Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
§3.
Індивідуальне завдання 3.
10.
Лх = (х
3
, 2х) + Зх
2
+
4х
3
, 5*1 + 6х
2
+ 7х
3
),
ІЗх = (х
3
, 2х
}
+ Зх
2
+ 4, 5х] + 6х
2
+ 7),
Сх = (х
3
, 0, 5„і + 6х
2
+ 7х
3
).
11.
<А
х = (6х] - 5х
2
- 4х
3
, Зх! - 2х
2
- х
3
, 0) ,
Зх = (6х| -5х
2
-4, ЗХ[ -2х
2
-х
3
, 0),
С х = (6х) - 5х
2
- 4х
3
, Зл
-
) - 2х
2
- х
3
, 0) .
12.
А х = (5х| -4х
2
-3, 2х] -х
2
, х
3
) ,
ІЗ х = (5х] - 4х
2
- Зх
3
, 2х] - х
2
, 1) ,
С х
=
(5*і - 4х
2
- Зх
3
, 2х] - х
2
, х
3
) .
13.
Ах = (4хі -Зх
2
-2х
3
, Х| , х
2
+2х
3
) ,
ііх = (4х) -Зх
2
-2х
3
, х, , х
2
+2х
3
) ,
С х = (4х[ - Зх
2
- 2, Х[ , х
2
+ 2) .
14.
А х = (Зл-) + 2х
2
+ х
3
, 0,
X]
-2х
2
-Зх
3
),
іЗх = (3х, +2х
2
+1, 0, Хі -2х
2
-3) ,
_
2
Сх =(3х] +2х
2
+х
3
, 0, X] -2х
2
-Зх
3
) .
15.
сі х = (хі, х
2
-2х
3
, Зх, -4х
2
-5) ,
І5х = (х|, х
2
- 2х
3
, Зх, - 4х
2
- 5) ,
С х
=
(Х|, х
2
- 2х
3
, ЗХ| - 4х
2
- 5х
3
) .
16.
сА
х,
= (2хі + х
2
, х
3
, 2х, -Зх
2
-4х
3
) ,
ІЗх = (2.Г) + х
2
, х
3
, 2х] - Зх
2
- 4х
3
) ,
С х = (2хі + х
2
, х
3
, 2х] - Зх
2
- 4),
Глава 9. Типові розрахункові завдання
17.
сЛ
х = (Х[, х
2
+ 2х
3
, Зх
х
+
4х
2
+
5х
3
),
ІЗ 5 =
(X],
х
2
+ 2х
3
, Зх] + 4х
2
+
5)
,
Сх =
(X),
х
2
+ 2х
3
, Зх] + 4х
2
+ 5х
3
) ,
18.
с^х = (3х[ -2х
2
-1, 0, х, +2х
2
+3х
3
) ,
£х = (3х
2
-2х
2
-х
3
, 0, 0) ,
Сх = (Зх! - 2х
2
- х
3
,
0, X] + 2х
2
+ Зх
3
) .
19.
сАх = (2х| -х
2
, х
3
, 2х
2
+ Зх
3
),
£ х = (2хі - х
2
, х
3
, 2х
2
+ Зх
3
),
Сх
=
(2х| -х
2
, х
3
, 2х
2
+ 3).
20.
Лх = (0, х, +2х
2
+3х
3
, 4х! +5х
2
+6х
3
) ,
$>х = (0, X] + 2х
2
+ Зх
3
, 4х] + 5х
2
+ 6) ,
Сх = (0, х
2
+2х
2
+3х
3
, 4х! +5х
2
+6х
3
) .
21.
Л х = (бхі - 5х
2
- 4х
3
, Зх) - 2х
2
- х
3
, х
2
) ,
В х = (6х] - 5х
2
- 4, Зх| - 2х
2
- х
3
, х
2
) ,
С х = (6х] - 5х
2
- 4х
3
, Зх] - 2х
2
- х
3
, 0) .
22.
сЛ
х - (5х! -4х
2
- 3, 2хі -х
2
, х\
+
2х
2
+
Зх
3
) ,
іЗх = (5х) - 4х
2
- Зх
3
, 2х] - х
2
, х,
+
2х
2
+ Зх
3
)
Сх = (5х] -4х
2
-Зх
3
, 2х) -х
2
,
X]
+2х
2
+ Зх
3
)
23.
с^х = (4х!-Зх
2
-2х
3
, х,+х
3
, 0) ,
£х = (4х] -Зх
2
-2х
3
, хі + х
3
, 2х] +3х
2
+4х
3
)
"і
С х = (4х[ - Зх
2
- 2, X) + х
3
, 2х) + Зх
2
+ 4х
3
) .
§3.
Індивідуальне завдання 3.
413
24.
<А
х = (Зх( + 4х
2
+
5х
3
, блг] + 7х
2
+
8x3 , 9ху
+
х
2
) ,
-Зх =(3х] +4х
2
+5, 6х] +7х
2
+8, 9х] +х
3
) ,
С х
=
(Зх] + 4х
2
+ 5хз , 6х] + 7х
2
+ 8х
3
, 0) .
25.
<Ах = (2х, +3х
2
+4, 5х) +6х
2
+7, 8х[ +х
3
),
ІЗх = (2х) + Зх
2
+ 4хз , 5х| + 6х
2
+ 7хз , 0) ,
Сх=(2х]+3х
2
+ 4хз , 5х
1
+ 6х
2
+ 7хз , 8х, + х
3
) .
26.
с_ х = (х
3
+ х
3
, 2х] + Зх
2
+ 4х
3
, 0) ,
33х
=(Х]
+х
3
, 2хі +3х
2
+4х
3
, 5х] +6х
2
+7х
3
) ,
Сх
=
(ху + 1, 2х] + Зх
2
+4, 5х] + 6х
2
+ 7хз) .
27.
сА
х = (Зх[ - 2х
2
- х
3
, х
2
+ 2х
3
, З.*} + 4х
2
+ 5х
3
) ,
ІЗх =(3хі -2х
2
- І, х
2
+2, Зх[ +4х
2
+5х
3
) ,
С х = (Зх] - 2х
2
- Х3 , х
2
+ 2хз , 0) .
28.
<А
х = (2х] - х
2
, X] + 2х
2
+3, 4х] + 5х
2
+ 6x3) ,
.3 х = (2х| - х
2
, X] + 2х
2
+ Зх
3
, 0) ,
Сх = (2х) - х
2
, Х\+ 2х
2
+ Зхз , 4х[ + 5х
2
+ 6x3) .
29.
Лх = (хі
+
2х
2
+ Зх
3
, 4х! + 5х
2
+ 6х
3
, 7х! + 8х
2
) ,
зб х = (х] + 2х
2
+ ЗХ3 , 4х] + 5х
2
+ 6x3 , 7х] + 8х
2
) ,
С х
=
(X] + 2х
2
+ 3, 4х] + 5х
2
+ 6, 1х\ + 8х
2
) .
30.
сА
х = (х
2
+ 2x3, Зх] + 4х
2
+ 5хз, бхі + 7х
2
+ 8х
3
),
З х = (х
2
+ 2, Зх] + 4х
2
+ 5, 6х] + 7х
2
+ 8х
3
) ,
з
С х = (х
2
+ 2хз , Зх[ + 4х
2
+ 5хз, 6х[ + 7х
2
+ 8x3) .
31.
А х
=
(х
2
, Х|
—
Х3,
х
2
+ Х3) ,
ІЗх = (І, X] - х
3
, х
2
+ х
3
) ,
С
х = (х], Х\
—
Х3,
х
2
+ Х3).
414
Глава
9.
Типові розрахункові завдання
Задача 4. [ гл. 5, $7, приклади 18, 19 ].
Нехай х = (х| ,х
2
,д"з), Лх = (х
2
-х
3
,
Х[,
х
х
+ х
3
) , Зх = (х
2
, 2х
3
, х\).
Виконати вказані дії над операторами.
Варіанти завдань
1.
(ЛЗ-ЗЛ) х.
2.
(Л
2
+
33) Зс.
3.
(Л
2
-3) х .
4.
(«
4
-с//)х.
5.
(З
2
+
Л
+
23) х .
6. (2Л + 33
2
)х.
7.
(Л
2
+
3
2
) х.
8.
(3
2
+5Л)х.
9.(ЗЛ-Л3
+
2Л) х
10.
3(2Л-3) х .
11.
Л(23-Л) х .
12.
2(ЛЗ
+
2Л)х.
13.
(Л-3)
2
х.
14.
(3-2Л)
2
х.
15.
(ЗЛ
2
-23) х.
16.
(ЗЛ
2
+ В)х.
17.
{Л
2
+3) х .
\%.2(3
+
2Л
2
+3
2
) х.
19.
(2Л-3
2
) х .
20.
{35
і
-4Л) х.
21.
(З
2
-2Л) х.
22.
Л(3
+
Л) х .
23.
(Л3
2
-ЗЛ)х.
24.
Л(З-Л) Зс .
25.
(Л
2
-3
2
)х.
26.
3(Л-3) х .
27.
(3-Л
+
З
2
) х .
28.
®(Л
+
3) х.
29.
(Л
+
ЗЛ-3) х .
30.
(3$ + 2с^
2
) х.
31.
3(2Л+3)х.
Задача 5. [ гл. 5, §1, приклад 16 ].
Знайти матрицю А в базисі (е
х
,е
2
,е
3
), де е\ =е\ ~е
2
+е
3
,
е
2
= -вх
+
е
2
- 2е
3
, е
3
= -в\ + 2е
2
+
е
3
, якщо ця матриця задана в базисі
(е,,е
2
,е
3
).
Варіанти завдань
Гі 0
Ґ
'2 1
3^
'0 2
3
1
1.
Л = 3 -1 0
2.
А = 3
0
0
3.
А =
4
1 0
,1 1
"2,
ч
1
-1
2,
.2
-1
-2,
§3.
Індивідуальне завдання 3.
415
4.
А--
Ґ1 2
З О
2 1
3 0"
Ґ2 1
ґ ' 0
1 2
7.
А =
2
1 -1 8. Л =
3 0 2
9. А =
4 0 1
2 \
.1 0
1
-2
1
10.
А =
(\ І 0)
О -1
2 З
13.
А =
' 1 2
0 2 0
1 1
16.
А =
'1 1 3
>
*
1 0 1
2 0 1
19.
Л =
0 1 1
Л
1 1 О
2 1 1
5.
' 2 О Г|
3 0 2
ч
1 1 2
11.
/1
=
14.
/.:
17.
„:
20.
А =
(2 1 Г
0 0 2
13-1
1 12'
0 2 1
1 -1 О
Гі о і
Л
0-12
ч
3 -1 1
Г
і і
і і і
О 2 1
6. Л
=
ГО 3 2^
2 1 -1
0-12
V
12.
А =
ґ
3 О 1
Л
1 -1 О
2 1 -1
15.
А =
(\ 1 1^
2 0 1
О 1 1
18.
А =
О 2'
О -1
1-2 1.
З
ч
1 .
21.
А =
(2 О
1 -1 1
1 2 1
22.
А =
25.
/1
=
О 0 1
2 1 -1
-11 1
2 О П
0 1 -1
1 1 -1
23.
А-
26.
А-
( 0 1 О
О 2 1
ч
1 2 1
'2 0 1
1 1 1
ч
0 2 -1
24.
А-
21.
А--
О 2 1
0 3 2
ЧІ 1 "І.
'2 1 -Г)
1 3 1
О 1 О
V
416
Глава 9. Типові розрахункові завдання
(2 1 о
ч
( 2 1
°1
(
2
-1 о
N
28.
А = 1 0
1
29.
А = 0
1 -1 . ЗО. А =
-1
0 1
I
і
'І
Ь
1
К
1
1
1 -\
31.
А--
ґ
0 1 Г
1 0 1
1 -1 1
Задача 6. [ гл. 5, §1, приклади 1 - 12, 21, 22 ].
Довести лінійність заданого оператора, знайти його матрицю, ядро та
образ, базиси ядра та образу, а також ранг і дефект.
Варіанти завдань
1.
Оператор проектування на вісь Ох.
2.
Оператор проектування на площину
2
= 0.
3.
Оператор проектування на вісь Ог .
4.
Оператор дзеркального відображення відносно площини Оуі.
5.
Оператор проектування на вісь Оу .
6. Оператор проектування на площину у = 0 .
7.
Оператор дзеркального відображення відносно площини х - у = 0.
8. Оператор дзеркального відображення відносно площини у +
2
= 0.
9. Оператор проектування на площину у -
2
= 0.
10.
Оператор проектування на площину у = -Уз х .
11.
Оператор проектування на площину Оуг.
12.
Оператор дзеркального відображення відносно площини х - г = 0
13.
Оператор дзеркального відображення відносно площини Оху .
к
14.
Оператор повороту відносно осі Ох на кут — в додатному напрямку
15.
Оператор проектування на площину х
—
у = 0.
16.
Оператор проектування на площину у
+
2
= 0.
§3.
Індивідуальне
завдання
3.
417
17.
Оператор дзеркального відображення відносно площини х
+
у = 0 .
18.
Оператор дзеркального відображення відносно площини у -
2
= 0 .
19.
Оператор проектування на площину х
+
у = 0.
20.
Оператор проектування на площину х - г = 0.
21.
Оператор дзеркального відображення відносно площини х +
2
= 0 .
я
22.
Оператор повороту відносно осі Ог в додатному напрямку на кут
23.
Оператор проектування на площину л/з у + 2 = 0 .
24.
Оператор дзеркального відображення відносно площини Охг.
71
25.
Оператор повороту в додатному напрямку відносно осі Оу на кут —.
26.
Оператор проектування на площину х
+
г = 0 .
27.
Оператор проектування на площину у + л/з 2 = 0 .
28.
Оператор проектування на площину
-у/з
х
+
2 = 0 .
29.
Оператор проектування на площину -^3 х
+
у = 0
•
я
30.
Оператор повороту відносно осі Ог в додатному напрямку на кут
31.
Оператор проектування на площину х-
-Уз
2 = 0 .
Задача 7. [ гл. 5, §2, приклади 1-7].
Знайти власні значення та власні вектори лінійного оператора Л , що
заданий матрицею А. Чи зводиться ця матриця до діагонального вигляду?
У випадку позитивної відповіді навести цю діагональну матрицю та базис, в
якому матриця має діагональний вигляд.
Варіанти завдань
<\ 2
-
2
1
( 2 -1 Гз -1 п
1.
А =
1 0 3
2.
А = -1 2 0
3.
А = 0 2 -1
.
1
-
1
Ь
.0
-1 2,
418
Глава 9. Типові розрахункові завдання
'5
-1
-1
\
( 6
-2 - г
(
3
1 -
п
4.
А
-
0
4 -1 . 5. А =
-1 5 - 1 6. А = 2
2
-
1
-1 4
; ,
1
-2
*,
\
-2
1
4]
( 2
0
-1
\
( 2
1 0^
(
4
1
°1
7.
А
=
1
1
-1
. 8.
А =
1
2 0
9. А =
1
4
0
,-1 0 2
у
1
\ \."
-1
1
5,
( 5 1
—
г ^5 -4 4>
3 -
-2
2^
10.
А
=
-2 4
-
1 . 11.
А = 2
1 2
12.
Л =
2 -1
2
,-
2
1 6
у
^
0 3,
12 "
-2
з,
ГЗ -2
2^
Г5
-2 2^
ґ
1 -
-4
4^
13.
А
0
3
0
14.
А =
0
5 0
15.
А =
2 3
2
2
Ь
2 3,
,2
0
'7 -6
'7
-6 6
Л
'13
2
2
1
16.
А
=
4
-1
4
17.
А = 2 3 2
18.
/1
=
6
9 6
,
4
-2
,2
2
3,
V
2
-2
5,
Г-1
3
-
< 3
0 0
(
7/3 2/3
2/3
19.
А
=
-3 5
-
. 20. А =
2/3 7/3 4/3
. 2\.А =
4/3 5/3
2/:
,-з
3
,2/3 2/3 5/3
)
V
0 0
1
(2
1
-г
{
4
2
6>
Гз 0 0
\
22.
А = 1 2
23.
А =
2 1 3 . 24. А-- і
2 і
,о
0
,-
6
-3
Ь
-1
2
/
Гб І
-г
(5
0 0
Г4
-3
-з)
25.
А = 2 5
-2
. 26.
А = 1 4 -1
21.
А-- 1
2 ]
,1
-1
4^
ч
1
-1 4
)
1
2І
§3.
Індивідуальне завдання
3.
419
(
7
-4
-
2^
(
3
-2
-2
^
28.
А =
-2 5
-
2
29.
А =
-2/3
5/3
-2/3
.
0
0
,-2/3
2/3
-із/з,
Г19/3
2/3
-2/2]
{
5
/3
-2/3
-4/3^1
ЗО.
А =
2 5 -2
.
31. А =
0
1 0
1.2/3
-2/3
!/3,
,-2/3
2/3 7/3
,
Задача
8. [ гл. 6, §1,
приклади
5, 6].
Звести квадратичну форму
Ь (х,
,х
2
,х
3
)
до
канонічного вигляду
ме-
тодом Лагранжа. Виписати матрицю переходу
Т до
канонічного базису
та
лінійне перетворення,
що
зводить
до
канонічного вигляду.
Варіанти завдань
1.
Ь
Х|
,х
2
,х
3
)
=
х
2
+ 4х|Х
2
+ 4х|Х
3
+
4х
2
х
3
+ 4х
3
.
2.
1
Х|
>*2'
х
з)=
4х
2
+
4х]Х
2
+ 8х!Х
3
-Зх
2
+ 4х
3
.
3.
Ь
X]
,х
2
,х
3
)= 4х
2
+
8х,х
2
+
4х
2
х
3
+ х
3
.
4.
ь
к
х
\
,х
2
,х
3
)=
4х
2
+ 8х|Х
2
+ 4x^3 + Зх
2
- 2х
2
.
5.
1
Х|
,*2,*з)=
х
2
+
4х]Х
2
+
4х]Х
3
+ Зх
2
+
4х
2
х
3
+ х
2
.
6. 1
Х|
,х
2
,х
3
)=
х\
+
4х]Х
2
+
4х
2
х
3
+ х
3
.
7.
1
Х|
,х
2
,х
3
)=
X]"
+2х]Х
2
+2х|Х
3
-Зх
2
-6х
2
х
3
-2х
3
.
8.
1
Х|
,х
2
,х
3
)=
2
^2
Х|
+
4х]Х
2
+
2х]Х
3
+ Зх
2
+
2х
2
х
3
+ х
3
.
9.
_
X]
,х
2
,х
3
) =
2
2 2
Х|
+4х]Х
3
-д-
2
-2х
2
х
3
+4х
3
.
10.
1
к
х
\
,х
2
,
х
3
)
=
X] + 2х|Х
2
+
2х)Х
3
+ х
3
.
11.
1{
Х[
,х
2
,
х
3
)
=
X)
+
4х
(
х
2
+
4х[Х
3
+ 8х
2
+
12х
2
х
3
+ 4х
3
12.
1
і
х
1
,х
2
,х
3
)= 4х
2
+
4х]Х
2
+
8х!.г
3
+ 5х
2
+
8х
2
х
3
+ 4х
3
13.
1
к
-
г
1
4х
2
+
8х]Х
2
+
4хіх
3
+ 8х
2
+
8х
2
х
3
+ х|.
420
Глава
9.
Типові розрахункові завдання
14.
Ь
х
\
,х
2
,х
3
)
=
4х
2
+
8х]Х
2
+
4х]Х
3
+
5х
2
+
8х
2
х
3
+
4х
3
15.
ь(
х
\
,х
2
,х
3
)
=
2
2 2
х\
+
4х]Х
2
+
4х]Х^
+
5^2
+
12x2-^3
+
7л"з
16.
І
к
Х
\
,х
2
,х
3
)
=
X)
+ 4х|Х
2
+
4х]Х
3
+
8х
2
+16х
2
х
3
+ 7х
3
17.
1 ,х
2
,х
3
)
=
2
2 2
X)
+
2хіх
2
+
2х]Х
3
+ 5х
2
+10х
2
х
3
+
4х
3
18.
1
к
Х
]
,х
2
,х
3
)=
9
2 2
Х\
+
4х|Х
2
+
2х[Х
3
+
5х
2
+
6х
2
х
3
+
х
3
.
19. ь
,х
2
,х
3
)
=
2
2 2
Х|
+ 4х|Х
2
+
х
2
+
2х
2
х
3
+ 4х
3
.
20.
1
к
х
\
,х
2
,х
3
)=
9
2 2
х\
+
2х[Х
2
+
2х[Х
3
+ 2х
2
+
4х
2
х
3
+
х
3
.
21.
ь
х
\
,*2>*з)=
х
2
+
4х)Х
2
+
4х]Х
3
+
4х
2
х
3
+ 2х
3
.
22. ь
\
х
\
,*2,*з)=
4х
2
+
4х]Х
2
+
4х,х
3
-
Зх
2
+
2д
3
.
23.
1
\
х
\
,*2>*з)
=
2
2
4х| +8х|Х
2
+4х[Х
3
+х
3
.
24.
ь
к
х
\
,х
2
,х
3
)=
4х
2
+
8х[Х
2
+
4х|Х
3
+ Зх
2
- 4х
3
.
25.
ь
х
\
,х
2
,х
3
)
=
2
2 2
X]
+
4х]Х
2
+
4х]Х
3
+
Зх
2
+
4х
2
х
3
- х
3
.
26.
І
\
х
\
>*2>*з)=
2
2
X]
+4х)Х
2
+4х]Х
3
-х
3
.
27.
1
х
\ >
х
2,
х
з)
=
х
2
+
2х]Х
2
+
2хіХ
3
-
Зх
2
-
6х
2
х
3
-
4х
3
.
28.
ь
Х\
,х
2
,х
3
)=
2
2 2
Х\
+
4х]Х
2
+
2х]Х
3
+ Зх
2
+
2х
2
х
3
- х
3
.
29.
1
у
х ,х
2
,х
3
)=
2
^ 2
Х\
+
4х)Х
3
- х
2
-
2х
2
х
3
+
2х
3
.
30.
1
у
х
2
2
X]
+2х|Х
2
+2.Г|Х
3
-х
3
.
31.
1
к
х ,х
2
,х
3
)=
2
^2
Х|
+
2х]Х
2
+
2х]Х
3
+ 2х
2
+
4х
2
х
3
+ Зх
3
Задача
9. [
гл.
6, §1,
приклади
З, 4 ].
Звести квадратичну форму
І(Х|,х
2
,х
3
)
до
канонічного вигляду мето-
дом ортогональних перетворень. Виписати матрицю переходу
до
канонічного
базису
та
лінійне перетворення,
що
зводить
до
канонічного вигляду.