Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
§4.
Індивідуальне завдання 4.
441
Варіанти завдань
і. /оо =
3.
Дх) =
5.
/00 =
7-
Дх)
9. Дх)
=
11.
Дх) =
13.
/00 =
15.
Дх) =
X
і
, х<2,
2х
+
А, х > 2.
і
-, х < 1,
X
і
+1
-/їх,
х>1.
$іпх, х<0,
х + Л, х > 0.
|і
8
(х
2
+1),
х<3,
[соз лх + Л, X > 3.
I 2~\ х<-1,
[Лх +2, х >
-1.
х
2
-4, х<2,
- х +
/1,
х > 2.
х +4х +
3,
х < 1,
-4х
+
А, х>\.
, х < З,
17.
/00 =
19.
/(х) =
х
2
+1
Лх
—, х>3.
З
СОЗХ, Х< ,
2
Лх +
1,
х > - —.
2
х +
3,
х<1,
- Ах
2
, х > 1.
2-
/(х) =
4.
Д*) =
6. Дх) =
8- /(*) =
Ю.
/00
=
12.
/00
=
14.
ДдО =
16.
/00 =
1/х, х<-1,
х
+
А, х >
-1.
СОЗ-
лх
х<2,
х
2
+4х
+
А, х>2.
(4 +Ах, х
<
-2,
|х
2
-1,
х>-2.
І2х
2
+6,
х<1,
[А(х
+
])
2
, Х>1.
х +
3,
х<0,
А-У
+2, х>0.
х
2
+4, х<-1,
х
+
А, х>-1.
зіп лх, х<\,
-х
2
+2х + А, х > 1.
Г,
А < -З,
/їх ,
—, х > -3.
З
18.
Дх) =
20.
Дх) =
агсг§х, х<—,
Ах
+
7>,
х>—.
4
' 2
х
, х<0,
,4-2~\
х>0.
442
Глава 9. Типові розрахункові завдання
21.
Дх) =
23.
/(*) =
25.
Дх) =
27.
Дх) =
29.
Дх) =
зі. /(*)
=
-х
+
4х
+
А, х < 1,
* > 1. *
2
-1
2х, х<1,
- х + Лх, х > 1.
З"*,
х<-1,
Ах
2
+4х-5, х>-1.
х + 4х +
3,
х < 0,
-х
+
А, х>0.
І8(х
2
+1), х<3,
Ах
1
—
2х-2, х > 3.
соз
тсс,
х<1,
-х
2
+
А, х> 1.
22.
Дх) =
24.
Дх) =
26.
Дх) =
28.
Дх) =
30.
Дх) =
Іпх, х<е,
Ах
2
-5, х
>
є.
Зх, х < 1,
-х
2
+
А, х > 1.
созх,
Х<—,
2
81ПХ + А,
X
> —.
2
х
+
2, х<1,
-х
2
-4х + А, х > 1.
х~
+4, х < 1,
/їх,
х>1.
§5. Індивідуальне завдання 5.
Диференціальне числення функцій однієї змінної
Задача 1. [ гл.8, § 1, приклади 1, 2, З, 4, 6, 8, 9
]
Продиференціювати задані функції.
У пунктах а), б), в), г), д) знайти похідні у'; у пункті е) знайти
у , у ,ау, а у; у пункті є) знайти у = — , у
йх
Варіанти завдань
йх~
І.а) у-
1
+
1 ї
їх )
д) е
х
зіпу-е
у
созх = 0;
§5.
Індивідуальне завдання 5.
443
6)у =
агссоз х
л/і + 2 кіп х
в) у = \п(е
2х
+ 1)-2атсЩ(е
х
);
г) у = х™*;
2.а)
>>
= (2 + х)л/3-х ;
б) у =
1п
(агсзіп 5х);
в) у = 1п(х + л/4 + х
2
);
г) 7 = (агсІ8х)
х
;
З.а) у =
2х
2
-2х+1
СІ£
—
б) у = 3 * ;
в) у = агсзіп (1п х);
г) у = х
1
;
л/Х
+
л/Х
; 4-а) >>
б) у = агсзіп
^ Л.
х
1
+ х'
в) у = д/іпх +
1
+ 1п(-Ух +1);
е) у = е
х
;
є)
|х = 2/\
|у = 3г\
д) ху =
агсг§
—;
У
е) у = (агсзіп х)
2
;
х = Зсозґ,
є)
у = ЗзіпЛ
д) 1пх + е^
/л
= 5;
е) у =
(1
+ х
2
)агсі£х ;
х = ґ-зіпг,
є)
у =
1
- соз/.
д) 3
х
+ 3
у
=зіпу ;
е) у = л/і + х
2
;
є)
Х = /-СОЗ Ґ,
[у = зіп
2
Л
г
г
)
У = (агссоз х)
444
Глава 9. Типові розрахункові завдання
5-а) у
б) у
в) у
г) у
6-а) у
б) у
в) у
г) у
7-а) у
б) у
в) .У
г) у
8-а) у
б) у
в) у
г) у
(1-х
2
)
4
'
:ІП
1
+ соз х ;
1
+ л/х
2
+1
= хл/х
2
-1 ;
: зіп
4
х + соз
4
х;
= 1п
1
+ 2х
1-2х
( і , ..2 \
1
+ Х
•
зіпх-соз
3
х
2
;
1п
4?
+ 2х
х +
1
= х
1п х
;
=
\/х + 2>/х ;
1
+ х
=
агсі§
1-х
=
1п
= X
1 + 8ІПХ
1 -8ІПХ
д) х = у + агсІ§у;
е) у = г£х ;
Гх = 1пг,
ч з х-у
д) * =—-;
х + у
е) у = х
3
^ ;
є)
\х
=
Ґ,
[у = 1п/
2
.
д) е
х
+е
у
-2
Г}
-1=0;
е) у = є
-
*
2
;
X
= гсоз/,
є)
у = /8іп
г.
д) х зіп у + у зіп х = 0 ;
е) у = сг£х;
\х = агсзіп/,
є)
§5.
Індивідуальне завдання 5.
445
9-а) у
=
^-
3 2_
б) у = агсІ§л/4х
2
-1 ;
г) у-Опх)
1
'*;
10.а)
>>
= (1-27х~)
4
;
б) у
=
$іп\1
+
х
2
;
в) у =
1п
агссоз
2Л:
;
г) у = {$тху
Гх
';
11.
а) у = л/7 + 5л-
3
;
б) у = агсзіп—;
х
в)у=2
іпх
;
г)
г>
= (зіпЗх)';
12.а) у
Зл/Г^х
7
'
б) у = агсзіп
х
2
-1
д) х
4
+/=*У;
е) у = агсзіп— :
2
в) у = Іп^зіпх + л/і + зіп
2
х^; є)
|* =
1п(1
+ /
2
),
д) 3
х
+ 3
у
= созу;
е) у = агссоз 2х;
£)
и*.
д)
>>
= 5х +
агсІ§
у;
5
е) У =
є)
х + 3
х = 1п/,
1
У =
1-І
д) зіп(ху) + соз>> = 0;
е)
у =
тІ4-х
2
;
в) у =
1п
1-х
2
Зх
с)
х = агсІ§г,
т) у = х*
446
Глава 9. Типові розрахункові завдання
13-а) у
=
_2 1__
2х -1 х
б) у = -у/агсгцх - агсзіп х;
в) у = х
3
Іпх- —;
З
г) у = (2х +
1)
3
/*;
д) у =х зіп у
е) у = л/Ї£Зх ;
Гх = соз2/,
[у = 81П І.
14.
а) у =
^
х + 2 _
х-2 '
д) х 1пу + ^—= 3 ;
х
б) у = зіп
2
(х
3
); е) у = е
VI.
в)
у =
л/іп
2
х +
5
;
г) у = (х
2
+4)—;
є)
х =51 + (,
у = 1пЛ
15.а) у:
1 1
10х
5
4х
4
б) у = хагссозх-л/1 -х
2
;
д) усо8у-соз(х-у) = 0 ;
е) у = хе
х
;
в
) у = —Іпідх + Іпсозх;
є)
X = соз ґ,
[у = 8ІП
3
Г) у:
16.
а) у.
х + 5
х-4'
4 + х'
д) х +
77
+
У
= 5 ;
2 1
б) у = агсІ§ — ;
в) у = 1п
7
зіп2х ;
е) у
1
+ х
з '
є)
х = а (І - зіп/),
у = а
(1
- соз?).
г) у = (созх)
5
"
1
-';
§5.
Індивідуальне завдання 5.
447
17.
а) у-
18.
а) у-
б) у-
19.
а) у-
20.
а) у
=
б) у-
(х
2
-х
+
1)
4
'
б) у = зіп (соз4х)
в) у =
1п
5
х
г) у = х
кіп(д:+5) .
х
2
+1
Ах '
агсзіп х
агссоз х
1 , х
2
-2х
+
\
в) у =
—
1п
З х
2
+х +
1
г) у = (х
2
+3)
5х
;
х
2
(х-2)
б) у = х\п\2х
+
—\ ;
в) у = (агсзіп.к + 2х
2
)
7
;
СОЗХ
Іпзіпх
в)
_у
= є
х
Іпх ;
г) у = (со$х)
іпх
;
д) х - 2ху +
У
=
1
;
1
е) у
є)
7 + л/х '
х = агсі§/,
у = \п(]
+
ґ).
д) х
2
+ Зху
+
у
3
. +1 = 0 ;
е) у
—
Л/І
- х
2
агсзіпх;
Гх = 1п/,
є) і з
д) /-3>> + 10х = 0;
е) V =
І0£
7
х;
х
= 2
соз/,
є)
у = зіп/.
д) у = соз(х + у);
е) у = 1п(х + -\/і + х
2
);
є)
X = 1п/,
7 = 1//.
448
Глава
9.
Типові розрахункові завдання
21.
а)
у =
х
6
^4-х
2
;
б) у = е
со
"зіпх;
в)
у
= ІпГі
+
СОЗХ
г) у = х^;
22.
а) у
в)
У =
ІП ЗІП
X
1п
созх
2зіп
2
х
соз2х
г)
у = (х
2
+2)
3со
"
23.
а) у;
б) у-
ІУІ49 + Х
2
Зсозх
л/соз2х
в)
у = 1п[
3
+ х + >/бх + х
2
г) у = (агсІ8х)
1/дг
;
24.
а) у
=
х
5
-л/х
6
-8
;
б) у =
е
со
" зіпх ;
1
в)
у =
1п
1
+
созх
г) у
=
х^;
д) х-_у + 7соз>> = 0;
е) у =
е
агс5Іпх
;
є)
[у = е
д) 5
х
+5' = 5*
+
";
е) У =
х
2
-\
є)
| X = е ,
д) ху - у Іпх = 3 ;
е)
у = Уїх-х
2
;
[х
=
агссоз-У7,
є)
ІУ
=4^ї
2
д) е
2
*+е
3
' =1ху;
Є)
у =
С05Є* +8ІПЄ
ДГ
(х =
2С08Ґ,
є)
у = зіп?.
§5.
Індивідуальне завдання 5.
449
25.
а) у
•
б) У-
26.
а) у
б) у
27.
а) у
•.
28.
а) у-
5 47
-•
——
н
•
47 і '
•• Л/ЗІПЛ/Х ;
в)
у
=
\о§,
2
(Іпх);
г) у = (созх)
1
'*;
5
+
4х
5-Ух '
ЗІП
X — СОЗХ
зіп
X
+ созх
в) у = 1п (л/х + л/х + 1);
г) у = (зіпх)
1
"
5
*;
„5
8х"
б) ^ = ^/і + І8|х + -|;
в)
у>
= 2^
г)7 = х
,А2
;
^
47/х ;
б)
>>
= агсзіп-
2х
1+х"
а) у = 1о§
5
(х + л/х
2
+9):
д) х +7 +
7соз7
= 0;
е) у = е
а
є)
[* = е
2
',
уу =
е
д) х + 7 + е^агсІ§х = 0;
е) у
=
е
3
є)
х = соз
2/,
у = зіп Зі.
д) (х +
у)СО5Х
+ 5Іп(х.у) = 0 ;
е) у
=
[х
+
л/х
2
+1 ^ ;
Гх = (1 + С08/)'.
Є)
1 ,
[^ =(1-СОЗ/)Г.
д) зіп(х
+
у) = соз(х + у);
е) У = 1о§
7
х ;
є)
=1/',
>>
= /
3
+і
2
+1.
г) 7 = (х
2
+4Г;
450
Глава 9. Типові розрахункові завдання
29.
а) у =
5
1
6) у = агссоз
в) у = 1п-
7х"+1
'
2-х
сл/2
ТіТ^х
7
'
г) у =
(18*)";
30.
а) у =
х\А-х
4
;
ІпзіпЗх
б) у:
1п зіп X
д) агсїду = х + у;
е) у = 1п(5х + 9);
є)
х =
г
- зіп
г,
у = соз
д) Зу
2
х = е'
Л
;
х-3
Є) у:
•
+ 4
в) у = 1п (1 + созх);
г) у = х'
31.
а) у = х
2
-л7і + х ;
б) у = соз
4
(5х + 2);
в) у =
•
є)
X = соз І,
[у = зіп І.
8ІП(Х +3)
г) у = (зіпх)
1
^ ;
Задача 2. [глД £2, приклади 1-4]
Розв'язати вказані задачі.
Варіанти завдань
д) 5у х = соз(ху);
е) у = 1п(10х + 1);
\х = І + 8ІП?,
у = -С08Л
1.
Знайти точку на кривій у = 7 , дотична до якої паралельна
4
прямій у = 8х - 4 , і написати рівняння цієї дотичної'.