Ташлыкова-Бушкевич И.И. Физика. Часть 1: Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Электричество и магнетизм

Подождите немного. Документ загружается.

совпадает с направлением тока). По закону Джоуля–Ленца за время dt в этом

объеме выделится теплота:

dVdtjdtdSj

dtRIdQ

222

)( ρ

=== .

Удельной тепловой мощностью называется количество теплоты, выде-

ляющееся за единицу времени в единице объема:

dVdt

w ρ== . (14.27)

Используем дифференциальную форму закона Ома (14.15)

и оп-

ределение удельной электрической проводимости вещества (14.14)

. В

результате получим закон Джоуля–Ленца в дифференциальной форме:

jEEw ==

σ . (14.28)

Мощностью постоянного тока называют величину

, которая

равна джоулеву теплу, выделяемому в проводнике за единицу времени.

Тепловое действие электрического тока используется в лампах накалива-

ния, электросварке, электронагревательных приборах и т.д.

Классическая теория электропроводности металлов. Основные законы

электрического тока в классической теории электропроводности металлов – это

законы Ома, Джоуля–Ленца и Видемана–Франца.

Для всех металлов при одинаковой температуре отношение коэффициен-

та теплопроводности

к удельной электрической проводимости одинаково и

увеличивается с температурой согласно закону Видемана–Франца (1853):

, (14.29)

где L – число Лоренца, не зависящее от металла;

зависит от атомно-

молекулярного строения вещества, состава, температуры, давления и т.д.

В классической теории электропроводности металлов, положения ко-

торой частично были использованы ранее, считается:

1. При образовании кристаллической решетки электроны внешних обо-

лочек атомов обобществляются

и кристалл представляет собой решетку непод-

вижных ионов металла, между которыми хаотически движутся свободные элек-

троны, образуя электронный газ, обладающий свойствами идеального газа.

2. Движение электронов подчиняется законам классической механики

3. Пренебрегается взаимодействием электронов между собой, рассмат-

риваются только столкновения с атомами в узлах решетки.

4. Даже при предельно допустимых значениях плотности тока, средняя

скорость

u упорядоченного движения электронов, обуславливающего элек-

трический ток, значительно меньше их скорости теплового движения

υ .

Необходимо отметить, что существует ряд трудностей классической тео-

рии, которые разрешаются квантовой теорией: например, не согласуется с экс-

периментальной зависимость сопротивления от температуры, зависимость теп-

лоемкости металлов от температуры противоречит экспериментальной.

Тема 15. Магнитное поле в вакууме

15.1. Магнитная индукция

. Магнитное поле

равномерно движущегося заряда. Принцип суперпозиции полей

В XIX в. опытным путем было установлено:

1. В пространстве, окружающем токи и постоянные магниты, возникает

силовое поле, называемое магнитным.

2. Движущиеся заряды создают магнитное поле.

3. Магнитное поле действует на движущиеся заряды.

Как известно, электростатическое поле действует и на неподвижные за-

ряды, и на движущиеся. Магнитное поле не действует на покоящиеся заряды.

Опыт показывает, что характер воздействия магнитного поля на ток

зависит от:

1) формы проводника, по которому течет ток;

2) расположения проводника;

3) направления тока.

Аналогично тому, как при исследовании электростатического поля ис-

пользуется пробный заряд, при исследовании магнитного поля используется

замкнутый плоский контур с током

(рамка с током), линейные размеры которо-

го малы по сравнению с расстоянием до токов, образующих магнитное поле.

Ориентация контура с током в пространстве ха-

рактеризуется направлением нормали

к контуру. В

качестве положительного направления нормали при-

нимается направление, связанное с током правилом

буравчика:

за положительное направление нормали принима-

ется направление поступательного движения бу-

равчика, рукоятка которого вращается в направле-

нии тока, текущего в рамке.

Опыты показывают, что со стороны магнитного поля на движущуюся в

этом поле со скоростью

заряженную частицу q действует сила

. Экспери-

ментально по величине и направлению магнитной силы определяют силовую

характеристику магнитного поля – вектор магнитной индукции

При изменении направления скорости частицы в точке А поля модуль си-

лы

изменяется от 0 до максимального значения

максм

F )( , зависящего от

произведения υ⋅q , а также и от значения в точке А вектора

По определению, модуль вектора

равен

υ⋅

максм

)(

. (15.1)

Отметим, что отношение

)( υ⋅qF

не зависит ни от заряда q частицы, ни от

модуля ее скорости.

Таким образом, магнитная индукция

численно равна отношению си-

Рис. 15.1. Использование

рамки с током для

исследования

магнитного поля

лы, действующей на заряженную частицу со стороны магнитного поля, к про-

изведению абсолютного значения заряда и скорости частицы, если направление

скорости частицы таково, что эта сила максимальна.

Единица магнитной индукции в СИ – тесла (Тл).

При заполнении всего объема, где имеется магнитное поле (объем огра-

ничен поверхностями, образованными линиями напряженности внешнего поля,

см. подтему 16.2), однородной изотропной средой (магнетиком, см. подтему

16.1) величина магнитной индукции

изменяется в μ раз:

=µ ,

где μ – магнитная проницаемость среды (см. подтему 16.3) – безразмерная

величина, показывающая во сколько раз магнитная индукция

поля в среде

отличается от магнитной индукции

B поля в вакууме. Для вакуума 1

вак

Из опыта следует, что вектор силы

орто-

гонален скорости

частицы q. По определению

вектор магнитной индукции

также ортогонален

направлению

, рис. 15.2. По правилу правой ру-

ки ладонь правой руки располагается так, чтобы

выпрямленные пальцы указывали направление

движения частицы

, а если их согнуть – направ-

ление вектора

. Тогда большой палец руки бу-

дет ука-

зывать направление силы, действующей со стороны магнитного поля на поло-

жительно заряженную частицу.

Магнитное поле называется однородным, если во всех его точках векто-

ры магнитной индукции одинаковы как по модулю, так и по направлению. В

противном случае магнитное поле называется неоднородным.

Графически стационарное (не изменяющееся со

временем) магнитное поле изображают линиями маг-

нитной индукции, рис. 15.3 а, б.

Линиями магнитной индукции (силовыми ли-

ниями магнитного поля) называются линии, прове-

денные в магнитном поле так, что в каждой точке по-

ля касательная к линии магнитной индукции содер-

жит вектор

в этой точке поля. Например, в случае

проводника с током они имеют вид окружностей. На-

правление силовых линий прямого тока определяют

по правилу правой руки: если мысленно обхватить

проводник правой рукой так, что большой палец ука-

зывает направление тока в проводнике, то остальные

пальцы показывают направление силовых линий маг-

нитного поля тока, рис. 15.3, а.

q>0

Рис. 15.2. К определению

направления вектора силы

Рис. 15.3. Силовые линии

магнитного поля вокруг

проводника с током:

а – прямой проводник;

б – круговой виток

Линии магнитного поля всегда замкнуты, в то время как линии электро-

статического поля – разомкнуты (они начинаются на положительных и закан-

чиваются на отрицательных зарядах).

Таким образом, опыт показывает, что сила, действующая со стороны маг-

нитного поля на движущуюся в нем заряженную частицу, определяется как

],[ BqF

υ= . (15.2)

Направление вектора силы

определяется согласно правилу векторного

произведения (правило правой руки), описанному выше. Модуль силы равен

sinBqF

, (15.2а)

где

– угол между векторами

Тогда, если на движущуюся частицу с электрическим зарядом q одновре-

менно действуют магнитное и электрическое поля, то результирующая элек-

тромагнитная сила

, называемая силой Лоренца, равна сумме двух состав-

ляющих – электрической и магнитной:

],[ BqEqF

υ+= , (15.3)

где

– напряженность электрического поля. Электрическая составляющая ре-

зультирующей силы

не зависит от скорости движения заряда. Скорость

формуле (15.3) определяется относительно интересующей нас системы отсчета.

Иногда под силой Лоренца понимают только магнитную составляющую

силы

. Необходимо заметить, что разделение полной силы Лоренца на элек-

трическую и магнитную составляющие зависит от выбора системы отсчета.

Важной особенностью

магнитной силы является то, что она всегда пер-

пендикулярна вектору скорости заряда, поэтому работы над зарядом не совер-

шает. Следовательно, в постоянном магнитном поле энергия движущейся заря-

женной частицы остается неизменной, как бы частица не двигалась.

Магнитное поле равномерно движущегося заряда. Элементарный за-

кон, определяющий поле

равномерно движущегося нерелятивистского то-

чечного заряда q, был получен в результате обобщения экспериментальных

данных:

],[

= , (15.4)

где

104

−

⋅= πµ Гн/м – магнитная постоянная

;

– радиус-вектор, проведен-

ный от заряда к точке наблюдения. Конец радиус-вектора неподвижен в данной

системе отсчета, а его начало движется со скоростью

. Формула (15.4) спра-

ведлива в случае постоянной нерелятивистской скорости

движения заряда.

Для магнитных полей справедлив принцип суперпозиции:

магнитная индукция поля, создаваемого несколькими токами или движущи-

мися зарядами, равна векторной сумме магнитных индукций полей, созда-

ваемых каждым током или движущимся зарядом в отдельности:

∑

. (15.5)

15.2. Закон Био–Савара–Лапласа и его применение

к расчету магнитного поля прямого и кругового токов

В 1820 г. французские ученые Ж. Био и Ф. Савар исследовали магнитные

поля, создаваемые в воздухе прямолинейным током, круговым током, катушкой

с током и т.д. В соавторстве с французским физиком П. Лапласом, который

обобщил полученные ими экспериментальные результаты, они получили об-

щий закон, позволяющий вычислять магнитную индукцию в каждой точке по-

ля, создаваемом током, текущим по проводнику любой формы.

Магнитная индукция поля постоянного электрического тока, созданная

элементом

линейного проводника с током

в вакууме (рис. 15.4), удовле-

творяет закону Био–Савара–Лапласа, который в СИ имеет вид:

],[

rldI

dVrj

== , (15.6)

где j

– плотность тока; dVj

– соответственно

объемный и линейный элемент тока;

– радиус-

вектор, проведенный из элемента

в рассматривае-

мую точку поля А. Угол между векторами

ра-

вен θ. Направление

перпендикулярно плоскости

векторов

и совпадает с касательной к линии

магнитной индукции, проходящей через точку А.

Модуль вектора

определяется выражением

sin

dlI

= . (15.6а)

Лаплас – автор гипотезы о том, что при наложении магнитных полей

справедлив принцип суперпозиции, т.е. принцип независимого действия полей:

∫

BdB

, (15.7)

где

– магнитная индукция магнитного поля малого элемента dl проводника

с током, а интегрирование проводится по всей длине проводника.

Таким образом, магнитная индукция поля, создаваемого в вакууме

током I, идущим по проводнику конечной длины и любой формы, равна

∫

rldI

],[

, (15.7а)

∫

rjI

],[

. (15.7б)

Рассмотрим два примера применения закона Био–Савара–Лапласа.

1. Магнитное поле прямолинейного проводника с током. Пусть ток I

течет по прямому проводу бесконечной длины. В качестве постоянной интег-

рирования выберем угол θ, рис. 15.5, а. По закону Био–Савара–Лапласа (15.6а)

модуль вектора

в точке А поля элемента прямолинейного проводника равен

Рис. 15.4. Магнитная

индукция элемента тока

sin

dlI

= ,

где

sin

dl = и

rddS

, а

sin

r = , R – расстояние от провода до точки А. Поэто-

му

sin

Rdrd

dl ==

. Тогда получаем

dRI

sin

=⋅= .

Угол θ для всех элементов провода изменяется от 0 до π. По принципу суперпо-

зиции (15.5) магнитная индукция поля, создаваемого прямым током I, равна

cos

sin

⋅=⋅−==

∫

θθ

= . (15.8)

Рис. 15.5. К вычислению магнитного поля:

а – прямолинейного проводника с током; б – кругового витка с током

2. Магнитное поле кругового витка с током. Определим магнитную

индукцию поля витка с током I в произвольной точке на оси витка

′

, прохо-

дящей через центр витка перпендикулярно его плоскости. На рис. 15.5, б пока-

зан круговой виток радиуса R, плоскость которого перпендикулярна плоскости

чертежа, а ось

′

лежит в этой плоскости. В точке А на оси

′

векторы

],[

rld

для полей различных малых элементов

витка с током не совпадают по на-

правлению. Векторы

для полей двух диаметрально противополож-

ных элементов витка

, имеющих одинаковую длину dldldl

, рав-

ны по модулю:

021

4 rIdldBBdBd πµ===

, так как

90),(sin =

∧

rld

Результирующий вектор

BdBd

+ направлен в точке А по оси витка, при-

чем

dBBdBd

sin2

β ===+

BdBd

′

Таким образом, поперечные составляющие

⊥

взаимно компенсируют

друг друга. Вектор индукции

в точке А для магнитного поля всего витка на-

правлен также вдоль оси

′

, а его модуль определяется так:

dBdBB

ππ

444

sin

⋅=====

∫∫∫∫

Учитывая, что

hRr += , получаем

2322

)(

µµ

. (15.9)

15.3. Теорема Гаусса для вектора

Магнитным потоком (потоком вектора

магнитной индукции) че-

рез малую поверхность площадью

называется физическая величина

),cos(

∧

==⋅= nBBdSdSBSdBdФ

, (15.10)

где

;

– единичный вектор нормали к площадке

;

B – проекция

вектора

на направление нормали. Малая площадка

выбирается так, чтобы

ее можно было считать плоской

, а магнитное поле в ее пределах – однородным.

Поле

может быть наглядно представлено с помощью линий вектора

Их проводят таким образом, чтобы число линий, пересекающих площадку

численно было пропорционально магнитному потоку. Поток вектора

может

быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от

знака ),cos(

∧

Магнитный поток через произвольную поверхность S равен

∫∫

⋅=⋅=

dSBSdBФ

. (15.11)

При вычислении этого интеграла векторы нормалей

к площадкам

нужно

направлять в одну и ту же сторону по отношению к поверхности S.

Если магнитное поле однородно, а поверхность S плоская, то

),cos(

∧

= nBBSФ

. (15.12)

Единица магнитного потока в СИ – вебер (Вб): 1 Вб = 1 Тл·м

1 Вб – это магнитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность пло-

щадью 1 м

, расположенную перпендикулярно

однородному магнитному по-

лю, индукция которого равна 1 Тл.

Теорема Гаусса для магнитного поля:

магнитный поток через произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

0=⋅

∫

SdB

. (15.13)

Теорема Гаусса для вектора

в дифференциальной форме:

div

, (15.14)

т.е. дивергенция поля

всюду равна нулю.

Данная теорема справедлива и для постоянных, и для переменных маг-

нитных полей. Теорема Гаусса в форме (15.13) отражает экспериментальный

факт, что линии вектора

замкнуты. Уравнение (15.14) эквивалентно уравне-

нию (15.13) и является математическим выражением того, что в природе нет

магнитных «зарядов», на которых начинались бы или заканчивались бы линии

магнитной индукции.

Магнитный поток через поверхность, ограниченную замкнутым конту-

ром, называется потокосцеплением Ψ.

Например, потокосцепление рамки или катушки, состоящей из N витков,

магнитные потоки через которые одинаковы и равны Ф

, будет таково:

NФ

Потокосцепление контура, обусловленное магнитным полем тока в са-

мом этом контуре, называется потокосцеплением самоиндукции. Потокосцеп-

ление контура, обусловленное магнитным полем тока, идущего в другом кон-

туре, называется потокосцеплением взаимной индукции этих двух контуров.

15.4. Теорема о циркуляции вектора

ее применение к расчету полей. Поле соленоида

По определению циркуляцией вектора индукции

магнитного поля

по замкнутому контуру называется интеграл, знак которого зависит от направ-

ления обхода контура L:

∫

⋅

ldB

Теорема о циркуляции вектора

(для магнитного поля постоянных

токов в вакууме):

циркуляция вектора

по произвольному контуру L равна произведению

на алгебраическую сумму токов, охватываемых данным контуром:

∑

∫∫

=⋅=⋅

IdlBldB

, (15.15)

где τ

dlld = – элемент длины контура, направленный вдоль обхода контура;

– вектор касательной в данной точке к контуру; ),cos(

∧

= ldBBB

– состав-

ляющая вектора

в направлении касательной к контуру с учетом выбранного

направления обхода; п – число проводников с токами, охватываемых контуром

L произвольной формы.

Ток считается положительным

, если его направление связано с направле-

нием обхода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного на-

правления считается отрицательным

, рис. 15.6.

Неравенство нулю циркуляции вектора

свидетельствует о том, что по-

ле

непотенциально. Такое поле называется вихревым (соленоидальным).

Теорема о циркуляции

позволяет упро-

стить вычисление магнитной индукции, когда, вы-

брав простой контур, вычисление циркуляции

можно свести к произведению В или В

на длину

контура или его часть. Иначе расчет поля

вы-

полняют, используя закон Био-Савара-Лапласа

((15.8а) и (15.8б)).

Дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора

µ=×∇ , (15.16)

где j

– плотность тока в данной точке,

µ=×∇

. При этом

rot

∇

. По

определению ротор

вектора

в декартовых координатах выражается как

BBB

zyx

kji

Brot

zyx













∂

−

∂













∂

−

∂













∂

−

∂

= .

Применения теоремы о циркуляции вектора

к расчету магнитного

поля прямого тока. Формула (15.8) для индукции магнитного поля тонкого

прямолинейного бесконечного проводника с током дает некорректный резуль-

тат при

→

, т.е. на оси проводника получаем

∞

→

. Учтем, что реальный

проводник имеет конечное поперечное сечение R и используем теорему о цир-

куляции вектора магнитной индукции (15.15).

Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого про-

вода. Замкнутый контур L представим в виде окружности радиуса r. Из сим-

метрии задачи следует, что линии вектора

имеют вид окружностей с центром

на оси провода. Модуль вектора

должен быть одинаков во всех точках на

расстоянии r от оси провода. Вектор

направлен по касательной к окружности:

IrBdlBdlBldB

′

===⋅=⋅

∫∫∫

2 µπ

где

′

– ток, охватываемый контуром L.

Отсюда следует, что внутри проводника, так как через поперечное сече-

ние радиуса

течет ток

rjI π=

′

, магнитная индукция равна

Irjr

µµ

πµ

=== . (15.17)

Вне проводника с током (

) получаем результат, совпадающий с ранее по-

лученной формулой (15.8), так как

′

= .

Рис. 15.6. Определение знака

тока в теореме о циркуляции

вектора