Тиманюк В.А., Животова Е.Н. Биофизика

Подождите немного. Документ загружается.

NRk

. (4.1.15)

Ïðîèçâåäåíèå ìàññû îäíîé ìîëåêóëû ãàçà íà ÷èñëî Àâîãàäðî

ðàâíî ìîëÿðíîé ìàññå ýòîãî ãàçà (

NmM

). Òîãäà âûðàæåíèå

(4.1.14) ñâîäèòñÿ ê áîëåå óäîáíîìó äëÿ âû÷èñëåíèÿ âèäó:

вер

2RT

. (4.1.16)

Àñèììåòðèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ìàêñâåëëà ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî

íàèáîëåå âåðîÿòíàÿ ñêîðîñòü íå ðàâíà ñðåäíåé àðèôìåòè÷åñêîé ñêî-

ðîñòè, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì:

()d

kT RT

vvfvv

∞

===

ππ

∫

. (4.1.17)

Ñðåäíþþ êâàäðàòè÷íóþ ñêîðîñòü ìîæíî íàéòè ñ ïîìîùüþ ñî-

îòíîøåíèÿ (4.1.12), èç êîòîðîãî ñëåäóåò

ср. кв

33kT RT

== =

. (4.1.18)

Äëÿ çíà÷åíèé íàèáîëåå âåðîÿòíîé, ñðåäíåé àðèôìåòè÷åñêîé

è ñðåäíåé êâàäðàòè÷íîé ñêîðîñòåé ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâî

вер ср. кв

vvv

(4.1.19)

è ñîîòíîøåíèå

вер ср. кв

: : 1, 41 : 1, 60 : 1, 73vvv

. (4.1.20)

Äëÿ ïðèáëèæåííîãî îïðåäåëåíèÿ ñðåäíåãî ÷èñëà ìîëåêóë, ñêî-

ðîñòè êîòîðûõ ëåæàò â îòíîñèòåëüíî íåáîëüøîì èíòåðâàëå ñêîðî-

ñòåé, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ î÷åâèäíûì ñîîòíîøåíèåì:

()

NNf vv





∆= −









. (4.1.21)

Â ýòîé ôîðìóëå ñêîðîñòè v

è v

îïðåäåëÿþò ãðàíèöû èíòåðâà-

ëà, âíóòðè êîòîðîãî ëåæàò ñêîðîñòè ìîëåêóë, ÷èñëî êîòîðûõ îïðå-

äåëÿåòñÿ.

Îñíîâíîå óðàâíåíèå êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ. Î÷åâèäíî, ÷òî

÷åì âûøå òåìïåðàòóðà ãàçà è ÷åì áîëüøå êîíöåíòðàöèÿ ìîëåêóë n,

§ 4.1. Îñíîâû ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ

òåì áîëüøå äàâëåíèå p ãàçà íà ñòåíêè ñîñóäà, êîòîðîå îïðåäåëÿåò-

ñÿ ñóììàðíûì èçìåíåíèåì èìïóëüñà ìîëåêóë, óäàðÿþùèõñÿ î ïî-

âåðõíîñòü ïëîùàäüþ 1 ì

â 1 ñ. Òàêèì îáðàçîì, äàâëåíèå ãàçà íà

ñòåíêè ñîñóäà ìîæíî îáúÿñíèòü óäàðàìè ìîëåêóë, ïðè÷åì äàâëå-

íèå ïðîïîðöèîíàëüíî ñðåäíåìó êâàäðàòó ñêîðîñòè:

pnmv

, (4.1.22)

ãäå ð — äàâëåíèå; /nNV

— êîíöåíòðàöèÿ, òî åñòü êîëè÷åñòâî

ìîëåêóë N ãàçà â åäèíèöå îáúåìà V, []n = ì

–3

; ò — ìàññà ìîëåêó-

ëû ãàçà;

v — ñðåäíèé êâàäðàò ñêîðîñòè.

Èç ñîîòíîøåíèé (4.1.22) è (4.1.12) ñëåäóåò îñíîâíîå óðàâíåíèå

êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ:

пост

=ε

, (4.1.23)

ãäå

пост

— ýíåðãèÿ ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë ãàçà, êîí-

öåíòðàöèÿ êîòîðûõ ðàâíà n.

Èç ñîîòíîøåíèÿ (4.1.23) ñëåäóåò, ÷òî, åñëè èìååòñÿ ñìåñü k

ãàçîâ ñ êîíöåíòðàöèÿìè

n ,

n , … ,

n , òî

[]

пост пост пост12

pn n n

=ε+ε++ε

òî åñòü

12 k

pp p p

=+++

K , (4.1.24)

÷òî ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå ç à ê î í à Ä à ë ü ò î í à: äàâëåíèå ñìå-

ñè ãàçîâ ðàâíî ñóììå ïàðöèàëüíûõ äàâëåíèé. Ïàðöèàëüíûì äàâëåíèåì

íàçûâàåòñÿ äàâëåíèå, ïðè êîòîðîì íàõîäèëñÿ áû ýòîò ãàç, åñëè èç

ñìåñè áûëè áû óäàëåíû âñå îñòàëüíûå ãàçû, à îáúåì è òåìïåðàòóðà

îñòàëèñü áû ïðåæíèìè.

Óðàâíåíèå Ìåíäåëååâà-Êëàïåéðîíà. Åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå,

÷òî

пост

ε=

, ñîîòíîøåíèå (4.1.23) ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó:

pnkT

. (4.1.25)

Óìíîæèâ îáå ÷àñòè ýòîãî óðàâíåíèÿ íà îáúåì ãàçà V, ïîëó÷àåì

ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:

pV VnkT NkT

ãäå N — ÷èñëî ìîëåêóë ãàçà â îáúåìå V.

Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

Óìíîæèâ è ðàçäåëèâ ïðàâóþ ÷àñòü ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ íà

÷èñëî Àâîãàäðî N

, è, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî

=ν

, (4.1.26)

ãäå ν — êîëè÷åñòâî âåùåñòâà â ìîëÿõ, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå

NpV kT

=ν

. (4.1.27)

Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (4.1.15), ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ ñîñòîÿ-

íèÿ èäåàëüíîãî ãàçà — óðàâíåíèå Ìåíäåëååâà—Êëàïåéðîíà:

pV RT

=ν

. (4.1.28)

Óðàâíåíèå Ìåíäåëååâà—Êëàïåéðîíà ñûãðàëî âàæíåéøóþ ðîëü

â ñòàíîâëåíèè è ðàçâèòèè ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè. Îíî

ÿâèëîñü ïðîòîòèïîì öåëîãî ðÿäà

áîëåå ñëîæíûõ óðàâíåíèé ñîñòî-

ÿíèÿ, ïðèìåíèìûõ ê ðåàëüíûì

ãàçàì.

Ðàñïðåäåëåíèå Áîëüöìàíà.

Ãàç, íàõîäÿùèéñÿ â ïîëå ñèë òÿ-

ãîòåíèÿ, îêàçûâàåò äàâëåíèå íà

íèæåëåæàùèå ñëîè, â ðåçóëüòà-

òå ÷åãî ïëîòíîñòü ãàçà è äàâëå-

íèå çàâèñÿò îò âûñîòû. Åñëè

òåìïåðàòóðà ãàçà âñþäó îäèíàêî-

âà (èçîòåðìè÷åñêèé ãàç), òî çà-

âèñèìîñòü äàâëåíèÿ ãàçà îò âû-

ñîòû äàåòñÿ áàðîìåòðè÷åñêîé

ôîðìóëîé

exp

Mgh



=−





, (4.1.29)

ãäå M — ìîëÿðíàÿ ìàññà ãàçà; g — óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè; R —

óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ; Ò — òåìïåðàòóðà; h — âûñîòà

íàä óðîâíåì ìîðÿ; p

— äàâëåíèå íàä óðîâíåì ìîðÿ (

). Ãðàôè-

êè ôóíêöèè (4.1.29) äëÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ òåìïåðàòóð ïðèâåäåíû íà

ðèñ. 4.1.5.

Åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå, ÷òî

pnkT

, à

Mgh mgh

RT kT kT

Ðèñ. 4.1.5. Ãðàôèêè ôóíêöèè (4.1.29)

(áàðîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìóëà) äëÿ äâóõ

ðàçëè÷íûõ òåìïåðàòóð

§ 4.1. Îñíîâû ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêîé òåîðèè ãàçîâ

ãäå m — ìàññà ìîëåêóëû ãàçà; k — ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà;

пот

Emgh

— ýíåðãèÿ ìîëåêóëû ãàçà â ïîëå ñèëû òÿæåñòè, òî ôîð-

ìóëà (4.1.29) ïðåîáðàçóåòñÿ â áîëåå îáùóþ ôîðìóëó (ðàñïðåäåëåíèå

Áîëüöìàíà):

пот

exp



=−





. (4.1.30)

Ñîîòíîøåíèå (4.1.30) ìîæíî îáîáùèòü, ñ÷èòàÿ åãî ñïðàâåäëè-

âûì äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñèëîâûõ ïîëåé.

§ 4.2. ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÈ.

ÏÅÐÂÛÉ ÇÀÊÎÍ ÒÅÐÌÎÄÈÍÀÌÈÊÈ

Òåðìîäèíàìèêà ÿâëÿåòñÿ ðàçäåëîì ôèçèêè, â êîòîðîì ðàññìàò-

ðèâàþòñÿ ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå âî Âñåëåííîé, ñ ñàìûõ îáùèõ

ïîçèöèé. Â òåðìîäèíàìèêå íå èñïîëüçóþòñÿ â ÿâíîì âèäå êàêèå-

ëèáî ôèçè÷åñêèå îáðàçû èëè ìîäåëè, à óñòàíàâëèâàþòñÿ ñîîòíî-

øåíèÿ ìåæäó òàêèìè âåëè÷èíàìè, êàê âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ, òåïëî,

ýíòðîïèÿ, ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ è äð. Òåðìîäèíàìèêà îïåðèðóåò òà-

êèìè ïîíÿòèÿìè, êàê òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, òåðìîäèíàìè-

÷åñêèå ïàðàìåòðû, òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïðîöåññ.

Òåðìîäèíàìèêà èçó÷àåò ìàêðîñêîïè÷åñêèå ïðîöåññû îáìåíà

è ïðåâðàùåíèÿ ýíåðãèè â ñèñòåìå áåç ó÷åòà ìèêðîñêîïè÷åñêîãî

ñòðîåíèÿ òåë, ñîñòàâëÿþùèõ äàííóþ ñèñòåìó. Ïðè ýòîì ðàçìåðû

ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåì è âðåìÿ èõ ñóùåñòâîâàíèÿ äîñòàòî÷íû

äëÿ ïðîâåäåíèÿ íîðìàëüíûõ ïðîöåññîâ èçìåðåíèÿ. Òàêîãî ðîäà

ñèñòåìû ñîñòîÿò èç áîëüøîãî ÷èñëà ìàòåðèàëüíûõ ÷àñòèö (íàïðè-

ìåð ìîëåêóë, àòîìîâ, ýëåêòðîíîâ è ò. ï.); ñèñòåìû ñ ìàëûì ÷èñëîì

÷àñòèö â òåðìîäèíàìèêå íå ðàññìàòðèâàþòñÿ.

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåðìîäèíàìèêè. Åñëè èçó÷àåòñÿ ÷àñòü ñèñòå-

ìû, òî îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü íàçûâàåòñÿ îêðóæàþùåé ñðåäîé. Îêðóæà-

þùóþ ñðåäó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òåðìîñòàò, êîòîðûé íàëà-

ãàåò íåêîòîðûå óñëîâèÿ íà èçó÷àåìóþ ÷àñòü ñèñòåìû (íàïðèìåð,

óñëîâèÿ ïîñòîÿíñòâà òåìïåðàòóðû, äàâëåíèÿ è ïð.).

Â òåðìîäèíàìèêå ðàçëè÷àþò òðè âèäà ñèñòåì: è ç î ë è ð î â à í-

í û å — íå îáìåíèâàþòñÿ ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé íè âåùåñòâîì, íè

ýíåðãèåé; ç à ê ð û ò û å — îáìåíèâàþòñÿ ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé

ýíåðãèåé, íî íå âåùåñòâîì; è î ò ê ð û ò û å — îáìåíèâàþòñÿ

ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé è âåùåñòâîì, è ýíåðãèåé. Èçîëèðîâàííûõ

ñèñòåì â ïðèðîäå íå ñóùåñòâóåò, òàê êàê íåâîçìîæíî èçãîòîâèòü

àáñîëþòíî òåïëîèçîëèðóþùóþ îáîëî÷êó. Òàêîâûìè ìîæíî ëèøü

Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

ñ íåêîòîðûì ïðèáëèæåíèåì ñ÷èòàòü äîñòàòî÷íî òåïëîèçîëèðîâàí-

íûå ñèñòåìû, íî òîëüêî â òå÷åíèå îïðåäåëåííîãî ïðîìåæóòêà âðå-

ìåíè.

Âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå ñîñòîÿíèå òåðìîäèíàìè÷åñêîé

ñèñòåìû (íàïðèìåð, äàâëåíèå p, óäåëüíûé è ìîëÿðíûé îáúåì V,

òåìïåðàòóðà T), íàçûâàþòñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè. Ñî-

âîêóïíîñòü âñåõ çíà÷åíèé òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, íåîá-

õîäèìûõ äëÿ îïèñàíèÿ ñèñòåìû, îïðåäåëÿåò òåðìîäèíàìè÷åñêîå

ñîñòîÿíèå. Âñÿêàÿ èçîëèðîâàííàÿ ñèñòåìà ñî âðåìåíåì ïðèõîäèò

ê ñîñòîÿíèþ òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ, â êîòîðîì ïðåêðàùà-

þòñÿ âñå íåîáðàòèìûå ïðîöåññû; òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïàðàìåòðû

íå èçìåíÿþòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, è îòñóòñòâóþò èõ ãðàäèåíòû.

Ôóíêöèåé ñîñòîÿíèÿ íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ôèçè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñ-

òèêà ñèñòåìû, èçìåíåíèå êîòîðîé ïðè ïåðåõîäå ñèñòåìû èç îäíî-

ãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ íà-

÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî ñîñòîÿíèé è íå çàâèñèò îò òîãî, êàêèì

îáðàçîì ñîâåðøàåòñÿ ýòîò ïåðåõîä. Ôóíêöèÿìè ñîñòîÿíèÿ ÿâëÿ-

þòñÿ âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ, ýíòàëüïèÿ, ýíòðîïèÿ, ñâîáîäíàÿ ýíåð-

ãèÿ Ãåëüìãîëüöà, òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë Ãèááñà, õèìè÷å-

ñêèé è ýëåêòðîõèìè÷åñêèé ïîòåíöèàëû.

Óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíîå ñîîòíîøå-

íèå ìåæäó òåðìîäèíàìè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè ñèñòåìû, íàõîäÿ-

ùåéñÿ â ðàâíîâåñèè.

Òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïðîöåññ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èçìåíåíèå ñî-

ñòîÿíèÿ ñèñòåìû. Åñëè íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå áûëî ðàâíîâåñíûì, òî

ïðîöåññ ìîæåò áûòü âûçâàí òîëüêî èçìåíåíèåì âíåøíèõ óñëîâèé.

Ðàâíîâåñíûé, èëè êâàçèñòàòè÷åñêèé òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïðîöåññ

ïðîèñõîäèò â òîì ñëó÷àå, åñëè âíåøíèå óñëîâèÿ èçìåíÿþòñÿ òàê

ìåäëåííî, ÷òî â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ñèñòåìó ìîæíî ñ÷èòàòü

ðàâíîâåñíîé. Ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ î á ð à ò è ì û ì, åñëè îí ìî-

æåò áûòü ïðîâåäåí â îáðàòíîì íàïðàâëåíèè, ïðè÷åì ñèñòåìà áóäåò

ïðîõîäèòü â îáðàòíîì ïîðÿäêå ÷åðåç òå æå ñîñòîÿíèÿ, ÷òî è ïðÿ-

ìîì ïðîöåññå; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ í å î á-

ð à ò è ì û ì. Îáðàòèìûå ïðîöåññû ÿâëÿþòñÿ êâàçèñòàòè÷åñêèìè,

íî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íå âñåãäà âåðíî. Íàïðèìåð, áåñêîíå÷íî

ìåäëåííîå ðàñøèðåíèå ãàçà â ïóñòîòó ÿâëÿåòñÿ êâàçèñòàòè÷åñêèì,

íî íåîáðàòèìûì ïðîöåññîì. Âñå ðåàëüíûå ïðîöåññû íåîáðàòèìû;

îáðàòèìûå ïðîöåññû ÿâëÿþòñÿ ôèçè÷åñêîé èäåàëèçàöèåé.

Òåðìîäèíàìè÷åñêèì êîíòàêòîì íàçûâàåòñÿ òàêàÿ ñâÿçü ìåæäó

ñèñòåìàìè, ïðè êîòîðîé âîçìîæåí õîòÿ áû îäèí èç ñëåäóþùèõ

òèïîâ âçàèìîäåéñòâèé.

1. Ìåõàíè÷åñêîå âçàèìîäåéñòâèå — âçàèìîäåéñòâèå, ïðè êîòî-

ðîì îäíà ñèñòåìà ñîâåðøàåò ðàáîòó íàä äðóãîé ñèñòåìîé ñ ïîìî-

ùüþ ìåõàíè÷åñêèõ, ýëåêòðîìàãíèòíûõ èëè èíûõ ñèë.

§ 4.2. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåðìîäèíàìèêè. Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè

2. Òåïëîâîå âçàèìîäåéñòâèå — âçàèìîäåéñòâèå, êîòîðîå ïðèâî-

äèò ê èçìåíåíèþ ýíåðãèè è ïðîèñõîäèò â ôîðìå ïåðåäà÷è òåïëîòû

ïîñðåäñòâîì òåïëîïðîâîäíîñòè èëè òåïëîâîé ðàäèàöèè.

3. Ìàòåðèàëüíîå âçàèìîäåéñòâèå — âçàèìîäåéñòâèå, êîòîðîå ïðè-

âîäèò ê îáìåíó âåùåñòâîì ìåæäó äâóìÿ ñèñòåìàìè, íàïðèìåð âçà-

èìîäåéñòâèå ÷åðåç ïîëóïðîíèöàåìóþ ìåìáðàíó èëè ïîâåðõíîñòü

òåëà ÷åëîâåêà.

Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè ÿâëÿåòñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ

ýíåðãèè. Îí ãëàñèò: òåïëîòà, ñîîáùåííàÿ ñèñòåìå, ðàñõîäóåòñÿ íà

ïðèðàùåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè ñèñòåìû è ñîâåðøåíèå ñèñòåìîé ðà-

áîòû íàä âíåøíèìè òåëàìè.

Ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàïèñü ïåðâîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè èìååò

ñëåäóþùèé âèä:

dQUAδ= +δ, (4.2.1)

ãäå

Qδ

, Aδ — ôóíêöèîíàëû (ìàëûå èçìåíåíèÿ) òåïëîòû è ðàáîòû;

— ïîëíûé äèôôåðåíöèàë âíóòðåííåé ýíåðãèè, ÿâëÿþùåéñÿ

ôóíêöèåé ñîñòîÿíèÿ. Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ â îáùåì ñëó÷àå ìîæåò

çàâèñåòü îò ìíîãèõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, íàïðèìåð:

(, , )UfpVT

; äëÿ èäåàëüíûõ ãàçîâ âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ çàâèñèò

òîëüêî îò òåìïåðàòóðû, òî åñòü ()UfT

. Ñèìâîëû δ óêàçûâàþò

íà òî, ÷òî òåïëîòà è ðàáîòà íå ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè ñîñòîÿíèÿ, òî

åñòü çàâèñÿò îò âèäà òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ïðîöåññà è íå ÿâëÿþòñÿ

â îáùåì ñëó÷àå ïîëíûìè äèôôåðåíöèàëàìè. Äðóãèìè ñëîâàìè,

â äàííîì òåðìîäèíàìè÷åñêîì ñî-

ñòîÿíèè ñèñòåìà îáëàäàåò îïðå-

äåëåííûì çíà÷åíèåì âíóòðåííåé

ýíåðãèè, â òî âðåìÿ êàê ðàáîòà

è òåïëîòà õàðàêòåðèçóþò ïåðåõîä

ìåæäó äâóìÿ ñîñòîÿíèÿìè.

Ðàáîòà ðàñøèðåíèÿ ãàçà. Âû-

÷èñëèì ðàáîòó, ñîâåðøàåìóþ ãà-

çîì ïðè èçìåíåíèè åãî îáúåìà.

Ïóñòü ãàç, íàõîäÿùèéñÿ ïîä ïîð-

øíåì (ðèñ. 4.2.1), èçîáàðè÷åñêè

(ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè) ðàñ-

øèðÿåòñÿ îò îáúåìà

V äî

V . Ãàç

äåéñòâóåò íà ïîðøåíü ñ ñèëîé

FpS

(ãäå p — äàâëåíèå, îêà-

çûâàåìîå ãàçîì íà ïîðøåíü ïëî-

ùàäüþ S) è ïåðåìåùàåò åãî íà ðàññòîÿíèå

ll l

∆= −

. Òîãäà ðàáî-

òà, ñîâåðøàåìàÿ ãàçîì ïî ïåðåìåùåíèþ ïîðøíÿ, ðàâíà

AFl pSl pV

=∆= ∆=∆

, (4.2.2)

ãäå

VSlVV

∆=∆= −

— èçìåíåíèå îáúåìà ãàçà.

D l

Ðèñ. 4.2.1. Ðàñøèðåíèå ãàçà, íàõîäÿ-

ùåãîñÿ â öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå ïîä

ïîðøíåì

Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

Â òîì ñëó÷àå, åñëè â ïðîöåññå ðàñøèðåíèÿ äàâëåíèå èçìåíÿåò-

ñÿ, ôîðìóëà (4.2.2) ñòàíîâèòñÿ íåïðèãîäíîé äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðàáî-

òû. Â ýòîì ñëó÷àå âûáèðàþò äîñòàòî÷íî ìàëîå èçìåíåíèå îáú-

åìà dV , êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå äàâëåíèÿ.

Òîãäà ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà ñîñòàâèò:

dApV

δ=

. (4.2.3)

Òàêèì îáðàçîì, ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ãàçîì, ïðè êîíå÷íîì èç-

ìåíåíèè îáúåìà íà

VVV

∆= −

ðàâíà ñóììå ýëåìåíòàðíûõ ðàáîò,

òî åñòü èíòåãðàëó â ïðåäåëàõ îò

V äî

V :

ApV

∫

. (4.2.4)

Ïðè ýòîì ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî ïðè ðàñøèðåíèè ãàçà

( 0V

∆>

) ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ãàçîì, ïîëîæèòåëüíà, à ïðè ñæàòèè

( 0V

∆<

) — îòðèöàòåëüíà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ðàáîòà âíåøíèõ ñèë

íàä ãàçîì ïðè åãî ðàñøèðåíèè îòðèöàòåëüíà, à ïðè ñæàòèè — ïî-

ëîæèòåëüíà.

Åñëè èçîáðàçèòü ïðîöåññ ðàñøèðåíèÿ (ñæàòèÿ) ãàçà â êîîðäè-

íàòàõ p, V (ðèñ. 4.2.2), òî èç ôîðìóëû (4.2.4) ñëåäóåò, ÷òî ðàáîòà

÷èñëåííî ðàâíà ïëîùàäè ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé îñüþ V, êðèâîé

p = f (V ) è ïðÿìûìè V

è V

àá

Ðèñ. 4.2.2. Ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ãàçîì, ïðè ðàçëè÷íûõ ñïîñîáàõ ïåðåõîäà èç ñîñ-

òîÿíèÿ À â ñîñòîÿíèå Â

Èç ãðàôèêîâ, ïðèâåäåííûõ íà ðèñ. 4.2.2, à è á, âèäíî, ÷òî âå-

ëè÷èíà ðàáîòû çàâèñèò îò òîãî, êàêèì îáðàçîì ñèñòåìà ïåðåõîäè-

ëà èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå. Ýòî èëëþñòðèðóåò òîò ôàêò, ÷òî

ðàáîòà íå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ñîñòîÿíèÿ.

Òåïëîåìêîñòü ãàçîâ. Òåïëîåìêîñòüþ òåëà íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà,

÷èñëåííî ðàâíàÿ êîëè÷åñòâó òåïëîòû, êîòîðîå íåîáõîäèìî ñîîá-

§ 4.2. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåðìîäèíàìèêè. Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè

ùèòü ýòîìó òåëó, ÷òîáû íàãðåòü åãî íà îäèí êåëüâèí. Åäèíèöåé

èçìåðåíèÿ òåïëîåìêîñòè ÿâëÿåòñÿ äæîóëü íà êåëüâèí (Äæ/Ê).

Íà ïðàêòèêå óäîáíåå ðàññìàòðèâàòü òåïëîåìêîñòü îäíîãî

ìîëÿ — ìîëÿðíóþ òåïëîåìêîñòü, []C

= Äæ/(ìîëü•Ê), èëè òåïëî-

åìêîñòü åäèíèöû ìàññû — óäåëüíóþ òåïëîåìêîñòü, []

C = Äæ/

(êã•Ê).

CCmC

==ν,

(4.2.5)

ãäå ν — êîëè÷åñòâî âåùåñòâà â ìîëÿõ; ò — ìàññà â êèëîãðàììàõ.

Òåïëîåìêîñòü ñèñòåìû çàâèñèò îò òîãî, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ

ïðîèñõîäèò òåïëîïåðåäà÷à.

Òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå

C ñîîòâåòñòâóåò íà-

ãðåâàíèþ òåðìîäèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå,

òî åñòü







. (4.2.6)

Ïîäñòàâèì â ôîðìóëó (4.2.6) âûðàæåíèå äëÿ ïåðâîãî çàêîíà

òåðìîäèíàìèêè (4.2.1) ñ ó÷åòîì óðàâíåíèÿ (4.2.3):

dd d d d

ddddd

VVVVV

QUpV UpV U

TTTTT

δ+

  

== =+ =

  

  

(4.2.7)

( d0V

ïðè V = const).

Èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè èäåàëüíîãî ãàçà çàâèñèò òîëü-

êî îò òåìïåðàòóðû. Ïîýòîìó ìîæíî çàïèñàòü, ÷òî

UC T

, (4.2.8)

èëè — ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ —

UCT

. (4.2.9)

Ìîëåêóëû èäåàëüíîãî ãàçà íå âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé

(òî åñòü ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ðàâíà íóëþ), ïî-

ýòîìó âíóòðåííþþ ýíåðãèþ èäåàëüíîãî ãàçà ìîæíî ïðåäñòàâèòü

êàê ïðîèçâåäåíèå ñðåäíåé ýíåðãèè îäíîé ìîëåêóëû

kTε=

[ñì.

(4.1.11)] íà ÷èñëî ìîëåêóë ãàçà

=ν

UN kT RT

=ε=ν =ν

. (4.2.10)

Ñðàâíåíèå ôîðìóë (4.2.10) è (4.2.9) äàåò, ÷òî

Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà

CR=ν

, (4.2.11)

òîãäà ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå ðàâíà

. (4.2.12)

Òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè

C ñîîòâåòñòâóåò íà-

ãðåâàíèþ ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè

dd d

pp p

QU V

TT T

 

==+

 

 

. (4.2.13)

Èç óðàâíåíèÿ Ìåíäåëååâà—Êëàïåéðîíà (4.1.28) ñëåäóåò, ÷òî

ïðè ïîñòîÿííîì îáúåìå ddpV RT

=ν

. Òîãäà ñ ó÷åòîì âûðàæåíèÿ

(4.2.8) ïîëó÷àåì:

CC R R

=+ν= ν

, (4.2.14)

èëè äëÿ îäíîãî ìîëÿ:

CCR

µµ

=+. (4.2.15)

Òàêèì îáðàçîì, ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì äàâ-

ëåíèè ðàâíà

. (4.2.16)

Ñîîòíîøåíèå (4.2.15) íàçûâàåòñÿ ñ î î ò í î ø å í è å ì Ì à é-

å ð à , êîòîðîå ðàñêðûâàåò ôèçè÷åñêèé ñìûñë óíèâåðñàëüíîé ãàçî-

âîé ïîñòîÿííîé: óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R ðàâíà ðàáî-

òå, ïðîèçâîäèìîé îäíèì ìîëåì èäåàëüíîãî ãàçà ïðè èçîáàðè÷åñêîì

ïðîöåññå, åñëè òåìïåðàòóðà ãàçà ïîâûøàåòñÿ íà îäèí Êåëüâèí.

Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ïåðâîãî çàêîíà òåðìîäèíàìèêè ê èäå-

àëüíûì ãàçàì.

Èçîáàðè÷åñêèé ïðîöåññ. Ïðè èçîáàðè÷åñêîì ïðîöåññå äàâëåíèå

ïîñòîÿííî, à ïåðåìåííûìè âåëè÷èíàìè ÿâëÿþòñÿ îáúåì V è òåì-

ïåðàòóðà Ò. Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (4.2.3) è (4.2.8), èç ïåðâîãî

çàêîíà òåðìîäèíàìèêè ïîëó÷àåì:

QC T pV

δ= +

. (4.2.17)

Èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè â ýòîì ïðîöåññå ðàâíî

§ 4.2. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåðìîäèíàìèêè. Ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè

100

UCT

∆= ∆

, (4.2.18)

à ñîâåðøàåìàÿ ðàáîòà, ïîñêîëüêó äàâëåíèå ïîñòîÿííî, ñîñòàâëÿåò

ApV

=∆

. (4.2.19)

Äëÿ èçîáàðè÷åñêîãî ïðîöåññà ìîæíî

çàïèñàòü, ÷òî

, èëè const

(óðàâíåíèå èçîáàðû, çàêîí Ãåé-

Ë þ ñ ñ à ê à). Ãðàôè÷åñêè ýòîò ïðîöåññ ëó÷-

øå âñåãî ïðåäñòàâèòü â êîîðäèíàòàõ V—T

(ðèñ. 4.2.3).

Èçîõîðè÷åñêèé ïðîöåññ. Åñëè îáúåì ãàçà

íå èçìåíÿåòñÿ ( constV

), òî ñ ïîâûøå-

íèåì òåìïåðàòóðû âîçðàñòàåò äàâëåíèå.

Ðàáîòà â ýòîì ñëó÷àå íå ïðîèçâîäèòñÿ, òî

åñòü

è, çíà÷èò,

QC T

δ=

. (4.2.20)

Äëÿ èçîõîðè÷åñêîãî ïðîöåññà

, èëè const

(óðàâ-

íåíèå èçîõîðû, çàêîí Øàðëÿ), è, ñëåäîâàòåëüíî, äàâëåíèå èçìå-

íÿåòñÿ ëèíåéíî ïðè èçìåíåíèè òåìïåðà-

òóðû (ðèñ. 4.2.4).

Èçîòåðìè÷åñêèé ïðîöåññ. Ïðîèñõîäèò

ïðè ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðå (

constT

à ïåðåìåííûìè âåëè÷èíàìè ÿâëÿþòñÿ

îáúåì V è äàâëåíèå p. Â èçîòåðìè÷åñêîì

ïðîöåññå äëÿ èäåàëüíîãî ãàçà âíóòðåííÿÿ

ýíåðãèÿ íå èçìåíÿåòñÿ:

d0U

ïîýòîìó âñÿ ïîãëîùåííàÿ òåïëîòà ðàñõî-

äóåòñÿ íà ñîâåðøåíèå ðàáîòû:

dQApV

δ=δ=

. (4.2.21)

Âûðàçèì äàâëåíèå èç óðàâíåíèÿ Ìåíäåëååâà—Êëàïåéðîíà

è ïîäñòàâèì åãî â ôîðìóëó (4.2.21):

Ðèñ. 4.2.3. Èçîáàðà â êî-

îðäèíàòàõ V, T

Ðèñ. 4.2.4. Èçîõîðà â êî-

îðäèíàòàõ p,T

Ãëàâà 4. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà è òåðìîäèíàìèêà