Вестник отделения строительных наук РААСН 2011 №15
Подождите немного. Документ загружается.
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ
АРХИТЕКТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ НАУ К
В Ы П У С К
ВЕСТНИК
ОТДЕЛЕНИЯ
СТРОИТЕЛЬНЫХ
НАУК
МОСКВА – ОРЕЛ – КУРСК
2011
15
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ
АРХИТЕКТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ НАУК
ВЕСТНИК
ОТДЕЛЕНИЯ
СТРОИТЕЛЬНЫХ
НАУК
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ
ВЫПУСК 15
МОСКВА – ОРЕЛ – КУРСК
2011
УДК 69
Редакционная коллегия
Баженов Ю.М.
–
доктор технических наук, профессор, академик РААСН
Бондаренко В.М.
–
доктор технических наук, профессор, академик РААСН
Ильичев В.А.
–
доктор технических наук, профессор, академик РААСН
Карпенко Н.И.
–
доктор технических наук, профессор, академик РААСН
Карпухина О.И.
–
ответственный секретарь
Колчунов В.И.
–
доктор технических наук, профессор, академик РААСН
(ответственный редактор)
Король Е.А.
–
доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН
Крылов Б.А.
–
доктор технических наук, профессор, академик РААСН
Магдеев У.Х.
–
доктор технических наук, профессор, академик РААСН
Ольков Я.И.
–
доктор технических наук, профессор, академик РААСН
Савин В.К.
–
доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН
Теличенко В.И.
–
доктор технических наук, профессор, академик РААСН
Травуш В.И.
–
доктор технических наук, профессор, академик РААСН
Федоров В.С.
–
доктор технических наук, профессор, член-корреспондент РААСН
Федосов С.В.
–
доктор технических наук, профессор, академик РААСН
Чернышов Е.М.
–
доктор технических наук, профессор, академик РААСН
Шубин И.Л.
–
кандидат технических наук, советник РААСН
Пятнадцатый выпуск «Вестника отделения строительных наук» подготовлен
совместно с Архитектурно-строительным институтом ФГОУ ВПО «Госуниверситет –
УНПК» и Юго-Западным государственным университетом. Издание включает науч-
ные статьи действительных членов, членов-корреспондентов и советников отделения
строительных наук РААСН, а также ученых и инженеров строительной отрасли.
Материалы публикуются в авторской редакции.
© Российская академия архитектуры и строительных наук, 2011
© ФГО УВПО «Госуниверситет – УНПК», 2011
ISBN 978-5-7681-0644-7
ГОУ ВПО «Юго-Западный государственный университет», 2011
© Коллектив авторов, 2011
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ АРХИТЕК ТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ НАУК
МОСКВА – ОРЕЛ – КУРСК, 2011
_________________________________________________________________________________________________________________
3
СОДЕРЖАНИЕ
I СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА.
СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ И ДОЛГОВЕЧНОСТЬ
Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалеева М.Л.
Операторная и вариационная
постановки краевой задачи о статическом расчете трехмерной конструкции с кусочно-
постоянными характеристиками по основному направлению в рамках дискретно-
континуального подхода........................................................................................................... 6
Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалеева М.Л.
Операторная и вариационная
постановки краевой задачи о статическом расчете балки стенки с кусочно-
постоянными характеристиками по основному направлению в рамках дискретно-
континуального подхода........................................................................................................... 12
Андросова Н.Б., Клюева Н.В., Колчунов В.И.
Некоторые предложения к нормированию
параметров живучести сооружений......................................................................................... 17
Баранов
а
Т.И.
Эксперементальное обоснование разрушения железобетонных балок
при отрыве нижнего пояса........................................................................................................ 26
Белов В.В., Трофимов В.И.
К вопросу определения напряженно-деформированного
состояния пластично-мерзлого грунтового основания.......................................................... 30
Бондаренко В.М., Василькова Н.Т., Ларионов Е.А.
К вопросу о релаксации
напряжений в теории железобетона......................................................................................... 34
Борисов Е.К., Сафо
нов Е.С., Лысак Л.Г.
Исследование динамики объекта малой
этажности от ветровой нагрузки.............................................................................................. 46
Булгаков А.Г., Субботин А.И.
Информационные технологии в экспериментальных
исследованиях напряженно-деформированного состояния оснований на моделях
фундаментов............................................................................................................................... 52
Булгаков А.Г., Субботин А.И.
Эксперементальные исследования краевой зоны
оснвания протяженных в плане фундаментов........................................................................ 57
Гордон В.А., Кравцова Э.А.
Влияние прогрессирующего расслоения на напряженное
состояние составного стержня..................................................................................................
60
Грудев И.Д.
Анализ напряжений в балке двутаврового сечения в условиях поперечного
изгиба.......................................................................................................................................... 65
Егорычев О.О.
Собственные поперечные колебания предварительно напряженной
пластины упруго-закрепленной по одному краю и жестко закрепленной по другому...... 72
Зайцев
Ю.В., Карцев Н.В.
Моделирование процесса разрушения бетона в условиях
многоосного сжатия................................................................................................................... 76
Звер
я
ев Е.М., Макаров Г.И.
Новое решение задачи о продольном ударе сосредоточенной
силой по стержню...................................................................................................................... 81
Зылев В.Б.
Теоремы взаимности для динамики систем с демпфированием...................... 86
Ивановский В.С., Кравченко И.Н.
Модель определения напряженно-
деформированного состояния поверхностных слоев деталей сложных технических
систем с использованием метода конечных элементов......................................................... 93
Коробко А.В., Абашин Е.Г., Юров А.П.
Определение модуля упругости бетона
в железобетонных балках вибрационным методом................................................................
100
Коробко
B.И., Черняев А.А.
Определение основной частоты колебаний ромбических
пластинок с комбинированными граничными условиями с использованием отношения
конформных радиусов............................................................................................................... 104
Клюева Н.В., Шувалов К.А.
Диаграммы деформирования нагруженных бетонных
элементов при их динамическом догружении........................................................................ 108
Крылов С.Б.
Решение интегральных уравнений в задачах строительной механики........ 114
Леденев В.В., Чуканов М.А., Чуксин В.С.
Эксперементальные определения функций
влияния горизонтальных напряжений в грунте...................................................................... 117
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ АРХИТЕК ТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ НАУК
МОСКВА – ОРЕЛ – КУРСК, 2011
4
_________________________________________________________________________________________________________________
Любимов В.С.
Пути повышения точности расчета строительных конструкций при
динамическом воздействии....................................................................................................... 121
Мурашкин Г.В., Мурашкин В.Г., Пятница А.И.,
Панфилов Д.А.
Учет особенностей
железобетона при расчетах на исключение прогрессирующего разрушения..................... 127
Петров В.В.
Инкрементальные уравнения гибких пологих оболочек из нелинейно
деформируемого материала в агрессивной среде................................................................... 131
Ремнев В.В., Кришан А.Л.
Основные положения новой методики расчета прочности
трубобетонных колонн.............................................................................................................. 137
Самсоненко Г.И., Трещев А.А.
Термоупругий изгиб круглых пластин средней
толщины, выполненных из анизотропных разносопротивляющихся материалов.............. 141
Тамразян А.Г.
Особенности реологического моделирования для расчета конструкций
из высокопрочных бетонов....................................................................................................... 145
Трещев А.А., Ромашин Д.А.
Определяющие соотношения для ортотропных
нелинейно-упругих разносопротивляющихся материалов....................................................
151
Федоров В.С., Левитский В.Е., Граминовский Н.А.
Анализ диаграмм «момент-
кривизна» неравномерно нагретого железобетонного элемента, полученных из расчета
по деформационной модели......................................................................................................
154
Федоров В.С., Меднов А.Е., Меднов Е.А.
К расчету динамических догружений
в неразразных балках................................................................................................................. 162
II СТРОИТЕЛЬНЫЕ МАТЕРИАЛЫ.
СТРОИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Акчурин Т.К., Груздев А.А.
Исследование свойств цементных материалов, наполненых
минерально-абразивными шламами........................................................................................ 167
Акчурин. Т.К., Крутилин А.А.
Поризация керамической массы на основе глинистого
сырья Волгоградской области отходами металлообработки................................................. 171
Белов В.В., Смирнов М.А.
Теоретические основы методики оптимизации
гранулометрического состава композиций для изготовления безобжиговых строительных
конгломератов............................................................................................................................ 175
Бобрышев А.А., Лахно А.В., Зубарев П.А., Кувшинов П.И., Бобрышев А.А.,
Туманова Н.Н. Перспективность модификации эпоксиполиуретанов кремнийорганическими
соединениями............................................................................................................................. 180
Воробьев В.А., Илюхин А.В., Бокарев Е.И.
Кластерные структуры и теория перколяции
в компьютерном материаловедении строительных композиционных материалов............ 185
Дамдинова Д.Р., Хардаев П.К., Павлов В.Е., Алексеева Э.М.
Повышение эффективности
пеностекол.................................................................................................................................. 190
Илюхин А.В.
Расчет состава радиопоглащающих бетонов на основе компьютерного
материаловедения строительных композиционных материалов.......................................... 195
Леснов В.В., Ерофеев В.Т.
Прочностные свойства дисперсно-армированных клеевых
и матричных составов на смоле ПКП-52................................................................................. 198
Прокопец В.С.
Порошки стоительного назначения механоактивационного способа
получения....................................................................................................................................
203
Селяев В.П., Уткина В.Н., Селяев П.В., Коровина О.Ю., Кечуткина Е.Л.
Временная
зависимость прочности композиционных материалов при совместном действии
агрессивных сред и температуры............................................................................................. 206
Федосов С.В., Ибрагимов А.М., Смирнов А.Ю.
Влияние высокотемпературных
воздействий при пожаре на конструкции из силикатного кирпича...................................... 211
Фе
д
осов С.В., Румянцева В.Е., Касьяненко Н.С., Хрунов В.А.
Массоперенос в
системе «бетон – агрессивная жидкая фаза», осложненный химической реакцией на
границе раздела.......................................................................................................................... 216
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ АРХИТЕК ТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ НАУК
МОСКВА – ОРЕЛ – КУРСК, 2011
_________________________________________________________________________________________________________________
5
Черкасов В.Д., Бузлуков В.И., Киселев Е.В., Емельянов А.И., Давыдов Д.Е.,
Черкасов Д.В. Эффективная добавка в цементные композиты на основе диатомита....... 220
Черн
ышев Е.М.
Структурная неоднородность строительных композитов: вопросы
материаловедческого обобщения и развития теории............................................................. 223
Ярмаковский В.Н., Кондращенко В.Н., Гребенников Д.А., Семак А.В.
Совершенствование
ротационной технологии уплотнения легкобетонных смесей.............................................. 240
III СТРОИТЕЛЬНАЯ ФИЗИКА.
ИНЖЕНЕРНЫЕ СИСТЕМЫ
Иванов В.Г., Эргашев Ш.Ш.
Разработка новых технических устройств для очистки
сточных вод от предприятий железнодорожного транспорта............................................... 246
Кобелев Н.С., Крыгина А.М., Котенко Э.В.
Вопросы энергоэффективности зданий
существующего жилого фонда................................................................................................. 251
Король Е.А., Хлыстунов М.С.
Явление космогенной эволюции интенсивности
глобальных колебаний максимальных и среднесуточных температур на урбанизированных
территориях................................................................................................................................ 257
Маркин В.В., Чистович С.А.
Основные подходы к повышению энергоэффективности
использования органического топлива в регионе...................................................................
267
Табунщиков Ю.А.
Пассивные здания – развитие прспективных направлений в
энергоснабжении........................................................................................................................ 275
Чистович С.А.
Энергоэффективная и безопасная среда жизнедеятельности....................
280
IV ОБЩИЕ ВОПРОСЫ СТРОИТЕЛЬСТВА
Аверьянов В.К., Кочнев А.П., Михайлов А.Г., Тютюнников А.И., Мележик А.А.
Рейтинговая система комплексной оценки энергоэффективности, экологической
и санитарно-эпидемиологической безопасности зданий....................................................... 287
Богомолов А.Н., Пиян С.И., Соловьев А.В.
Определение рациональных параметров
многоярусных грунтовых отвалов........................................................................................... 297
Галу
стов
К.З
. Перспективы инновационных типов АЭС (АЭС средней мощности)........
302
Евсеев Л.Д.
, Суздальцева Т.В., Негода Л.Л.
Плесневый гриб
–
основной вр
аг
строительных конструкций.................
...............................................................................
.......
309
Пупырев Е.И
Принципы построения городских инженерных заводов для переработки
отходов........................................................................................................................................ 314
Резниченко В.С., Ленинцев Н.Н., Беспалов В.Н., Бель О.В.
Организационно-
экономические проблемы оптимизации стоимости строительной продукции................... 319
Семенов В.Н.
Организация энергоснабжения в жилищно-коммунальном комплексе –
важнейжий фактор устойчивого развития муниципального образования на современном
этапе............................................................................................................................................ 324
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ АРХИТЕК ТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ НАУК
МОСКВА – ОРЕЛ – КУРСК, 2011
6
_________________________________________________________________________________________________________________
УДК 624.04, 539.3
АКИМОВ П.А., СИДОРОВ В.Н., МОЗГАЛЕВА М.Л.
(Московский государственный строительный университет, г. Москва)
ОПЕРАТОРНАЯ И ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКИ
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ О СТАТИЧЕСКОМ РАСЧЕТЕ ТРЕХМЕРНОЙ
КОНСТРУКЦИИ С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМИ
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ПО ОСНОВНОМУ НАПРАВЛЕНИЮ
В РАМКАХ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОГО ПОДХОДА
Введение. В статье рассматриваются операторная и вариационная постановки краевой
задачи о статическом расчете трехмерной конструкции в рамках дискретно-континуального
подхода. Здесь допускается переменность физико-геометрических параметров объекта по
основному направлению, в частности, исследуется случай их кусочного постоянства. В каче-
стве расчетной модели конструкции принята трехмерная задача теории упругости.
1. Некоторые предварительные обозначения. Введем обозначения:
3
x – перемен-
ная, соответствующая основному направлению (т.е. направлению, вдоль которого физико-
геометрические характеристики конструкции изменяются кусочно-постоянно (заметим, что
по переменным
1
x
и
2
x
эти характеристики могут изменяться произвольно));
Ω
S
– область,
занимаемая «поперечным» по отношению к основному направлению сечением конструкции
(постоянно вдоль
3
x );
3
l – длина конструкции по основному направлению ( ] ,0[
33
lx ∈ );
k
b
k
nkx ..., 1,= ,
,3
– координаты сечений, в которых задаются граничные условия (в частно-
сти, координаты сечений, где происходит «скачкообразное» (разрывы первого рода) измене-
ние характеристик конструкции); 1 ..., 1,= , −Ω
kk
nk – соответствующие фрагменты, на ко-
торые разделяется конструкция:
k
b
k
b
kk
nkxxxSxxxxx ..., 1,= ,} ,),( :),,( {
1,33,321321 +Ω
<<∈=Ω
, (1)
1 ..., 1,= , −Ω∂=
kkk
nkГ – границы фрагментов; ),,(
321
xxx
kk
θθ
= – характеристическая
функция области
k
Ω ;
),,(
321,,
xxx
kГkГ
δδ
=
– дельта-функция границы
k
Г [1]:
Ω∉
Ω∈
=
;),,( 0,
),,( 1,
),,(
321
321
321
k
k
k
xxx
xxx
xxx
θ
;
kkkГ
nxxx ∂∂= /),,(
321,
θδ
, (2)
T
kkkk
nnnn ] [
,3,2,1
=
– вектор составляющих нормали к границе
k
Г ; 1 ..., 1,= , −
kk
nk
ω
–
расширенные области, окаймляющие соответствующие фрагменты, например,
} , , :),,( {
1,33,321321
b
k
b
kk
xxxxxxxx
+
<<+∞<<∞−+∞<<∞−=
ω
, (3)
k
L – оператор задачи в расширенной области
k
ω
относительно перемещений на интервале
),(
1,3,3
b
k
b
k
xx
+
(ниже обозначено
3 ,2 ,1 ,/ ,/ =∂−∂=∂∂∂=∂
∗
sxx
ssss
):
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂
+
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂
+
∂∂=
∑
=
3
*
32
*
31
*
3
3
*
22
*
21
*
2
3
*
12
*
11
*
1
3
*
33
*
23
*
1
2
*
32
*
22
*
1
1
*
31
*
21
*
1
3
1
*
1 0 0
0 1 0
0 0 1
kkk
kkk
kkk
kkk
kkk
kkk
j
jkjk
L
λλλ
λλλ
λλλ
µµµ
µµµ
µµµ
µ
, (4)
k
λ
и
k
µ
– параметры Ламе, определенные на
kk
Ω⊃
ω
, и равны нулю вне
k
Ω , т.е.:
kkk
λ
θ
λ
=
;
kkk
µ
θ
µ
=
, (5)
I СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА.
СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ И ДОЛГОВЕЧНОСТЬ
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ АРХИТЕК ТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ НАУК
МОСКВА – ОРЕЛ – КУРСК, 2011
_________________________________________________________________________________________________________________
7
k
F
~
– соответствующий вектор правых частей на интервале
),(
1,3,3
b
k
b
k
xx
+
;
k
F
– вектор объем-
ных нагрузок; f – вектор граничных нагрузок:
T
kkkk
FFFF ]
~
~
~
[
~
3,2,1,
=
;
ikГikik
fFF
,,
~
δθ
+=
;
T
kkkk
FFFF ] [
3,2,1,
=
;
T
kkkk
ffff ] [
3,2,1,
=
, (6)
k
u – вектор перемещений на интервале
),(
1,3,3
b
k
b
k
xx
+
;
)( k
i
u
– компоненты
i
u вектора перемеще-
ний на интервале
),(
1,3,3
b
k
b
k
xx
+
;
)(k
ij
ε
и
)(k
ij
σ
– компоненты
ij
ε
и
ij
σ
тензоров деформаций и на-
пряжений на интервале
),(
1,3,3
b
k
b
k
xx
+
соответственно;
Tkkk
k
uuuu ] [
)(
3
)(
2
)(
1
=
;
)(5.0
)()()( k
ij
k
ji
k
ij
uu ∂+∂⋅=
ε
;
)()()(
2
k
ijk
k
kij
k
ij
εµελδσ
+=
. (7)
2. Представление определяющ его оператора краевой задачи с выделением ос-
новного направления. Учитывая кусочно-постоянный характер изменения характеристик
конструкции по основному направлению (вдоль
3
x ), можем записать:
uukuvkvvkk
LLLL
,3,
2
3,
~
+∂+∂−=
, где
vukuvkuvk
LLL
,,,
~
−=
;
*
,, uvkvuk
LL =
; (8)
+
=
kk
k
k
vvk
L
µλ
µ
µ
200
00
00
,
;
∂∂
∂
∂
=
0
00
00
*
2
*
1
*
2
*
1
,
kk
k
k
uvk
L
µµ
λ
λ
; (9)
∂∂∂∂
∂∂∂∂
+
∂∂∂∂
∂∂∂∂
+
∂∂=
∑
=
000
0
0
000
0
0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2
*
21
*
2
2
*
11
*
1
2
*
22
*
1
1
*
21
*
1
2
1
*
, kk
kk
kk
kk
j
jkjuuk
L
λλ
λλ
µµ
µµ
µ
. (10)
Здесь
*
,uvk
L
– сопряженный с
uvk
L
,
дифференциальный оператор, а
uvk
L
,
~
– кососимметричный
оператор; операторы (9) и (10) можно представить в виде разложений:
2,,1,,, uvkuvkuvk
LLL +=
;
2,,1,,, vukvukvuk
LLL +=
;
2,2,,1,2,,2,1,,1,1,,, uukuukuukuukuuk
LLLLL +++=
, (11)
где
∂=
00
000
00
*
11,,
k
k
uvk
L
µ
λ
;
∂=
00
00
000
*
22,,
k
kuvk
L
µ
λ
; (12)
11,,
00
000
00
∂
=
k
k
vuk
L
λ
µ
;
22,,
00
00
000
∂
=
k
kvuk
L
λ
µ
;
(13)
1
*
11,1,,
00
00
002
∂
+
∂=
k
k
kk
uuk
L
µ
µ
µλ
;
2
*
22,2,,
00
020
00
∂
+∂=
k
kk
k
uuk
L
µ
µλ
µ
; (14)
2
*
12,1,,
000
00
00
∂
∂=
k
k
uuk
L
µ
λ
;
1
*
21,2,,
000
00
00
∂
∂=
k
k
uuk
L
λ
µ
. (15)
3. Операторная постановка задачи с выделением основного направления. Опера
-
торная
постановка
задачи
имеет
вид
:
1 ..., 1,= ),,( ,
~
1,3,33
−∈=
+ k
b
k
b
kkkk
nkxxxFuL
. (16)
Рассмотрим
произвольное
k
-
е
уравнение
системы
(16).
Вводя
обозначения
:
kk
TkkkTkkk
k
uuu u u v vvv
′
=∂=∂∂∂==
3
)(
33
)(
23
)(
13
)(
3
)(
2
)(
1
] [] [
;
kk
vv
3
∂=
′
(17)
с
учетом
(8)
можем
получить
(
ниже
E
–
тождественный
оператор
):
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ АРХИТЕК ТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ НАУК
МОСКВА – ОРЕЛ – КУРСК, 2011
8
_________________________________________________________________________________________________________________
−
=
′
′
kk
k
k,uvk,uu
k
k
k,vv
Fv
u
LL
E
v
u
L
E
~
0
~
0
0
0
. (18)
Постановку
(18)
можно
переписать
в
виде
:
kkkk
SULU +=
′
~
, (19)
где
=
−−
k,uvk,vvk,uuk,vv
k
LLLL
E
L
~
0
~
11
;
−=
−
kk,vv
k
FL
S
~
0
1
;
=
k
k
k
v
u
U
;
′
′
=
∂
∂
=∂=
′
k
k
k
k
kk
v
u
v
u
UU
3
3
3
. (20)
Дополнив
(19)
граничными
условиями
в
сечениях
k
b
k
nkx ..., 1,= ,
,3
,
получим
опера
-
торную
постановку
многоточечной
краевой
задачи
с
выделением
основного
направления
:
+=−++
−+=++−
−∈+=
′
−+
−
−+
+−+
−
−
+
,)0()0(
1 ..., 2,= ,)0()0(
1 ..., 1,= ),,( ,
~
1,311,311
,3,31
1,3,3
kkkk
n
b
nnn
b
kkk
b
kkk
b
kkk
k
b
k
b
kkkkk
ggxUBxUB
nkggxUBxUB
nkxxxSUU L
, (21)
где
1
2,...,
=
,
,
−
+
−
kkk
n
k
B
B
,
+
1
B
,
−
k
n
B
и
1
2,...,
=
,
,
−
+
−
kkk
n
k
g
g
,
+
1
g
,
−
k
n
g
–
матрицы
коэффициен
-
тов
граничных
условий
(
66
×
)
и
векторы
правых
частей
граничных
условий
(
размер
6
).
4. Вариационная постановка задачи с выделением основного направления. Непо
-
средственно
из
операторной
постановки
задачи
следует
вариационная
постановка
:
∑
−
=
=
1
1
)()(
k
n
k
kk
uΦuΦ
,
где
),
~
(),(5,0)(
kkkkkkk
uFuuLuΦ −⋅= . (22)
или с учетом (8), (17) после преобразований получим:
),
~
()],(),
~
(2),[(5,0),(
,,, kkkkuukkkuvkkkvvkkkk
uFuuLuvLvvLvuΦ −++⋅=
. (23)
Функционал Лагранжа на каждом из фрагментов
k
Ω
( 1 ..., 1,= −
k
nk ) имеет вид:
∫ ∫
∑∑∑
Ω Ω
== =
−=
k k
dxuFdxuΦ
k
i
i
ik
i j
k
ij
k
ijkk
)(
3
1
,
3
1
3
1
)()(
~
2
1
)(
εσ
. (24)
Принимая во внимание (7) и (17), можем записать:
)(
3
)(
33
)(
22
)(
22
)(
11
)(
11
; ;
kkkkkk
vuu =∂=∂=
εεε
; )(5,0
)(
12
)(
21
)(
21
)(
12
kkkk
uu ∂+∂⋅==
εε
;
)(5,0 );(5,0
)(
1
)(
31
)(
31
)(
13
)(
2
)(
32
)(
32
)(
23
kkkkkkkk
vuvu +∂⋅==+∂⋅==
εεεε
. (25)
Подставляя (25) в (7), а полученные соотношения в (24), переписываем функционал,
соответствующий операторной формулировке, в виде:
),
~
(),
~
~
(5,0)(
kkkkkkk
USUULUΦ −⋅=
, (26)
где
=
=
=
0
~
~
;
~
~
~
~
~
~
,,
,,
,
*
,
,,
k
k
vvkvuk
uvkuuk
vvkuvk
uvkuuk
k
F
S
LL
LL
LL
LL
L
. (27)
Решением поставленной задачи является точка (функция) условного экстремума этого
функционала с условием (17), кроме того, учитываются граничные условия из (21).
5. Об учете упругоподатливых опор. При решении практических задач нередко
имеют место случаи, когда на области
k
Ω , ее границе
k
Г или их частях заданы упругопо-
датливые опоры, непрерывные по основному направлению.
Вектор
ik
R
,
реактивных усилий, возникающих в опоре, имеет вид:
ikik
T
ikikikik
uCRRRR
,,3,,2,,1,,,
] [
=
=
, где
=
3,,
2,,
1,,
,
00
00
00
ik
ik
ik
ik
c
c
c
C
;
=
3,,
2,,
1,,
,
ik
ik
ik
ik
u
u
u
u
, (28)
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ АРХИТЕК ТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ НАУК
МОСКВА – ОРЕЛ – КУРСК, 2011
_________________________________________________________________________________________________________________
9
ik
C
,
– матрица упругих характеристик опоры;
ik
u
,
– вектор перемещений опоры;
jik
c
,,
– ко-
эффициент отпора
i
-й опоры по направлению оси
j
Ox
.
Наличие упругоподатливых вносит коррективы в формулу (20). Имеем:
+
=
−−
uvkvvkkuukvvk
k
LLСLL
E
L
,
1
,,
1
,
~
)(
0
~
, где
+=
3,
2,
1,
,
)(
k
k
k
kГkk
c
c
c
C
δθ
;
(29)
)
,
,
(
321,,
x
x
x
c
c
ikik
=
– коэффициент отпора по направлению оси
i
Ox .
6. Задание некоторых типовых граничных условий. Рассмотрим задание стандарт-
ных типов граничных условий, поперечных по отношению к основному направлению в фор-
ме (21) в произвольной граничной точке с координатой
b
k
x
,3
. Возможны три варианта гранич-
ной точки: 1)
k
nk 1 << – промежуточная граничная точка; 2)
1
=
k
– крайняя левая (первая)
граничная точка; 3)
k
nk = – крайняя правая (последняя) граничная точка.
Шарнирное закрепление. При
k
nk 1 << имеем следующие граничные условия:
0)0,,(
,3211
=−
−
b
kk
xxxu
;
0)0,,(
,321
=+
b
kk
xxxu
или
3 2, ,1 ,0)0,,(
,321
)1(
==−
−
ixxxu
b
k
k
i
;
3 2, ,1 ,0)0,,(
,321
)
(
=
=
+
ixxxu
b
k
k
i
, (30)
откуда
=
−
000000
000000
000000
000100
000010
000001
k
B
;
=
+
000100
000010
000001
000000
000000
000000
k
B
;
==
+−
0
0
0
0
0
0
kk
gg
. (31)
При
1
=
k
имеем следующие граничные условия:
0)0,,(
,3211
=+
b
k
xxxu
или 3 2, ,1 ,0)0,,(
1,321
)
1
(
=
=
+
ixxxu
b
i
, (32)
откуда
=
+
000000
000000
000000
000100
000010
000001
1
B
, (33)
а первые три компоненты в векторах
+
1
g
и
−
k
n
g
нулевые.
При
k
nk = имеем следующие граничные условия:
0)0,,(
,3211
=−
−
b
nn
kk
xxxu
, т.е.
3 2, ,1 ,0)0,(
,21
)
1
(
=
=
−
−
ixxu
b
n
n
i
k
k
, (34)
откуда
=
−
000100
000010
000001
000000
000000
0
0
0
0
0
0
k
n
B
, (35)