Вестник отделения строительных наук РААСН 2011 №15
Подождите немного. Документ загружается.
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ АРХИТЕК ТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ НАУК
МОСКВА – ОРЕЛ – КУРСК, 2011
10
_________________________________________________________________________________________________________________
а последние три компоненты в векторах
+
1
g и
−
k
n
g
нулевые.
Свободный край. При
1
=
k
имеем следующие граничные условия:
0)0,,(
,321
)1(
13
=+
b
k
xxx
σ
;
0)0,,(
,321
)1(
23
=+
b
k
xxx
σ
;
0)0,,(
,321
)1(
33
=+
b
k
xxx
σ
. (36)
Учитывая формулы (7) и (17), можем записать:
)(
)1(
1
)1(
31
)1(
13
vu
k
+∂⋅=
µσ
;
)(
)1(
2
)1(
32
)1(
23
vu
k
+∂⋅=
µσ
;
.)2()(
)1(
3
)1(
22
)1(
11
)1(
33
vuu
kkk
µλλσ
++∂+∂=
(37)
Следовательно, вместо (37) получаем:
0))0,,()0,,](([
1,321
)
1
(
11,321
)
1
(
311
=
+
+
+
∂
⋅
b
b
xxxvxxxu
µ
; (38)
0))0,,()0,,](([
1,321
)
1
(
21,321
)
1
(
321
=
+
+
+
∂
⋅
b
b
xxxvxxxu
µ
; (39)
0)0,,()2())0,,]([)0,,](([
1,321
)1(
3111,321
)1(
221,321
)1(
111
=++++∂++∂
bbb
xxxvxxxuxxxu
µλλ
, (40)
т.е.
+∂∂
∂
∂
=
+
000000
000000
000000
2000
0000
0
0
0
0
112111
121
111
1
µλλλ
µµ
µ
µ
B
, (41)
а первые три компоненты в векторах
+
1
g
и
−
k
n
g
нулевые.
После соответствующей аппроксимации в рамках дискретно-континуального метода
конечных элементов (ДКМКЭ) матрица (41) станет числовой.
При
k
n
k
=
аналогично имеем:
0)0,,(
,321
)1(
13
=−
−
b
n
n
k
k
xxx
σ
;
0)0,,(
,321
)1(
23
=−
−
b
n
n
k
k
xxx
σ
;
0)0,,(
,321
)
1
(
33
=
−
−
b
n
n
k
k
xxx
σ
(42)
или
0))0,,()0,,](([
,321
)
1
(
1,321
)
1
(
311
=
−
+
−
∂
⋅
−
b
n
b
nn
kkk
xxxvxxxu
µ
; (43)
0))0,,()0,,](([
,321
)
1
(
2,321
)
1
(
321
=
−
+
−
∂
⋅
−
b
n
b
nn
kkk
xxxvxxxu
µ
; (44)
,0)0,,()2(
))0,,]([)0,,](([
,321
)1(
311
,321
)
1
(
22,321
)
1
(
111
=−++
+
−
∂
+
−
∂
−
−−
−
−
−
b
n
n
nn
b
n
n
b
n
n
n
k
k
kk
k
k
k
k
k
xxxv
xxxuxxxu
µλ
λ
(45)
т.е.
+∂∂
∂
∂
=
−−−−
−−
−−
−
112111
121
111
2000
0000
0000
000000
000000
0
0
0
0
0
0
kkkk
kk
kk
k
nnnn
nn
nn
n
B
µλλλ
µµ
µµ
, (46)
а последние три компоненты в векторах
+
1
g и
−
k
n
g
нулевые.
После аппроксимации в рамках ДКМКЭ матрица (46) станет числовой.
Идеальный контакт. Условия идеального контакта, как правило, задаются в попереч-
ных по отношению к основному направлению сечениях, где происходят скачкообразные из-
менения физико-геометрических характеристик конструкции.
При
k
n
k
1
<
<
имеем следующие граничные условия:
)0,,()0,,(
,321,3211
+=−
−
b
kk
b
kk
xxxuxxxu
;
)0,,()0,,(
,321
)(
13,321
)1(
13
+=−
− b
k
kb
k
k
xxxxxx
σσ
;
)0,,()0,,(
,321
)(
23,321
)1(
23
+
=
−
−
b
k
kb
k
k
xxxxxx
σ
σ
;
)0,,()0,,(
,321
)(
33,321
)1(
33
+
=
−
−
b
k
kb
k
k
xxxxxx
σ
σ
; (47)
После преобразований вместо (47) можем записать:
3 2, ,1 ,0)0,,()0,,(
,321
)
1
(
,321
)
(
=
=
−
−
+
−
ixxxuxxxu
b
k
k
i
b
k
k
i
; (48)
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ АРХИТЕК ТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ НАУК
МОСКВА – ОРЕЛ – КУРСК, 2011
_________________________________________________________________________________________________________________
11
;0))0,,()0,,](([
))
0
,
,
(
)
0
,
,
](
([
,321
)1(
1,321
)1(
311
,321
)
(
1,321
)
(
31
=−+−∂⋅−
−
+
+
+
∂
⋅
−−
−
b
k
kb
k
k
k
b
k
k
b
k
k
k
xxxvxxxu
x
x
x
v
x
x
x
u
µ
µ
(49)
;0))0,,()0,,](([
))0,,()0,,](([
,321
)1(
2,321
)1(
321
,321
)
(
2,321
)
(
32
=−+−∂⋅−
−
+
+
+
∂
⋅
−−
−
b
k
kb
k
k
k
b
k
k
b
k
k
k
xxxvxxxu
xxxvxxxu
µ
µ
(50)
,0)0,,()2(
)0,,](([)0,,](([
)0,,()2())0,,]([)0,,](([
,321
)1(
311
,321
)1(
221,321
)1(
111
,321
)(
3,321
)(
22,321
)(
11
=−+−
−−∂−−∂−
−++++∂++∂
−
−−
−
−
−
−
b
k
k
kk
b
k
k
k
b
k
k
k
b
k
k
kk
b
k
kb
k
k
k
xxxv
xxxuxxxu
xxxvxxxuxxxu
µλ
λλ
µλλ
, (51)
откуда
+∂∂
∂
∂
−=
−−−−
−−
−−
−
112111
121
111
2000
0000
0000
000100
000010
000001
kkkk
kk
kk
k
B
µλλλ
µµ
µµ
; (52)
+∂∂
∂
∂
=
+
kkkk
kk
kk
k
B
µλλλ
µµ
µµ
2000
0000
0000
000100
000010
000001
21
2
1
;
==
+−
0
0
0
0
0
0
kk
gg
. (53)
После аппроксимации в рамках ДКМКЭ матрицы (52) и (53) станут числовыми.
Замечания. Исследования проводились в рамках следующих работ:
1. Грант НШ-8684.2010.8 Президента Российской Федерации для государственной
поддержки ведущих научных школ Российской Федерации «Многоуровневые численные,
аналитические и экспериментальные методы исследования прочности зданий и сооружений
с учетом конструктивных и физических особенностей» на 2010-2011 гг.
2. НИР РААСН 2.3.11 «Разработка и исследование дискретно-континуальных методов
для расчета строительных конструкций с кусочно-постоянными физико-геометрическими
параметрами по одному из направлений» на 2011-2013 гг.
3. НИР «Разработка теории и алгоритмов построения корректных аналитических ре-
шателей многоточечных краевых задач применительно к расчетам строительных конструк-
ций», выполняемой по аналитической ведомственной целевой программе «Развитие научно-
го потенциала высшей школы (2009-2011 годы)» (проект 2.1.2/12148).
Библиографический список
1. Золотов, А.Б. Математические методы в строительной механике [Текст] / А.Б. Зо-
лотов, П.А. Акимов, В.Н. Сидоров, М.Л. Мозгалева. – М.: АСВ, 2008. – 336 с.
2. Золотов, А.Б. Дискретно-континуальные методы расчета сооружений [Текст] /
А.Б. Золотов, П.А. Акимов, В.Н. Сидоров, М.Л. Мозгалева. – М.: Архитектура – С, 2010. – 336 с.
3. Золотов, А.Б. Численные и аналитические методы расчета строительных конструкций
[Текст] / А.Б. Золотов, П.А. Акимов, В.Н. Сидоров, М.Л. Мозгалева. – М.: АСВ, 2009. – 336 с.
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ АРХИТЕК ТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ НАУК
МОСКВА – ОРЕЛ – КУРСК, 2011
12
_________________________________________________________________________________________________________________
УДК 624.04, 539.3
АКИМОВ П.А., СИДОРОВ В.Н., МОЗГАЛЕВА М.Л.
(Московский государственный строительный университет, г. Москва)
ОПЕРАТОРНАЯ И ВАРИАЦИОННАЯ ПОСТАНОВКИ КРАЕВОЙ
ЗАДАЧИ О СТАТИЧЕСКОМ РАСЧЕТЕ БАЛКИ-СТЕНКИ С КУСОЧНО-
ПОСТОЯННЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ПО ОСНОВНОМУ
НАПРАВЛЕНИЮ В РАМКАХ ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНОГО ПОДХОДА
Введение. В настоящей статье рассматриваются операторная и вариационная поста-
новки краевой задачи о статическом расчете балки-стенки в рамках дискретно-
континуального подхода. В отличие от работ [1-4] здесь допускается переменность физико-
геометрических параметров конструкции по основному направлению, в частности, исследу-
ется случай их кусочного постоянства. В качестве расчетной модели балки-стенки принята
двумерная задача теории упругости [5-7].
1. Некоторые предварительные обозначения. Без ограничения общности будем
рассматривать балку-стенку высоты
1
l
(
] ,0[
11
lx
∈
) и длины
2
l
(
] ,0[
22
lx
∈
). Пусть
2
x
– пере-
менная, соответствующая основному направлению, т.е. вдоль нее физико-геометрические
характеристики конструкции изменяются кусочно-постоянно. Заметим, что вдоль перемен-
ной
1
x
физико-геометрические характеристики балки-стенки могут изменяться произвольно.
Введем обозначения:
k
b
k
nkx ..., 1,= ,
,2
– координаты сечений, в которых задаются граничные
условия (в частности, координаты сечений, где происходит «скачкообразное» (разрывы пер-
вого рода) изменение характеристик балки-стенки); 1 ..., 1,= , −Ω
kk
nk – соответствующие
фрагменты, на которые разделяется конструкция:
k
b
k
b
kk
nkxxxlxxx ..., 1,= ,} ,0 :),( {
1,22,21121 +
<<<<=Ω
; (1)
1 ..., 1,= , −Ω∂=
kkk
nkГ – соответствующие границы фрагментов; ),(
21
xx
kk
θθ
= – характе-
ристическая функция области
k
Ω ;
),(
21,,
xx
k
Г
k
Г
δδ
=
– дельта-функция границы
k
Г [3]:
Ω∉
Ω∈
=
;),( 0,
),( 1,
),(
21
21
21
k
k
k
xx
xx
xx
θ
kkk
Г
nxx ∂∂= /),(
21,
θδ
, (2)
T
kkk
nnn ] [
,2,1
=
– вектор составляющих нормали к границе
k
Г ; 1 ..., 1,= , −
kk
nk
ω
– расши-
ренные области, окаймляющие соответствующие фрагменты, например:
} , :),( {
1,22,2121
b
k
b
kk
xxxxxx
+
<<+∞<<∞−=
ω
, (3)
k
L – оператор задачи в расширенной области
k
ω
относительно перемещений на интервале
),(
1,2,2
b
k
b
k
xx
+
(ниже обозначено
2 ,1 ,/ ,/ =∂−∂=∂∂∂=∂
∗
sxx
ssss
),
∂∂∂∂
∂∂∂∂
+
∂∂∂∂
∂∂∂∂
+
∂∂=
∑
=
2
*
21
*
2
2
*
11
*
1
2
*
22
*
1
1
*
21
*
1
2
1
*
10
01
kk
kk
kk
kk
j
jkjk
L
λλ
λλ
µµ
µµ
µ
, (4)
k
λ
и
k
µ
– параметры Ламе, определенные на
kk
Ω⊃
ω
, и равны нулю вне
k
Ω , т.е.:
kkk
λ
θ
λ
=
;
kkk
µ
θ
µ
=
, (5)
k
F
~
– соответствующий вектор правых частей на интервале
),(
1,2,2
b
k
b
k
xx
+
;
k
F
– вектор объем-
ных нагрузок; f – вектор граничных нагрузок;
T
kkk
FFF ]
~
~
[
~
2,1,
=
;
ikГikik
fFF
,,
~
δθ
+=
;
T
kkk
FFF ] [
2,1,
=
;
T
kkk
fff ] [
2,1,
=
; (6)
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ АРХИТЕК ТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ НАУК
МОСКВА – ОРЕЛ – КУРСК, 2011
_________________________________________________________________________________________________________________
13
k
u – вектор перемещений на интервале
),(
1,2,2
b
k
b
k
xx
+
;
)( k
i
u
– компоненты
i
u вектора переме-
щений на интервале
),(
1,2,2
b
k
b
k
xx
+
;
)(k
ij
ε
и
)(k
ij
σ
– компоненты
ij
ε
и
ij
σ
тензоров деформаций и
напряжений на интервале
),(
1,2,2
b
k
b
k
xx
+
соответственно;
Tkk
k
uuu ] [
)(
2
)(
1
=
;
)(5,0
)()()( k
ij
k
ji
k
ij
uu ∂+∂⋅=
ε
;
)()()(
2
k
ijk
k
kij
k
ij
εµελδσ
+=
. (7)
2. Представление определяющего оператора краевой задачи с выделением основ-
ного направления. Учитывая кусочно-постоянный характер изменения характеристик кон-
струкции по основному направлению (вдоль
2
x
), можем записать:
uukuvkvvkk
LLLL
,2,
2
2,
~
+∂+∂−=
, где
vukuvkuvk
LLL
,,,
~
−=
;
*
,, uvkvuk
LL =
; (8)
+
=
kk
k
vvk
L
µλ
µ
20
0
,
;
∂
∂
=
0
0
*
1
*
1
,
k
k
uvk
L
µ
λ
;
1
*
1,
0
02
∂
+
∂=
k
kk
uuk
L
µ
µλ
. (9)
Здесь
*
,
uvk
L
– сопряженный с
uvk
L
,
дифференциальный оператор, а
uvk
L
,
~
– кососимметричный
оператор.
3. Операторная постановка задачи с выделением основного направления. Опе-
раторная постановка задачи имеет вид [4]:
1 ..., 1,= ),,( ,
~
1,2,22
−∈=
+ k
b
k
b
kkkk
nkxxxFuL
. (10)
Рассмотрим произвольное
k
-е уравнение системы (10). Вводя обозначения:
kk
TkkTkk
k
uu u u vvv
′
=∂=∂∂==
2
)(
22
)(
12
)(
2
)(
1
] [] [
;
kk
vv
2
∂=
′
, (11)
с учетом (8) можем получить (ниже
E
– тождественный оператор):
−
=
′
′
kk
k
k,uvk,uu
k
k
k,vv
Fv
u
LL
E
v
u
L
E
~
0
~
0
0
0
. (12)
Постановку (12) можно переписать в виде:
kkkk
SULU +=
′
~
, (13)
где
=
−−
k,uvk,vvk,uuk,vv
k
LLLL
E
L
~
0
~
11
;
−=
−
kk,vv
k
FL
S
~
0
1
;
=
k
k
k
v
u
U
;
′
′
=
∂
∂
=∂=
′
k
k
k
k
kk
v
u
v
u
UU
2
2
2
. (14)
Дополнив (13) граничными условиями в сечениях
k
b
k
nkx ..., 1,= ,
,3
, получим опера-
торную постановку многоточечной краевой задачи с выделением основного направления:
+=−++
−+=++−
−∈+=
′
−+
−
−+
+−+
−
−
+
,)0()0(
1 ..., 2,= ,)0()0(
1 ..., 1,= ),,( ,
~
1,211,211
,2,21
1,2,2
kkkk
n
b
nnn
b
kkk
b
kkk
b
kkk
k
b
k
b
kkkkk
ggxUBxUB
nkggxUBxUB
nkxxxSUU L
, (15)
где
1
2,...,
=
,
,
−
+
−
kkk
n
k
B
B
,
+
1
B
,
−
k
n
B
и
1
2,...,
=
,
,
−
+
−
kkk
n
k
g
g
,
+
1
g
,
−
k
n
g
– матрицы коэффициен-
тов граничных условий (
4
4
×
) и векторы правых частей граничных условий (размер
4
).
4. Вариационная постановка задачи с выделением основного направления. Непо-
средственно из операторной постановки задачи следует вариационная постановка:
∑
−
=
=
1
1
)()(
k
n
k
kk
u
Φ
u
Φ
, где ),
~
(),(5,0)(
kkkkkkk
uFuuLuΦ −⋅= (16)
или с учетом (8), (11) после преобразований получим:
),
~
()],(),
~
(2),[(5,0),(
,,,
kkkkuukkkuvkkkvvkkkk
uFuuLuvLvvLvuΦ
−++⋅=
. (17)
Функционал Лагранжа на каждом из фрагментов
k
Ω ( 1 ..., 1,= −
k
nk ) имеет вид:
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ АРХИТЕК ТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ НАУК
МОСКВА – ОРЕЛ – КУРСК, 2011
14
_________________________________________________________________________________________________________________
∫ ∫
∑∑∑
Ω Ω
== =
−=
k k
dxuFdxuΦ
k
i
i
ik
i j
k
ij
k
ijkk
)(
2
1
,
2
1
2
1
)()(
~
2
1
)(
εσ
. (18)
Принимая
во
внимание
(7)
и
(11),
можем
записать
:
)(
11
)(
11
kk
u∂=
ε
;
)(
2
)(
22
kk
v=
ε
; )(5.0
)(
1
)(
21
)(
21
)(
12
kkkk
vu +∂⋅==
εε
. (19)
Подставляя
(19)
в
(7),
а
полученные
соотношения
в
(18),
переписываем
функционал
со
-
ответствующий
операторной
формулировке
в
виде
:
),
~
(),
~
~
(5,0)(
kkkkkkk
USUULUΦ −⋅=
, (20)
где
=
=
=
0
~
~
;
~
~
~
~
~
~
,,
,,
,
*
,
,,
k
k
vvkvuk
uvkuuk
vvkuvk
uvkuuk
k
F
S
LL
LL
LL
LL
L
. (21)
Решением
поставленной
задачи
является
точка
(
функция
)
условного
экстремума
этого
функционала
с
условием
(11),
кроме
того
,
учитываются
граничные
условия
из
(15).
5. Об учете упругоподатливых опор. При
решении
практических
задач
нередко
имеют
место
случаи
,
когда
на
области
k
Ω ,
ее
границе
k
Г
или
их
частях
заданы
упругопо
-
датливые
опоры
,
непрерывные
по
основному
направлению
.
Вектор
ik
R
,
реактивных
усилий
,
возникающих
в
опоре
,
имеет
вид
:
ikik
T
ikikik
uCRRR
,,2,,1,,,
] [
=
=
,
где
=
2,,
1,,
,
0
0
ik
ik
ik
c
c
C
;
=
2,,
1,,
,
ik
ik
ik
u
u
u
; (22)
ik
C
,
–
матрица
упругих
характеристик
опоры
;
ik
u
,
–
вектор
перемещений
опоры
;
jik
c
,,
–
ко
-
эффициент
отпора
i
-
й
опоры
по
направлению
оси
j
Ox
.
Наличие
упругоподатливых
вносит
коррективы
в
формулу
(14).
Имеем
:
+
=
−−
uvkvvkkuukvvk
k
LLСLL
E
L
,
1
,,
1
,
~
)(
0
~
,
где
+=
2,
1,
,
0
0
)(
k
k
kГkk
c
c
C
δθ
; (23)
)
,
(
21,,
x
x
c
c
ikik
=
– коэффициент отпора по направлению оси
i
Ox
.
6. Задание некоторых типовых граничных условий. Рассмотрим задание стандарт-
ных типов граничных условий, поперечных по отношению к основному направлению в фор-
ме (15) в произвольной граничной точке с координатой
b
k
x
,2
. Возможны три варианта гра-
ничной точки: 1)
k
nk 1 << – промежуточная граничная точка; 2)
1
=
k
– крайняя левая (пер-
вая) граничная точка; 3)
k
nk = – крайняя правая (последняя) граничная точка.
Шарнирное закрепление. При
k
nk 1 << имеем следующие граничные условия:
0)0,(
,211
=−
−
b
kk
xxu
;
0)0,(
,21
=+
b
kk
xxu
или
0)0,(
,21
)1(
1
=−
− b
k
k
xxu
;
0)0,(
,21
)1(
2
=−
− b
k
k
xxu
;
0)0,(
,21
)(
1
=+
b
k
k
xxu
;
0)0,(
,21
)(
2
=+
b
k
k
xxu
, (24)
откуда можем записать:
=
−
0000
0000
0010
0001
k
B
;
=
+
0010
0001
0000
0000
k
B
;
==
+−
0
0
0
0
kk
gg
. (25)
При
1
=
k
имеем следующие граничные условия:
0)0,(
,211
=+
b
k
xxu
, т.е.
0)0,(
1,21
)
1
(
1
=
+
b
xxu
,
0)0,(
1,21
)
1
(
2
=
+
b
xxu
, (26)
откуда можем записать:
=
+
0000
0000
0010
0001
1
B
, (27)
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ АРХИТЕК ТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ НАУК
МОСКВА – ОРЕЛ – КУРСК, 2011
_________________________________________________________________________________________________________________
15
а первые две компоненты в векторах
+
1
g
и
−
k
n
g
нулевые.
При
k
nk = имеем следующие граничные условия:
0)0,(
,211
=−
−
b
nn
kk
xxu
, т.е.
0)0,(
,21
)
1
(
1
=
−
−
b
n
n
k
k
xxu
;
0)0,(
,21
)
1
(
2
=
−
−
b
n
n
k
k
xxu
, (28)
откуда можем записать:
=
−
0010
0001
0000
0
0
0
0
k
n
B
, (29)
а последние две компоненты в векторах
+
1
g и
−
k
n
g
нулевые.
Свободный край. При
1
=
k
имеем следующие граничные условия:
0)0,(
,21
)1(
12
=+
b
k
xx
σ
;
0)0,(
,21
)1(
22
=+
b
k
xx
σ
. (30)
Учитывая формулы (7) и (11), можем записать:
)(
)1(
1
)1(
21
)1(
12
vu
k
+∂⋅=
µσ
;
)1(
2
)1(
11
)1(
22
)2( vu
kkk
µλλσ
++∂=
. (31)
Следовательно, вместо (30) получаем:
0))0,()0,](([
1,21
)1(
11,21
)1(
211
=+++∂⋅
bb
xxvxxu
µ
; (32)
0)0,()2()0,]([
1,21
)1(
2111,21
)1(
111
=++++∂
bb
xxvxxu
µλλ
, (33)
т.е.
+∂
∂
=
+
0000
0000
200
0
0
1111
111
1
µλλ
µ
µ
B
, (34)
а первые две компоненты в векторах
+
1
g
и
−
k
n
g
нулевые.
После соответствующей аппроксимации в рамках дискретно-континуального метода
конечных элементов (ДКМКЭ) [1-3] матрица (34) станет числовой.
При
k
nk
=
аналогично имеем:
0)0,(
,21
)1(
12
=−
−
b
n
n
k
k
xx
σ
;
0)0,(
,21
)1(
22
=+
−
b
k
n
xx
k
σ
(35)
или
0))0,()0,](([
,21
)1(
1,21
)1(
211
=−+−∂⋅
−−
−
b
n
nb
n
n
n
k
k
k
k
k
xxvxxu
µ
; (36)
0)0,()2()0,]([
,21
)1(
211,21
)1(
111
=−++−∂
−
−−
−
−
b
n
n
nn
b
n
n
n
k
k
kkk
k
k
xxvxxu
µλλ
, (37)
т.е.
+∂
∂
=
−−−
−−
−
1111
111
200
00
0000
0
0
0
0
kkk
kk
k
nnn
nn
n
B
µλλ
µµ
, (38)
а последние две компоненты в векторах
+
1
g и
−
k
n
g
нулевые.
После аппроксимации в рамках ДКМКЭ матрица (38) станет числовой.
Идеальный контакт. Условия идеального контакта, как правило, задаются в попереч-
ных по отношению к основному направлению сечениях, где происходят скачкообразные из-
менения физико-геометрических характеристик конструкции.
При
k
n
k
1
<
<
имеем следующие граничные условия:
)0,()0,(
,21,211
+=−
−
b
kk
b
kk
xxuxxu
;
)0,()0,(
,21
)(
12,21
)1(
12
+=−
− b
k
kb
k
k
xxxx
σσ
;
)0,()0,(
,21
)(
22,21
)1(
22
+=−
− b
k
kb
k
k
xxxx
σσ
. (39)
После преобразований вместо (39) можем записать:
0)0,()0,(
,21
)1(
1,21
)(
1
=−−+
− b
k
kb
k
k
xxuxxu
; (40)
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ АРХИТЕК ТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ НАУК
МОСКВА – ОРЕЛ – КУРСК, 2011
16
_________________________________________________________________________________________________________________
0)0,()0,(
,21
)1(
2,21
)(
2
=−−+
− b
k
kb
k
k
xxuxxu
; (41)
;0))0,()0,](([
))0,()0,](([
,21
)1(
1,21
)1(
211
,21
)(
1,21
)(
21
=−+−∂⋅−
−+++∂⋅
−−
−
b
k
kb
k
k
k
b
k
kb
k
k
k
xxvxxu
xxvxxu
µ
µ
(42)
,0)0,()2()0,]([
)0,()2()0,]([
,21
)1(
211,21
)1(
111
,21
)(
2,21
)(
11
=−+−−∂−
−++++∂
−
−−
−
−
b
k
k
kk
b
k
k
k
b
k
k
kk
b
k
k
k
xxvxxu
xxvxxu
µλλ
µλλ
(43)
откуда
можем
записать
:
+∂
∂
−=
−−−
−−
−
1111
111
200
00
0010
0001
kkk
kk
k
B
µλλ
µµ
; (44)
+∂
∂
=
+
kkk
kk
k
B
µλλ
µµ
200
00
0010
0001
1
1
;
==
+−
0
0
0
0
kk
gg
. (45)
После
аппроксимации
в
рамках
ДКМКЭ
матрицы
(44)
и
(45)
станут
числовыми
.
Замечания. Исследования
проводились
в
рамках
следующих
работ
:
1.
Грант
НШ
-8684.2010.8
Президента
Российской
Федерации
для
государственной
поддержки
ведущих
научных
школ
Российской
Федерации
«
Многоуровневые
численные
,
аналитические
и
экспериментальные
методы
исследования
прочности
зданий
и
сооружений
с
учетом
конструктивных
и
физических
особенностей
»
на
2010-2011
гг
.
2.
НИР
РААСН
2.3.11 «
Разработка
и
исследование
дискретно
-
континуальных
методов
для
расчета
строительных
конструкций
с
кусочно
-
постоянными
физико
-
геометрическими
параметрами
по
одному
из
направлений
»
на
2011-2013
гг
.
3.
НИР
«
Разработка
теории
и
алгоритмов
построения
корректных
аналитических
ре
-
шателей
многоточечных
краевых
задач
применительно
к
расчетам
строительных
конструк
-
ций
»,
выполняемой
по
аналитической
ведомственной
целевой
программе
«
Развитие
научно
-
го
потенциала
высшей
школы
(2009-2011
годы
)», (
проект
2.1.2/12148).
Библиографический список
1.
Золотов
,
А
.
Б
.
Дискретно
-
континуальные
методы
расчета
сооружений
[
Текст
] /
А
.
Б
.
Золотов
,
П
.
А
.
Акимов
,
В
.
Н
.
Сидоров
,
М
.
Л
.
Мозгалева
. –
М
.:
Архитектура
–
С
, 2010. – 336
с
.
2.
Золотов
,
А
.
Б
.
Численные
и
аналитические
методы
расчета
строительных
конструк
-
ций
[
Текст
] /
А
.
Б
.
Золотов
,
П
.
А
.
Акимов
,
В
.
Н
.
Сидоров
,
М
.
Л
.
Мозгалева
. –
М
.:
АСВ
, 2009. –
336
с
.
3.
Золотов
,
А
.
Б
.
Математические
методы
в
строительной
механике
конструкций
[
Текст
] /
А
.
Б
.
Золотов
,
П
.
А
.
Акимов
,
В
.
Н
.
Сидоров
,
М
.
Л
.
Мозгалева
. –
М
.:
АСВ
, 2008. – 336
с
.
4.
Золотов
,
А
.
Б
.
Постановка
и
аппроксимация
краевых
задач
методом
расширенной
области
[
Текст
] /
А
.
Б
.
Золотов
,
А
.
В
.
Ларионов
,
М
.
Л
.
Мозгалева
,
Ж
.
И
.
Мсхалая
. –
М
.:
МИСИ
,
1992. – 86
с
.
5.
Варданян
,
Г
.
С
.
Сопротивление
материалов
с
основами
теории
упругости
и
пла
-
стичности
[
Текст
] /
Г
.
С
.
Варданян
,
В
.
И
.
Андреев
,
Н
.
М
.
Атаров
,
А
.
А
.
Горшков
. –
М
.:
АСВ
,
1995. – 572
с
.
6.
Новацкий
,
В
.
Теория
упругости
[
Текст
] /
В
.
Новацкий
. –
М
.:
Мир
, 1975. – 872
с
.
7.
Партон
,
В
.
З
.
Методы
математической
теории
упругости
[
Текст
] /
В
.
З
.
Партон
,
П
.
И
.
Перлин
. –
М
.:
Наука
, 1981. – 688
с
.
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ АРХИТЕК ТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ НАУК
МОСКВА – ОРЕЛ – КУРСК, 2011
_________________________________________________________________________________________________________________
17
УДК
624-1
АНДРОСОВА
Н
.
Б
.,
КЛЮЕВА
Н
.
В
.,
КОЛЧУНОВ
В
.
И
.
(
ФГОУ
ВПО
«
Госуниверситет
–
УНПК
,
г
.
Орел
)
НЕКОТОРЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ К НОРМИРОВАНИЮ
ПАРАМЕТРОВ ЖИВУЧЕСТИ СООРУЖЕНИЙ
1
Необходимость
обоснования
предложений
по
расчету
живучести
конструктивных
систем
для
включения
их
в
нормативные
документы
связана
с
несколькими
обстоятельства
-
ми
.
Во
-
первых
,
с
31
декабря
2009
года
вступил
в
силу
Федеральный
закон
384-
ФЗ
«
Техниче
-
ский
регламент
о
безопасности
зданий
и
сооружений
»,
согласно
которому
при
проектирова
-
нии
зданий
и
сооружений
повышенного
уровня
ответственности
должна
быть
учтена
«
рас
-
четная
ситуация
отказа
одной
из
несущих
конструкций
»,
то
есть
по
существу
речь
идет
о
расчете
зданий
и
сооружений
на
живучесть
при
внезапном
запроектном
воздействии
.
В
то
же
время
,
во
включенных
с
июля
2010
г
.
в
технический
регламент
в
качестве
обязательных
к
применению
стандартах
и
сводах
правил
по
существу
отсутствуют
методы
такого
расчета
.
Активно
содержание
технического
регламента
обсуждалось
на
различных
мероприя
-
тиях
Российской
академии
архитектуры
и
строительных
наук
.
Так
,
например
,
с
обобщающи
-
ми
предложениями
итогов
дискуссии
на
«
Круглом
столе
»
общего
собрания
Российской
ака
-
демии
архитектуры
и
строительных
наук
в
мае
2010
года
отмечалось
[1],
что
научное
на
-
правление
«
живучесть
» –
как
сопротивляемость
к
внезапным
и
деструктивным
воздействи
-
ям
,
повреждающим
сооружения
,
находится
лишь
в
стадии
становления
,
и
здесь
важна
систе
-
матизация
и
обобщение
имеющихся
по
этой
проблеме
знаний
и
постановка
соответствую
-
щих
экспериментальных
исследований
.
В
связи
с
этим
и
рядом
других
нестыковок
в
приня
-
той
законодательной
базе
академик
В
.
И
.
Травуш
призвал
участников
«
Круглого
стола
»
при
-
нять
активное
участие
в
предстоящей
процедуре
актуализации
нормативных
документов
обязательного
применения
.
Академик
В
.
М
.
Бондаренко
особо
акцентировал
внимание
на
то
,
что
понятие
конструктивной
безопасности
в
действующих
сегодня
нормативных
документах
ограничено
рамками
устойчивого
силового
сопротивления
элементов
конструкций
.
Согласно
регламента
,
если
здание
или
сооружение
имеет
повышенный
уровень
ответ
-
ственности
,
необходимо
выполнять
расчет
на
отказ
при
выключении
одного
из
элементов
системы
(
должна
быть
учтена
аварийная
расчетная
ситуация
,
в
том
числе
предельных
со
-
стояний
при
этой
ситуации
,
возникающей
в
связи
со
взрывом
,
столкновением
,
аварией
,
по
-
жаром
,
а
также
непосредственно
после
отказа
одной
из
несущих
строительных
конструкций
).
В
связи
с
этим
необходимо
разработать
и
подготовить
предложения
к
включению
в
качестве
дополнения
в
СНиПы
по
конструкциям
(«
Бетонные
и
железобетонные
конструкции
», «
Ка
-
менные
и
армокаменные
конструкции
», «
Стальные
конструкции
», «
Деревянные
конструк
-
ции
», «
Алюминиевые
конструкции
»)
раздела
«
Особенности
расчета
конструктивных
систем
на
живучесть
».
Реализация
этой
задачи
невозможна
без
создания
теоретических
основ
и
обоснования
предложений
по
расчету
живучести
конструктивных
систем
для
включения
их
в
норматив
-
ные
документы
.
Очевидно
,
что
разработка
теории
живучести
сооружений
связана
с
накопле
-
нием
соответствующих
статистических
данных
об
особенностях
аварий
сооружений
при
от
-
казе
отдельных
конструкций
или
их
элементов
,
в
том
числе
результатов
обследования
со
-
оружений
,
а
главное
–
с
целенаправленно
поставленными
экспериментальными
исследова
-
ниями
.
В
этой
связи
Российской
академией
архитектуры
и
строительных
наук
и
ФГОУ
ВПО
«
Государственный
университет
–
учебно
-
научно
-
производственный
комплекс
» («
Госунивер
-
1
Работа выполнена в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры
инновационной России» на 2009-2013 годы (проект «Исследование энерго-, ресурсоэффективных конструктив-
ных систем с высоким уровнем конструктивной безопасности и живучести»).
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ АРХИТЕК ТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ НАУК
МОСКВА – ОРЕЛ – КУРСК, 2011
18
_________________________________________________________________________________________________________________
ситет
–
УНПК
»)
в
рамках
федеральной
целевой
программы
«
Научные
и
научно
-
педагогические
кадры
инновационной
России
»
на
протяжении
последних
десяти
лет
были
проведены
специально
поставленные
экспериментальные
исследования
живучести
различ
-
ных
железобетонных
конструктивных
систем
с
обычными
и
преднапряженными
элементами
сплошного
и
составного
сечения
.
Основной
целью
проведенных
испытаний
явилось
экспери
-
ментальное
обоснование
основ
теории
живучести
железобетонных
стержневых
конструктив
-
ных
систем
при
одновременном
(
силовых
и
коррозионных
)
запроектном
воздействии
,
и
разви
-
тие
методов
расчета
адаптационно
приспособляемых
к
таким
воздействиям
сооружений
.
В
настоящее
время
вопросы
исследования
и
тем
более
нормирования
параметров
жи
-
вучести
зданий
и
сооружений
носит
в
большей
части
постановочный
фрагментарный
харак
-
тер
.
Некоторый
анализ
уже
проведенных
исследований
дан
в
работах
[2, 3, 4].
Из
этого
ана
-
лиза
следует
,
что
в
России
и
других
европейских
странах
конструктивная
безопасность
и
живучесть
в
различной
постановке
и
на
разной
концептуально
-
методологической
основе
обеспечивается
нормами
этих
стран
[5-16].
В
основу
этих
нормативных
документов
положен
метод
расчета
конструкций
по
предельным
состояниям
.
В
связи
с
постоянным
увеличением
техногенных
и
природных
катастроф
и
,
естественно
,
с
все
увеличивающимся
разрывом
меж
-
ду
уровнем
защиты
,
обеспечиваемым
нормативными
требованиями
,
и
уровнем
опасности
США
,
Канада
,
Англия
и
некоторые
другие
европейские
страны
в
свои
стандарты
[9-16]
в
той
или
иной
мере
внесли
дополнения
,
направленные
на
учет
самой
возможности
и
потенциаль
-
ных
последствий
аварийных
воздействий
и
,
как
следствие
–
прогрессирующего
обрушения
,
а
также
мероприятия
по
обеспечению
временной
(
на
период
эвакуации
)
безопасности
людей
.
Эти
дополнения
содержат
повышенные
требования
к
несущим
элементам
системы
,
отве
-
чающим
за
временную
живучесть
,
методы
создания
резервных
путей
передачи
усилий
при
внезапном
аварийном
воздействии
.
В
России
аналогичные
дополнения
к
нормам
содержать
-
ся
пока
только
в
Московских
городских
нормативных
документах
(
МГСН
) [5-8]
и
ограничи
-
ваются
отдельными
частными
конструктивными
требованиями
по
предотвращению
прогрес
-
сирующего
обрушения
.
В
обязательном
перечне
стандартов
и
сводов
правил
к
регламенту
такие
документы
отсутствуют
.
В
этом
направлении
выполнен
ряд
теоретических
исследований
РААСН
[17, 18, 19],
«
Госуниверситетом
–
УНПК
» (
ОрелГТУ
) [20-24],
МГСУ
[27-29],
МГАКХиС
[25],
МИИТ
[23, 26],
ЦНИИСК
им
.
В
.
А
.
Кучеренко
[3, 4]
и
др
. [30, 31].
Накоплен
некоторый
объем
экс
-
периментальных
исследований
выполненных
РААСН
и
«
Госуниверситет
–
УНПК
»
в
рам
-
ках
рассматриваемой
проблемы
[32-41].
При
этом
отдельные
методы
проведения
этих
ис
-
следований
защищены
патентами
РФ
[42-44].
Эти
экспериментальные
исследования
были
направлены
на
изучение
силового
сопротивления
различных
типов
железобетонных
стати
-
чески
неопределимых
конструктивных
систем
в
запредельных
состояниях
,
вызванных
вне
-
запным
(
хрупким
)
разрушением
отдельных
элементов
,
сечений
,
узлов
конструктивной
сис
-
темы
.
При
этом
показано
,
что
опасным
становится
не
только
разрушение
этого
элемента
,
но
и
возникающий
эффект
импульсного
воздействия
на
другие
элементы
конструкции
.
В
результате
чего
эти
элементы
могут
достигнуть
предельного
состояния
.
В
последнем
слу
-
чае
возможно
как
локальное
,
так
и
прогрессирующее
(
лавинообразное
)
разрушение
всей
системы
.
В
процессе
разрушения
изменяются
конструктивная
и
расчетная
схемы
конструк
-
тивной
системы
.
Для
оценки
такого
состояния
конструктивной
системы
использовано
по
-
нятие
живучести
.
Здесь
,
как
и
в
работах
[2, 45]
под
термином
«
живучесть
»
понимается
со
-
противляемость
конструктивной
системы
разрушению
в
полном
или
ограниченном
объеме
при
внезапном
отказе
одного
или
нескольких
элементов
,
т
.
е
.
характеризуется
количеством
локальных
разрушений
конструктивной
системы
.
Возникновение
запредельных
состояний
возможно
на
любом
этапе
эксплуатации
кон
-
струкции
,
в
том
числе
и
после
длительного
воздействия
факторов
,
снижающих
прочностные
характеристики
материалов
конструкции
.
При
расчете
длительно
эксплуатируемых
конст
-
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ АРХИТЕК ТУРЫ И СТРОИТЕЛЬНЫХ НАУК
МОСКВА – ОРЕЛ – КУРСК, 2011
_________________________________________________________________________________________________________________
19
рукций
учитывается
влияние
предыстории
нагружения
и
накопления
повреждений
,
свойст
-
венных
таким
конструкциям
под
влиянием
силовых
и
средовых
воздействий
.
В
качестве
основного
обобщающего
параметра
для
оценки
живучести
конструктив
-
ных
систем
,
в
том
числе
и
с
учетом
средовых
воздействий
,
в
работах
[22, 45, 46]
предложен
обобщающий
параметр
λ
.
В
качестве
такого
параметра
принята
величина
действующей
на
нее
нагрузки
,
равная
величине
нагрузки
,
при
которой
в
рассматриваемой
конструктивной
системе
начинается
процесс
структурных
преобразований
,
вызывающих
последовательное
изменение
ее
статической
неопределимости
от
выключения
первой
связи
до
превращения
системы
в
изменяемую
.
Для
превращения
n-
раз
статически
неопределимой
системы
в
гео
-
метрически
изменяемую
систему
необходимо
исключить
из
нее
не
менее
(n+1)
связей
.
Ме
-
тодами
строительной
механики
определяется
величина
нагрузки
,
которая
вызывает
изменяе
-
мость
системы
.
При
внезапном
приложении
запроектной
нагрузки
в
условиях
чрезвычайных
ситуаций
природного
или
техногенного
характера
в
конструктивной
системе
возникают
дина
-
мические
догружения
и
при
расчете
к
величине
статической
нагрузки
должна
добавляться
ди
-
намическая
составляющая
.
На
начальном
этапе
часть
нагрузки
q
,
при
действии
которой
не
происходит
выключения
связей
(
например
,
собственный
вес
),
считается
постоянной
.
Осталь
-
ная
часть
(
переменная
нагрузка
или
коррозионное
повреждение
)
изменяется
пропорционально
одному
параметру
λ
,
который
и
принят
за
обобщающий
параметр
живучести
.
Изменение
пе
-
ременной
составляющей
нагрузки
происходит
пропорционально
этому
параметру
.
Численная
реализация
обобщенного
параметра
живучести
λ
железобетонных
конструк
-
тивных
систем
выполнена
применительно
к
конструкциям
неразрезных
балочных
и
рамных
сис
-
тем
,
экспериментальные
исследования
которых
выполнены
ранее
Г
.
А
.
Гениевым
,
Н
.
В
.
Клюевой
[32],
А
.
И
.
Демьяновым
[33],
О
.
А
.
Ветровой
[34],
Е
.
А
.
Скобелевой
[36].
Результаты
расчетов
по
определению
параметра
живучести
λ
опытной
и
расчетной
схем
разрушения
для
рассматривае
-
мых
конструктивных
систем
с
использованием
методики
[22]
приведены
в
таблице
1.
Испытаниями
установлен
ряд
принципиальных
особенностей
деформации
и
разруше
-
ния
железобетонных
элементов
конструктивных
систем
с
внезапно
выключающимися
час
-
тями
таких
систем
,
также
для
узлов
(
таблица
2):
динамический
характер
воздействия
на
кон
-
структивную
систему
после
внезапного
выключения
одного
из
ключевых
конструктивных
элементов
;
изменение
качественного
характера
разрушения
отдельных
элементов
–
мягкое
пластическое
разрушение
по
арматуре
может
сменяться
хрупким
разрушением
по
бетону
.
Результаты
испытаний
железобетонных
многопролетных
балок
,
плоских
и
простран
-
ственных
рам
с
разрушением
в
узлах
при
внезапных
выключениях
ключевых
несущих
эле
-
ментов
показали
,
что
общая
картина
разрушения
этих
узлов
носит
хрупкий
мгновенный
ха
-
рактер
.
Качественно
схема
разрушения
элементов
рам
аналогична
схемам
разрушения
рам
-
ных
конструкций
при
статическом
нагружении
.
Испытаниями
железобетонных
рам
получена
общая
картина
разрушения
,
нагружен
-
ных
сосредоточенными
силами
,
изгибаемых
элементов
таких
систем
при
внезапных
выклю
-
чениях
из
системы
моментных
и
линейных
связей
(
таблица
2,
п
. 9).
Разрушение
при
таких
динамических
догружениях
носило
хрупкий
характер
и
качественно
не
отличалось
от
харак
-
тера
разрушения
таких
элементов
при
обычном
статическом
нагружении
.
При
построении
расчетных
моделей
сопротивления
таких
статико
-
динамических
нагружений
систем
могут
быть
использованы
общие
предпосылки
расчетных
моделей
сопротивления
теории
железо
-
бетона
(
ФМС
-1,
ФМС
-2)
Бондаренко
В
.
М
.,
Колчунова
В
.
И
. [47],
Н
.
И
.
Карпенко
и
др
.
По
результатам
экспериментальных
исследований
установлены
также
некоторые
прин
-
ципиальные
особенности
деформирования
и
разрушения
узлов
рассматриваемых
конструк
-
тивных
систем
при
рассматриваемых
воздействиях
(
таблица
2,
п
. 10):
качественный
характер
разрушения
узлов
конструктивной
системы
при
внезапном
выключении
угловых
или
линей
-
ных
связей
определяется
местоположением
этих
связей
,
конструктивным
решением
узла
,
ин
-
тенсивностью
его
армирования
,
наличием
преднапряженной
арматуры
,
топологией
конструк
-
тивной
системы
и
уровнем
нагружения
проектной
нагрузкой
.
При
этом
следует
учитывать
фи
-