Ташлыкова-Бушкевич И.И. Физика. Часть 1: Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Электричество и магнетизм
Подождите немного. Документ загружается.
денсатора;
2
2
dt
qd
L
dt
dI
L
S
−=−=ε – ЭДС самоиндукции в катушке.
Знак силы квазистационарного тока I (
dt
dq
I = ) совпадает со знаком dq, вы-
бранное положительное направление тока соответствует уменьшению (положи-
тельного) заряда конденсатора. Колебательный контур на рис. 18.1 описывается
линейным дифференциальным уравнением второго порядка вида
0
1
2
2
=++ q
LCdt
dq
L
R
dt
qd
. (18.2)
В контуре при отсутствии сопротивления проводников (
0
=
R
) будут со-
вершаться строго периодические колебания – свободные незатухающие коле-
бания. Дифференциальное уравнение свободных гармонических электриче-
ских колебаний:
0
2
0
=+ qq ω
&
&
. (18.2а)
Циклическая частота ω
0
(собственная частота контура) и период Т
0
ко-
лебаний определяются параметрами контура и удовлетворяют формулам
LC1
0
=ω , LCT π2
0
= . (18.3)
Уравнение (18.3) для Т
0
называется формулой Томсона.
Заряд q конденсатора и сила тока I в контуре изменяются по законам
)cos(
00
ϕ
ω
+
=
tqq
m
, (18.4)
)2cos()sin(
0000
π
ϕ
ω
ϕ
ω
+
+
=
+
−
=
tItII
mm
, (18.5)
где q
m
– амплитуда заряда;
LCqqI
mmm
==
0
ω – амплитуда силы тока;
φ
0
– начальная фаза колебаний заряда q. Значения q
m
и φ
0
определяются началь-
ными условиями.
Ток в контуре отстает по фазе от заряда конденсатора на π/2. Напряжение
на конденсаторе
12
ϕ
ϕ
−
=
C
U , определяемое как разность потенциалов обкла-
док конденсатора, также изменяется по гармоническому закону и совпадает по
фазе с зарядом q:
)cos(
00
ϕ
ω
+
=
tUU
mC
, (18.6)
где
CqU
mm
=
– амплитуда напряжения, равная начальному напряжению на
конденсаторе. Амплитуда тока может быть записана как
CL
U
LC
q
I
mm
m
== . (18.7)
Соотношение (18.7) между I
m
и U
m
по форме подобно закону Ома (14.11)
для однородного участка цепи постоянного тока, поэтому величину
CL на-
зывают волновым сопротивлением колебательного контура.
Гармонические (незатухающие) свободные колебания сопровождаются
взаимными превращениями
энергии W
e
электрического поля конденсатора и
энергии W
m
магнитного поля катушки индуктивности:
)(cos
2
2
00
2
22
ϕω +== t
C
q
C
q
W
m
e
, (18.8)
)(sin
2
2
00
2
22
ϕω +== t
LILI
W
m
m
. (18.9)
Колебания, происходящие в электрическом колебательном контуре, часто
называют электромагнитными колебаниями в контуре.
Значения W
е
и W
m
изменяются при гармонических колебаниях в пределах
от 0 до максимальных значений, соответственно равных
2
m
q /(2C) и L
2
m
I /2. Ко-
лебания W
е
и W
m
сдвинуты по фазе: в те моменты времени, когда 0
=
e
W ,
2
2
mm
LIW = и, наоборот, когда 0
=
m
W , то
)2(
2
CqW
me
= . Полная энергия элек-
тромагнитных колебаний в контуре не изменяется с течением времени
const
LI
C
q
tWtWtW
mm
me
===+=
2
2
)()()(
22
. (18.10)
18.2. Свободные затухающие электрические колебания
Когда колебательный контур содержит последовательно соединенные
конденсатор С, катушку индуктивности L и активное сопротивление R,
рис. 18.1, то его уравнение (18.2) может быть записано как
02
2
0
=++ qqq ωβ
&
&
&
, (18.11)
где
LR
=
β
2 . Величину β называют коэффициентом затухания. В этом слу-
чае, поскольку
0
≠
R
, свободные колебания в контуре будут затухающими.
При затухающих свободных колебаниях кроме взаимных превращений
энергии электрического и магнитного полей будет происходить преобразование
части энергии в джоулево тепло
на активном сопротивлении R. Поэтому энер-
гия, запасенная в реальном контуре, постепенно расходуется на нагревание.
Можно показать, что при β < ω
0
решение однородного дифференциально-
го уравнения (18.11) имеет вид
)cos(
0
ϕω
β
+=
−
teqq
t
m
, (18.12)
где
2
22
0
2
1
−=−=
L
R
LC
βωω – частота затухающих
колебаний; q
т
и φ
0
– произвольные постоянные, опре-
деляемые из начальных условий. График функции
(18.12) показан на рис. 18.2. Эта функция определяет
затухающие колебания и является непериодической.
Множитель
t
m
eq
β−
в уравнении (18.12) называют ам-
плитудой затухающих колебаний, см. штриховую линию на рис. 18.2.
Величину Т = 2π/ω называют периодом затухающих колебаний:
2
0
0
22
0
)(1
2
ωββω
π
−
=
−
=
T
T
, (18.13)
Рис. 18.2. График
свободных затухающих
электрических к
о
лебаний
t
m
eq
β−
)cos(
0
ϕω
β
+=
−
teqq
t
m
T
q
t
0
где Т
0
– период свободных незатухающих колебаний (см. формулу (18.3)).
Зная зависимость q(t), можно найти напряжение на конденсаторе и ток в
контуре. Напряжение на конденсаторе определяется как
)cos(
0
ϕω
β
+==
−
te
C
q
C
q
U
t
m
C
. (18.14)
Ток в контуре
)cos(
0
δϕωω
β
++=
−
teqI
t
m
, (18.15)
где угол
δ
(
π
δ
π
<
<
2 ) такой, что
δ
ω
β
cos
0
=
−
и
δ
ω
ω
sin
0
=
.
Это означает, что при наличии активного сопротивления R колебания тока в
контуре опережают по фазе колебания заряда на конденсаторе (18.12) (или на-
пряжения (18.14) конденсатора) более чем на π/2. Заметим, что при R = 0 опе-
режение δ = π/2.
Графики функций U
c
(t) и I(t) аналогичны зависимости q(t) на рис. 18.2.
Рассмотрим величины, характеризующие затухание:
1. Время релаксации τ – это время, за которое амплитуда колебаний
уменьшается в е раз, определяется коэффициентом затухания
β
:
β
τ
1
=
. (18.16)
2. Логарифмический декремент затухания λ определяется как нату-
ральный логарифм отношения двух значений амплитуд, взятых через период
колебания Т:
e
N
T
TtA
tA 1
)(
)(
ln ==
+
= βλ , (18.17)
где А – амплитуда соответствующей величины (q, U, I); N
e
– число колебаний за
время τ. Если затухание мало
(
0
ω
β
<<
), то LC1
0
=≈ωω и
LCRπ
ω
π
βλ =≈
0
2
. (18.17а)
3. По определению (7.28) добротность Q колебательного контура равна
e
NQ π
λ
π
== .
Чем меньше затухание, тем больше Q. При малых затуханиях
(
0
ω
β
<<
) со-
гласно формуле (18.17а) добротность вычисляется так:
C
L
R
Q
1
≈ . (18.18)
Также в случае слабого затухания справедлива следующая формула для Q:
W
W
Q
δ
π2≈ , (18.18а)
где W – энергия, запасенная в контуре; δW – уменьшение этой энергии за пери-
од колебания Т; WW
δ
– относительное уменьшение энергии за период.
При
0
ω
β
≥
вместо колебаний будет происходить апериодический разряд
конденсатора. Активное сопротивление контура, при котором наступает апе-
риодический процесс, называют критическим
C
L
R
кр
2= . (18.19)
18.3. Вынужденные электрические колебания
Для осуществления вынужденных колебаний в электрическом колеба-
тельном контуре в него нужно включить источник электрической энергии,
рис. 18.3, ЭДС которого изменяется с течением времени по гармоническому за-
кону:
t
m
ω
ε
ε
cos
=
. (18.20)
В электротехнике источник электрической энер-
гии, характеризующийся ЭДС и внутренним электри-
ческим сопротивлением r, называется источником
ЭДС (источником напряжения).
Если внутреннее сопротивление r источника ЭДС
считается пренебрежимо малым по сравнению с R, то
такой источник ЭДС называется идеальным.
Уравнение колебательного контура, содержащего последовательно со-
единенные конденсатор С, активное сопротивление R, катушку индуктивности
L и внешнюю переменную ЭДС ε, в сравнении с формулой (18.1) имеет вид
sC
URI
ε
ε
+
=
+
.
Тогда уравнение вынужденных колебаний записывается так:
tLLqqq
m
ωεεωβ cos)(2
2
0
==++
&
&
&
, (18.21)
где β – коэффициент затухания;
0
ω
– циклическая частота свободных незату-
хающих колебаний (при
0
=
R
).
Решением этого дифференциального уравнения, как известно, является
сумма общего решения однородного уравнения (без правой части), которое
экспоненциально затухает, и частного решения неоднородного уравнения.
Рассмотрим только установившиеся вынужденные колебания
, т.е. частное
решение уравнения (18.21), имеющее вид
)cos(
ψ
ω
−
=
tqq
m
, (18.22)
где q
т
– амплитуда заряда на конденсаторе;
ψ
– разность фаз между колеба-
ниями заряда и внешней ЭДС ε (18.20):
22222
0
4)( ωβωω
ε
+−
=
L
q
m
m
,
22
0
2
ωω
βω
ψ
−
=tg . (18.23)
В уравнениях (18.23)
2
2
22
0
4
1
L
R
LC
−=−= βωω , так как
LC
1
2
0
=ω и
L
R
2
=β . С уче-
том последних равенств запишем
Рис. 18.3. Колебательный
контур с внешней
переменной ЭДС ε
q(t)
I(t)
L
R
C
ε(t)
2
2
1
R
C
L
q
m
m
+
−
=
ω
ωω
ε
,
L
C
R
tg
ω
ω
ψ
−
=
1
. (18.23а)
Величины q
т
и ψ определяются только свойствами самого контура и вы-
нуждающей ЭДС ε, причем ψ > 0. Поэтому q всегда отстает по фазе от ε.
Для силы тока в контуре при установившихся колебаниях запишем
)cos()2cos()sin(
ϕ
ω
π
ψ
ω
ω
ψ
ω
ω
−
=
+
−
=
−
−
=
tItqtqI
mmm
, (18.24)
где амплитуда тока
ZqI
mmm
ε
ω
=
=
; 2
π
ψ
ϕ
−
=
– сдвиг по фазе между током
и внешней ЭДС
ε
. Величина Z называется полным электрическим сопротив-
лением (импедансом) цепи:
222
2
1
RXR
C
LZ +=+
−=
ω
ω ,
где Х – реактивное сопротивление цепи
; )(1 CX
C
ω
=
– емкостное сопротивле-
ние цепи; LX
L
ω
=
– индуктивное сопротивление цепи.
В контуре с внешней ЭДС возможны резонансы напряжений, токов и за-
рядов. Резонансные кривые для силы тока )(
ω
m
I и для заряда на конденсаторе
)(
ω
m
q показаны на рис. 18.4, где
LС
рез
1
0
==ωω . Как видно на рис. 18.4, а,
чем меньше R, тем меньше β и больше Q, и при прочих равных условиях тем
больше и «острее» максимум при резонансе. Чем больше добротность осцилля-
тора, тем уже резонансная кривая.
Рис. 18.4. Резонансные кривые:
а – зависимость силы тока
m
I в колебательном контуре от частоты ω;
б – зависимость заряда q
т
на обкладках конденсатора от частоты ω
Переменным током называются вынужденные колебания тока в цепи,
совпадающие с частотой вынуждающей ЭДС. Описанные выше установившие-
ся вынужденные колебания можно рассматривать как протекание переменного
тока в цепи с C, L, R, обусловленное переменным напряжением:
tUU
m
ω
cos
=
. (18.25)
Протекающий ток изменяется по закону (18.24) и, следовательно, он отстает по
фазе от напряжения на φ. Исходное уравнение (18.21) можно записать иначе:
tUUUU
mLCR
ω
cos
=
+
+
, (18.26)
ω
0
ω
0
q
т
m
Cε
I
т
0
123
=>> RRR
0
R
3
R
2
R
1
ω
0
ω
а
б
где RIU
R
=
,
C
q
U
C
= ,
dt
dI
LU
L
= . Таким образом, сумма падений напряжения
на отдельных элементах контура в каждый момент времени равна напряжению,
приложенному извне.
Рассмотрим, как соотносятся U и I на элементах контура для сопротивле-
ния R (
R
U ), конденсатора С (
C
U ) и катушки L (
L
U ):
)cos()cos(
ϕ
ω
ϕ
ω
−
=
−
=
tUtRIU
RmmR
, (18.27)
)2cos()2cos()(
π
ϕ
ω
π
ϕ
ω
ω
−
−
=
−
−
=
tUtCIU
CmmC
, (18.28)
)2cos()sin(
π
ϕ
ω
ϕ
ω
ω
+
−
=
−
=
tUtLIU
LmmL
. (18.29)
Сопоставив формулы (18.27) – (18.29), можно сделать вывод:
напряжение на емкости
C
U отстает по фазе от силы тока на
2
π
, напряжение
на индуктивности
L
U – опережает на
2
π
, а напряжение на активном сопро-
тивлении
R
U совпадает по фазе с током.
Следовательно, понятие добротности показывает, во сколько раз напря-
жение на конденсаторе может превысить приложенное извне напряжение:
m
резC
U
U
CRC
L
R
Q
m
)(
11
0
===
ω
. (18.30)
Это свойство контуров настраиваться на резонансное напряжение исполь-
зуют для выделения из сложного напряжения нужной составляющей подбором
С и L. Так делается при настройке радиоприемников, когда необходимо до-
биться совпадения собственной частоты колебательного контура приемника с
частотой электромагнитных волн, излучаемых радиостанцией. Отметим, что,
например, обычные радиоконтуры обладают добротностью
2
1010~ −Q , для
пьезоэлектрической пластинки
4
102~ ⋅Q на частоте 20 кГц.
Тема 19. Уравнения Максвелла
19.1. Вихревое электрическое поле. Электромагнитное поле. Ток смещения
Для объяснения возникновения индукционного тока в неподвижных про-
водниках Дж. К. Максвелл предположил, что всякое переменное магнитное по-
ле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле, кото-
рое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре (первое
основное положение теории Максвелла).
Циркуляция вектора напряженности
E
r
вихревого поля, как было ранее
получено в подтеме 17.2 (см. формулу (17.3)), не равна нулю, т.е. электрическое
поле
E
r
, возбуждаемое переменным магнитным полем, как и само магнитное
поле, является вихревым:
∫∫
⋅
∂
∂
−=−=⋅
SL
Sd
t
B
dt
dФ
ldE
r
r
r
r
. (19.1)
В общем случае суммарное электрическое поле складывается из электри-
ческого поля, создаваемого неподвижными зарядами, и вихревого электриче-
ского поля. Поскольку циркуляция электростатического поля равна нулю, то
циркуляция суммарного поля определяется как
Sd
t
B
ldE
SL
r
r
r
r
∫∫
∂
∂
−= . (19.2)
Уравнение Максвелла (19.2) для электромагнитного поля (обобщение
закона электромагнитной индукции для неподвижного замкнутого проводящего
контура в переменном магнитном поле) формулируется так:
циркуляция вектора
E
r
напряженности электрического поля по произвольно-
му неподвижному замкнутому контуру L равна взятой с обратным знаком
скорости изменения магнитного потока через поверхность S, натянутую на
этот контур (или, что тоже самое, равна взятому с обратным знаком потоку
вектора
tB ∂∂
r
через вышеуказанную поверхность S).
Из векторного анализа согласно теореме Стокса можно записать, что
SdErotldE
SL
r
r
r
r
⋅=⋅
∫∫
. (19.3)
Из сопоставления уравнений (19.2) и (19.3) следует, что
t
B
E
∂
∂
−=×∇
r
r
r
. (19.3а)
Выражение (19.3а) является уравнением Максвелла (19.2) в дифференци-
альной форме.
Ток смещения. Максвелл предположил, что аналогично магнитному по-
лю всякое изменение электрического поля вызывает в окружающем простран-
стве вихревое магнитное поле (второе основное положение теории
Максвелла).
Известно, что ток проводимости
∫
⋅=
S
SdjI
r
r
(14.4) обусловлен движением
заряженных частиц. Для количественной характеристики «магнитного дейст-
вия» переменного электрического поля Максвелл ввел понятие тока смещения
(1865), равнозначного по своему магнитному действию обычному электриче-
скому току. Токи смещения существуют лишь там, где меняется со временем
электрическое поле. Как и переменный ток проводимости, ток смещения созда-
ет переменное магнитное поле.
Вектор плотности тока смещения в данной точке пространства равен
скорости изменения во времени вектора электрического смещения в этой точке
t
D
j
см
∂
∂
=
r
r
, (19.4)
где
D
r
– вектор электрического смещения ( PED
r
r
r
+=
0
ε в диэлектриках (13.12)).
Током смещения через произвольную поверхность S называется физиче-
ская величина, численно равная потоку вектора плотности тока смещения
сквозь эту поверхность:
∫∫
⋅
∂
∂
=⋅=
SS
смсм
Sd
t
D
SdjI
r
r
r
r
. (19.5)
Следует подчеркнуть, что ток смещения определяется
производной век-
тора
D
r
, но не самим вектором
D
r
.
Так, например, в поле плоского кон-
денсатора вектор
D
r
всегда направлен от
«положительной» пластины к «отрицатель-
ной». Но в случае если электрическое поле
возрастает, то
tD ∂∂
r
, a следовательно, и ток
смещения направлены так, как показано на
рис. 19.1, а. Если же электрическое поле
убывает, то tD ∂∂
r
направлено от «отрица-
тельной» пластины к «положительной», и
магнитное поле противоположно по сравне-
нию с первым случаем, рис. 19.1, б.
Если в каком-либо проводнике имеется переменный ток, то внутри про-
водника существует переменное электрическое поле. Поэтому внутри провод-
ника имеется и ток проводимости, и ток смещения, и магнитное поле провод-
ника определяется суммой этих двух токов.
Максвелл ввел понятие полного тока, равного сумме токов проводимо-
сти и смещения. Вектор плотности полного тока равен
t
D
jj
полн
∂
∂
+=
r
r
r
. (19.6)
Линии переменного тока всюду замкнуты, как и линии постоянного тока.
На концах проводников (цепей) обрывается лишь ток проводимости, а в ди-
электрике (или в вакууме) между концами проводника «протекает» ток смеще-
Рис. 19.1. Направление тока смещения
в случае плоского конденсатора:
а – конденсатор заряжается;
б – конденсатор разряжается
t
D
∂
∂
r
t
D
∂
∂
r
а
б
H
r
D
r
+
-
H
r
D
r
+
-
ния, который замыкает ток проводимости, например между обкладками кон-
денсатора в процессе его зарядки или разрядки.
Ток смещения обладает лишь одним физическим свойством
: подобно
обычным токам проводимости, он является источником вихревого магнитного
поля, т.е. такого поля, циркуляция напряженности
H
r
которого по замкнутому
контуру не равна нулю.
Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора
H
r
(16.8), использовав
понятие полного тока:
Sd
t
D
jldH
SL
r
r
r
r
r
∫∫
∂
∂
+= )( . (19.7)
Уравнение Максвелла (19.7) для электромагнитного поля (обобщенная
теорема о циркуляции вектора
H
r
) формулируется так:
циркуляция вектора
H
r
напряженности магнитного поля по произвольному
неподвижному замкнутому контуру L равна алгебраической сумме макрото-
ков и тока смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур.
Дифференциальная форма уравнения (19.7) имеет вид
t
D
jH
∂
∂
+=×∇
r
r
r
r
, (19.7а)
т.е. ротор вектора
H
r
определяется плотностью тока проводимости j
r
и тока
смещения
tD ∂∂
r
в той же точке.
19.2. Уравнения Максвелла.
Относительность электрического и магнитного полей
В 60-х гг. XIX в. Дж. К. Максвелл, основываясь на идеях Фарадея об
электрическом и магнитном полях, обобщил законы, установленные экспери-
ментальным путем, и разработал законченную теорию единого электромаг-
нитного поля. Впервые об уравнениях Максвелла было доложено на заседании
Лондонского Королевского общества в 1864 г. Уравнения Максвелла функцио-
нально связывают электрические и магнитные поля с зарядами и токами в ва-
кууме и сплошных средах и охватывают собой все известные закономерности
макроэлектромагнетизма (классической макроскопической электродинамики).
Теория Максвелла представляет собой феноменологическую теорию
электромагнитного поля. Это означает, что в ней не рассматриваются молеку-
лярное строение среды и внутренний механизм процессов, происходящих в
среде в электромагнитном поле. Электрические и магнитные свойства
среды
характеризуются тремя величинами: диэлектрической проницаемостью ε, маг-
нитной проницаемостью μ и удельной электрической проводимостью σ.
Максвелл обобщил теорему Гаусса для электростатического поля (12.11).
Он предположил, что она справедлива для любого электрического поля, как
стационарного, так и переменного. Соответствующее уравнение Максвелла для
электромагнитного поля (теорема Гаусса для вектора
D
r
(13.14)) имеет вид
∫∫
=
VS
dVSdD ρ
r
r
, (19.8)
где
ρ
– объемная плотность стороннего электрического заряда, непрерывно
распределенного внутри замкнутой поверхности S.
Уравнение Максвелла (19.8) формулируется так:
поток вектора электрического смещения
D
r
через произвольную неподвиж-
ную замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме сторонних заря-
дов, охватываемых этой поверхностью.
Согласно теореме Остроградского (12.12) из векторного анализа уравнение
Максвелла (19.8) в дифференциальной форме записывается как
ρ=⋅∇ D
r
r
. (19.8а)
Следующее уравнение Максвелла (теорема Гаусса для магнитного поля
B
r
(15.13)) показывает, что магнитный поток через произвольную неподвижную
замкнутую поверхность S равен нулю:
0=
∫
S
SdB
r
r
. (19.9)
Уравнение Максвелла (19.9) в дифференциальной форме имеет вид
0
=
⋅
∇
B
r
r
. (19.9а)
Таким образом, полная система уравнений Максвелла в неподвижных сре-
дах в интегральной форме включает четыре уравнения (19.2), (19.7), (19.8) и
(19.9), связывающие векторные поля
E
r
,
H
r
,
D
r
и
B
r
между собой, с плотностью
электрического заряда
ρ
и плотностью электрического тока j
r
:
Sd
t
B
ldE
SL
r
r
r
r
∫∫
∂
∂
−= ,
Sd
t
D
jldH
SL
r
r
r
r
r
∫∫
∂
∂
+= )( ,
∫∫
=
VS
dVSdD ρ
r
r
, 0=
∫
S
SdB
r
r
.
Эту систему необходимо дополнить материальными уравнениями, ха-
рактеризующими электрические и магнитные свойства среды. В случае одно-
родных изотропных несегнетоэлектрических и неферромагнитных сред и мак-
ротоков, подчиняющихся закону Ома, эти уравнения имеют вид:
ED
r
r
εε
0
= , HB
r
r
µµ
0
= , )(
стор
EEj
r
r
r
+=σ , (19.10)
где ε
0
и μ
0
– соответственно электрическая и магнитная постоянные; ε и μ – со-
ответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости; σ – удельная элек-
трическая проводимость вещества;
E
r
и
стор
E
r
– соответственно напряженности
электрического поля и поля сторонних сил.
Из уравнений Максвелла следует:
─ источниками электрического поля
являются электрические заряды
или изменяющиеся во времени магнитные поля;
─ магнитные поля
могут возбуждаться либо движущимися электриче-
скими зарядами (электрическими токами), либо переменными электрическими
полями;