Тиманюк В.А., Животова Е.Н. Биофизика

Подождите немного. Документ загружается.

Ðåøåíèå. Ðàáîòà ìûøöû ðàâíà

APvt=

Íàãðóçêó P íàéäåì èç ôîðìóëû äëÿ ìîùíîñòè:

()NbPP=−



îòêóäà

bP N

−



Òîãäà

bP N

Avt

−



Ïîäñòàâèâ ÷èñëîâûå äàííûå (â åäèíèöàõ ÑÈ N

îáù

= 2,7•10

–3

Âò,

b = 23•10

–3

ì/ñ, v = 6•10

–3

ì/ñ), ïîëó÷àåì:

23 10 0,8 2,7 10

6 10 0,5 2, 0 10 Дж 2, 0 мДж.

23 10

−−

−

⋅⋅−⋅

=⋅⋅=⋅=

⋅

ÇÀÄÀ×È ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß

3.1. Êàêîâà áûëà áû òåìïåðàòóðà t

ìûøöû, åñëè áû îíà ðàáîòàëà êàê

òåïëîâàÿ ìàøèíà ñ ÊÏÄ η = 40 % ïðè òåìïåðàòóðå îêðóæàþùåé ñðåäû

= 20 °Ñ?

3.2. Â èçîòîíè÷åñêîì ðåæèìå ìûøöà ïîäíèìàåò ãðóç ìàññîé m = 100 ã

íà âûñîòó h = 20 ñì. Âû÷èñëèòå òåïëîïðîäóêöèþ Q ìûøöû, åñëè åå ÊÏÄ

η = 40 %.

3.3. Êàêîé ìàêñèìàëüíûé ãðóç ìîæåò ïîäíÿòü ìûøöà íà âûñîòó h = 1 ì

çà ñ÷åò ýíåðãèè Q = 1 êÄæ? ÊÏÄ ìûøöû η = 30 %.

3.4. Ïðè ñîêðàùåíèè ìûøöû çà âðåìÿ t = 0,3 ñ âûäåëèëîñü Q = 5,5 êÄæ

òåïëîòû. Âû÷èñëèòå ïîëåçíóþ ìîùíîñòü N

ïîë

, ðàçâèâàåìóþ ìûøöåé, åñëè

åå ÊÏÄ η = 45 %.

3.5. Ìàêñèìàëüíàÿ îáùàÿ ìîùíîñòü, ðàçâèâàåìàÿ ìûøöåé, ñîñòàâ-

ëÿåò N

îáù. max

= 10 Âò, à íàãðóçêà â èçîìåòðè÷åñêîì ðåæèìå ñîêðàùåíèÿ

= 300 Í. Âû÷èñëèòå îáùóþ ìîùíîñòü N

îáù

ìûøöû ïðè íàãðóçêå

â P = 180 Í.

3.6. Â ýêñïåðèìåíòàõ íà ïîðòíÿæíîé ìûøöå ëÿãóøêè áûëî îïðåäåëå-

íî, ÷òî íàãðóçêà â èçîìåòðè÷åñêîì ðåæèìå ñîêðàùåíèÿ ðàâíÿëàñü

= 0,65 Í, ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü ñîêðàùåíèÿ v

max

= 50 ìì/ñ, à ïðè

íàãðóçêå P = 0,3 Í ñêîðîñòü ñîêðàùåíèÿ ñîñòàâèëà v = 10 ìì/ñ. Âû÷èñ-

ëèòå çíà÷åíèå êîíñòàíò a è b äëÿ äàííîé ìûøöû.

ÂÎÏÐÎÑÛ ÒÅÑÒÎÂÎÃÎ ÊÎÍÒÐÎËß

3.1. Â ñîñòàâ òîíêèõ íèòåé ìûøå÷íîãî âîëîêíà âõîäÿò:

à) àêòèí è òðîïîíèí;

á) àêòèí, ìèîçèí è òðîïîìèîçèí;

Ïðàêòè÷åñêèå è òåñòîâûå çàäàíèÿ

â) ìèîçèí;

ã) àêòèí, òðîïîìèîçèí è òðîïîíèí;

ä) àêòèí è ìèîçèí.

3.2. Â ñîñòàâ òîëñòûõ íèòåé ìûøå÷íîãî âîëîêíà âõîäÿò:

à) àêòèí è òðîïîíèí;

á) àêòèí, ìèîçèí è òðîïîìèîçèí;

â) ìèîçèí;

ã) àêòèí, òðîïîìèîçèí è òðîïîíèí;

ä) àêòèí è ìèîçèí.

3.3. Ïðè èçîòîíè÷åñêîì ñîêðàùåíèè:

à) äëèíà âîëîêíà èçìåíÿåòñÿ, íàïðÿæåíèå ïîñòîÿííî;

á) íàïðÿæåíèå èçìåíÿåòñÿ, äëèíà âîëîêíà ïîñòîÿííà;

â) äëèíà è íàïðÿæåíèå íåèçìåííû;

ã) äëèíà è íàïðÿæåíèå èçìåíÿþòñÿ.

3.4. Ïðè èçîìåòðè÷åñêîì ñîêðàùåíèè:

à) äëèíà âîëîêíà èçìåíÿåòñÿ, íàïðÿæåíèå ïîñòîÿííî;

á) íàïðÿæåíèå èçìåíÿåòñÿ, äëèíà âîëîêíà ïîñòîÿííà;

â) äëèíà è íàïðÿæåíèå íåèçìåííû;

ã) äëèíà è íàïðÿæåíèå èçìåíÿþòñÿ.

3.5. Óðàâíåíèå Õèëëà èìååò ñëåäóþùèé âèä:

à)

0max

()()( )( )Pavb P abav b++=+= +;

á)

max

()

()()

()

Pba

Pavb

bv b

−

++=

−

;

â)

max

()

() ( )

()

Pa P ab

av b

+=+

−

;

ã)

max

()

()()

()

Pba

Pavb

bv b

++=

;

ä)

0max

()()Pavb P abav++=−= .

3.6. Îáùàÿ ìîùíîñòü



, ðàçâèâàåìàÿ ìûøöåé, ðàâíà:

à)

NaP

=−



;ã)

Nav



;

á)

NbP

=−



;ä)

()( )NPavbPP=+ = −



â)

общ 0

()NPavbPP=− = +

;

3.7. ÊÏÄ ìûøöû ðàâíî:

à)

η=



;ã)

η=



;

á)

η=



;ä)

η=



â)

η=



;

Ãëàâà 3. Áèîôèçèêà ìûøå÷íîãî ñîêðàùåíèÿ

Ãëàâà 4

ÌÎËÅÊÓËßÐÍÀß ÔÈÇÈÊÀ

È ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÀ

Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà èçó÷àåò ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà, ñòðîåíèå

è àãðåãàòíûå ñîñòîÿíèÿ âåùåñòâà íà îñíîâå ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè-

÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé. Ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ áûëè ñôîðìóëèðîâàíû

Ì. Â. Ëîìîíîñîâûì è çàêëþ÷àþòñÿ â ñëåäóþùåì: âåùåñòâî ñîñòî-

èò èç ÷àñòèö (àòîìîâ èëè ìîëåêóë); ÷àñòèöû íàõîäÿòñÿ â íåïðå-

ðûâíîì õàîòè÷åñêîì äâèæåíèè, èíòåíñèâíîñòü è õàðàêòåð êîòî-

ðîãî çàâèñÿò îò òåìïåðàòóðû è àãðåãàòíîãî ñîñòîÿíèÿ âåùåñòâà;

÷àñòèöû â çàâèñèìîñòè îò ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè âçàèìîäåéñò-

âóþò äðóã ñ äðóãîì ÷åðåç ñèëû ïðèòÿæåíèÿ èëè îòòàëêèâàíèÿ.

Òåðìîäèíàìèêà ðàññìàòðèâàåò ìàêðîñêîïè÷åñêèå ñèñòåìû áåç

ó÷åòà èõ ìîëåêóëÿðíîãî ñòðîåíèÿ, èçó÷àåò ïðîöåññû ïðåâðàùåíèÿ

ýíåðãèè è íàïðàâëåíèå òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Ïîíÿòèÿ

è çàêîíû òåðìîäèíàìèêè øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ â õèìè÷åñêèõ

è áèîëîãè÷åñêèõ äèñöèïëèíàõ, â îñîáåííîñòè â áèîõèìèè è ìîëå-

êóëÿðíîé áèîôèçèêå.

Â äàííîé ãëàâå òàêæå ðàññìàòðèâàþòñÿ ÿâëåíèÿ ïåðåíîñà, ïî-

íèìàíèå êîòîðûõ íåîáõîäèìî äëÿ èçó÷åíèÿ ïðîöåññîâ òðàíñïîðòà

âåùåñòâ ÷åðåç ìåìáðàíó è ìåõàíèçìîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ëåêàðñòâåí-

íûõ âåùåñòâ â îðãàíèçìå.

§ 4.1. ÎÑÍÎÂÛ ÌÎËÅÊÓËßÐÍÎ-ÊÈÍÅÒÈ×ÅÑÊÎÉ

ÒÅÎÐÈÈ ÃÀÇÎÂ

Âåùåñòâî ñîñòîèò èç îãðîìíîãî êîëè÷åñòâà ìèêðî÷àñòèö, ïðè-

íèìàþùèõ ó÷àñòèå â õàîòè÷åñêîì òåïëîâîì äâèæåíèè, õàðàêòåð

êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ àãðåãàòíûì ñîñòîÿíèåì. Èç èçâåñòíûõ àã-

ðåãàòíûõ ñîñòîÿíèé íèæå áóäóò ðàññìîòðåíû òðè ñîñòîÿíèÿ âåùå-

ñòâà: æèäêîå, ãàçîîáðàçíîå è òâåðäîå. Ïðîùå âñåãî íà÷èíàòü ðàñ-

ñìîòðåíèå ïðèëîæåíèé ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ê ãàçàì,

íàõîäÿùèìñÿ â óñëîâèÿõ, áëèçêèõ ê íîðìàëüíûì, òî åñòü òàêèõ,

êîòîðûå ñóùåñòâóþò âáëèçè ïîâåðõíîñòè çåìëè.

Ãàçîîáðàçíîå ñîñòîÿíèå, íåñìîòðÿ íà åãî âûñîêóþ ðàçðåæåí-

íîñòü ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè ñîñòîÿíèÿìè âåùåñòâà (ïðè íîð-

ìàëüíûõ óñëîâèÿõ âîçäóõ èìååò ïëîòíîñòü 1,29 êã/ì

), ïðåäñòàâ-

ëÿåò ñîáîé ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç îãðîìíîãî ÷èñëà ÷àñòèö. Òàê,

â îäíîì êóáè÷åñêîì ñàíòèìåòðå âîçäóõà ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâè-

ÿõ ñîäåðæèòñÿ 2,7•10

ìîëåêóë, ïðè ýòîì ñðåäíåå ðàññòîÿíèå ìåæäó

ìîëåêóëàìè ïðèìåðíî â 10 ðàç ïðåâûøàåò èõ äèàìåòð. Áîëüøîå

ðàññòîÿíèå ìåæäó ìîëåêóëàìè ãàçà ïî ñðàâíåíèþ ñ èõ ðàçìåðàìè

äàåò âîçìîæíîñòü ïðåíåáðå÷ü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé âçàèìîäåé-

ñòâèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè è ñ÷èòàòü, ÷òî âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ãàçà

îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ýíåðãèåé õàîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë.

Ãàçû, ïîä÷èíÿþùèåñÿ ýòèì óñëîâèÿì è íàõîäÿùèåñÿ â ðàâíîâåñ-

íîì ñîñòîÿíèè, íàçûâàþòñÿ èäåàëüíûìè.

Ðàâíîâåñíûì ñîñòîÿíèåì íàçûâàåòñÿ òàêîå ñîñòîÿíèå, ïðè êîòî-

ðîì â êàæäîì ýëåìåíòå îáúåìà ãàçà äàâëåíèå, òåìïåðàòóðà è äðóãèå

òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïàðàìåòðû îäèíàêîâû è íå èçìåíÿþòñÿ âî âðå-

ìåíè. Åñëè ãàç íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè, òî õàðàêòåð

õàîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ íå çàâèñèò îò ìåñòà, â êîòîðîì îíî ïðîèñ-

õîäèò, òî åñòü ïî õàðàêòåðó õàîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ íåâîçìîæíî îò-

ëè÷èòü îäíó îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà, çàíèìàåìîãî ãàçîì, îò äðóãîé.

Îäíèì èç ôóíäàìåíòàëüíûõ ïîíÿòèé ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêè è òåð-

ìîäèíàìèêè ÿâëÿåòñÿ òåìïåðàòóðà. Òåìïåðàòóðà àññîöèèðóåòñÿ ñ ïî-

íÿòèÿìè òåïëîòû è õîëîäà, êîòîðûå èìåþò ñóáúåêòèâíûé õàðàêòåð.

Ïåðåõîä îò ñóáúåêòèâíûõ îöåíîê òåïëîâûõ ãðàäàöèé ê îáúåêòèâíîìó

èçìåðåíèþ òåìïåðàòóðû ïðîèçîøåë ñðàâíèòåëüíî íåäàâíî. Ñîâðå-

ìåííàÿ øêàëà Öåëüñèÿ áûëà ïðåäëîæåíà â 1742 ã. Ñîãëàñíî ýòîé

øêàëå, òî÷êà çàìåðçàíèÿ âîäû ñîîòâåòñòâóåò 0 °Ñ, à òî÷êà êèïåíèÿ

âîäû — 100 °Ñ. Â íåêîòîðûõ ñòðàíàõ èñïîëüçóþòñÿ òåìïåðàòóðíûå

øêàëû Ôàðåíãåéòà è Ðåîìþðà

. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó øêàëàìè Ôà-

ðåíãåéòà è Öåëüñèÿ ñëåäóþùèå:

()

°= °−

°= °+

F32;

F32,

(4.1.1)

Ïî øêàëå Ôàðåíãåéòà òåìïåðàòóðà ñìåñè ñíåãà ñ íàøàòûðåì ñîîòâåòñòâóåò

0 °F, à òî÷êà êèïåíèÿ âîäû ïðè íîðìàëüíîì àòìîñôåðíîì äàâëåíèè — +212 °F.

Ïåðâîíà÷àëüíî â êà÷åñòâå âòîðîé ðåïåðíîé (ïîñòîÿííîé) òî÷êè áûëà âûáðàíà

òåìïåðàòóðà òåëà ÷åëîâåêà (+96 °F). Ïî øêàëå Ðåîìþðà 0 °R ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà

òàÿíèÿ ëüäà, à 80 °R — òî÷êà êèïåíèÿ âîäû.

Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

ãäå t °C — òåìïåðàòóðà ïî øêàëå Öåëüñèÿ; t °F — òåìïåðàòóðà ïî

øêàëå Ôàðåíãåéòà.

Äëÿ øêàë Öåëüñèÿ è Ðåîìþðà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíî-

øåíèÿ:

;

°= °

(4.1.2)

ãäå t °R — òåìïåðàòóðà ïî øêàëå Ðåîìþðà.

Âûáîð òåìïåðàòóðíûõ øêàë áûë äîâîëüíî ïðîèçâîëüíûì. Âïî-

ñëåäñòâèè îáíàðóæèëîñü, ÷òî, íåñìîòðÿ íà ðàâíîìåðíîñòü äåëåíèÿ

øêàëû ìåæäó òî÷êàìè êèïåíèÿ è çàìåðçàíèÿ âîäû íà 100 ÷àñòåé,

ãðàäóñ îêîëî 20 °Ñ îòëè÷àëñÿ îò ãðàäóñà âáëèçè 100 °Ñ â ñèëó íåëè-

íåéíîñòè êîýôôèöèåíòà òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ æèäêîñòåé, èñïîëü-

çóåìûõ â êà÷åñòâå ðàáî÷åãî âåùåñòâà òåðìîìåòðîâ. Èññëåäîâàíèÿ

ãàçîâ äàëè âîçìîæíîñòü èçãîòîâèòü òåðìîìåòð ñ áîëåå ðàâíîìåðíîé

øêàëîé, êîòîðûé ìîæåò ðàáîòàòü â î÷åíü øèðîêîì äèàïàçîíå òåì-

ïåðàòóð. Äåëî â òîì, ÷òî ãàçû ïåðåõîäÿò â æèäêîå ñîñòîÿíèå ïðè

î÷åíü íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ è ïðè ìàëûõ ïëîòíîñòÿõ â ðàçëè÷íûõ

òåìïåðàòóðíûõ äèàïàçîíàõ âåäóò ñåáÿ ïî÷òè îäèíàêîâî.

Ñîãëàñíî ç à ê î í ó Ã å é-Ë þ ñ ñ à ê à, îáúåì ãàçà ëèíåéíî çà-

âèñèò îò òåìïåðàòóðû ñëåäóþùèì îáðàçîì:

(1 )VV t

=+α

, (4.1.3)

ãäå t — òåìïåðàòóðà â °Ñ; α = 1/273,15 — êîýôôèöèåíò îáúåìíîãî

ðàñøèðåíèÿ;

V — îáúåì, çàíèìàåìûé ãàçîì ïðè òåìïåðàòóðå 0 °Ñ.

Òàêèì îáðàçîì, èçìåðÿÿ îáúåì ãàçà ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè,

ìîæíî óòî÷íèòü ãðàäóèðîâêó òåðìîìåòðîâ, â êîòîðûõ â êà÷åñòâå

ðàáî÷åãî âåùåñòâà èñïîëüçóþòñÿ æèäêîñòè.

Äðóãèì âàæíûì ñëåäñòâèåì çàêîíà Ãåé-Ëþññàêà ÿâëÿåòñÿ òî,

÷òî ïðè òåìïåðàòóðå t = –273,15 °Ñ âñå ãàçû, íåçàâèñèìî îò èõ

íà÷àëüíîãî îáúåìà V

, äîëæíû èìåòü îáúåìû, ðàâíûå íóëþ. Íà

îñíîâàíèè ýòîãî áûëà ââåäåíà íîâàÿ øêàëà òåìïåðàòóð, â êîòîðîé

íóëåì ÿâëÿåòñÿ òåìïåðàòóðà –273,15 °Ñ. Òàêàÿ øêàëà òåìïåðàòóð

íàçûâàåòñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîé, èëè èäåàëüíî-ãàçîâîé, è áûëà ïðåä-

ëîæåíà Óèëüÿìîì Êåëüâèíîì. Â êà÷åñòâå åäèíèöû èçìåðåíèÿ

â ýòîé øêàëå èñïîëüçóåòñÿ êåëüâèí (Ê). 1 Ê ïðàêòè÷åñêè èäåíòè-

÷åí 1 °Ñ. Ñîîòíîøåíèå ìåæäó øêàëàìè Öåëüñèÿ è òåðìîäèíàìè-

÷åñêîé ñëåäóþùåå:

273,15tT=− °

, (4.1.4)

ãäå t — òåìïåðàòóðà â ãðàäóñàõ Öåëüñèÿ; Ò — â êåëüâèíàõ.

§ 4.1. Îñíîâû ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ

Òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ øêàëà ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè òåìïåðàòóðå

0 Ê èëè –273,15 °Ñ îáúåì èäåàëüíîãî ãàçà äîëæåí ñòàòü ðàâíûì íóëþ,

íóëåâûì äîëæíî ñòàòü òàêæå è äàâëåíèå ãàçà p íà ñòåíêè ñîñóäà,

â êîòîðîì îí íàõîäèòñÿ, ïîñêîëüêó, ñîãëàñíî ç à ê î í ó Ø à ð ë ÿ,

(1 )pp t

=+α

, (4.1.5)

ãäå α — òîò æå ñàìûé êîýôôèöèåíò, êîòîðûé èñïîëüçóåòñÿ â çàêî-

íå Ãåé-Ëþññàêà, à p

— äàâëåíèå ïðè òåìïåðàòóðå 0 °Ñ.

Ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêàÿ òåîðèÿ óñòàíàâëèâàåò, ÷òî ýíåðãèÿ

õàîòè÷åñêîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë ïðîïîðöèîíàëüíà òåðìîäèíàìè-

÷åñêîé òåìïåðàòóðå, ÷òî ïîäòâåðæäàåòñÿ òàêæå öåëûì ðÿäîì ýêñ-

ïåðèìåíòîâ. Èç îïûòà ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ñðåäíèå êèíåòè÷åñêèå ýíåð-

ãèè ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë ðàçíûõ ãàçîâ, íàõîäÿùèõñÿ

ïðè îäèíàêîâîé òåìïåðàòóðå, ðàâíû ìåæäó ñîáîé, òî åñòü

22 2

11 2 2

22 2

mv mv mv

==…=

, (4.1.6)

ãäå

m — ìàññû ãàçîâ (i = 1, 2, …, n);

v — ñðåäíèå êâàäðàòû

ñêîðîñòåé ìîëåêóë ãàçà.

Ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóë. Ýíåðãèÿ êàæäîé ìîëåêóëû â ñàìîì

îáùåì ñëó÷àå ñêëàäûâàåòñÿ èç êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ïîñòóïàòåëü-

íîãî äâèæåíèÿ, êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ

è ýíåðãèè êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ, òî åñòü

mv I ω

ε= + + ε

∑

, (4.1.7)

ãäå m — ìàññà ìîëåêóëû; v — ñêîðîñòü ìîëåêóëû; I — ìîìåíò

èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ; ω — óãëîâàÿ ñêîðîñòü; ε

—

ýíåðãèÿ êîëåáàòåëüíîãî äâèæåíèÿ k-ãî íîðìàëüíîãî êîëåáàíèÿ

ìîëåêóëû.

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñðåäíåé ýíåðãèè ìîëåêóëû íåîáõîäèìî ââåñ-

òè ïîíÿòèå î ñòåïåíÿõ ñâîáîäû. ×èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû ìåõàíè-

÷åñêîé ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ êîëè÷åñòâî íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí, ñ ïî-

ìîùüþ êîòîðûõ ìîæåò áûòü çàäàíî ïîëîæåíèå ñèñòåìû.

Íàïðèìåð, îäíîàòîìíàÿ ìîëåêóëà, êîòîðóþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü

ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé, îáëàäàåò òðåìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, òàê êàê

åå ïîëîæåíèå â ïðîñòðàíñòâå öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ òðåìÿ êîîð-

äèíàòàìè (ðèñ. 4.1.1, à). Ïðè èçìåíåíèè êîîðäèíàò òî÷êà ñîâåð-

øàåò ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå, ïîýòîìó ýòè òðè ñòåïåíè ñâîáîäû

íàçûâàþòñÿ ïîñòóïàòåëüíûìè.

Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

Ìíîãîàòîìíàÿ ìîëåêóëà ìîæåò ñîâåðøàòü íå òîëüêî ïîñòóïà-

òåëüíîå, íî è âðàùàòåëüíîå è êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå. Âðàùà-

òåëüíîå äâèæåíèå ìîëåêóëû êàê öåëîãî îïðåäåëÿåòñÿ óãëàìè ïî-

âîðîòà âîêðóã òðåõ êîîðäèíàòíûõ îñåé (ðèñ. 4.1.1, â), ïîýòîìó òàêàÿ

ìîëåêóëà èìååò òðè âðàùàòåëüíûå ñòåïåíè ñâîáîäû. Àòîìû, ñìå-

ùàÿñü îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà, ñîâåðøàþò êîëåáàòåëüíîå äâèæå-

íèå. Ïîñêîëüêó êàæäûé àòîì, êàê ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà, îáëàäàåò

â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå òðåìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, òî ìîëåêó-

ëà èç Ê àòîìîâ â öåëîì èìååò 3Ê ñòåïåíåé ñâîáîäû. Èç íèõ òðè

ïðèõîäÿòñÿ íà ïîñòóïàòåëüíîå è òðè — íà âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå

æåñòêîé ìîëåêóëû, òàê ÷òî íà êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå îñòàåòñÿ

колеб

36nK

=−

(4.1.8)

ñòåïåíåé ñâîáîäû.

Äëÿ ëèíåéíûõ ìîëåêóë íà âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå ïðèõîäèòñÿ

òîëüêî äâå ñòåïåíè ñâîáîäû, òàê êàê èõ âðàùåíèå âîêðóã îäíîé èç

êîîðäèíàòíûõ îñåé íå èìååò ñìûñëà (ðèñ. 4.1.1, á). Äëÿ òàêèõ ìî-

ëåêóë ÷èñëî êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû ðàâíî

колеб

35nK

=−

. (4.1.9)

Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå âçàèìíîå ïåðåìåùåíèå àòîìîâ â ìîëå-

êóëå îòíîñèòåëüíî äðóã äðóãà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî ñóììîé F

íåçàâèñèìûõ êîëåáàíèé. Ýòî òàê íàçûâàåìûå íîðìàëüíûå êîëå-

áàíèÿ.

Îäíîàòîìíàÿ ìîëåêóëà îáëàäàåò òðåìÿ ïîñòóïàòåëüíûìè ñòå-

ïåíÿìè ñâîáîäû; äâóõàòîìíàÿ — òðåìÿ ïîñòóïàòåëüíûìè, äâóìÿ

âðàùàòåëüíûìè è îäíîé êîëåáàòåëüíîé ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Òðåõ-

àòîìíàÿ ìîëåêóëà, åñëè âñå àòîìû íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé, èìååò

ïî òðè ïîñòóïàòåëüíûõ, âðàùàòåëüíûõ è êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíè

ñâîáîäû.

Ðèñ. 4.1.1. Îïðåäåëåíèå ñòåïåíåé ñâîáîäû îäíîàòîìíûõ (à), äâóõàòîìíûõ (á)

è ìíîãîàòîìíûõ íåëèíåéíûõ (â) ìîëåêóë

§ 4.1. Îñíîâû ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ

Áîëüöìàí è Ìàêñâåëë äîêàçàëè ò å î ð å ì ó î ð à â í î ð à ñ-

ï ð å ä å ë å í è è ý í å ð ã è è ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû ìîëåêóë, ñî-

ãëàñíî êîòîðîé: åñëè îïèñûâàåìàÿ êëàññè÷åñêîé ñòàòèñòè÷åñêîé ìå-

õàíèêîé ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè ïðè òåðìîäèíàìè÷åñêîé

òåìïåðàòóðå Ò, òî íà êàæäóþ ñòåïåíü ñâîáîäû îäíîé ìîëåêóëû ïðè-

õîäèòñÿ â ñðåäíåì îäèíàêîâàÿ ýíåðãèÿ, ðàâíàÿ

kTε=

, (4.1.10)

ãäå k — ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà (k = 1,38•10

–23

Äæ/Ê).

Íåîáõîäèìî ó÷åñòü, ÷òî ïîñòóïàòåëüíîå è âðàùàòåëüíîå äâè-

æåíèå ìîëåêóëû ñâÿçàíî òîëüêî ñ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé ýòîé

ìîëåêóëû, à êîëåáàòåëüíîå — è ñ êèíåòè÷åñêîé, è ïîòåíöèàëüíîé,

ñðåäíèå âåëè÷èíû êîòîðûõ ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíûìè. Ïîýòîìó íà

êàæäóþ êîëåáàòåëüíóþ ñòåïåíü ñâîáîäû ïðèõîäèòñÿ âäâîå áîëü-

øàÿ ýíåðãèÿ, ðàâíàÿ kT.

Ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóëû ñîñòàâëÿåò:

kTε=

, (4.1.11)

ãäå

пост вр колеб

2in n n=++ — ñóììà ÷èñëà ïîñòóïàòåëüíûõ, âðàùà-

òåëüíûõ è óäâîåííîãî ÷èñëà êîëåáàòåëüíûõ ñòåïåíåé ñâîáîäû.

Äâóõàòîìíàÿ ìîëåêóëà, â çàâèñèìîñòè îò òåìïåðàòóðû, ìîæåò

èìåòü ñðåäíþþ ýíåðãèþ:

kTε=

èëè

ε=

Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî êîëåáàòåëüíûå è âðàùàòåëüíûå ñòåïåíè

ñâîáîäû âîçáóæäàþòñÿ â ðàçëè÷íîé ñòåïåíè ïðè ðàçíûõ òåìïåðà-

òóðàõ. Ïðè÷èíîé ýòîãî, â ñâîþ î÷åðåäü, ÿâëÿåòñÿ êâàíòîâûé õà-

ðàêòåð ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà ìîëåêóë.

Ýíåðãèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë ìîæåò ïðèíèìàòü

ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ, à êîëåáàòåëüíàÿ è âðàùàòåëüíàÿ ýíåðãèè

êâàíòîâàíû. Äëÿ òîãî ÷òîáû ìîëåêóëà ïåðåøëà ñ îäíîãî âðàùàòåëü-

íîãî (êîëåáàòåëüíîãî) óðîâíÿ ýíåðãèè íà äðóãîé âðàùàòåëüíûé (êî-

ëåáàòåëüíûé) óðîâåíü, îíà äîëæíà îáëàäàòü äîïîëíèòåëüíîé ýíåð-

ãèåé, ðàâíîé ðàçíîñòè ýòèõ óðîâíåé. Èíòåðâàëû ìåæäó äèñêðåòíûìè

êîëåáàòåëüíûìè óðîâíÿìè íà ïîðÿäîê áîëüøå, ÷åì èíòåðâàëû ìåæäó

äèñêðåòíûìè âðàùàòåëüíûìè óðîâíÿìè.

Òàêèì îáðàçîì, ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ ìîëåêóëû ãàçà â îñ-

íîâíîì èìåþò ýíåðãèþ, ñâÿçàííóþ ñ ïîñòóïàòåëüíûì äâèæåíèåì.

Ñ ðîñòîì òåìïåðàòóðû íà÷èíàþò âîçáóæäàòüñÿ âðàùàòåëüíûå, à çà-

òåì — êîëåáàòåëüíûå óðîâíè ýíåðãèè.

Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

Ñîãëàñíî ðèñ. 4.1.2, äëÿ âîäîðîäà ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ïðè

òåìïåðàòóðàõ äî 70 Ê ðàâíî 3 (ó÷àñòîê 1—1' ), îò 200 Ê äî 700 Ê

i = 5 (ó÷àñòîê 2—2' ), à ïðè òåìïåðàòóðå ñâûøå 2000 Ê i = 7 (ó÷àñ-

òîê 3—3' ). Â ïðîìåæóòêàõ ìåæäó ýòèìè òåìïåðàòóðàìè òåïëîåì-

êîñòü ðàñòåò ìîíîòîííî. Ïðè ýòîì ïîñòåïåííî âñå áîëüøå è áîëü-

øå ìîëåêóë âêëþ÷àåòñÿ ñíà÷àëà âî âðàùàòåëüíîå (ó÷àñòîê 1' —2),

à çàòåì â êîëåáàòåëüíîå (ó÷àñòîê 2' —3) äâèæåíèå.

Åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå çàêîí ðàâíîðàñïðåäåëåíèÿ ýíåðãèè

ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû, òî äëÿ ñðåäíåé ýíåðãèè ïîñòóïàòåëüíîãî

äâèæåíèÿ îäíîé ìîëåêóëû ìîæíî ïîëó÷èòü

пост

222

kTε= = =

, (4.1.12)

ãäå

v — ñðåäíèé êâàäðàò ñêîðîñòè (îáðàòèòå âíèìàíèå:

vv≠ ).

Ðàñïðåäåëåíèå Ìàêñâåëëà. Ìîëåêóëû ãàçà ó÷àñòâóþò â íåïðå-

ðûâíîì õàîòè÷åñêîì äâèæåíèè. Ñêîðîñòè ìîëåêóë íåîäèíàêîâû

è íåïðåðûâíî èçìåíÿþòñÿ ïðè ñòîëêíîâåíèÿõ. Ìàêñâåëë âûâåë çà-

êîí ðàñïðåäåëåíèÿ ìîëåêóë ïî ñêîðîñòÿì, ñîãëàñíî êîòîðîìó ïëîò-

íîñòü âåðîÿòíîñòè äëÿ ñêîðîñòè

222

xyz

vvvv=++

ðàâíà

Íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå î õàðàêòåðå âîçáóæäåíèÿ ñòåïåíåé

ñâîáîäû ñ ðîñòîì òåìïåðàòóðû äàåò ïðèâåäåííûé íà ðèñ. 4.1.2 ãðà-

ôèê òåìïåðàòóðíîé çàâèñèìîñòè ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòè âîäîðîäà.

Ðèñ. 4.1.2. Êðèâàÿ çàâèñèìîñòè ìîëÿðíîé òåïëîåìêîñòè âîäîðîäà îò òåìïåðàòóðû.

Òåïëîåìêîñòü äàåòñÿ â åäèíèöàõ R/2, ãäå R = 8,31 Äæ/(ìîëü•Ê)

§ 4.1. Îñíîâû ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ

3/2

() 4 exp

mmv

fv v

kT kT



=π −





, (4.1.13)

ãäå m — ìàññà ìîëåêóëû; T — òåìïåðàòóðà ãàçà.

Â îñíîâå ýòîãî çàêîíà ëåæèò íîðìàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ

ïðîåêöèé ñêîðîñòåé ìîëåêóë íà äåêàðòîâûå îñè êîîðäèíàò. Ãðà-

ôèê ôóíêöèè

()fv

ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 4.1.3.

Óìíîæèâ ôóíêöèþ (4.1.13) íà

, ïîëó÷àåì âåðîÿòíîñòü òîãî,

÷òî ìîäóëü ñêîðîñòè ïðîèçâîëüíîé ìîëåêóëû çàêëþ÷àåòñÿ â èí-

òåðâàëå îò v äî v + dv.

Ðèñ. 4.1.3. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìî-

ëåêóë ãàçà ïî ñêîðîñòÿì

Ðèñ. 4.1.4. Êðèâûå ðàñïðåäåëåíèÿ

ìîëåêóë îäíîãî è òîãî æå ãàçà ïî

ñêîðîñòÿì äëÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ òåì-

ïåðàòóð

Ôóíêöèè

()fv

äëÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ òåìïåðàòóð ïðåäñòàâëåíû

íà ðèñ. 4.1.4, ãäå ïîêàçàíî, ÷òî ñ ðîñòîì òåìïåðàòóðû ìàêñèìóì

êðèâîé ðàñïðåäåëåíèÿ óìåíüøàåòñÿ è ñìåùàåòñÿ â ñòîðîíó áîëü-

øèõ ñêîðîñòåé. Ïðè äàëüíåéøåì ðîñòå òåìïåðàòóðû áóäåò óâåëè-

÷èâàòüñÿ ðàçìûòèå êðèâîé è óìåíüøàòüñÿ ìàêñèìóì. Òàê êàê ïëî-

ùàäü ïîä êðèâîé

()fv

äîëæíà ðàâíÿòüñÿ åäèíèöå, òî

()d 1fv v

∞

∫

Ìàêñèìóìó ôóíêöèè

()fv

ñîîòâåòñòâóåò íàèáîëåå âåðîÿòíàÿ

ñêîðîñòü:

вер

2kT

, (4.1.14)

ãäå m — ìàññà îäíîé ìîëåêóëû ãàçà; k — ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà.

Óìíîæèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü âûðàæåíèÿ (4.1.14) íà ÷èñëî

Àâîãàäðî (N

= 6,023•10

ìîëü

–1

), ðàâíîå ÷èñëó ìîëåêóë, ñîäåðæà-

ùèõñÿ â îäíîì ìîëå âåùåñòâà. Ïðîèçâåäåíèå ÷èñëà Àâîãàäðî íà

ïîñòîÿííóþ Áîëüöìàíà äàåò êîíñòàíòó R, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ óíè-

âåðñàëüíîé ãàçîâîé ïîñòîÿííîé R = 8,31 Äæ/(ìîëü•Ê), òî åñòü

Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà