Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика у прикладах та задачах. Ч 1
Подождите немного. Документ загружается.
§
1.
Основні формули векторної алгебри
461
Продовження таблиці
1.1
1
2
Координати точки,
що
ділить відрізок
у
даному відношенні
А
Я
+
А
г~)
г
=
—
—;
1
+
А.
х
_х,+Хх
2
У\+^Уі
„_2,+А.2
2
1+А
' 1+А ' 1+А
Площа паралелограма,
побудованого
на
векторах
а та Ь
5
пар
=|5хЬ|.
Площа трикутника,
побудованого
на
векторах
а та А
Об'єм паралелепіпеда,
побудованого
на
векторах
а, Ь,с
Об'єм піраміди,
побудованої
на
векторах
а, Ь, с
У
тр
=
Х
-\(а,Ь,с)\.
Колінеарність двох
векторів
а\\Ь
<=>
ах/3=0;
-иГ
а
х
а
у
а
г
а\\Ь
<=> -і = -^-= і.
ь
х
ь
у
ь
2
Ортогональність двох
векторів
аІЬ
<=>
(д,/5)
= 0;
а
1Ь <=>
а
х
Ь
х
+ а
у
Ь
у
+ а
г
Ь
2
=0.
Компланарність трьох
векторів
(о,Ь,с)
=
0;
а
х
а
у
а
2
Ь
х
Ь
у
Ь
2
с
х
с
у
с
г
=
0.
462
Глава 10. Довідковий матеріал
§2.
Основні формули
аналітичної геометрії
Таблиця 2.1 - Пряма на площині
Вигляд рівняння
прямої /
Назва рівняння Пояснення
1.
А(х-х
0
) +
В(у-у
0
)
= 0
Рівняння
прямої,
що
проходить через
точку
М
0
(х
0
,>>о)
перпендикулярно до
вектора п
іі 11; п=(А,В),
М
0
еі
.
2.
Ах+Ву+С=0
Загальне рівняння
піі, п=(А,В)
3.
у
=
кх + Ь
Рівняння прямої 3
кутовим
коефіцієнтом
к = 1§а - кутовий кое-
Л
фіцієнт, а = (/ , Ох);
точка (0,Ь)є /.
4.
у-у
0
=к{х-х
0
)
Рівняння
прямої,
що
має кутовий
коефіцієнт к та
проходить через
задану точку
Мо(х
0
,у
0
)єІ,
л
к = Що., а =
(
/ , Ох).
5.
х
~
х
о _ У -
У о
т п
Канонічне рівняння
прямої
М
0
(
х
о,Уо)
е1
,
.? Ц
/; х =(т,п).
6.
|
х = х
0
+ ті;
1У = Уо + «?
•
Параметричні
рівняння прямої
5
\\1; з=(т,п), (еК.
7.
£ + £ = !
Рівняння прямої у
відрізках
Точки (а,0),(0,6) є/.
8.
х-х, _ у-у,
х
2
- х, у
2
- У\
Рівняння
прямої,
що проходить
через дві точки
М\(х
{
,у
х
)єІ,
М
2
(х
2
,
у
2
) є / .
9.
х сок а + у соз р - р
=
0
Нормальне
рівняння прямої
іі = (соза,созР), я ± /,
р = р(О,/)>0.
Відстань від точки Л/
0
(х
0
,у
0
) до прямої /
/:
Ах
+
Ву
+
С
=
0
р(М
0
,/) = -
А х'о +
В
уо + С
4А
2
+
В
2
1:
хсоза + усозр- р = 0
р(А/
0
,/)= х
0
со8а +уосозр-/? .
§2.
Основні формули аналітичної геометрії
463
Продовження таблиці 2.1
Кут між прямими /, та /
2
на площині
/] : у = к\х +
Ь\
Н '•
У
=
к
2
х
+ Ь2
к
7
-к\
*8Ф= , ,' •
1
+ Л
2
Л]
/,
: А
х
х
+
В
х
у
+
С\ =0
/
2
: А
2
х
+
В
2
у
+
С
2
= 0
С05ф=
(Й,
'
Я2)
-
, ^И2+у
2
Паралельність та перпендикулярність прямих /] та /
2
на площині
'і II /
2
1,11
2
/і : у
= +
^
/
2
: у
=
&
2
х + Ьі
*,*
2
=-1.
/,
: Л^ + ^у + С, =0
/
2
: Л
2
х +
5
2
у + С
2
=
0
Я]
х
п
2
- 0;
А
=
А
Л
2
Я
2
'
(й,,й
2
) = 0;
А
х
А
2
+В,В
2
=0.
,
. х-лг, у-у,
'!
•
—
-
•
• -
Щ "\
.
х-х
2
у-у
2
'2 •
т
2
п
2
?і
х
в
2
= 0;
т
І
=
^
т
2
п
2
(І,,5
2
) = 0;
/И]/я
2
+«]«
2
=
0.
Таблиця 2.2 - Площина у просторі
Вигляд рівняння
площини Я
Назва рівняння Пояснення
1.
А(х-х
0
)
+
В(у-у
0
) +
+С(2-2
0
)
=
0
Рівняння площини, що
проходить через точку
М
0
перпендикулярно
до вектора іі
^о(*о>>'о>
г
о)
є/
'>
п±Р, п=(А,В,С).
2.
Лх + Яу + С2 + £) = 0
Загальне рівняння
пІР, п=(А,В,С).
3.
X
у 2
—
+
—
+ - =
1
а 6 с
Рівняння площини у
відрізках
Точки
(а,0,0),
(0А0),(0,0,с)єР.
4.
у-З'і
г-2,
*2~*і
Гг-^і
2
:-
г
і
*з-*і
Уз~У\
г
з--і
=
0
Рівняння площини, що
проходить через задані
точки М
х
,М
2
,М
3
М
1
(хі,уі,г
1
)єР,
М
2
(х
2
,у
2
,г
2
)єР,
М
3
(х
3
,у
3
,2
3
)єР.
464
Глава 10. Довідковий матеріал
Продовження таблиці 2.2
5.
Р:
хсош
+
усо&$ +
+ 2С08у- р = 0
Нормальне рівняння
площини
п =(со8а,со$р,со8у),
п±Р,р = р(О,1)>0.
Відстань від точки
Мо(ло,у
0
,2
0
)
до площини Р
Р:Ах
+
Ву
+
С2
+
О
=
0
рт Р)
- Ах
0+
Ву
0+
С2
0+
О
Р:Ах
+
Ву
+
С2
+
О
=
0
Л
А
2
+ В
2
+ С
2
Р\
Л-С08СІ
+ УС05Р +
+
2со$у-р = 0
р( Мо, Р) =
|
*о сока + уо со$р +
2
0
созу - р |.
Кут між площинами Р
х
та Р
2
Р\
: А
х
х +
В
х
у
+
С\2
+
О
х
=0
Р
2
:
А
2
х
+
В
2
у
+
С
2
г
+
£>
2
= 0
гп
„
т
_ ("і Яг) _ Мг +В\В
2
+С,С
2
Р\
: А
х
х +
В
х
у
+
С\2
+
О
х
=0
Р
2
:
А
2
х
+
В
2
у
+
С
2
г
+
£>
2
= 0
• — і - • • і. і
1
Я
іП
Я
2І
^А
2
+В
2
+
С
2
уІА
2
+В
2
+СІ
Паралельнсть та перпендикулярність площин Р
х
та Р
2
Р,1Р
2
Р,
: А
]
х
+
В
і
у
+
С
]
2+О
х
=0
Р
2
:А
2
х+В
2
у
+
С
2
2
+
0
2
=0
щ х п
2
= 0;
^2 #2 С
2
(л,,Я
2
) = 0;
А\А
2
+В\В
2
+С\С
2
=0 .
Таблиця 2.3 - Пряма у просторі
Вигляд рівняння
прямої Ь .
Назва рівняння Пояснення
1.
ІЛіх
+
Віу
+
Сіг
+
Яі = 0,
[А
2
х +
В
2
у
+ С
2
2 +
£>
2
=
0.
Загальні рівняння
прямої
Пряма визначається
перетином двох
непаралельних площин
2.
•
х = Х(, + ті;
у = Уо+пі;
2 =
2
0
+рІ.
Параметричні
рівняння прямої
Точка А(х
0
,у
0
,2
0
)еЬ ,
$=(т,п,р),
ІеК.
3.
Х~Х
0
_ у-у
0
_ 2-2„
Канонічні рівняння
прямої
А(х
0
,у
0
,2
0
)єЬ,
5=(т,п,р).
3.
т п р
Канонічні рівняння
прямої
А(х
0
,у
0
,2
0
)єЬ,
5=(т,п,р).
4.
Х~Х
]
_ у-у
х
_ 7-2,
Рівняння прямої, що
проходить через дві
точки М] ,М
2
М^х^у^г^еЬ,
М
2
(х
2
,у
2
,г
2
)єЬ.
4.
*2-*і >"2-Л Ч-Ч
Рівняння прямої, що
проходить через дві
точки М] ,М
2
М^х^у^г^еЬ,
М
2
(х
2
,у
2
,г
2
)єЬ.
§2.
Основні формули аналітичної геометрії
465
Продовження таблиці
2.3
Відстань
від
ючки
А/о(
дг
(Ь.}'0>
г
о)
Д°
прямої
І
ь
.
х
~
х
\ _ У~У\
2
~
2
\
т
п р
р(А/
0)
І)=І^о
Х
-
?
І,
м
А{Х\,У|,21
) є І, І =(т,п,р) .
Кут
між
прямими
Ц та /,
2
Х-Х\ у-
У{
7-"|
і,.
пц
л, рі
РП
„
Т
_
(-
?
1^2)
_ "'1^2 +"1"2
І^1ІІ
5
2І
^т
2
+п
2
+р
2
^т
2
+п
2
+р
2
Кут
між
прямою
Ь та
площиною
2
£
.
х
~
х
\ _У~У\ _
2
~
2
і
/и п р
£>:
Ах
+
Ву +
Сі
+ £>
=
0
\Ат
+
Вп +
Ср\
51Пф =
—і
І — .
\/л
2
+ В
2
+С
2
у]т
2
+п
2
+ р
2
Відстань
між
двома мимобіжними прямими
.Г-ДГ,
_
V- V,
7-7,
т, л, /;,
^
.
х -
х
2
_
У
~
Уг
_
2
~~
;
2
"і
2
«2
=(лі,,Л|,р
1
),
1
2
= (т
2
,п
2
,р
2
)
•
Паралельність
та
перпендикулярність прямих
Ц та і
2
Ц
II
^2
£
.
Л
'-*і _ У-У\
:
~
2
\
т
\
"і Р]
,
Х-.Ї, у-у-, г-г
2
іо
• —
т
:
л
2
р
2
?і
х 5
2
= о;
_!"_]_
=
£і
=
Л.
т
2
п
2
р
2
(іі,ї
2
)
= о;
ЛІ|Л»2
+ ІЦПу
+
Р\р
2
=0
•
Паралельність
та
перпендикулярність прямої
Ь та
площини
£)
нг п р
<2
:
Ах
+
Ву + Сг
+
О
=
0
(ї,й)
= о;
Л
т + 5я
+ С;у
= 0 .
5 х л = 0;
А
В _С
т
п р
466
Глава 10. Довідковий матеріал
Таблиця 2.4 - Криві другого порядку
Назва кривої Канонічне рівняння
1.
Коло
2 2 2
х + у =г
2.
Еліпс
2 2
а
2
Ь
2
3.
Гіпербола
2 2
а
2
Ь
2
4.
Парабола
у
2
=2рх,
р>0
Таблиця 2.5 - Поверхні другого порядку
Назва поверхні
Канонічне рівняння
1.
Сфера
2 ~> ~> г,2
X
і
+у~ +2= /Г
2.
Еліпсоїд
X
2
У
2
2
2
,
а Ь с
3.
Гіперболоїди:
а) однопорожнинний
гіперболоїд
б) двопорожнинний
гіперболоїд
2 2 2
X
і
V 2^ ,
„
2
Ь
1
с
г
4.
Параболоїди:
а) еліптичний
параболоїд
2 2
— + -— = 2г, /?с/>0
Р Ч
б) гіперболічний
параболоїд
2 2
X V
— = 2г, рц> 0
Р Ч
5.
Циліндри
а) еліптичний
1 2
о
2
б
2
б) гіперболічний
?
У
2
1 V
Т-72"
в) параболічний
у
2
= 2 /?Х \/ 2
6.
Конічна поверхня
~> 2 2
Х~ V 2
— + ^-- = 0
Я 0 с
§3.
Матриці. Системи лінійних рівнянь
467
§3. Матриці. Системи лінійних рівнянь
Таблиця 3.1 - Різновиди матриць
Назва матриці Вигляд матриці
1
2
1.
Прямокутна,
розміру тхп
А =
Чі «12 ••• "і/
"21 «22 ••• «2п
к
а
т\
а
т2 •••
а
тп;
» (
й
у )т,я ' ^тхп
->
і..
Транспонована
по відношенню до
матриці А
А
Т
=
Чі «21 ••• «шГ
«12 «22 •••
а
т2
к
а
\п
а
2п •••
а
тп.
/
3.
Квадратна,
порядку п
А =
'
а
\\
а
\2 ••• а\
п
а
2\
а
22 ••• «2и
ч
я„і а„
2
... а„„
\
>
(«у
)/),/?
'
А
пхп
)
4.
Приєднана
до квадратної
матриці А
Ґ
А =
V
А
и
А\
2
... А
ь
,
л
А
2\
А
22 ••• А
1п
А
п]
А
п2
... А
пп/
Т
(
А
\\
А
2\ ••• 4,Г
А
п
А
22
... А„
2
у
А
\п
А
2п ••• Лт
у
5.
Обернена до
квадратної матриці А
Л-*=
1
А
дсіА
6. Нульова
0 =
'0 0 ••• 0'
0 0-0
^0 0 ••• 0
у
7.
Одинична
Е =
'
1
0 ••• 0"
0 1 ••• 0
и
о... \
{
8.
Діагональна
а
и
0 ••• 0 "1
0 а
22
••• 0
'0 = ^&(а\\,а
2
2,-,а„„)
0 0 •••а„„)
468
Глава 10. Довідковий матеріал
Продовження таблиці 3.1
9.
Верхня трикутна
(Т
А =
!«11 «12
0 |вт>
•• а~і
0
0 ...\а
п
10.
Нижня трикутна
А =
а
2
і
а,,і
11.
Трапеціевидна
1«П «12
«22
•• а
и
. а
ь
.
+]
••• а
[п
•• а
2г
«2/-+1 •" «2л
0
0
і
а
гг °ІТ + \
"о"
V
0 0
д,-,
* 0, при / =
1,
г
О О
12.
Блочна
А
=
(в
!
С
, В, С, Д
р~
матриці
13.
Квазидіагональна
А =
о] в ]р
у
о]о]с
,А,В,
С- матриці,
О
- нульова мазриця
14.
Квазитрикутна
А
: в і
с
1
і
О
! о !
р
Т
"Т
О
! 0 !
с
А=
0\й\Р ,А, В, С, О, Р, С - матриці,
О
- нульова матриця
§3.
Матриці. Системи лінійних рівнянь
469
Продовження таблиці 3.1
1 2
15.
Комплексна
С = А + В і, А, В- дійсні матриці
16.
Комплексно-
спряжена
до матриці С
С = А-Ві, А, В-дійсні матриці
17.
Спряжена
до матриці С
С*
=
С
Т
18.
Симетрична
А = А
Т
, а
іі
= а
у,
19.
Кососиметрична
А
=
-А
Т
, а^
=
-ар
20.
Ортогональна
АА
Т
=
А
Т
А
=
Е , А
Т
=
А~~
]
21.
Ермітова
А = А*, ау=а
м
22.
Косоермітова А = -А\ аіі=-а
л
23.
Унітарна
АА*
=
А*
А = Е,
А*=А'
1
24.
Клітина Жордана
т - го порядку з влас-
ним значенням X
С
т
(Х)=
'X 1 _о ••• о о
4
0 X 1 ••• 0 0
0 0 X ••• 0 0
24.
Клітина Жордана
т - го порядку з влас-
ним значенням X
С
т
(Х)=
0 0 0 ••• X 1
^0 0 0 ••• 0
X
/
25.
Матриця Жордана
С = (С
щ
(Х
{
),С„
12
(Х
2
),...,С
щ
(Х
к
)) =
(С
Щ
(Х
Х
) о ... о Л
0
С
п
,
2
(Х
2
)
... о
[0 0 ... С
щ
(Х
к
))
С
піі
(Хі) - клітини Жордана,
0 - нульова матриця
470
Глава 10. Довідковий матеріал
Таблиця 3.2
-
Різновиди систем лінійних рівнянь,
їх
сумісність
та
роз-
в'язки
Поняття
або співвідношення,
що визначаються
Формула
1
2
Загальна система
лінійних алгебраїчних
рівнянь
-
йі)Хі+
0)2*2+
"'
+а
\п
х
п
=
Ь\>
а
2\
х
\
+
«22*2
+ •••
+
а
2п
х
п
= Ь
2
;
Загальна система
лінійних алгебраїчних
рівнянь
-
а
т\
х
\
+
а
т2
х
2
+
""
+ а
тп
х
п = •
Основна матриця
системи
А
=
'
а
п
а
12
••• а
Хп
"|
«21
«22 ••• «2л
ч
«/л1
а
т2 '''
а
тп )
Матриця-стовпець
вільних членів
В
=
Матриця-стовпець
невідомих
X
=
(
г
Л
х
2
\
х
п
)
Матрична форма запису
системи
АХ
= В
Розширена матриця
системи
А
=
{А\В)=
«21
«22 ••• «2и
\
а
тІ
а
т2 "'
а
тп
ЬЛ
ь
2
Умова сумісності системи
К
&
А
= Я
8
А
Система
має
єдиний
розв'язок
Я&А
=
К£А=г
=
п
Система
має
безліч
розв'язків
К&А
=
К£А =г <п
Система несумісна
К%А*К§А