Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1

Подождите немного. Документ загружается.

§2. Матриці

Зауважимо,

що у кососиметричної матриці на головній діагоналі

сто-

ять

нулі; у ермітової матриці на головній діагоналі стоять дійсні числа; у

косоермітової

матриці на головній діагоналі стоять чисто уявні числа.

//. Контрольні питання та завдання

Що називається матрицею розміру т х л ?

Яка матриця називається квадратною; нульовою; діа-

гональною; одиничною?

Що називається сумою двох матриць; різницею?

Що називається добутком числа а на матрицю А ?

Що називається добутком матриці А на матрицю В ?

6. Які матриці називаються узгодженими для множення?

Чи можлива рівність АВ = 0, коли А та В ненульові?

8. Що називається цілим додатним степенем матриці А ?

9. Що називається многочленом від матриці А ?

10.

Яка матриця називається транспонованою до даної мат-

риці А ?

11.

Наведіть властивості операції транспонування.

12.

Дайте означення мінора порядку 5 матриці

тхп

13.

Дайте означення додаткового мінора до мінора матриці

А ; алгебраїчного доповнення мінора матриці А .

14.

Дайте означення оберненої матриці до даної матриці А .

15.

Сформулюйте необхідну та достатню умову існування

оберненої матриці.

16.

Доведіть, що для невиродженої матриці існує єдина обернена.

17.

Наведіть формулу, за якою знаходиться обернена матриця.

18.

Сформулюйте властивості обернених матриць.

19.

Що називається рангом матриці?

20.

Доведіть, що

К§У4

Я§,А

21.

Які перетворення матриць називаються елементарними?

9 2 Глава 3. Визначники та матриці. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

22.

У чому полягає метод елементарних перетворень знаход-

ження рангу матриці?

23.

Що називається базисним мінором матриці?

24.

Які рядки та стовпці матриці називаються базисними?

25.

Сформулюйте теорему про базисний мінор.

26.

Чому дорівнює максимальне число лінійно незалежних

рядків (стовпців) матриці?

///. Приклади розв'язання задач

Приклад 1. Задані матриці:

1 2 3

-10 4,

Чи можна додати матрицю А до матриці В ? Матрицю А

до матриці С ? Знайти А

С; 2 А - ЗС

£>.

• Матрицю А не можна додати до матриці В , бо матриця А має роз-

міри 3x2, матриця В - розміри 2 х 3, а додавати можна матриці однакових

розмірів. Матриці А і С мають однакові розміри, отже, їх можна додавати.

Враховуючи, що при додаванні матриць додаються відповідні еле-

менти, маємо

Оскільки множення матриці на число є операція, яка полягає в тому,

що кожний елемент матриці помножується на це число, то

п п

А =

-і

Г-2

( 3

с =

5 8

-1 2

,-1

\ ,

-4,

Г-2

-і + 5 8

8 7

,о

,-1

'2 1 ї Ґ4 2 >

Г-2

]

' 6

2А

2 3 -1

6 -2

, -ЗС = (-3)

5 8

-15

-24

,о

,0 8,

,-1

, з

"9,

Отже,

'А

2 >

-9>

3 5 ї (13

2А-ЗС + Б =

6 -2 + -15 -24 +

-1 2

-10

-24

,о

, з

> \

-V

1 4

-5,

§2.

Матриці 93

Приклад 2. Задані матриці:

-1 3^

2 4

-1

Чи існує добуток: АВ

;

В А

• Оскільки матриця А має розміри 2 х 3 , а матриця В - розміри

х 4, то число стовпців матриці А дорівнює числу рядків матриці В , отже,

А В існує. Число стовпців матриці В не дорівнює числу рядків матриці А,

отже, ВА не існує. -4

Приклад 3. Задані матриці

(І 0 -2

А =

[З 9 -5

Знайти АС; АВ.

• Використовуючи означення добутку матриць, знаходимо

ґ-1

в = 5

, с =

-1

ґі о

З 9

• 1

+ 0

2 + (-2)

- З

З -1

+ 9

2 + (-5)

• З

\ 0 -2^

3 9-5

-1 2

5 6

0 З

4Ї

-1

'і-(-1) + 0-5 +

(-2)-0

1-2 + 0-6 +

(-2)-3

1-4 + 0-7 + (-2)-(-1)^

3-(-1) + 9-5 +

(-5)-0

3-2 + 9-6 +

(-5)-3

3-4 +9-7 + (-5)

•

(-1)

-1 -4 6~

42 45 80

Приклад 4. Знайти значення многочлена /(х) при

л:

= А ,

де Л - задана матриця:

9 4 Глава 3. Визначники та матриці. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

/(х) = 2х

+Зх-5, А

(\ -2 -

4 0-1

3 2 0

• /(Л) = 2/1

ЗА- 5Е, де Е - одинична матриця третього порядку:

-2 -З

4 0-1

3 2 0

Ґ1 -2

4 0

З 2

+ 3

4 0

З 2

= 2

Г-16

-8 -1

I -10 -12

II -6 -11

З -6 -9

12 0 -З

9 6 0

-3^

-1

-5 0

1 0

і,

-5 0

0 --5 0

-ь

'-16

-8

-п

ґ _

-6

-9

= 2 1 10 -12 + 12

-5

-3

-6

'-32

-16

-2^

Г-2

-6 9

'-34 -22 -11

2 -20 -24 +

-5 3 = 14 -25 -27

-12

-22,

6 -

,зі

6 -27

Приклад 5. Показати, що матриця А =

є коренем

многочлена /{х) = х

-Зх + 5.

• Підставимо в даний многочлен замість х матрицю А, тоді отримаємо

/(А)

А^-ЗА

5Е-

-Г|

ґі

о^

-3 + 5

)

,з

,о

і,

ґі

-з>

'-6

'0 0^

,9 -2;

,-9

,0 о

Отже, матриця /1 є коренем даного многочлена. А

§2.

Матриці 95

Приклад 6. З'ясувати, чи існує матриця, обернена матриці А.

(І -1 2^

А= 1 1-2

і якщо існує, знайти її. Виконати перевірку: А А~

]

= Е.

• Оскільки аеі А = 12 * 0, то існує обернена матриця Л

-1

, що може бути

знайдена за формулою

йеіА

Ац

Азі

А12

А 32

А із

А 23

Азз

де А у - алгебраїчне доповнення елемента а

Оскільки

1Х

ЗІ

1 -2

1 4

-1 2

1 4

-1 2

1 -2

= 6,

= 0,

А32 ~

1 -2

1 4

1 2

1 4

1 2

1 -2

= -6,

= 2,

= 4,

Ац -

= 0,

-2,

:2,

6 6 0

•6 2 4

0-2 2

Перевіримо правильність матриці А

АА'

=±

'1-1 2 V 6 6 0Л ("12 0 0

1 1 -2

1 1 4

-6 2 4

0-2 2

0 12 0

0 0 12

^'10 0^

0 1 0

0 0 1

Е.<

9 6 Глава 3. Визначники та матриці. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Приклад

7. Методом елементарних

перетворень

знайти

обер-

нену

матрицю А~

до матриці А.

2 О

А=

4 5 2

1 4

•

Утворимо матрицю Г

2 1 1

о"

2 0

1 0

1 4 0 0 1

)

Позначивши через у

І5

, у з рядки матриці Т

, виконаємо над ними

такі перетворення:

1 . . 2

Ті :Уі>

її

=7Ї "уУ2.

гГ=г,-£гЗ;

У2

=У2 "уУі.

У2

=уУ2>

У2=У2-^УЗ

Уз =Уз ~^Уь

Тоді послідовно отримуємо:

Уз =

Уз

+-У2,

Уз—Уз •

'3 2 1 1 0 '1 2/3

1/3 1/3 0

4 5 2 0 1 0 -> 0 7/3

2/3 -4/3

1 4 0 0 1

)

-1/3

10/3 -2/3

'1 0 1/7

0 1 2/7

0 0 24/7

Отже,

5/7

-4/7

-6/7

-2/7 0

3/7 0

1/7 1

)

1 0 о

0 1 о

0 0 1

3/4 -7/24 -1/24^|

-1/2 5/12 -1/12

-1/4 1/24 7/24

А~

3/4 -7/24 -1/24^1

-1/2

-1/4

5/12 -1/12

1/24 7/24

18 -7 -1

-12 10 -:

-6 1 '

Перевірка показує, що АА

= Е , тобто матриця А ' знайдена вірно. •*

§2.

Матриці 97

Приклад 8. Використовуючи означення рангу матриці,

знайти ранг матриці А :

А =

-1

• Серед мінорів першого порядку є відмінний від нуля, бо матриця

А ненульова. Серед мінорів другого порядку є також відмінні від нуля,

= -5*0. Всі мінори третього порядку дорівнюють нулю наприклад

З 1

(перевірте). Отже, К§ А = 2. <

Приклад 9. Використовуючи метод обвідних мінорів, знай-

ти ранг матриці А:

А =

2 |-4

3 !

°1

І-2

і.

1 і -4 2

1 -1 ! 3 1

-7

-4

• Фіксуємо мінор 2-го порядку, що відмінний від нуля:

-4 З

2 1

*0.

Мінор 3-го порядку

2-4 3

=1 -2 1

0 1 -1

що обводить мінор М

, також відрізняється від нуля. Однак обидва мінори

4-го порядку, які обводять мінор М

, дорівнюють нулю:

•4 З

-2 1

1 -1

-4

4-7 4-4

= 0,

1 12

2 -і

і -:

0 1__1

4-745

Тому ранг А дорівнює 3, а базисним мінором є, наприклад, мінор М

. Л

9 8 Глава 3. Визначники та матриці. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Приклад

10. Використовуючи метод елементарних

пере-

творень,

знайти ранг матриці А :

•12

7 2

111

1 10 6

•

А =

+(-1)-6-

+(-1).5

-К-0-$з

Ґ1 -1

0 1

0 5

0 0

+(-5)-5,

+(~10)-5

2 3 4^

4 -2 -4

-7 -11 -15

0 0 0

-1

-З

-7

-10

-13

-11

-19

-15

-24 -34

-К-5)-<Г

(\ -1

0 1

0 0

2 З

4 -2

-27 -1

0 0 0

Отримали трапецієвидну матрицю, ранг якої дорівнює 3. Звідси

А = 3.<

Приклад

11. З'ясувати, чи є система векторів

(2,-3,1),

- (3,-

5), а

(1,-

5,- 3) лінійно залежною або лінійно не-

залежною.

Знайти її ранг та будь-який базис.

•

Запишемо матрицю А, стовпцями якої являються а\, а

, а

2 З П

-З -1 -5

—

Т т

А = (а, , а

, 0*3 ) =

5 -З

Ранг матриці А, як видно, дорівнює 2. Отже, вихідна система век-

торів лінійно залежна, і її ранг також дорівнює 2 (за теоремою про базис-

ний мінор). Мінор другого порядку

відмінний від нуля, і тому може бути прийнятий за базисний. Звідси

випливає, що арифметичні вектори а

та а

утворюють базис вихідної

системи. •*

§2.

Матриці 99

IV. Задачі для практичних занять

3.41.

Обчислити лінійну комбінацію матриць А та В :

ЗА + 2В, А =

2 1 -Л

0 1

У задачах 3.42 - 3.50 обчислити:

3.42.

3.44.

В =

-2 1 0"

-3 2 2

-2

3.43.

(9 -6"

-4,

-6,

.6 -4,

5 8

6 9

4 7-3

(5 0

)

3.45.

2 3

4 1 5 3

3 1-12

2 5^

4-13

,9 6 5

' 6^

-2

3.46.а) (4 0 -2 3 1)

' ЗЛ

1 1

-1

; б)

-1

5 5

3.47.

0 0 1

1 1 2

2 2 3

3 3 4

-і -П

2 2

1 1

(

3.48.

1 -2

3.49.

'1 а

0 1

(4 0 -2 3 1).

аєК.

1 00 Глава 3. Визначники та матриці. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

3.50.

'X 1

о я.

ДєК.

У задачах 3.51 -3.52 знайти значення многочлена /(А) від

матриці А:

'2 О

3.51.

/(х) = 3х -4, А =

0 З

' 1 2^

3.52.

/(*) = х'-3х +

А =

-13

У задачах 3.53 - 3.54 обчислити АВ - 5/1

3.53.

А =

( 2 -З')

, в =

{

2 П

3.54.

А = -1

1 0 0

1 2

, 1 2

-к

1 1,

У задачах 3.55 - 3.56 знайти всі матриці, переставні з да-

ною,

тобто ті, для яких виконується умова: АВ = ВА.

3.55.

1 2

З 4

3.56.

7 -З

5 -2

3.57. Знайти всі матриці другого порядку, квадрати яких

(0 0

дорівнюють нульовій матриці О =

3.58. Знайти всі матриці другого порядку, квадрати яких

(\ 0^

дорівнюють одиничній матриці Е = ^ ^

У задачах 3.59-3.63 методом приєднаної матриці знайти

обернені для вказаних матриць:

3.59.

'З 4^

5 7

3.60.

соз а

зіп а

соз а