Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
§5.
Індивідуальне завдання 5.
451
2.
Знайти точку на кривій у = -Зх
2
+
Ах + 7, дотична в якій перпен-
дикулярна до прямої х - 20у + 5 = 0, і написати рівняння цієї дотичної.
3.
Написати рівняння дотичної до кривої у = хіпх , яка паралельна
прямій у -х -5 = 0.
А.
Написати рівняння нормалі до кривої у = х - —, яка паралельна
х
прямій 2у
+
х + 3 = 0 .
5.
Написати рівняння дотичної до кривої у = 2-4х , перпендику-
лярної прямій у + Ах - 4 - 0 .
6. Написати рівняння дотичної і нормалі до кривої у =
Х +
^
в точці
х -1
з абсцисою х
0
- -1 .
7.
Знайти точку на кривій у = Зх
2
- 4х
+
6, дотична в якій паралель-
на прямій 8х - у - 5 = 0 , і написати рівняння цієї дотичної.
8. Знайти точку на кривій у = 5х
2
- 4х +1, дотична в якій перпенди-
кулярна до прямої х
+
6у + \ 5 = 0 , і написати рівняння цієї дотичної.
X
і
9х
2
9. Знайти точки на кривій у = — —
+
20х -1, в яких дотична
паралельна осі Ох.
Зх
2
+1
10.
Написати рівняння дотичної
і
нормалі до кривої у = — в точці
х
2
+3
з абсцисою х
0
= 1.
11.
Написати рівняння дотичної до кривої у = хсокх, яка перпенди-
кулярна прямій х + у + 3 = 0.
1-х
2
12.
Написати рівняння нормалі до кривої у = е , яка перпендику-
лярна прямій 2х + у - 4 = 0.
13.
Написати рівняння дотичної і нормалі до кривої у = х1п(1 + х
2
) в
точці з абсцисою х
0
=1.
452
Глава 9. Типові розрахункові завдання
х
2
14.
Вияснити, в якій точці кривої у = їх
+
5 дотична паралельна
4
прямій у - 2х - 5 = 0, і написати рівняння цієї дотичної.
15.
Вияснити, в якій точці кривої у = їх
2
-5*+ 4 дотична перпенди-
кулярна прямій 23у + х -1 = 0, і написати рівняння цієї дотичної.
16.
Знайти точку на кривій у = -х
2
+ їх +16, дотична до якої пара-
лельна прямій у - Зх - 4 = 0, і написати рівняння цієї дотичної.
X
і
5х
2
17.
Вияснити, в яких точках кривої У
=
~^ + 7х + 4 дотична
складає з віссю Ох кут ф = —.
4
18.
Вияснити, в яких точках кривої у = 2л-
3
-1 дотична складає з віссю
Ох кут ф = —.
19.
Написати рівняння дотичної і нормалі до кривої у = зіп х
+
со$х в
точці з абсцисою х
0
= —.
4
20.
Написати рівняння дотичної до кривої у =
е
тз
*
, паралельної
прямій у
+
х
+
3 = 0.
21.
Написати рівняння дотичної
і
нормалі до кривої у = х
3
+
Л/Л
в точці
з абсцисою х
0
= -1 .
22.
Написати рівняння дотичної до кривої у =
1
—у, паралельної
х
прямій 2у + У2х + 7=0.
23.
В якій точці кривої у
2
= 4х
3
дотична перпендикулярна до прямої
х + 3у -1 = 0 ? Написати рівйяння цієї дотичної.
24.
Вияснити, в яких точках кривої у = зіп 2х дотична складає з віссю
Ох кут ф = —.
§5.
Індивідуальне завдання 5.
453
25.
Написати рівняння нормалі до кривої у = х -Гх ,перпендикуляр-
ної до прямої Ау - Зх
+
5 = 0 .
26.
Написати рівняння дотичної і нормалі до кривої у =
в точці
з абсцисою х
0
= 3 .
27.
Написати рівняння дотичної і нормалі до кривої у = Ух
2
-1 в точці
з абсцисою х
0
= 1.
28.
Написати рівняння дотичної до кривої у = х
3
- Зх
2
- 5 , яка пер-
пендикулярна прямій 2х - 6у +1 = 0 .
х
3
+1
29.
Написати рівняння дотичної і нормалі до кривої у = — в точці
х +4
з абсцисою х
0
= -1.
30.
Знайти кути, під якими перетинаються лінії, задані рівняннями
у = х
г
і х
2
+
2у
2
=3.
31.
На дузі параболи у = х
2
, що обмежена точками /1(1,1), 5(3,9),
знайти точку, дотична в якій паралельна хорді АВ .
Задача 3. [ гл.8, § 2, приклади 12 - 17]
Знайти границі, використовуючи правило Лопіталя.
Варіанти завдань
1.
а) Ііт
І£Х-Х
*->0
X -81ПХ
2.
а) Ііт —;
дг-» + оо X
і
б) Іітх
.ї->0
б) Ііт х
х-»0+0
4+Іпдг
. ,. х-агсзіп х ,. і—
а) ит ; б) нтх'~*
•"•->"
зіп х
Глава 9. Типові розрахункові завдання
.
. ,.
8іпх-зіпа
4.
а) Ііт :
х-т х-а
е
х
+ 8ІПХ-1
5.
а) Ііт
х->о 1п(1
+ х)
б)
ШпґЩ^Т
2
х->\
4 )
б) Ііт
(с1
8
х)
|/1пл
х->0+0
6. а) Ііт
7. а) Ііт
ІПЗІП Зх
8. а) Ііт
х->0+0
ІПЗІПХ
1п
1§7х
Х-^О+О1ПІ§2Х
'
б) Ііт
х->0І
•шґ'Г.
б) 1іт(с1
8
*Г
х
.
г->0
б)
Іітх
]/х
г-><х
9. а) Ііт
Х-81ПХ
х->0
З
'
б) 1іт(1§х)
2х-к
х-агсі£х
10.
а) Ііт г-^—
Ї^О х
3
11.
а) Ііт х
2
е
_дг
;
Х-> + со
б) Ііт х
х->0
\п(е
х
-1)
б) 1іт(мпх)
І8
\
х-»0
12.
а) Ііт-
х-»0
зіп
х
б) 1іт(агсзіпх)
(8
*
х->0
З'
-7
Л
13.
а) Нт-
14.
а) Ііт
х-»0
X
1п(1
+ х)
х-»о агсг^х
б) Ііт(е
х
+*)
|/
*.
х->0
б)
1іт(со8х)
2
к
х—>—
15.
а) Ііт
л->0Іп(1
+ х) '
б) Ііт
16.
а) Ііт
Іпх
б) 1іт(со82х)
х->0
3/х
2
§5.
Індивідуальне завдання 5.
455
е
3х
-Зх-\
17.
а) Ііт ;
5ІП
5х
18.
а) Ііт
1пх
лг-Ю+О
1
+
2ІП5ІПХ
б) Ііт (соз 5х)
д-->0
А/х
б) Ііт (Іпх)
19.
а) Ііт
е
2х
-\
х->0
5ІП
7х
б) Ііт(2-х)'
8 2
.
.V-»!
ОЛ
. .. 1-СОЗЯХ
20.
а) Ііт
дг-»0
1 -соз/Зх
21.
а) Ііт-^;
*->+0
ІП
8ІП X
б) Ііт А-*
4
.
Х->1
б) Іітх* .
д-->1
л-2агсг§х
22.
а) нт --—
X—»СС
£ '
—
1
0
-
. .. Іп(х-І)
23.
а) Ііт — ;
х->і+о
сг§лх
б) Ііт
х->0\^
X
б) Ііт (їв*)*»
2
*.
24.
а) Ііт
Іп(х-І)
х-И+0
ТС
18
Г
б) Ііт (соз—]
25.
а) Ііт
Іп(х-а)
26.
а) Ііт
х-^+0
]
п
(
е
* -
е
а
)
Іпх
г->+о
сІ§х
б) Ііт х
д-» + 0
6
1+2 Іпл
б) Ііт
(сЩ2хУ
пх
.
г->
+ 0
27.
а) Ііт-^-;
б) Ііт
Г
ЗІПХ^І-сохх
*-+<\
х )
Іпх
28.
а) Ііт
Х-> +
00
б) 1іт(е
2х
+ \)
]/х
.
х-*0
29.
а) Нт-
1 Х
•
І 81П ЛХ
б) 1іт(л-2х)
с
к
456
Глава 9. Типові розрахункові завдання
ЗО.
а) Ііт
ХС05Х-51ПХ
31.
а) Ііт
х->0
1§Х~Х
б) \іт(х
+
2
х
)
у
ДГ-+ОС
б) Нт
'х
2
+1>
Задача 4. [ гл.8, § 2, приклади 23-26]
Дослідити функції методами диференціального числення та побуду-
вати їх графіки.
Варіанти завдань
•> 2
І.а) у
=
х + —
2.
а) у,
З-
а) у
=
4.
а) у
=
5.
а) у:
6. а) у:
7.
а) у:
8. а) у
=
х^-4
6х
2
-х
4
;Г -2х + 2
х-1
х
2
+3'
Зх
4
+1
х
3
х
4
-3
х^-4
б) у = е
ч/ї
.
б) у = х-1п(х + 1).
б) у = 1п(х
2
+1).
б) у = (х + 1)е
2
\
б) у = (*-1)е
3
б) у:
Іпх
X
б) у = X е
б) у = хе
2
§5.
Індивідуальне завдання 5.
457
11.
а) у
12.
а) у
13.
а) у
14.
а) у
15.
а) у
16.
а) у
П. а) у
18.
а) у
19.
а) у
20.
а) у ••
21.
а) у-
22.
а) у:
23.
а) у:
24.
а) у
25.
а) у:
.2 '
2 '
3-х
4-2х
1-х
2 '
- + 4х"
= х +
-
х
+
2
х
3
-1
4 1
— +
х х
З 1
4 '
* х
= 24-
12
х
2
-4
(*
2
-і)
3
;
5л-
4-х
2 '
(х-1)
24-
X
2 '
(Х +
1)
лг
+ 2
л-
3
1-л-
3
2 '
б) у = х
3
е
-лг
б) у =
-
е'-І
б) у = л:
2
е-
х2/2
,
б) у = X + е * .
б) у =
е
1/х
+х.
„2х-х
2
б) у
=
е
б) у
2 Іпх
б)
V
= -^х
2
- ІПЛ
-
.
б) у = ХІПХ .
б) у
=
х
г
Іпх.
2
б) >>=
X
Іпх
І
б) у = е
2
~
х
.
б) у = е
,/х
.
б)
>>
= х
4
-2х
2
+3.
б) у = 2х
3
+Зх
2
-5.
458
Глава 9. Типові розрахункові завдання
4 +
х
26.
а)у
=
-^; б) у =
2*
3
+ 9х
2
+
12*.
*
27.а)у=^-;
б)
і>
=
-х
4
-2х
3
+-.
*
2
+1
4 4
28.а)у
= -^-; б) у =
-х
3
+~*
2
-1.
*-1
3 2
29.а)
у =
*+——;
б) у = 1+
2*
2
-*
4
.
Зх-1
ЗО.
а) у = *
+ —— -
б) у =
2-3*
3
+*
4
.
*
+
2
31.8)3»=-——;
б) у =
2*
3
-з*
2
+ і
*
(*-4)
Задача
5.
[гл.8,
§
2, приклад 27]
Знайти найменше
та
найбільше значення функції
на
відрізку [а,Ь].
Варіанти завдань
у=
х
2
+1^--16,
[1,4].
2.
>>=х-4л/х"
+ 5,
[0,4].
*
3.
>>
= 3-х і-у,
[-1,2].
4. у =
1п(х
2
-2х
+
2),
[0,3].
(х + 2)
2
5.
>>
=
х1пх, [-1,2].
6.
>>
=
х
3
е
1+1
, [-4,0].
1.у~~р~,
[0,5].
8
. у = АЦ-,
[-0,5;0].
х
2
+1 (*-1)
2
*
5
-8
9
-
У
=
——.
[-3,-1].
10. у
= х
5
-5*
4
+5х
3
+1, [-1,2].
*
11.
_у
=
(3-*)<Г*,
[0,5].
12. у =
108*-х
4
, [-1,4].
13.
у^-ІІу, [-4,2].
14. у
=
-
2
2
(
*
2+3)
,
[-5,1].
4 +
х
х
г
+2х + 5
§5
Індивідуальне завдання 5.
459
15.
7 =
4—8х-15,
[-2;-0,5]. 16. 7 = 8х +
-
4
--15,
[ОД2].
х х
.7.
,
=
4^112-.
,-3,3].
І..,--!^. [-«,.
х -2х +
5
х +2х + 2
19.
у =
2х
2
+ —-59, [2,4]. 20.7 = -^, [0,3].
х
1
+ х
2
21.у
= 4-х-~, [1,4]. 22. 7 = 3-х 1—, [-1,2].
х
2
(х + 2)
2
23.
7 = (х+2)е'-\ [-2,2]. 24. 7 = 1п(х
2
-2х+4), [-1;1,5].
х
3
Є
25.7
= — , [-1,1]- 26. 7 = Ух-х
3
, [-2,2].
х -х +
1
з
27.
7 = і-1і, [1,2]. 28. 7 = —[-2,2].
х 9-х
29.
7 = [1,3]. 30.7 = ^, [-3,-1].
х
31.
7 = х
2
~2х + -
2
—, [-1,3].
х-1
ГЛАВА 10. ДОВІДКОВИЙ МАТЕРІАЛ
§1.
Основні формули векторної алгебри
Таблиця 1.1
Величина
або співвідношення,
що визначаються
І
Сума векторів
Формула
а +Ь =(а
х
+
Ь
х
) і +(а
у
+Ь
у
) у
+
(а
2
+
Ь
г
) к
Добуток вектора на
число
аа
=
аа
х
і +аа
у
]
+
аа
г
к .
Скалярний добуток
векторів
(а,Ь) = аЬ =|а||6|со$ср
(а,Ь) = а
х
Ь
х
+а
у
Ь
у
+
а
2
Ь
2
.
Векторний добуток
векторів
і
І
к
[5,Ь] = а хЬ =
а
х
а
у
а
г
ь
х
Мішаний добуток
векторів
(а,Ь,с)-
Ь
х
Ь
у
Ь
2
ссе
ь
2
Подвійний векторний
добуток
а х(Ь х с) = Ь(а с)-с(а Ь);
(ахЬ)хс=Ь(ас)-а(Ьс).
Довжина вектора
|
а
| =
^(а ,а) =
+
а
2
+
а
2
.
Відстань між точками
М\(
х
і>У],
г
\) та
М
2
(х2,У2,г
2
)
р(М, ,М
2
) = л/(х
2
-
.х,)
2
+(У2 ~У\)
2
+ (*
2
- го
2
С05ф :
(о.Ь).
іаііїі'
Кут між векторами
С05ф
=
а
х
Ь
х
+
а
у
Ь
у
+
а
2
Ь
2
^а
2
х
+а
2
у
+а
2
^Ь
2
+Ь
2
+Ь
2