µ
=
y в осях у–µ (рис. 92). Из
графика видно, что корней уравнения (2.83) — бесконечное
множество, они приведены в виде таблиц в справочной литературе.
Функцию
()
Lcos
n
µ называют собственной функцией задачи
(2.78)–(2.80).
Коэффициент разложения (амплитудная функция)
;
cossin
sin2
)(
nnn
n
nn
A
µµ+µ
µ
=µ
(2.84)
значения )(
nn
A µ также табулированы. Пользуясь таблицами
значений
n
A
и
n
µ
можно рассчитать величину Θ с любой
точностью; обычно принимают n ≤ 6, а для Fо ≥ 0,3 хватает и
одного первого корня µ
1
:
()
Fo
111
0,3Fo
2
1
Lcos)(
µ−
≥
µµ=Θ eA
(2.85)
Условие (2.85) соответствует так называемому регулярному
тепловому режиму (см. разд. 2.45).
По мере увеличения значений Вi линия у
2
на рис. 92 будет
отклоняться от оси абсцисс на все меньший угол и при Вi→∞
сольется с осью µ, что даст корни
;
2
)12(
,...,
2
3
,
2
111
π
−
=µ
π
=µ
π
=µ
n
173
при этом
n
n
n
n
A
µ
−
=
+1
)12(
(практически это произойдет при Вi>100).
В этом случае
,,
fw
TT →∞→
λ
α
граничные условия III рода
выродятся в условия I рода. Распределение температуры
∞→Bi
)(xT
представлено на рис. 93,a.
Другой предельный случай — Вi→0; уравнение (2.82) при
этом переходит в форму,
,
BiFo−
=Θ e
(2.86)
которая соответствует практически равномерному распределению
температуры
(
)
1L
L
+
ϑ (рис. 93,б). Заметим, что равенство (2.86) в
точности совпадает с соотношением (2.62), полученным в разд.
2.4.1 для термически тонких тел.
Для цилиндра и шара распределения температуры также
выражаются суммами членов бесконечных рядов:
— для неограниченного цилиндра
[]
,
)()(
)(2
Fo
0
1
0
2
1
2
0
1
2
n
e
r
r
J
JJ
J
n
n
nnn
n
c
µ−
∞
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
µ
µ+µµ
µ
=Θ
∑
(2.87)
174
где J
0
(µ), J
1
(µ), — функции Бесселя первого рода нулевого и
первого порядка, соответственно; r/r
0
— безразмерная координата
для цилиндра радиусом r
0
(здесь r ≤ r
0
— текущая размерная
координата);
— для шара
()
()
,
cossin
sincossin2
Fo
1
0
0
2
n
e
r
r
r
r
n
nnnn
nnnn
b
µ−
∞
=
∑
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
µµµµ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
µµµ−µ
=Θ
(2.88)
где r/r
0
— безразмерная координата для шара радиусом r
0
(здесь r ≤
r
0
— текущая размерная координата).
В формулах (2.87) и (2.88)
n
µ
— корни соответствующих
характеристических уравнений, их значения для цилиндра и шара
табулированы, как и сами функции Θ
c
и Θ
b
. В обе формулы входит
экспоненциальный множитель
,
Fo
2
n
e
µ−
причем, как и для пластины,
начиная с Fо ≥ 0,3 безразмерная избыточная температура
достаточно точно определяется первым членом соответствующего
ряда: для цилиндра и шара, как и для пластины, наступает
регулярный тепловой режим.
В задачах нагрева и охлаждения часто требуется найти
среднюю безразмерную температуру тела
),Fo(
)(
0
f
TT
TT
f
f
=
−
−τ
=Θ
где )(τT — среднемассовая (среднеобъемная) температура тела в
момент τ.
Для тел канонической формы (пластины, цилиндра, шара)
,)(
Fo
1
2
n
eB
n
n
n
µ−
∞
=
µ=Θ
∑
(2.89)
где )(
nn
B µ — функции, вычисленные и табулированные для
каждого из этих тел.
175
В инженерных расчетах вместо формул (2.89) можно
использовать соответствующие графики; в справочной литературе
они приводятся для пластин, цилиндров бесконечной длины,
шаровых стенок и некоторых других тел.
При заданных Вi и Fо последовательно находят Θ, затем
(
)
,)(
0 ff
TTTT +−Θ=τ после чего определяют количество теплоты,
отданное телом за время τ:
[
]
.)(
0
τ
−
ρ
=
τ
TTVcQ
При
f
TT →τ)( процесс теплопередачи закончится, поэтому
максимальное количество теплоты, отданное телом,
(
)
.
0max f
TTVcQ
−
ρ
=
(2.90)
Величину
()
max
0
0
)(
FoBi,
τ
τ
∗
Θ
Θ
=
−
τ
−
=Θ
f
TT
TT
по известным значениям Вi и Fо также определяют графически. С
учетом формулы (2.90) из графика можно определить значение Θ
τ
.
Для расчета температур используют графики, где по оси ординат
отложена температура на поверхности пластины Θ
w
(рис. 94,а) или
в ее осевом сечении Θ
0
(рис. 94,б). Аналогичные кривые построены
для цилиндра и шара. Кроме того, иногда используют график (рис.
95)
()
LBi,
),0(
),(
f
TT
TxT
f
f
=
−τ
−
τ
=Θ
по нему можно определить температуру Т(х, τ) в любом сечении
δ
=
x
L
, если известна избыточная температура в средней плоскости
[
]
f
TT −τ),0( . Аналогичные графики построены для цилиндра, шара
и полуограниченного тела.
176
Рис. 94.
Пользуясь перечисленными “семействами” графиков, можно
решать два класса задач:
1. Определять значения температур (безразмерных и
размерных) в сечении тела, если заданы его теплофизические
свойства, размеры, коэффициент теплоотдачи на поверхности и
текущее время:
(
)
.FoBi,
Θ
=Θ
(2.91)
177
Рис. 95.
Задачу (2.91) решают непосредственно по графикам (рис. 94,
95) или по их аналогам: рассчитывают числа Вi, Fо, L, а затем
определяют температуру в центре, на поверхности, в точке с
координатой х или среднемассовую. Такой подход позволяет для
любого заданного времени рассчитать поле температуры, например,
в сечении теплоизолированного ограждения вокруг отсека при
пожаре, в сечении стенки кузова после выезда автомобиля из
теплого гаража и т. д.
2. Определять время, к которому температура (средняя)
достигнет заданного уровня
Θ
:
(
)
.Bi,FoFo
Θ
=
(2.92)
Задача (2.92) связана с выбором предельных тепловых
режимов: если значение
Θ
ограничено теплостойкостью
материалов, а также предельной допустимой температурой в отсеке
или салоне транспортного средства, то число Fо определит время, в
течение которого объект находится в приемлемом состоянии.
Возможна и менее “тревожная” постановка задачи, когда,
например, требуется определить время прогрева салона зимой или
охлаждения (кондиционером или вентилятором) летом.
2.4.4. Нагрев и охлаждение тел конечных размеров
178
Тела канонической формы (пластина, цилиндр, шар) далеко
не исчерпывают все практически важные для инженеров-
транспортников случаи. Почти всегда тело ограничено в двух или
трех направлениях, причем ясно, что поле температуры в его
объеме заведомо неравномерно (Bi >> 0,1). Если по-прежнему
считать, что теплофизические свойства материала (λ,ρ,с) не зависят
от температуры, то температуры в двух-и трехмерных областях
можно рассчитать, применяя решения, полученные для тел
канонической формы.
Рис. 96.
Рассмотрим в качестве примера круговой цилиндр радиусом
r
0
и длиной 2δ. Необходимо рассчитать температуру в точке M(δ,r
0
),
если в начальный момент цилиндр имел температуру T
0
, а в момент
τ = +0 на всей его поверхности начался конвективный теплообмен
со средой, имеющей температуру T
f
, при постоянном коэффициенте
теплоотдачи а (граничные условия III рода). Представим наш
“короткий” цилиндр как пересечение бесконечно длинного
цилиндра радиусом r
0
и неограниченной пластины толщиной 2δ
(рис. 96). Для любого τ в этом случае окажется справедливой
формула
(
)
),()(
,
0
0
0
δ=
ϑ
δ
ϑ
=Θ PrC
r
M
M
179
где С(r
0
) — значение Θ
c
для цилиндра радиусом r
0
, значение Θ
p
для
пластины толщиной 2δ,
00
TT
f
−
=
ϑ
— избыточная температура
среды;
000
),(),( TrTr
M
M
−
δ=δϑ — избыточная температура в точке
),(
0
rM δ .
Значения С(r
0
) и Р(δ) находят по соответствующим графикам
для цилиндра и пластины. Аналогично решают задачу нагрева
(охлаждения) параллелепипеда размерами 2х × 2у × 2z:
),(),(),(),,( zPyPxPzyx
M
=
Θ
где Р(х), Р(у), Р(z) — значения температур для пластин толщиной
2х, 2у, 2z, соответственно.
Итак, общее правило таково: безразмерная температура тела
конечных размеров, образованного пересечением канонических тел,
равна произведению безразмерных температур, рассчитанных для
каждого из этих тел в предположении, что их поверхности
пересекаются, ограничивая тело конечных размеров. Этим
способом рассчитывают температуру на поверхности, в центре тела
и среднемассовую температуру.
Описанный метод впервые был предложен Р. Зодербергом в
1931 г.; поскольку функции Р(х), С(r
0
) и т. д. входят в расчетные
формулы в виде произведений, его называют
мультипликативным.
2.4.5. Регулярный тепловой режим
Эксперимент показывает, что нередко при конвективном
теплообмене на поверхности тел самой различной формы (в том
числе — “неправильной”, сложной) температура во всех точках
тела, где бы они ни находились — на поверхности или в глубине —
180
меняется во времени по экспоненте
6
. Мы отмечали, что в
уравнениях (2.82), (2.87), (2.88) при Fо ≥ 0,3 значения безразмерных
избыточных температур Θ
p
, Θ
c
, Θ
b
достаточно точно определяются
одним первым членом соответствующих бесконечных рядов.
Рис. 97.
Все изложенное было хорошо известно уже в начале XX в., но
лишь в 1954 г. Г.М. Кондратьев предложил весьма простую и
логичную теорию теплового режима, названного регулярным. В
дальнейшем в исследованиях А.В. Лыкова, Г.Н. Дульнева и др.
теория регулярного режима была распространена на системы тел с
внутренними источниками теплоты и прочие важные для практики
случаи.
Теория регулярного режима требует, чтобы теплообмен со
средой происходил при граничных условиях III рода, а тепловой
поток на границе тела не менял знака (т. е. тело должно или
нагреваться, или охлаждаться в течение всего процесса).
Других ограничений нет: форма тела и начальное
распределение температур могут быть произвольными. Если
определить (расчетно или экспериментально), как меняется
температура Т в любых двух точках 1 и 2 охлаждаемого тела (рис.
97), а затем построить графики ),(ln
τ
=
ϑ
f
где ,
f
TT −=ϑ то
6
Это означает, что в любой момент поле избыточной (над
температурой окружающей среды) температуры остается в теле
“подобным самому себе”. О подобии подробнее см. в разд. 2.7.