Волькенштейн М.В. Общая биофизика

Подождите немного. Документ загружается.

4.2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕРВНОГО ИМПУЛЬСА 181

значений

a, R

С,

Фк

, g

равна 18,8 м/с. Экспери-

мент

дает

21,2 м/с. При этом значении v потенциал после окон-

чания

спайка возвращается к уровню покоя.

Теория

Ходжкина — Хаксли привела к несомненному

успеху.

Однако она чрезмерно сложна. В теории фигурируют четыре

параметра: ф, п, т, h из которых лишь ф имеет прямой

физи-

ческий

смысл и может быть измерен. Приведенное толкование

величин п, т, h имеет лишь условный характер.

ходе

дальнейших исследований удалось разделить и упро-

стить

задачу.

Оказывается, что при расчете скорости распро-

странения

импульса можно отвлечься от его точной формы и

рассмотреть движение импульса по электрическому кабелю,

образуемому мембраной аксона и характеризуемому опреде-

ленными

значениями сопротивления и емкости. Индуктивность

волокна

существенной роли не играет [52]. Соответствующие

подходы реализованы, в частности, в работах Компанейца [53,

54].

Предполагается, что при распространении импульса можно

различать четыре фазы. Во-первых, разность потенциалов воз-

растает от своего значения в покое ф

до порогового значе-

ния

ф'. Во-вторых, она возрастает с ф' до ф*—до потенциала

действия. Затем система возвращается к исходному потенциа-

лу фо, и, наконец, переходит в рефрактерное состояние. Ско-

рость распространения одиночного импульса определяется

лишь

первыми двумя фазами, в которых потенциал нарастает.

Задавшись прямоугольным начальным импульсом тока и учи-

тывая значения емкости и сопротивления на единицу длины

аксона

и его радиус,

удается

вычислить скорость распростра-

нения

как в немиелинизированном, так и в миелинизированном

аксоне

в разумном согласии с опытом. Полученные зависимо-

сти скорости от названных параметров

следуют

и непосред-

ственно из соображений размерности.

Дальнейшее развитие теории распространения импульса

проведено в работах Маркина, Чизмаджева и др. [35, 39, 55—

57, 98, 99].

Распространение возбуждения по немиелинизированному

однородному волокну описывается общим уравнением

дф(лг,

0 _ J д\(х, /) _ J .. . _.

dt ~ RC дх

С ' ^

А1)

где ф — потенциал мембраны, отсчитываемый от потенциала по-

коя,

R — сумма внешнего и внутреннего сопротивлений на еди-

ницу

длины волокна, С—емкость, отнесенная к единице длины

волокна,

/ — ионный ток, текущий через мембрану (также от-

несенный

к единице длины волокна). / > 0, если ток

течет

наружу.

1S2

ГЛ.

НЕРВНЫЙ ИМПУЛЬС

Ионный

ток —

знакопеременная величина. Сразу

по

дости-

жении

порога

он

течет

внутрь волокна,

спустя некоторое

вре-

мя

меняет направление

течет

наружу.

Действительно, потен-

циал

мембраны после прохождения импульса возвращается

исходному значению. Соответственно делается наиболее

про-

стое предположение

токе, текущем через мембрану

при ее

возбуждении.

Ионный

ток

аппроксимируется двумя прямоуголь-

ными

«столиками»

(рис.

4.16).

Импульс тока, направленный

внутрь, имеет модуль

/, и

продолжительность

п,

за

ним

импульс

/г

направлен

на-

ружу

имеет продолжитель-

ность

. В

работах

[53, 54] в

сущности рассматривается

лишь

импульс

\\.

Кроме того,

учитывается утечка тока через

пассивную проводимость

мем-

браны,

дающая вклад q>/r

где

—

сопротивление

мем-

браны единицы длины аксона

состоянии покоя.

Таким

образом, проблема

четко сформулирована

как

задача математической

физи-

ки.

Ищем волновое решение уравнения

(ср. стр. 180).

Вводим

координату

l = x— vt, где v —

скорость распространения

им-

пульса. Уравнение

(4.17)

переписывается

виде

(4.18)

Ток,мА

~50

0,5

1,0

Рис.

4.16.

Аппроксимация ионного

тока

при

возбуждении мембраны.

При

условии

ф(оо) =0 и

условии конечности

ф при

|—*—оо

решения

уравнения

(4.18)

записывают следующим образом:

В области

| > 0

2 ех

*«»'

—

2B(A

Hi +

/2)

ехр [- от, (Л +

В)]}

ехр [- (Л +

В)

|] (4Л9)

(здесь

A = 4

vRC, B = {

RlrJ'

В области —от,^£^0

2В(А + В)

(/i +

/2)

ехр [- от, (Л +

В)]}

ехр [- (Л +

В)

2В

(В — А)

-А)

ех

Р № ~

) У +

*mh.

(4.20)

4.2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕРВНОГО ИМПУЛЬСА 183

В области —u(ti + т

)^|^UT]

«Р

(&)

25 (/- А) ^' +

2B{

+B)

ехр [- о (т, + т

) (Л + В) - (Л + В) £] - r

. (4.21)

В области | < — v (Т] + т

)

Ч>

д (/- Л) Wi + /2) ехр [ах, (S - Л)] -

ехр

[v (т, + т

) (S - Л)] - /,} exp[(S - Л)|]. (4.22)

Приравнивая

напряжение ф(0) в точке, где включен ток, по-

рогу возбуждения q/, получаем уравнение для скорости v

2В (

+ В)

{/i + h

ех

Р [~

(*• +

г) (Л + В)] -

- (А + /г) ехр [- от, (Л + В)]} = ф'. (4.23)

Надо еще учесть, что при возбуждении заряд, протекающий в

одном направлении, равен заряду, протекающему в другом на-

правлении

/,т, = /

. (4.24)

Уравнение (4.23) относительно и имеет два решения. На рис. 4.17

показаны

кривые Ф'(У) ДЛЯ трех значений проводимости

утеч-

ки

. Принятые параметры (аксон кальмара): /, = 63 мкА,

== 40 мкА, Ti = 0,35 мс, т

= 0,55 мс, С = 0,157 мкФ/см,

удельное сопротивление аксоплазмы р = 50 Ом

•

см, диаметр

аксона d = 0,05 см, ф' = 18,5 мВ. Прямая ф' = 18,5 мВ пере-

секает кривую Ф'(У) в

двух

точках при достаточно малых зна-

чениях gy.

Считая экспоненты близкими к единице, находим большую

(v\)

и меньшую (v

) скорости

Пренебрегая проводимостью мембраны в состоянии покоя, т.е.

положив г

-> оо, находим

что совпадает с формулой Компанейца. Зависимость v\{d) сле-

дует

из того, что /i ~ d, R ~ d~

, С ~ d. Получаем v~d

, что

согласуется с опытом.

184

ГЛ. 4.

НЕРВНЫЙ

ИМПУЛЬС

Решение

и, устойчиво, и

— неустойчиво. Пусть скорость v

возросла на некоторую

малую

величину. Тогда, как видно из

рис.

4.17, потенциал в средней точке импульса уменьшится и

окажется ниже порогового значения q/. В

результате

импульс

замедлится. Если же v\ уменьшится, то потенциал в передней

точке

будет

превосходить порог и возбуждение начнет распро-

страняться быстрее. Для

справедливы обратные

соотношения.

При

расчете по фор-

муле

(4.27)

при указан-

ных значениях парамет-

ров получаем v° — 23 м/с;

при

расчете по фор-

муле

(4.25)

учетом

опытного значения г

6,37 • 10

Ом • см -

vi = 21,5 м/с. Опыт

дает

о, = 21,2 м/с. Совпаде-

м/с

ние

превосходное (даль-

Рис.

4.17. Скорость распространения нейшие подробности СМ. В

импульса при различных проводимостях цитированных работах)'.

утечки

2-g

= l Ом

5,74 Ом"

•

• см"

.. —

Таким

образом, тео-

рия

показывает, что ско-

рость распространения

импульса определяется

электрическими

и геометрическими параметрами аксона и пра-

вильный

результат

получается практически независимо от фор-

мы исходного импульса. Для решения задачи о скорости рас-

пространения

нет надобности пользоваться какими-либо спе-

циальными

предположениями.

На

тех же основаниях решается ряд

других

задач, относя-

щихся к распространению возбуждения. Решение для волокна

переменного сечения показывает, что по мере приближения

расширению волокна скорость импульса падает, а затем, по-

сле прохождения границы, асимптотически возрастает до' по-

стоянной

величины. При обратном движении скорость возра-

стает по мере приближения к сужению, а затем падает допре-

дельного значения. При определенном соотношении радиусов

узкой и широкой части волокна происходит блокировка импуль-

са в расширяющемся участке [35, 48].

Распространение

одиночного возбуждения в ветвящемся во-

локне

[35, 59] своеобразно в том смысле, что в

случае

разно-

временного подхода

двух

импульсов к точке ветвления происхо-

дит их синхронизация. При определенных условиях импульсы

блокируются.

4.3.

ГЕНЕРАЦИЯ

ИМПУЛЬСА

185

Развита теория взаимодействия нервных волокон в пучках и

стволах [35, 60]. При возбуждении одного из волокон в сосед-

них распространяются волны наведенного потенциала, изменя-

ющие их возбудимость. Вероятность передачи возбуждения от

одного волокна к другим оказывается малой, но при возбуж-

дении

сразу большого числа волокон возбуждение может пе-

рейти на соседние невозбужденные волокна тем легче, чем

больше его радиус и чем меньше объем межклеточной жидко-

сти.

Вероятность такой передачи наиболее высока в неоднород-

ных участках нервных стволов [35, 61]. Дана теория коллек-

тивного возбуждения одновременно раздражаемых параллель-

ных волокон.

На

тех же основаниях рассмотрено распространение воз-

буждения в синцитиях — в предельных случаях редкой и густой

сети. Второй случай рассматривается в терминах сплошной

возбудимой среды [35, 62]. Показано, что в таких

средах

воз-

можны сложные режимы возбуждения типа ревербераторов

(см.

8.10).

Кратко

перечисленные здесь результаты теоретического рас-

смотрения

находятся в качественном согласии с опытными дан-

ными.

Таким

образом, физико-математическая теория распростра-

нения

нервного возбуждения не только объясняет обширную

совокупность фактов, но позволяет выйти на подступы к иссле-

дованию нервной системы в целом. Биофизика встречается здесь

с рядом задач, еще далеких от решения. Эти направления ис-

следования

ведут

физику к познанию еще совершенно загадоч-

ных явлений, относящихся к высшей нервной деятельности.

§ 4.3. ГЕНЕРАЦИЯ ИМПУЛЬСА

Проблема генерации нервного импульса в ответ на раздра-

жение аксона исследовалась экспериментально и теоретически

во множестве работ. Ей посвящены фундаментальные моногра-

фии,

среди которых назовем

труды

Ходжкина [3], Тасаки [6] и

Ходорова [8,94]. Эта проблема уже затрагивалась в §§ 4.1 и 4.2.

Трудности ее изучения в значительной мере связаны с

отсут-

ствием прямой информации о соответствующих молекулярных

процессах. Приходится строить теоретические и полуэмпириче-

ские

модели, основанные на косвенных данных, полученных в

опытах, в которых мембраны подвергаются различным физиче-

ским

и химическим воздействиям.

Из

формальных математических исследований, описанных

выше,

можно заключить, что распространение и генерация им-

пульса определяются формой трансмембранного тока — специ-

фикой

его зависимости от потенциала и времени. В свою

186

ГЛ. 4. НЕРВНЫЙ ИМПУЛЬС

•'Na

очередь особенность вольт-амперной характеристики мембра-

ны—наличие

участка

с отрицательным наклоном — является

следствием зависимости Na- и К-проводимостей от потенциала

на

мембране. Следовательно, поиски физической сущности воз-

буждения сводятся к исследованию механизмов, определяющих

зависимость проводимостеи и по-

тенциала от времени.

Проведем прежде всего полу-

эмпирическое рассмотрение ос-

новных характеристик генера-

ции

[63].

Рассмотрим возникновение

потенциала действия в однород-

ном

участке

нервного волокна.

Так

как на первом этапе деполя- а)

'Na

'Na'

Vt %<Рг

Рис.

4.18. Зависимость /

от

времени.

Рис.

4.19. Экспериментальная

вольт-амперная характеристи-

ка

(а) и ее аппроксимация ло-

маной линией (б).

ризации

К-проводимость очень мала, считаем ионный ток сум-

мой тока утечки /

и Na-тока /

. Ток утечки выражается по

закону Ома как отношение изменения потенциала ф == ^ — q

(^о — потенциал покоя) к сопротивлению мембраны R:

Зависимость /

от времени аппроксимируем прямоугольной

«ямой»,

показанной на рис. 4.18, где f —момент достижения

током его пикового значения, ^ — момент спада Na-тока.

Опыты при фиксированном потенциале показывают, что за-

висимость /ка(ф) нелинейна. Это обусловлено зависимостью

gNa(cp). При мгновенном скачке потенциала проводимость g

не

успевает

измениться и, как показывают опыты Ходжкина и

Хаксли [3], /ка линейно зависит от разности потенциалов

= £

a (ф ~ Ф

.)-

(4.28)

Как

мы видели, зависимость #

Ка

(ф) S-образна. Причины этого

4.3. ГЕНЕРАЦИЯ ИМПУЛЬСА

187

рассмотрены ранее в § 3.6. В

результате

наблюдается вольт-

амперная

характеристика с падающим участком (рис. 4.19, а).

Заменим

эту кривую ломаной линией (рис.

4.19,6)

и введем g\,

— абсолютные величины Na-проводимости

dip

d<p

при

ф, < ф < ф

, |

при

ф > ф

(4.29)

Вольт-амперная характеристика для пикового Na-тока опи-

сывается формулами

О,

Ф<Фь

—

^1(ф— фО,

Ф1<Ф<Ф2,

—

(Ф

—

Ф0.

< Ф

(4.30)

причем gi < g < g

, где g = R-\ При возбуждении мембраны

постоянным

током от источника с напряжением ф имеем / =

^ф. Рассмотрим ответы мембраны на такое раздражение.

Если

ф < ф

то /Na = 0, /j = /

. Уравнение для мембран-

ного тока

принимает

вид

Его решение

—Фо

ф[1

—

ех

р(—-f-

О]'

(4.31)

(4.32)

Это уравнение описывает пассивное поведение мембраны при

подпороговых стимулах. Величина стимула ф = RI определяет

предел, до которого растет ф. Если в момент t = t

стимулиру-

ющий

ток выключается, то

4?-

= g

(Фо

—

Ф)

с начальным условием

\ С

Решение

дает

быстро спадающее напряжение

( s Л Л (я.

— ф

= ф ехр -^- /

— 1 ехр I —^~

L V ь / J \ О

(4.33)

188

ГЛ. 4.

НЕРВНЫЙ

ИМПУЛЬС

Если

стимулирующий ток достаточно велик, то наступает

момент

/ = t\, в который растущий потенциал ф достигает ве-

личины

фь Рассмотрим ответ на действие длительного стиму-

ла. Имеем

ЧТ

= g

V ~

s (ф

^ —

(4.34)

Введем следующие обозначения: Е = ср — ф

, £, = ф, — ф

. Ре-

шение

(4.34) имеет вид

Рис.

4.20. Изменение мембран-

ного

потенциала со временем

при

раздражении постоянным

током.

Пунктирная

кривая — пассивный от-

(4.35)

Так

как g > g\, то величина £(/)

растет, если ф> ^ь до значения

= lim £ = ф +

+-r^V

(Ф

- £0 >

Ф.

(4.36)

Картина

роста потенциала имеет

вид,

показанный на рис. 4.20.

Локальный

ответ

определяется как разность наблюдаемого

сдвига потенциала и соответствующего пассивного ответа. Вы-

читая

(4.32) из (4.35), находим

Мы

видим, что (ср. (4.32))

(4.37)

(4.38)

Вычисление производной дает

•

Ч 1-J ТОК Г\ 1

•

U L> по

lim

—-^- = 0; lim —-j^

,^.,

dt ,.^t dt

(4.39)

Из

уравнений (4.37) — (4.39)

следует,

что локальный ответ имеет

S-образную форму (рис. 4.21), как и наблюдается экспери-

ментально

[64].

4.3. ГЕНЕРАЦИЯ ИМПУЛЬСА

Согласно уравнению

(4.32)

]89

Исключив

с помощью этого соотношенияехр Г— --гtA из ура-

внения

(4.35), находим

Зависимость Е от стимула ф нелинейна.

Расчет

дает

кривую £(ф), показанную на рис. 4.22. Экспе-

риментальная кривая имеет ту же форму [65].

Рис.

4.21. Зависимость локального

ответа от времени.

Рис.

4.22. Зависимость сдвига

мембранного

потенциала от

приложенного

стимула.

Мы

видим, что рассматриваемая полуэмпирическая модель

выявляет основные черты локального ответа: его

S-образную

зависимость от времени, градуальность, т.е. зависимость от

величины стимула, и нелинейный характер этой зависимости.

Все эти черты обусловлены появлением тока через мембрану,

определяемого отрицательной дифференциальной проводимо-

стью, абсолютная величина которой gi меньше мембранной про-

водимости g.

В отличие от того, что наблюдается в эксперименте, наша

модель приводит к появлению

«порога»

для локального ответа.

Причиной

этого является упрощение, согласно которому в точке

«порога»

происходит излом проводимости. На самом делз вы-

ключение Na-тока происходит плавно, что должно повлечь за

собой превращение точки перехода в некоторую область не-

рехода.

Допустим теперь, что предел

Е,*,,

к которому стремится сдвиг

потенциала, превышает величину ф

. Система оказывается в

области, где Na-ток определяется отрицательной дифференци-

альной проводимостью, абсолютная величина которой g

> g.

Так

как g > gi, можно считать g

3> gi. Пиковый Na-ток на

190 ГЛ. 4. НЕРВНЫЙ ИМПУЛЬС

этом участке записывается в виде /Na = —£г(ф— фг)- Измене-

ние

мембранного потенциала описывается уравнением

"Й"

^~ ff(<P —Фо) + 2г(ф —Ф2).

(4.41)

Рассмотрим действие длительного стимула. В этом

случае

мо-

мент t

, с которого начинается

«действие»

уравнения (4.41),

приходится на участок подъема потенциала, описываемый

уравнением (4.35). Решение уравнения

(4.41)

имеет вид

[

(

—(ф

+ Ф) Н —

= —(ф +

Фо)

Н ——

Ф2

фо)

-g^7

ф2

ехр

]

•

{4Л2)

Показатель экспоненты здесь положителен. Функция ф ра-

стет

неограниченно или падает в зависимости от знака пред-

экспоненциального

множителя. Если к моменту t

потенциал

равен ф

, то предэкспоненциальный множитель положителен

при

условии ф > фг — фо- Таким образом, начинается рост по-

тенциала, не ограниченный величиной стимула. Потенциал ра-

стет

вплоть до момента времени / = t

, когда вследствие инак-

тивации

мембраны Na-ток падает. Если к этому времени пре-

кратилось действие стимула, то поведение системы описывается

уравнением

С -^г = — g

(Ф

— Фо),

решение которого имеет вид

Потенциал

падает экспоненциально до уровня потенциала по-

коя.

Весь ход ф(/) представляется кривой, изображенной на

рис.

4.23.

Перейдем к рассмотрению поведения мембранного потен-

циала при малой длительности стимула t

. Для простоты пре-

небрежем вкладом локального ответа в пороговый сдвиг мем-

бранного потенциала, так как этот ответ просто суммируется

с изотоническим ответом на раздражение постоянным током.

Пусть действие стимула прекращается еще на изотоническом

этапе развития мембранного потенциала. К моменту t = t

по-

тенциал достигает величины ф

, но Na-ток не включается, пока

не

пройдет отрезок времени, равный некоторому лаг-периоду

At. Но за это время действие стимула прекращается и начи-

нается падение потенциала. Если к моменту времени t =