Ташлыкова-Бушкевич И.И. Физика. Часть 1: Механика. Молекулярная физика и термодинамика. Электричество и магнетизм

Подождите немного. Документ загружается.

В общем случае

– это коэффициент пропорциональности между восстанавли-

вающей силой и смещением или моментом восстанавливающей силы и угло-

вым смещением.

Силы типа (7.9) называются квазиупругими независимо от их природы.

Именно квазиупругий характер силы служит критерием

малых колебаний.

7.3. Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и

математический маятник (малые колебания)

Ознакомившись с закономерностями и характеристиками гармонических

колебаний, применим полученные знания для изучения гармонического осцил-

лятора. Силами трения будем пренебрегать.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая гар-

монические колебания, описываемые дифференциальным уравнением, имею-

щим вид (7.7):

=⋅+ xx ω

Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, матема-

тический и физический маятники.

Маятник – твердое тело, совершающее под действием приложенных сил

колебания около неподвижной точки или оси.

Пружинный маятник – это

груз массой m, подвешенный на аб-

солютно упругой пружине, массой

которой можно пренебречь, и совер-

шающий гармонические колебания

под действием упругой силы

xkF

⋅

−

, где k – жесткость

пружины.

Пусть

– длина нерастянутой пружины, рис. 7.3. Под действием веса

тела пружина растянется на

∆

и тело займет положение равновесия

. В

этом положении сила тяжести

уравновешивается упругой силой

∆

k :

∆

kmg

. (7.11)

Выберем ось Х, положительное направление которой направлено вниз. Если

сместить тело вниз на расстояние х, то удлинение пружины составит x

∆

Поэтому результирующая сила, действующая на тело, так как со стороны рас-

тянутой пружины действует сила, направленная вверх, будет иметь вид

kxxkmgF

−

)(

∆

С учетом уравнения (7.11) имеем, что результирующая сила kxF

−

имеет ха-

рактер квазиупругой силы. Поэтому груз будет совершать гармонические коле-

бания. По второму закону Ньютона (3.3) получаем уравнение движения пру-

жинного маятника вида (7.7):

Рис. 7.3. Пружинный маятник

∆kF =

∆+

∆+x

−

или 0=⋅+ x

. (7.12)

Следовательно, решение дифференциального уравнения

)cos(

⋅

tAx ,

где циклическая частота и период будут равны соответственно

⋅== πω 2,

. (7.13)

Кинетическая энергия пружинного маятника будет выражаться как

= , а потенциальная энергия –

= .

Математическим маятником называется идеализированная система, со-

стоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой нити

длиной ℓ и колеблющейся под действием силы тяжести без трения.

Небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити, когда

размерами тела по сравнению с длиной нити можно пренебречь, является хо-

рошим приближением математического маятника.

При малых углах отклонения α можно считать

⋅

≈

, где х – линейное смещение вдоль траектории

точечной массы (шарика) от положения равновесия в

точке О, рис. 7.4. Если возвращающая сила пропорцио-

нальна х или α, то колебания будут гармоническими.

Возвращающая сила – составляющая силы тяжести гру-

за, касательная к траектории шарика – определяется так

mgmgmgF

⋅−=⋅−≈⋅−= ααsin .

Уравнение движения записывается как

mgFxm

−== или

0=⋅+ x

, (7.14)

т.е. имеет вид закона (7.1). Тогда частота и период колебаний определяются как

ω ,

⋅= π2

. (7.15)

Следовательно, частота малых колебаний зависит от длины маятника

−

, но

не от массы тела. Формула (7.15) для периода колебаний математического ма-

ятника называется формулой Томсона. Согласно (7.15) период колебаний ма-

тематического маятника пропорционален его длине в степени

21 .

Физическим маятником называется твердое тело,

совершающее под действием силы тяжести колебания во-

круг горизонтальной неподвижной оси, не проходящей че-

рез центр масс тела и называемой осью подвеса маятника.

В данном случае тело нельзя рассматривать как мате-

риальную точку. Ось вращения жестко связана с телом.

Выберем положительное направление отсчета угла α

Рис. 7.5. Физический

маятник

пр

О'

Рис. 7.4. Математический

маятник

ℓ

против часовой стрелки, ось вращения Z, проходящая через

точку подвеса О, направлена на нас, рис. 7.5.

Пусть физический маятник отклонен из положения равновесия на некото-

рый угол α. Тогда уравнение вращательного движения маятника

в проекции на

ось Z (см. уравнение динамики вращательного движения твердого тела (5.8))

примет вид

⋅== I

где

M – момент возвращающей силы; I – момент инерции маятника относи-

тельно оси вращения Z;

αω

= – угловое ускорение.

С другой стороны, колебания физического маятника будут гармониче-

скими только тогда, когда

≈

sin

(малые углы отклонения). Проекция мо-

мента силы тяжести на ось Z будет

αα

mglmgllFM

−≈−== sin ,

где

⋅

−

sinmgF – возвращающая сила; l – расстояние между точкой подвеса

и центром масс С маятника;

sin

– плечо силы.

Тогда для малых амплитуд

можно записать уравнение колебаний физиче-

ского маятника

⋅

mgl

или 0=+ αα

mgl

. (7.16)

Решением дифференциального уравнения является функция

)cos(

⋅

с циклической частотой и периодом

пр

mgl

ω ,

mgl

пр

ππ 22 == , (7.17)

где длина

пр

= – приведенная длина физического маятника. Заметим, что

квазиупругим в рассмотренном случае является момент силы тяжести, пропор-

циональный углу отклонения

Приведенная длина l

пр

физического маятника – это длина такого матема-

тического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного

физического маятника.

Точка

′

на продолжении прямой ОС, отстоящая от оси подвеса на рас-

стоянии l

пр

, называется центром качания физического маятника.

Точка подвеса и центр качания обладают свойством взаимности. Мож-

но показать, используя теорему Штейнера, что при переносе точки подвеса в

центр качания

′

период колебаний при этом не изменится, поскольку прежняя

точка подвеса становится новым центром качания

′

Математический маятник можно представить как частный (предельный)

случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре

масс. Действительно, при этом

и, следовательно, согласно выражению

(7.17), будет

T π2=

, что совпадает с формулой (7.15).

7.4. Энергия гармонических колебаний

Начальное смещение и начальная скорость определяют тот начальный за-

пас потенциальной и кинетической энергии, который сообщен колеблющемуся

телу. Если силы трения отсутствуют, то этот начальный запас энергии остается

неизменным при колебаниях.

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей гармониче-

ские колебания, равна

[ ]

)(2cos1

)(sin

ϕω

ωυ

+−⋅=+⋅== t

mAm

. (7.18)

Потенциальная энергия материальной точки при этом будет равна

=+⋅=

⋅

==−=

∫

)(cos

222

ϕω

ωω

mAxmxk

FdxE

[ ]

)(2cos1

ϕω

++⋅= t

. (7.19)

Графики изменения Е

(t) и Е

(t) со временем изображены на рис. 7.6, а, б.

Частота изменения Е

и Е

равна частоте 2ω

. Значения Е

и Е

сдвинуты друг

относительно друга по фазе на

Рис. 7.6. Графики зависимости от времени энергии гармонических колебаний:

а – полная Е и кинетическая Е

энергия при φ

= 0 ( )(sin~

ϕω +tE

);

б – потенциальная Е

энергия при φ

= 0 ( )(cos~

ϕω +tE

)

Квазиупругая сила является консервативной. Поэтому полная механиче-

ская энергия Е гармонического колебаний с течением времени должна оста-

ваться постоянной и определяется по формуле

max

υω mAkAm

EEE

pк

===+= , (7.20)

где

0max

– амплитуда скорости (см. формулу (7.5)). Таким образом,

Е пропорциональна квадрату амплитуды смещения или амплитуды скорости.

Важно отметить, что колебательная система будет гармоническим осцил-

лятором лишь при условии

~ xE

, т.е. когда потенциальная энергия пропор-

циональна квадрату смещения из положения равновесия. Это условие является

энергетическим критерием

малых колебаний.

Сложение гармонических колебаний. Если система одновременно уча-

ствует в нескольких колебательных процессах, то под сложением колебаний

ωmA

понимают нахождение закона, описывающего результирующий колебательный

процесс.

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний, а именно про-

стейший случай, когда они имеют одно направление и одну частоту ω

)cos(

01011

⋅

tAx , )cos(

02022

⋅

tAx .

Используем метод векторных диаграмм, рис. 7.7. На данном рисунке х

и х

–

проекции векторов

на ось ОХ. Поскольку векторы

вращаются с

одинаковой угловой скоростью ω

, то разность фаз )(

0102

−

между ними ос-

тается постоянной.

По правилу векторного сложения (правило па-

раллелограмма) результирующее колебание описыва-

ется проекцией вектора

на ось ОХ. Уравнение ре-

зультирующего колебания будет

)cos(

0021

tAxxx ,

где амплитуда А и начальная фаза φ

задаются соотно-

шениями:

)cos(2

010221

ϕϕ −++= AAAAA ,

022011

coscos

sinsin

ϕϕ

= .

Сумма двух гармонических колебаний одного

направления и одинаковой частоты есть гармоническое колебание в том же на-

правлении и с той же частотой, что и складываемые колебания.

Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз склады-

ваемых колебаний:

1) если

0102

−

, где m = 0, 1, 2…, тогда

AAA

;

2) если

)12(

0102

−

m , где m = 0, 1, 2…, тогда

AAA −= .

7.5. Уравнение затухающих колебаний и его решение.

Коэффициент затухания

Если в колебательной системе на осциллятор действуют диссипативные

силы (сопротивления среды, вязкого трения), то с течением времени происхо-

дят потери энергии и такие колебания называются затухающими. Закон зату-

хания колебаний определяется свойствами колебательных систем.

Система называется линейной, если в ходе процесса не изменяются па-

раметры, которые характеризуют существенные для рассматриваемого процес-

са физические свойства системы.

Пусть в системе действует сила трения, модуль которой прямо пропор-

ционален скорости. Тогда в проекции на ось Х можно записать

xrF

xтр

−

Рис. 7.7. Сложение

гармонических колебаний

методом векторных

диаграмм

1 0

2 0

-φ

1 0

где r – постоянная величина, называемая коэффициентом трения. Знак минус

указывает на то, что сила трения и скорость направлены противоположно. За-

пишем уравнение движения в соответствии со вторым законом Ньютона (3.3):

−

Обозначим

ω=

, β2=

. Тогда последнее уравнение можно переписать

=++ xxx ωβ

, (7.21)

где х – колеблющаяся величина; β – коэффициент затухания, определяющий

скорость затухания; ω

– циклическая частота (собственная частота) свободных

незатухающих колебаний той же колебательной системы (при β = 0).

Уравнение (7.21) называется дифференциальным уравнением свобод-

ных затухающих колебаний линейной системы.

В случае малых затуханий

(

), например малом трении, решение

этого уравнения

)cos(

ϕω

−

teAx

, (7.22)

где А

– начальная амплитуда;

βωω −= – циклическая частота затухающих

колебаний;

eAA

β−

– амплитуда затухающих колебаний, изменяющаяся со

временем по экспоненциальному закону. Такое уменьшение амплитуды назы-

вают релаксацией (ослаблением) колебаний.

График затухающих колебаний при

условии, что начальная фаза равна нулю,

приведен на рис. 7.8. Затухание нарушает

периодичность колебаний, поэтому зату-

хающие колебания, строго говоря, не яв-

ляются периодическими.

Временем релаксации называется

промежуток времени

, в течение ко-

торого амплитуда затухающих колебаний

уменьшается в е раз.

В случае малых затуханий можно условно использовать понятие периода

затухающих колебаний как промежутка времени между двумя последующими

максимумами колеблющейся физической величины:

βω

−

==T

. (7.23)

Поэтому период затухающих колебаний всегда больше периода незатухающих

гармонических колебаний (см. формулу (7.2)).

Если

ωβ << , то

=T . С ростом коэффициента затухания β период ко-

лебаний увеличивается.

Рис. 7.8. Затухающие гармонические

колебания при φ

= 0

x, A

eAA

−

−=

eAA

β−

)cos(

ϕω

−

teAx

7.6. Логарифмический декремент затухания

Если A(t) и A(t+T) – амплитуды двух последовательных затухающих ко-

лебаний, соответствующих моментам времени, отличающихся на период, то

отношение

TtA

+−

−

)(

(7.24)

называется декрементом затухания, а его логарифм

TtA

tA 1

)(

ln ===

βλ (7.25)

называется логарифмическим декрементом затухания, который равен нату-

ральному логарифму отношения амплитуд колебаний через один период. Здесь

– число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз:

βλ

=== . (7.26)

Убывание амплитуды можно определить с помощью логарифмического

декремента затухания

eAA

−

⋅=

. (7.27)

Если

, тогда говорят о критическом затухании, и из выражения

(7.23) следует, что

∞

→

, т.е. движение перестает быть периодическим.

Если

(сопротивление среды, например трение, велико), то реше-

ние уравнения (7.21) имеет вид

eCeCx

−

⋅+⋅=

где

ωβ −=b , С

и С

– постоянные, значение которых зависит от началь-

ных условий. Движение имеет апериодический характер: при возвращении

системы в положение равновесия никаких колебаний не возникает.

Добротностью колебательной системы называется безразмерная вели-

чина Q, равная произведению 2π на отношение энергии Е(t) колебаний системы

в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за промежуток време-

ни от t до t+T (за один условный период затухающих колебаний):

)()(

)(

TtEtE

+−

⋅= π

Энергия Е(t) пропорциональна квадрату амплитуды A(t), поэтому

λβ

ππ

2222

)()(

)(

−−

−

+−

⋅=

eeTtAtA

При малых значениях логарифмического декремента затухания (

)

≈

−

, поэтому (принимая

T )

====

. (7.28)

Добротность пропорциональна числу колебаний N

, совершаемых системой за

время релаксации τ.

7.7. Уравнение вынужденных колебаний и его решение.

Векторная диаграмма

В реальной колебательной системе можно получить незатухающие коле-

бания, если колебания совершаются системой под действием вынуждающей

силы, изменяющейся по гармоническому закону с частотой ω:

tFF

cos

⋅

. (7.29)

Тогда уравнение второго закона Ньютона (3.3), учитывая силу трения или

сопротивления среды xrF

тр

−

и возмущающую силу (7.29), имеет вид

tFxrkxxm

cos

−

. (7.30)

Введем обозначения

ω=

, β=

и получим дифференциальное уравнение

вынужденных колебаний

xxx ωωβ cos2

=++

&&&

, (7.31)

где β – коэффициент затухания; ω

– собственная частота колебаний системы.

На рис. 7.9 изображен простейший случай

установления вынужденных колебаний.

Дифференциальное уравнение (7.31) являет-

ся линейным неоднородным уравнением. Из тео-

рии линейных дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами известно, что его

решение равно сумме общего решения соответ-

ствующего однородного (с нулевой правой ча-

стью) уравнения (типа (7.21)) и частного реше-

ния неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения (7.21) нам известно:

)'cos(

001

ϕω

+⋅⋅=

−

teAx

, (7.32)

где

' βωω −= – собственная частота затухающих колебаний.

Можно показать, что частное решение имеет вид

)cos(

−

⋅

tAx , (7.33)

где А – амплитуда вынужденных колебаний; φ – отставание по фазе вынужден-

ных колебаний от колебаний вынуждающей силы.

Таким образом, осциллятор одновременно совершает два типа колебаний

(7.32) и (7.33) и общее решение уравнения (7.31) есть сумма решений:

xxx

Слагаемое (7.32) играет заметную роль только в начальной стадии про-

цесса при установлении колебаний (см. рис. 7.9). Со временем затухающие ко-

лебания быстро затухают вследствие сопротивления среды: из-за экспоненци-

ального множителя е

βt

роль решения х

уменьшается и им можно пренебречь

Рис. 7.9. Процесс установления

вынужденных колебаний

по истечении некоторого времени. В решении уравнения вынужденных колеба-

ний (7.31) при установившихся колебаниях

остается только слагаемое (7.33),

т.е. колебания происходят с постоянной амплитудой и, следовательно, не зату-

хают.

Определим постоянные А и φ. Для этого продифференцируем уравнение

(7.33) дважды по времени:

)2cos()sin(

−

tAtAx

)cos()cos(

πϕωωϕωω +−=−−= tAtAx

и подставим выражения для х,

в исходное уравнение (7.31). Сумма трех

гармонических функций в левой части (7.31) должна быть равна функции

ωcos

. Учитывая фазовые сдвиги между х,

, представим это равенство с

помощью векторной диаграммы на рис. 7.10 (случай

В скобках на этой диаграмме указаны «происхождения» (или соответст-

вия) векторов, модули которых имеют размерность ускорения. Из этой диа-

граммы по теореме Пифагора следует, что

222222

4)(













=+−

AA ωβωω

Поэтому амплитуда А и отставание смеще-

ния по фазе на φ от вынуждающей силы

задаются формулами

22222

4)( ωβωω +−

A ,

ωω

βω

−

= arctg . (7.34)

Формулы (7.34) показывают, что А и φ определяются свойствами самого

осциллятора (

) и вынуждающей силы (

mF ), но не начальными усло-

виями. Отметим, что при

получается

и вынужденные колебания

будут опережать по фазе колебания внешней силы.

7.8. Резонанс. Резонансная кривая. Параметрический резонанс

Резонансом называется явление резкого возрастания амплитуды вынуж-

денных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте,

равной или близкой к собственной частоте колебательной системы, рис. 7.11, что

необходимо учитывать при конструировании машин и строительных конструк-

ций. На рис. 7.12 представлена зависимость фазового сдвига

от частоты ω.

При резонансной частоте

2βωω −=

рез

(7.35)

)(

ωω −A

ωA

(смещение)

(ускорение)

(скорость)

Рис. 7.10. Векторная диаграмма

вынужденных колебаний при

ωω <