Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
§4.
Індивідуальне завдання 4.
431
„, . ,. я +2л +
1
21.
а) Ііт -;
я-»»
7я -10
б) Ііт я(л/л
2
+1 -я);
22.
а) Ііт
4
2 ,
Я
+
Я
+
1
я-кс
(
л
+1) (и -1)
б) 1іт(я-л/л
2
+5);
23.
а)
24.
а)
(2л +
1)!
+ (2я
2
+1)
«->_ (2я-1)!(я
2
+1)
(я + 1)
3
+ (я-І)
3
+ я
3
.
п-*го
(л
2
+3я + 2)я
,. 2"+10""
пт —•— •.
„->_ ]0" -2""
Ііт -;
"-*
00
я + (л + І)" +(я + 2)
Ііт
(Зя-1)!+(3я + 1)!
25.
а)
я-»«
(Зя)!(я-1)
,.
т
(ц!)іч^і)1
"->*> я +(2я + 1)
З"
-2"
Ііт .
я-»_
з""
1
+
2"
,. я
3
+(я + 1)
3
пт -;
,. П+3 + 5 + ... + (2л-1)
Ііт
Ііт
и-»х
(я + 1)"
+(Я-1)
/
26.
а)
27.
а)
в) Ііт
2
2
"+2"+1
"^(2
Л
-1)(2" +3)
б) Ііт (я - л//^+5л - 3);
б) 1іт(-/н(я + 1)--/(я-1)(я-2));
б) Ііт (л/я
3
+ я +1 - я
/г + 3
(4я + 1)
3
-(4я-1)
3
Ііт
І
—
+ — + ...+
»->Ч2
2 2"
28.
а)
Ііт
я—>го
Ііт
Зя +2я +
1
(1
+ я)
2
б) Ііт >/я + 2 (л/я + 3 - л/я - 4 );
б) 1іт(л/4я
2
+1 -2я);
б) Ііт(л/(я
2
+1)(я
2
-4)-л/я
4
-9);
1
+ 2 +
3
+
..
. + (я -1)
432
Глава 9. Типові розрахункові завдання
29.
а) Ііт
5>ґ +1
"~>»(10/з
2
+ п + 1){п -2) '
в) Ііт
б)
\\т(4п[п
+
2)-4п-
-
2и+3);
,.
2
И+1
+3"
+1
ЗО.
а) Ііт
2"
+3"
5л
2
+15/;+З
„^00(2/1
-1)(1-3п)
1 1
1-
в) Ііт
б)
Ііт
Л/Й
3
+8(Л//Г'
,
+2-Л//7
3
-1)
;
1
— + —-... + (-1)"
З З
3
Т
2 2
2
2"
31.
а) Ііт
в) Ііт
1-4и
«->*>
(/1
+ 1)
3
-
(/1-І)
3
2"
+7"
я->»2"
-7""
1
б) 1іт(^/(/;
2
+!)(/?
2
+2)--/(п
2
-1)("
2
-2)) :
Задача 3. [ гл.7, § 1, приклади 11-15]
Обчислити границі заданих функцій.
Варіант завдань
,
х~ + 4х-5
1. а)
нт—г
^і2х
3
+З.Г-5
г) Ііт
18
4л-
к
VI -созбх
2.
а) Ііт
.
гЧх-10
х~+г
х
-4
г) Ііт
сі^х
л/2
1
- 8ІП
X
б) Ііт
л/9
+ 2х-5
>->І*Х"
-6х-16
д) Нт
х-7
2х
х->™\ X + 5,
б) Нт^Ч;
л/х
+ 3-2
д)
Ііт| У"
1
;
л->Л х + 2 у
1
в) Ііт
Зх'
+2х-7
*->«> 2х
3
+4х
2
е) Ііт
в) Ііт
1п(9-2х
2
)
1§(г
2
-4)
4х
2
+ х + 5
0,2х^ -х
е) Ііт
агсІ§ 2х
^оіп(1-4х-)
§4.
Індивідуальне завдання 4.
433
З.а) Ііт
х -6х-9
.-.з
х
-9
«.
г / / 2 ,
Ч
,
Л/Д:
4
+1-Л/7+Т
б) 1іт(\х + 4х-х);в) Ііт ;
*-»•» 2х +4
г) Ііт
8Іп5х
•
Щ2х
*^>° агсІ§ Зх
4.
а) Ііт
х
-х-6
*->-2
2х^ +Х-6
д) Ііт
І
ІІІІ]
2
*
4
"
1
•
е
) ]і
т
.
ІП8ІП
Зх
х-х*\Х —
4)
х
_,»(6„-я)'
6
б)
1
.
л/х + 4-у/2х-\ . ,. лі з , ,
іт ; в) Ііт х(л/х +х-х);
*->5
х -4х-5
г) Ііт
соз2х-со84х
*->о х-1§3х
5.
а) Ііт
х
3
-х
2
-4
*->2
х'-2х
д) Ііт
х->0<
\2-Зх)
*
2+
*;
е) Ііт Ь*-
1
*-»к>х
2
-Пх + 10
б) Ііт
Ух+24-
3
.12х-9
дг->3 л/х + 1-2
;
в) Ііт
їх
1
+Х-20
0,00 їх -1
г) Ііт
зіп
1
їх
СОЗХ
6. а) Ііт
х
1
-2х-8
«4
1
і
+ 4х-32
л:-»2^ 5 + Х у
1
,.
У5х + 2-3 . ..
б) Ііт , ; в) Ііт
лг->5
І-л/х-4
х->о
агсг§2х
4
Ух
1
Л-
3
Ух
і
+7
*->«> 6х
3
-х-1000
г) Ііт
81П
юс
л-И 8ІПІ2ЛХ
д) Нт
ДГ->]
(Зх-іу-
х
.
е) 1іт
І0
^
(4
-
3
-
Г)
*->о агс8Іп5х
7.
а) Ііт
х' -Зх + 2
*-»'
х
-4х + 3
б) Ііт
2х-2
*->'
^26 + х-З
;
в) Ііт
.
х +4х + 5
ч •• ч?3х
г) Інп —
51ПХ
2х+\
д) Нт
Х-+0
2х' +1
і-зх
2
;
.ґз--*-,
1
;
е) Нті о — і
С08Х)
51П
Зх
8.а) Ііт
48 + 4х-х
3
*->-4х
2
+ібх-80
„ .. Уі + Зх-1 х
2
+1
б) Ііт ; в) Ііт агссі^х
х-*0 X
х-*а>
х
ч
,.
С08Х-С0$2х
г) Ііт
*->0
1§С08Х
д) 1іт(І
8
х)
2л
-
П
; е) Ііт^Ц -
х
~*° Щ Зх
434
Глава 9. Типові розрахункові завдання
9. а) Ііт
.
х'+2х-12
б) Ііт
*->2
х
2
+ 5х-14' *->о VI+ х -\Я
;в) Ііт
х
3
+х-19
г) 1ітхсг§2х:
х +
3\
лг-><4.
X
Д)
-І
.«+3
10.
а) Ііт
х
2
+6х + 5
^-5і
2
-х-30
1 -созбх
б) ІітД; ——:
х
2
+ х-56
г) Ііт
х->о
1
- соз2х
И
л Г х
2
-5х + 6
11.
а) Ііт—т
•"^2
х
і
-2х- - х + 2
х^>«\2х-\)
2х^+х+4
х-\
л->со
Х
+х-2\
е) Ііт — 2—.
.*->з 1пЗ-1пх
ч
,. 8 + 17х
2
+9х
4
в) Ііт ;
*->«(2-Зх)(4-2х)
е)1ітх(1п(2х+1)-1п(2х-1)).
в) Ііт соз5х-соз
1
2
2х - л
д)
1іт(1+х
2
)
с,8
"
г
;
12.
а) Ііт
х
4
-4х
2
+4
Л х-2х
.
.. 2-7х-3
в)
Ііт—г
х
2
-49
д) Ііт (созх)
х->0
13.
а) Ііт
х +6х-16
^2
х
-2х-4
в) Ііт
2л/х
3
+1
+
9х
*->°°л-
(л/х+7
+ 4) '
і
д)
Ііт зіп
X
|І£Х-8ІПХ
б) Ііт х(л/х
2
+1 - х);
А—>+00
.
.. ЗІПХ-ЗІП З
г) нт —===== ;
^
3
\/х
3
-2х
2
-8-1
1п(%/х
2
+3-1)
е) Ііт
агсІ§(х-1)
б) Ііт агссоз
X
+
"УХ
г) Ііт
х"
л/2х +1
соз 3 - соз
х
•
г
^-
3
л/х
3
+28-л/х
2
-8 '
1-<?"
8
*
е) Ііт
*->о
1
- соз х
б) Ііт
Узх
3
+
1
-Ух
+
3
"-^
л/2х
2
+1 -
3
л/хТІ
г) Ііт
соз
2
х + созх -2
-*-»
0
х-зт'х
агсІ§х
е) Ііт
х^>а\х\{\
+ Щх)
§4. Індивідуальне завдання 4.
435
14.
а) Ііт
х
3
-5х
2
+25х-125
*->5
х
3
-5х
2
Л/Х+13-2Л/Х+1
б) Ііт
дс-»3
х
2
-9
в) Ііт
х
1
-2х +
7
*->«>(1-х) (1 + 4х)
г) Ііт
88ІП
х +1
і 6х + я
6
д) Ііт(2 - созх)
х
;
л:->0
е) Ііт
(1-Зх)
2
ЩЗтіх
-зіпЗлх
.
.. х^-1000
15.а) Ііт —; ;
*-иох
3
-20х
2
+100х
б) Ііт
2х - х
^
3
2х-л/х
2
+27 '
в) Ііт (л/х
2
+ Зх -х); г) Ііт
1
—зіп х
соз X
2
д) 1іт(3-2х)'-*
1ое
3
х-1
е) Ііт——
*->3
Г§ЯХ
16.
а) Ііт
х
А
+6Х + 9
*->-з
х
3
+5х
2
-18
_
ч
,. л/іО-х -2
б) Ііт
в) 1іт(л/х
2
+1 -л/х
2
-1); г) Ііт
*->2
х-2
соз5х
71
созЗх
д) Ііт
І
1- .
*-><Ч
Зху
е) Ііт
соз За - соз Зх
^"л/2х
2
+2а
2
- л/х
2
+ За
2
17.
а) Ііт
х
3
—
х
2
—
5х
—
З
*->-і-Зх
3
-4х
2
+х + 2
в) Ііт
х
3
+х
2
+
]
•°° 2-х^
б) Нт
л/Ю-х -л/9х
л/2х + 2 - л/і + Зх '
зіпх-1
г) Ііт
.
П
созх
д) Ііт (зіп Зх)
хіплг-со^л:
•
Ч1
.
Іп(5х + 1)-1п(1-5х)
е) Ііт -
*~*о агсзіп2х
436
Глава 9. Типові розрахункові завдання
18.
а) Ііт
х
3
+ 5х
2
+ 8х + 4
*-»-22х
3
+ ЗХ
2
-7Л--10
в) Ііт
к
2
+1*-
А
4х
ч
+5
+ л/ х^-1
б) Ііт
х
А
+ 5-3
х
~>
2
2-лІ2х
2
-4
'
.
,. 1+со$Згос
г)
нт
г ;
Х%
лх
5-х'
д) Ііт
П
+ 2х} 2х
лг-»°°1 2х-3
е) Ііт
х
2х
агсзіп— агсде—
4 5
л->0 І0§
3
С082х
19.
а) Ііт
.
6х
3
-23х
2
+15х
*~>з х
3
-6х
2
+27
б) Ііт
з-л/7+2
*-»-з ^б + х-І
х-'+І
в) Ііт .
х
^
х
х-Чх
2
+\
г) Ііт
х->0
8Іп2х-8ІП
6х
*
8
(^(х
2
-3х)
2+4х
2
д)
ІітГії^І
-
„
л
. ,. 4 + 2х-х
20.а) Інгь = -
дг^2-12
+ Х
2
+Х
3
е) Ііт
.Ї-*0
б) Ііт
1п(1
+ 3х)
І
\ + Щ2х
^7
+
^-2
х +Зх-4
в) Ііт (л/х
2
+4 -х);
„
л/С08Х
- 1
г) Ііт-—
знГ2х
Зі
д) Ііт
3——І
6
;
*->зІ 3 )
е) Нт
х->0
1
-С082х
+ 1§ X
Х8ІП
Зх
21.
а) Нт
х
3
-8х-3
^Злг
3
-9х
2
+27х-27
в) Ііт
х
2
л/х +1 їх
2
7х- 4 л/х
5
-100
б) Нт -
х^ -4
*-*
2
л/4х-2
1
+
Х 8ІПХ-С0з2х
г) Нт
х-+0
8ІП
2
X
/
2
у'в
22
*
Д) Ііт 3 — :
ж-+<\ соз2хУ
е) Нт
2
дг—>і
Іпх
§4.
Індивідуальне завдання 4.
437
.
.. (х
2
+х-6)
2
22.
а) ІІТ
*->-з (х
+
3)(х* + 2х-3)
СЧ
..
Л/9
+ 2х-5
б) ит—р=
^
8
1/7-4
в) Ііт соз—-її/ *
+
^
*->+°о
д- 1,х -4х
.
,. (2с08Х-Л/3)-ЗІПЗХ
Г)
ІІТ
х
_>*
(2зіпх-1)-соз2х
2+Злг"
д) Нт
^Х-хЧх^
„2
7-2Х
+
Х"
...
х
4
+х
2
+х-22
23.а) Ііт г
е) Нт
1-х
•
і 1о§
2
х
б) Нт (Л/Х+Ї-Л/Х
2
+11х)
...
.1 х +
1
в) Нт 8ІП ^
*->°° х х +7х + 6
...
.1-х лх
Г)
ІІТ 8ІП 12— ;
<->і 2 2
д) Нт
^2 + Зх-х
3
^
1
- х - х
3
х-+5
З
е) Нт
созЗх
С05*
е -є
о агсІ§2х
24.
а) Пт
.
х
4
+х
3
+3х
2
-4х-1
х +х-2
.
.. 2
Л/х
+
1
+х
в) Пт соз =-;
*->оо
Х
Х
2
-л/х
б) Нт
Л/х
+1 -1
Л/х
+
1
-
1
'
С08
7ТХ-5ІПЯХ
г) Нт
І 1е4лх
ч
,. (2х +
4\йх~ї)
д) Нт -
*->оІ Зх + 4;
е) Нт
1§х-1
*->і°Л/х-9
-1 '
25.а) Нт
.
2х
4
+7х
2
-5х-4
*->'
X
і
+ х-2
б) Нт
3-^4х+15
*->з
і + з/Зх-10
з)
Ит(Л/х
2
+ 4х + 5 -
Л/х
2
-2х-1); Г) Пт
зіп
3
2х-1
і зіп4х
4
д) Пт —г-^ :
«ю х
2
- ІЗх+ 30
е) Нт
Г4Х + 2У
л:->огЛ
3 + 4х )
438
Глава 9. Типові розрахункові завдання
26.
а) Ііт
х
3
+х-10
•'^2
X
і
+
Здг
-1 0
ч
.. л/8х
3
+ 4х-5+л/х-3
в) Ііт •-. —— ;
м
"Л
2
-2*-15-#х
+ 5
і
Т
д) Нт
ДГ->00'
*+5
27.
а) Ііт
х + 4х
^0(^
+
1)
2
-(х-1)
2
'
в) Ііт
Зх -2х + 5
•*->«> 2х
2
+ 4х - З
2л-
2
-!
д)
ІітГсо^У'"
2
*
;
28.
а) Ііт
х
3
+ х
2
+5х-7
гх'-х-І
1 9
в) Іітзіп І£(х +3х-18);
*->з х-3
д) Нт
'х
2
-2х + 7
Л
29.
а) Ііт
+ 7х-1
х
2
+х-12
<->з^ +2х-33
ч
,.
0,0001х
в) Ііт
+ л/х
7
+1
10000-х
3
л/х + 4 '
„ ,. л/і + 2х-3
б) Ііт——
л/х-2
г) Ііт
С08
Зх
51
-
зіп Зх
б
е) Ііт Іп( І
-—]-сг§—.
з,
б) Ііт
16х -4
г) Ііт
*^
4
л/х+~4 -л/їх '
зіпЗх -8Іп5х
1-С08л/х
е) Нт
1п
созбх
^іагскіп
(ЗХ-ТІ)
б) 1іт(л/х
3
+ х -л/х
3
-х);
ч
.. соз2х-со8 4х
г) Ііт ;
*->о х-зіпЗх
е) Нт-
е -е
^->і8іп2(х
/
-1)
б) Ііт-
V И .1
х +х-2
^'Угіх-го-У-Зх + б
.
,. 1+С0837ІХ
г) Нт
Х
~*1
8ІП ЛХ
д) 1іт(10~3х)'*'
иг
;
дг->3
е) Нт х[1п(х-2)-1п(х + 3)
§4.
Індивідуальне завдання 4.
439
ЗО.
а) Ііт
X
і
+ 4х-12
в) 1ІПІ(л/Х
2
+7Х-4-л/Х
2
+3);
.. л/і
+
х
-л/і-х
о) Ііт
х->о х
ч
,. зіпх-іех
г) Ііт
д) Пт
Х->°°'
31.
а) Ііт
5х-ПТ7.
5х +1 і
4 + 6х-2х'
«2б-13х
+ 5х^
. ,. $іп(3(х
2
+х-2))
в) Ііт — —:
<->-2
8Іп(х
+ 2)
,2
д) Ііт
і->0<
1+3х^
( 5-2х ^"7"
І11-2хі
е) Ііт (2х-1)[1пх-1п(х + 5)].
.ї-> х
б) Ііт
х->с
г) Ііт
л/х + 4-2
«оЗ/х + 8-2 '
(1 +
і)
і/з_
(]
_
х)
і/з
х->0
-С08Х
е) Ііт
1§(х + 10)-1§(2х + 10)
х->0 8ІПХ-8Іп2х
Задача 4. [ гл.
7,
£ 2, приклади 2, 3 ]
Дослідити на неперервність задані функції, визначити точки розриву і
встановити їх характер.
Варіанти завдань
і. /0) =
х -16
х-4
2.
Дх) =
е*+
2
3.
Дх) =
2
5Ш
*
.
х-1
5.
Ах)-.
7-
/(х)
=
4?
і
х + 3
.7^4
4.
Дх) = 92~
х-1
6. Лх) = 2-
2
-'
2х
8. Дх) = 3
4
- .
440
Глава 9. Типові розрахункові завдання
11.
ДХ)-
13.
ДХ):
1
Іп(х-З)
1п(1
+ х)
15.
Дх) = 2 *~
3
.
х + 2
17.
/(я) = я +
-
х + 2|
19.
Дх) =
х
1
-4
х + 2
З
і/х
21.
/(х) = 3'-
дг
+1.
х + 2
23.
Дх);
25.
Дх)
:
27.
Дх)
•
29.
Дх)
=
31.
Дх) =
-
х
2
-6х + 8
х
2
+2, х<1,
х-1,
X > 1.
1-х, х > 2.
-х +4х, х < 0,
5х +
1,
х>0.
-х,
х < 1,
2
-, х > 1.
.х-1
12.
Дх)--
Н. ДХ)-
16.
ДХ):
18.
Дх)
=
20.
Дх).
-+—
X
І
X
І
х(х + 2)
4
х
2
-2х +
1
2ІХ-1І
х
2
-х
3
'
12
х -6х + 5
22.
Дх) =
5*
+4
+1
24.
Дх) = х + 1+
]
26.
Дх) =
1/(х-1),
х<0,
(х + 1)
2
, 0<х<2, 28. Дх) =
ЗО.
Дх) =
-1/х, х<0,
2х + х", х > 0.
Т
х
, -1 <х<1,
1,
х = 1,
х +
1,
х > 1.
4-3\
х<0,
5
+ х, х>0.
Задача 5. [ гл.
7,
§ 2, приклад 5 ]
Визначити те значення параметра А , за якого функція /(х) буде не-
перервною (якщо можливо). Зробити рисунок.