Тевяшев А.Д., Литвин О.Г., Кривошеєва Г.М. та ін. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 2

Подождите немного. Документ загружается.

§1.

Невизначений інтеграл

1.133. \

1.135. а) І

1.136. а) |

1.137. |

сіх

х(х

+ 1)

сіх

+ х

{їх

-Зх-3)ах

(х-1)(х

-2х + 5)

1.134. |

б) |

сіх

(х

+1)(х

+х)

хях

х'-\

; б) І

+ 1

- х

+ х - 1

ох .

ах

(х

+2)

1.138. 1

+ * }сіх

(х

+2)

1.139. |

1.141. |

2хах

+ х)(1 + х

)

1.140. |

ах

х(4 + х

)

(1 + х

)

сіх

У задачах

1.142-1.152

проінтегрувати ірраціональні функції.

сіх . . г сіх

1.142. |

1.144. |

1.146.

|з|

1.143. |

х(л/х+\/х

)

* • 1.145. ІЛ/Ь

л/х +

+ Мх +

41 +

л/х + Ух + 2 л/х

1-х ах

х х

1 - х сіх

1 + х х

1.147. ] л/х

+ л/х )

сіх

. 1.148. | х"

( \_\

1 + х

V У

ах .

ах

Глава 1. Інтегральне числення функцій однієї змінної

1.151. [ , 1.152. -—==—сіх

л/і + х

'' V*

У задачах

1.153-1.157

знайти інтеграли від раціональних

функцій від х та л/ях

+ 6х + с .

1Л53.

а)/ * ; б)| *

хл/х + х +

х\2 + х-х

1.154.

а) |

^=_;б){-

(х-1)л/х

+х +

' (х + 2)л/х

+2х

1.155. а) [

/ дх ; б)[ ,

* сіх .

(х + 1)л/х

+1 х

л/2х

-2х + 1

1.156. а)|л/х

-2Х-1ЙХ

; б) |л/і - 4х - х

сіх .

1.157. а) | ; б)/-

х + л/х

+х +

1 1

+ л/і-2х-х

У задачах

1.158-

1.178 знайти інтеграли від тригономет-

ричних функцій.

1.158. | соз х

•

зіп Зх сіх.

1.159. | соз х

•

соз 2х

•

соз Зх

сіх

1.160. а)|зіп

хсіх,

б)|зіп

хох, в)|соз

х#х.

1.161. а)|соз

хсіх ,

б)|зіп

хох, в)|соз

хсіх.

соз

х , . ... Ґ Л

1.162. |

сіх. 1.163. |

зіп ' х " соз

1.164.

Г-^-.

1.165. [ з .

зіп

X СОЗ X

•

зіп X

1.166. а) [і§ хсіх; б)

Гт§

хсіх; в) [ ^ ; г) [———

•'

Щ*х М + Ідх

§ 1.

Невизначений інтеграл

1.167. [ — г-. 1.168. [зіп

х-соз

х сіх

(зіп х +созх)

. ,„ г сіх . г зіпх ах

1.169.1—

. 1.170. [

зіп х-созх (1-созх)

1.171. Г ^ . 1.172. Г^^Л.

•'

5-Зсозх •' 2 +созх

1.173. [ * .

1.174.1"

+ соз х •'

5 - 4 зіп х + 3 соз х

.175.Г—*

1.176. |

1 + зіп х зіпх -созх

сіх г (соз2х-3)ах

1.177. [ , 1.178. [ ,

•'4/

-3 5 1 4 л + 2

Л/51П

ХСОЗ

X СОЗ Х\/4-СІ§ X

У задачах 1.179 - 1.182 знайти інтеграли від гіперболіч-

них функцій.

1.179. а) [ сіх; б) Г(сп

ох +зп

ах)ах .

•'

сЬх + зЬх

1.180. а) _[зЬ

хах; б)|зЬ

хах; в)|сп

хах.

1.181. а) |і1і

хах; б)|іЬ

хах; в)|сіїі

хах.

1.182. а) [зп

хсп

хох; б) [ ^ ; в) [ ^—г-

•'

•' зЬхспх (1 +сЬх)

У задачах

1.183-1.210

проінтегрувати різні функції.

1.183. |(х

+3х + 5)соз2хох. 1.184.

\е

Гх

сіх .

х" '

+ Ух х

1.187.

Г — . 1.188. [х1п(1 + х

)сіх

зіп 2х - 2 зіп х

54 Глава 1. Інтегральне числення функцій однієї змінної

1.197. І

*?*

сіх. 1.198. \лІ2

-\сіх

2х

-2е

-3 *

1.199. \е

2х

&іп(е

)сЬс.

1.200. |

соз

д/2

+ 5і§

1.201.

[— 1.202. ІлІ2х

+ 5х + 7йх.

а соз х + 6 зіп х

1.203. Г

Х?+2

, аЬс. 1.204. [—

(

^ ~

1)2

, . діє.

•'(х

+х + 1)

•' (1 + х)(1 + х

)

1.205. [

Зх

+ 4

ск. 1.206. [ — .

•'х

(х

+1)

•

5 + 4зіпх

1.207. ]"л/і + зіпх#х . 1.208. ^Х%х сіх .

1.209. [ ,

ЗХ

5Х

.сіх. 1.210. [х-^а + х ох.

•'л/з-гх-х

}

§2. Визначений інтеграл. Невласні інтеграли

І. Короткі теоретичні відомості

Визначений інтеграл. Нехай на відрізку [а, Ь] визначена функція

/(х).

Розіб'ємо цей відрізок на п довільних частин точками:

• Ь.

і»

1.189. [ , *** 1Л90. [ —

Л/ЗІП

Х-С05

Х 1 +

ЗІПХ

СОЗХ

1.191.

х + 2ах. 1.192.

І^є^ах

1.193. [ =—г. 1.194. [зіп

хях.

•'(І -2

)

4 }

1.195.

[

(х2

8х

+ 7)

^. 1.196. [

(Х + 5ІПХ)

•' (х

-Зх-10)

* 1 + созх

§2.

Визначений інтеграл. Невласні інтеграли

На кожному частинному відрізку [х,_,, х, ], / = 1, п візьмемо довіль-

ну точку і побудуємо суму

І»

=%№,)**,,

7=1

де Дх, = х, -х,

Сума /„ називається інтегральною сумою для функції /(х), яка відпо-

відає даному розбиттю відрізка [а, Ь] і даному вибору проміжних точок \,.

Позначимо

Х.

= тахЛх,, / = 1,л.

Означення. Якщо існує скінченна фаниця інтефальної суми /„ при

\ —» 0, яка не залежить від способу розбиття відрізка [а, Ь] та вибору точок

4,,

то ця границя називається визначеним інтегралом від функції /(х) на

відрізку [а, Ь] і позначається ^/(x)аx.

Отже, за означенням

Ь П

Г/(х)ах = 1іт/„ = 1іт]Г/(і;,)Дх

(

У випадку існування вказаної границі інтегральної суми функція

/їх) називається інтегровною на відрізку [а, Ь]. Числа а і Ь називаються від-

повідно нижньою і верхньою межею інтегрування, функція /(х) - підінтег-

ральною функцією.

Мають місце такі теореми.

Теорема 1. Якщо функція /(х) неперервна на відрізку [а, Ь], то вона

інтегровна на цьому відрізку.

Теорема 2. Якщо функція /(х) обмежена і неперервна на відрізку

[а, Ь] і має на ньому скінченну кількість точок розриву, то вона інтефовна

на цьому відрізку.

Геометрична інтерпретація. Якщо /(х) > 0 на [а, Ь], то визначе-

ний інтефал |/(х)ох (а<Ь) чисельно дорівнює площі криволінійноїтра-

пеції-фігури, обмеженої лініями: у — /(х), х = а, х = Ь, _у = 0 (рис. 1.1).

Глава 1. Інтегральне числення функцій однієї змінної

/у=№

Ь х

Рис.

1.1

У загальному випадку визначений інтеграл дорівнює алгебраїчній сумі

площ фігур, обмежених лініями: у- Дх), х = а, х = 6, у = 0, причому,

площі, розташовані вище осі Ох, входять у цю суму зі знаком "+", а площі,

розташовані нижче осі Ох, - зі знаком

Основні властивості визначеного інтеграла

1°.

{Дх)ах = 0.

Ь а

2°.

//(*)& = -[Дх)Л.

а Ь

3°.

Якщо /(х)>0 на відрізку [а, Ь],ю

\Дх)ах>0

(збереження знака підінтегральної функції визначеним інтегралом).

4°.

Якщо /(х)і ^(х) інтегровні на [а, Ь] і С,, С

- сталі множники, то

ь ь ь

}

[С,

/(х)

£(х)] сіх

= С, / Л

х)

ах +

(х)

сіх

а а а

(властивість лінійності інтеграла).

5°.

Якщо Дх) інтегровна на [а, с] і на [с, Ь], то вона інтегровна і

на [а, Ь],причому

Ь с Ь

//(*)<& = _[/(*) А+//(х)Л

а а с

(властивість адитивності інтеграла).

Зауважимо, що точка с може бути довільно розташована відносно

точок а, Ь.

§2.

Визначений інтеграл. Невласні інтеграли

6 . Якщо т < /(х)<М на [а, Ь], то

т(Ь - а) < \ /(х) ск<М(Ь-а).

7°.

Якщо /(х) неперервна на [а, Ь], то існує така точка с є [а, Ь], що

ІДх)ск = /(с)(Ь-а)

(теорема про середнє значення).

Значення Де) - середнє значення функції /(*) на відрізку [а, Ь].

Обчислення визначених інтегралів. Якщо Р(х) є будь-якою пер-

вісною для неперервної функції /(х), хе [а, Ь], то має місце формула

Ньютона-Лейбніца:

\Дх)ах = Р(Ь)-Р(а). (1.22)

Різницю Р~{Ь) - Р(а) умовно позначають

Р(х)\

а формула Ньютона-

Лейбніца записується ще й так:

\/(х)ах = Р(х)\

=Р{Ь)-Р'{а).

При обчисленні визначених інтегралів, як і невизначених, основними

методами є метод заміни змінної (або метод підстановки) і метод інтегру-

вання частинами.

Формула заміни змінноіу визначеному інтегралі:

ь р

\/{х)ск =

\ШіШі)с1і,

а а

де

= ф(/) та її похідна х' = <р'(0 неперервні на відрізку [ос, р];

<р(а) = а , ф(Р) = Ь, а

/[<р(0]

неперервна на [а, Р].

Зауважимо, що якщо при обчисленні невизначеного інтеграла замі-

ною і = у(дг) у первісній функції необхідно було від змінної / повернутися

до змінної х, то при обчисленні визначеного інтеграла замість цього треба

змінити лише межі інтегрування.

Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі має вигляд:

ь ь

^иа\ = иу\

-^гсіи ,

а а

де и(х) та г(х) - неперервно-диференційовні на [а, Ь] функції.

Глава 1. Інтегральне числення функцій однієї змінної

Зауважимо, що для інтегралів з симетричними межами інтегрування

мають місце такі співвідношення:

] Дх)ах = 2]/(х)ах,

-а 0

якщо /(х) - парна функція;

]дх)ах = 0,

-а

якщо /(х) - непарна функція.

Невласні інтеграли. Невласними інтегралами є:

1) інтеграли з нескінченними границями інтегрування (невласні ін-

теграли першого роду);

2) інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого

роду).

Невласний інтеграл першого роду позначається так:

^/(х)ах, або \~/(х)ах, або |/(х)<іс.

Означення невласного інтеграла здійснюється за допомогою гранич-

ного переходу:

[Дх)сіх= Ііт \/(х)сІх (1.23)

•>

Ь-ї+оо-

а а

або

ь ь

\/(х)сіх= Ііт \/(х)сЬс. (1.24)

-<» а

Якщо існують скінченні границі справа в (1.23), (1.24), то відповід-

ний невласний інтеграл збігається, в протилежному випадку - інтеграл роз-

бігається (кажуть також, що інтеграл збіжний або розбіжний).

Геометрично невласний інтеграл першого роду

у випадку /(х)>0, є площа фігури, що обмежена графіком функції

у = /(х), прямою х = а та віссю Ох (асимптотою) (рис. 1.2).

у>

'=/(*)

Рис.

1.2

§2.

Визначений інтеграл. Невласні інтеграли

Аналогічно вводиться поняття невласного інтеграла

по

нескінченно-

му проміжку:

\/(х)Ос=

Ііт

\/(х)сіх, (1.25)

Ь-

де

А та Ь

прямують

до

своїх границь незалежно одне

від

одного.

цьому

випадку, обравши будь-яке

С ,

можна покласти

+оо

С +°°

\Дх)ах~\/{х)ах

\Дх)ах. (1.26)

+«>

При цьому інтеграл ^Дх)сіх збігається тоді

тільки тоді, коли обид-

ва інтеграли,

що

стоять справа, збігаються.

Приклади обчислення невласних інтегралів першого роду:

е ах г ах ... я

а)

І - = ііт І -= Ііт

(-агсі§а)

= —,

°-*-°°

->-°°

+оо

, 0 і +оо ,

г ах г ах г ах ,. .

б)

-= -+ -= Ііт

(-агсх§а)+

Ііт

агсІ§о

_„\

+ х

'„1 + х

+ х

«-»-•»

*^+~

= — +

—

= я .

цих

прикладах інтеграл

по

скінченному проміжку обчислювався

за

допомогою первісної функції,

потім здійснювався граничний перехід.

Ці

два моменти можна поєднати, застосувавши основну формулу інтегрально-

го числення.

Нехай функція

/(х)

визначена

проміжку [а,

+ °°) та

інтегровна

кожній його частині [а,Ь]. Якщо

для /(х)

існує первісна

Г(х) у

всьому

проміжку

[а,+ °°), то за

формулою Ньютона-Лейбніца

\Дх)ск

= Пх)\

=р-(Ь)-Па).

Звідси зрозуміло,

що

невласний інтеграл ^/(х)ах існує тільки

тому випадку, якщо існує скінченна границя

Ііт Г(Ь) =

Р(+°°),

ь—>+~

ТОДІ

]Дх)(Ь

Пх%°=П+~)-Р{а).

Глава 1. Інтегральне числення функцій однієї змінної

Аналогічно

\/{х)сіх =

Р(х)\

]/{х)сіх

Р(х)[-1

Остання формула означає, що для збіжності невласного інтеграла

повинні існувати обидві скінченні границі /

(+°°) та /

(-°°).

При розгляданні невласних інтегралів перш за все треба з'ясувати пи-

тання про збіжність невласного інтеграла. Більше того, у багатьох задачах,

пов'язаних з невласними інтегралами, немає необхідності в їх обчисленні, а

достатньо знати, збіжний інтеграл чи ні.

Для розв'язання питання про збіжність невласного інтеграла викорис-

товуються наступні ознаки збіжності.

Теорема 1 (ознака порівняння). Нехай при а < х < +

°О

виконується

умова:

0<Дх)<

(х).

Тоді:

якщо ^§(х)сіх збігається, то збігається і інтеграл \~/(х)сіх;

а а

якщо

І/(х)ох

розбігається, то розбігається і інтеграл ^§(х)сіх.

а а

Теорема 2 {гранична ознака порівняння). Нехай при а<х<+°°

/(х) > 0 , £(х) > 0 і існує скінченна границя

Ііт Ю- = А>0,

ДГ-> + ~ £(х)

тоді інтеграли ]"/(х)ахта |#(х) ах збігаються або розбігаються одночасно.

а а

Введені ознаки збіжності виконуються за умови, що підінтегральні

функції невід 'ємні (додатні).

У випадку знакозмінної підінтегральної функції має місце така озна-

ка збіжності.

Теорема 3 (достатня ознака збіжності невласного інтеграла від зна-

козмінноїфункції). Якщо збігається інтеграл || /(х)\ах, то збігається і ін-

теграл | /(х) сіх.