Желтов Ю.П. Разработка нефтяных месторождений
Подождите немного. Документ загружается.
191
ÏÂÌË, ÔÓ ÍË‚ÓÈ
ν
= f(
η
) – Ó·‚Ó‰ÌÂÌÌÓÒÚ¸ ÔÓ‰Û͈ËË, ÔÓÒÎÂ
˜Â„Ó ÔÓ ÙÓÏÛΠ(IV.99) – ÚÂÍÛ˘Û˛ ‰Ó·˚˜Û ÌÂÙÚË.
éÚÏÂÚËÏ Â˘Â ‡Á, ˜ÚÓ ËÁÎÓÊÂÌ̇fl ‚˚¯Â ÏÂÚÓ‰Ë͇ ÔËÂÏÎÂχ
‰Îfl ÔÓ„ÌÓÁËÓ‚‡ÌËfl ÔÓ͇Á‡ÚÂÎÂÈ ‡Á‡·ÓÚÍË Ì‡ Ò‡‚ÌËÚÂθÌÓ
Ì·Óθ¯ÓÈ ÔÂËÓ‰ ‚ÂÏÂÌË, ̇ ÍÓÚÓ˚È ÏÓÊÌÓ Ò ÓÔ‰ÂÎÂÌÌÓÈ
Û‚ÂÂÌÌÓÒÚ¸˛ ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎËÓ‚‡Ú¸ Ë Ò‡ÏÛ ÍË‚Û˛
ν
= f(
η
). åÓÊ-
ÌÓ ÎË ‡ÒÒ˜ËÚ˚‚‡Ú¸ ÔÓ ÛÔÓ˘ÂÌÌ˚Ï ÏÂÚÓ‰ËÍ‡Ï ÔÓ͇Á‡ÚÂÎË ‡Á-
‡·ÓÚÍË ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËÈ Ì‡ ·ÓΠ‰ÎËÚÂθÌ˚È ÔÂËÓ‰, ÍÓ„‰‡
ÚÛ‰ÌÓ ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎËÓ‚‡Ú¸ ̇ÏÂÚË‚¯Û˛Òfl ÔÓ ÏÂÒÚÓÓʉÂÌ˲ Á‡-
‚ËÒËÏÓÒÚ¸
ν
= f(
η
)? åÓÊÌÓ, ÌÓ ‰Îfl ˝ÚÓ„Ó ÔËıÓ‰ËÚÒfl ËÒÔÓθÁÓ-
‚‡Ú¸ ‰ÓÔÓÎÌËÚÂθÌ˚ ı‡‡ÍÚÂËÒÚËÍË Ô·ÒÚ‡, Ó‰ÌÓÈ ËÁ ÍÓÚÓ˚ı
ÏÓ„ÛÚ ·˚Ú¸ Á‡‚ËÒËÏÓÒÚË ÏÓ‰ËÙˈËÓ‚‡ÌÌ˚ı ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚÂÈ
‰Îfl ÌÂÙÚË Ë ‚Ó‰˚ ÓÚ ÓÒ‰ÌÂÌÌÓÈ ÔÓ ÏÂÒÚÓÓʉÂÌ˲ ‚Ó‰Ó̇Ò˚-
˘ÂÌÌÓÒÚË s. ëΉÛÂÚ Â˘Â ‡Á ÓÚÏÂÚËÚ¸, ˜ÚÓ ‚ ‰‡ÌÌÓÏ Ô‡‡„‡ÙÂ
˜¸ ˉÂÚ Ó ÔËÏÂÌÂÌËË ‰Îfl ‡Ò˜ÂÚ‡ ÔÓ͇Á‡ÚÂÎÂÈ ‡Á‡·ÓÚÍË
ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËfl ÛÔÓ˘ÂÌÌÓÈ, ˝ ÏÔˢÂÒÍÓÈ ÏÂÚÓ‰ËÍË. Ç ÔË̈Ë-
Ô Ê ÏÓÊÌÓ ËÒÔÓθÁÓ‚‡Ú¸ Ë „ˉӉË̇Ï˘ÂÒÍË ‡Ò˜ÂÚÌ˚ ÏÂ-
ÚÓ‰˚. çÓ ‰Îfl ˝ÚÓ„Ó ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏ˚ Ò·Ó Ó·¯ËÌÂÈ¯Â„Ó Ï‡Ú¡· Ó
ÌÂÓ‰ÌÓÓ‰ÌÓÒÚË Ô·ÒÚ‡, ÔÓ͇Á‡ÚÂÎflı ˝ÍÒÔÎÛ‡Ú‡ˆËË ÓÚ‰ÂθÌ˚ı
ÒÍ‚‡ÊËÌ, ‡ Ú‡ÍÊ „ÓÏÓÁ‰Í‡fl ˉÂÌÚËÙË͇ˆËfl ‡Ò˜ÂÚÌ˚ı Ë Ù‡Í-
Ú˘ÂÒÍËı ‰‡ÌÌ˚ı Ó ‡Á‡·ÓÚÍ ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËfl.
èÓ͇ÊÂÏ ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËË ÒÓ Ò͇Á‡ÌÌ˚Ï, Í‡Í ÏÓÊÌÓ ËÒÔÓθÁÓ-
‚‡Ú¸ ÏÓ‰ËÙˈËÓ‚‡ÌÌ˚ ÓÚÌÓÒËÚÂθÌ˚ ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚË ‰Îfl ÛÔ-
Ó˘ÂÌÌÓ„Ó ÔÓ„ÌÓÁËÓ‚‡ÌËfl ÔÓ͇Á‡ÚÂÎÂÈ ‡Á‡·ÓÚÍË ÏÂÒÚÓÓÊ-
‰ÂÌËÈ.
ÖÒÎË ÔËÌflÚ¸, ˜ÚÓ ÏÓ‰ËÙˈËÓ‚‡Ì̇fl ‚Ó‰Ó̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚ¸
s
‡‚̇ Ò‰ÌÂÈ ‚Ó‰Ó̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚË ‚ ‡ÒÒχÚË‚‡ÂÏÓÏ Ô·ÒÚÂ
ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËfl, ÚÓ ÚÂÍÛ˘‡fl Ó·‚Ó‰ÌÂÌÌÓÒÚ¸ ÔÓ ÏÂÒÚÓÓʉÂÌ˲
ν
µ
µ
==
+
fs
ks
ks ks
()
()
() ()
.
‚
‚
‚
Ì
Ì
(IV.103)
íÂÔ¸ ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ ÛÒÚ‡ÌÓ‚ËÚ¸ Ò‚flÁ¸ ÚÂÍÛ˘ÂÈ ÌÂÙÚÂÓÚ‰‡˜Ë
ÔÓ ÏÂÒÚÓÓʉÂÌ˲ ‚ ˆÂÎÓÏ Ë Ò‰ÌÂÈ ‚Ó‰Ó̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚË
s
.
è‚Ó̇˜‡Î¸Ì˚ Á‡Ô‡Ò˚ ÌÂÙÚË ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËfl Ó·ÓÁ̇˜ËÏ ˜ÂÂÁ
G
Ì0
. íÓ„‰‡
G
Ì0
= V
ÔÎ
m(1 – s
Ò‚
)ρ
Ì0
b
Ì0
, (IV.104)
„‰Â V
ÔÎ
– Ó·˙ÂÏ Ô·ÒÚ‡; ρ
Ì0
– ÔÎÓÚÌÓÒÚ¸ ‰Â„‡ÁËÓ‚‡ÌÌÓÈ ÌÂÙÚË;
b
Ì0
– Ó·˙ÂÏÌ˚È ÍÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ.
éÒÚ‡‚¯ËÂÒfl ‚ Ô·ÒÚ Á‡Ô‡Ò˚ ÌÂÙÚË Í ÏÓÏÂÌÚÛ ‚ÂÏÂÌË, ÍÓ„‰‡
Ò‰Ìflfl ‚Ó‰Ó̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚ¸ ÔÓ ÏÂÒÚÓÓʉÂÌ˲ Òڇ· ‡‚ÌÓÈ
s
,
G
Ì ÓÒÚ
= V
ÔÎ
m(1 –
s
Ò‚
)ρ
Ì0
b
Ì0
. (IV.105)
192
àÁ (IV.104) Ë (IV.105) ÔÓÎÛ˜ËÏ
η
= (G
Ì0
– G
Ì ÓÒÚ
)/G
Ì0
= (
s
– s
Ò‚
)/(1 – s
Ò‚
). (IV.106)
í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ËÒÔÓθÁÛfl ÏÓ‰ËÙˈËÓ‚‡ÌÌ˚ ÓÚÌÓÒËÚÂθÌ˚Â
ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚË, ÏÓÊÌÓ ‡ÒÒ˜ËÚ‡Ú¸ ̇ ÓÒÌÓ‚Â ÙÓÏÛÎ (IV.103) Ë
(IV.106) Á‡‚ËÒËÏÓÒÚ¸
ν
= f(
η
). á‡ÚÂÏ, ËÁÏÂÌflfl ‚Â΢ËÌ˚ Ô‡ ‡-
ÏÂÚÓ‚, ‚ıÓ‰fl˘Ëı ‚ ‚ÂÓflÚÌÓÒÚÌÓ-ÒÚ‡ÚËÒÚ˘ÂÒÍÓ ‡ÒÔ‰ÂÎÂÌËÂ
‡·ÒÓβÚÌÓÈ ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚË, ËÎË ËÁÏÂÌflfl Ò‡ÏÓ ‡ÒÔ‰ÂÎÂÌËÂ
ÎË·Ó ‚‡¸ËÛfl ‚Â΢Ë̇ÏË s
Ì ÓÒÚ
Ë s
Ò‚
, ÏÓÊÌÓ ‚ ÔË̈ËÔ ÒÓ‚ÏÂÒ-
ÚËÚ¸ ÚÂÓÂÚ˘ÂÒÍÛ˛ ÍË‚Û˛
ν
= f(
η
) Ò Ù‡ÍÚ˘ÂÒÍËÏË, ÔÓÒÚÓÂÌ-
Ì˚ÏË ÔÓ ‰‡ÌÌ˚Ï ÔË Ô‰˚‰Û˘ÂÈ ‡Á‡·ÓÚÍ ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËfl.
чÎÂÂ, ÔÓ ‰ÓÒÚËÊÂÌËË Û‰Ó‚ÎÂÚ‚ÓËÚÂθÌÓ„Ó ÒÓ‚Ô‡‰ÂÌËfl ÚÂÓÂÚË-
˜ÂÒÍÓÈ ÍË‚ÓÈ ν = f(η) Ò Ù‡ÍÚ˘ÂÒÍËÏË, ÏÓÊÌÓ ˝ÍÒÚ‡ÔÓÎËÓ-
‚‡Ú¸ ÍË‚Û˛ ν = f(η) ‚ ӷ·ÒÚ¸ ·Óθ¯Ëı Á̇˜ÂÌËÈ ÚÂÍÛ˘ÂÈ Ó·-
‚Ó‰ÌÂÌÌÓÒÚË ÔÓ‰Û͈ËË Ë ÌÂÙÚÂÓÚ‰‡˜Ë. èÓÒΠ˝ÚÓ„Ó ÏÓÊÌÓ ‡Ò-
Ò˜ËÚ˚‚‡Ú¸ ‰Ó·˚˜Û ÌÂÙÚË ÔÓ ÙÓÏÛÎ‡Ï (IV.99) – (IV.102).
è Ë Ï Â IV.4. çÂÍÓÚÓo ‚ÌÓ‚¸ ÓÚÍ˚Úo ÌÂÙÚflÌo ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËe Ò
„ÂÓÎӄ˘ÂÒÍËÏË Á‡Ô‡Ò‡ÏË G = 180 ÏÎÌ.$Ú ÌÂÙÚË ‚‚Ó‰ËÚÒfl ‚ ‡Á‡·ÓÚÍÛ.
èÎÓÚÌÓÒÚ¸ ÌÂÙÚË ‚ Ô·ÒÚÓ‚˚ı ÛÒÎÓ‚Ëflı ρ
Ì ÔÎ
= 0,8 Ú/Ï
3
, Ú‡Í ˜ÚÓ Ó·˙ÂÏ ÌÂÙÚË ‚
Ô·ÒÚÓ‚˚ı ÛÒÎÓ‚Ëflı V
0
= 180 ⋅ 10
6
/0,8 = 100 ⋅ 10
6
Ï
3
. îËÁËÍÓ-„ÂÓÎӄ˘ÂÒÍËÂ
Ò‚ÓÈÒÚ‚‡ ÔÓÓ‰-ÍÓÎÎÂÍÚÓÓ‚ Ë ÌÂÙÚË ‡ÒÒχÚË‚‡ÂÏÓ„Ó ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËfl ·ÎËÁÍË Í
ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ËÏ Ò‚ÓÈÒÚ‚‡Ï Ó‰ÌÓ„Ó ËÁ ËÁ‚ÂÒÚÌ˚ı Ë ‰‡‚ÌÓ ‡Á‡·‡Ú˚‚‡ÂÏ˚ı
ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËÈ, ‰Îfl ÍÓÚÓ˚ı ÓÔ‰ÂÎÂ̇ Á‡‚ËÒËÏÓÒÚ¸ ÚÂÍÛ˘ÂÈ Ó·‚Ó‰ÌÂÌÌÓÒÚË
‰Ó·˚‚‡ÂÏÓÈ ÔÓ‰Û͈ËË ν ÓÚ ÚÂÍÛ˘ÂÈ ÌÂÙÚÂÓÚ‰‡˜Ë η (ËÒ. 89).
í·ÛÂÚÒfl ÓÒÛ˘ÂÒÚ‚ËÚ¸ ‚ ͇ژ‡È¯ËÈ ÒÓÍ ÓˆÂÌÍÛ ‚ÓÁÏÓÊÌÓÈ ‰Ó·˚˜Ë ÌÂÙÚË
Ë ‚Ó‰˚ ËÁ ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËfl ‚ Ô‰ÒÚÓfl˘Ë 15 ÎÂÚ. íÂÏÔ ‚‚Ó‰‡ ÒÍ‚‡ÊËÌ ‚
˝ÍÒÔÎÛ‡Ú‡ˆË˛ ̇ ‰‡ÌÌÓÏ ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËË Ô‰ÔÓ·„‡ÂÚÒfl ÒÓı‡ÌËÚ¸ Ú‡ÍËÏ ÊÂ,
Í‡Í Ë Ì‡ ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËË-‡Ì‡ÎÓ„Â (ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËË, ‰Îfl ÍÓÚÓÓ„Ó ËÁ‚ÂÒÚ̇
Á‡‚ËÒËÏÓÒÚ¸ ν = ν(η)).
Ç‚Ë‰Û Í‡ÚÍÓÒÚË ‚ÂÏÂÌË, ÓÚÔÛ˘ÂÌÌÓ„Ó ‰Îfl ÓˆÂÌÍË ‰Ó·˚‚Ì˚ı ‚ÓÁÏÓÊÌÓÒÚÂÈ
ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËfl Ë Ì‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓÒÚË ÔÓ‰Ó·Ì˚ı ‰‡ÌÌ˚ı Ó Â„Ó ÌÂÓ‰ÌÓÓ‰ÌÓÒÚË,
̈ÂÎÂÒÓÓ·‡ÁÌÓ ÓÒÛ˘ÂÒÚ‚ÎflÚ¸ ‡Ò˜ÂÚ ‡Á‡·ÓÚÍË ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËfl Ò ËÒÔÓθÁÓ‚‡-
ÌËÂÏ ÒÎÓÊÌÓÈ ÍÓÏÔ¸˛ÚÂÌÓÈ ÔÓ„‡ÏÏ˚, ‡ ‡ÁÛÏÌÓ ËÒÔÓθÁÓ‚‡Ú¸ ËÁÎÓÊÂÌÌÛ˛
‚˚¯Â ÔË·ÎËÊÂÌÌÛ˛ ÏÂÚÓ‰ËÍÛ (ÙÓÏÛÎ˚ (IV.97) – (IV.102)).
ᇂËÒËÏÓÒÚ¸ Ó·‚Ó‰ÌÂÌÌÓÒÚË ‰Ó·˚‚‡ÂÏÓÈ ÔÓ‰Û͈ËË ÓÚ ÌÂÙÚÂÓÚ‰‡˜Ë (ÒÏ.
ËÒ. 89) ÏÓÊÌÓ ‡ÔÔÓÍÒËÏËÓ‚‡Ú¸
ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏ Ó·‡ÁÓÏ
ν = 34,08(η – 0,1)
2
ÔË 0 ≤ η ≤ 0,25;
ν = 1,232(η – 0,1)
1/4
ÔË 0,25 ≤ η ≤ η
Í
.
ê‡Ò˜ÂÚ ÔÓ͇Á˚‚‡ÂÚ, ˜ÚÓ ‰Îfl ‰‡ÌÌÓÈ
‚˚¯Â Á‡‚ËÒËÏÓÒÚË η
Í
= 0,5 ÔË
ÍÓ̘ÌÓÈ Ó·‚Ó‰ÌÂÌÌÓÒÚË ÔÓ‰Û͈ËË ν
Í
=
= 0,98.
Ç˚˜ËÒÎËÏ ËÌÚ„‡Î (IV.102)
êËÒ. 89. ᇂËÒËÏÓÒÚ¸ ÚÂÍÛ˘ÂÈ Ó·‚Ó‰ÌÂÌ-
ÌÓÒÚË ν ÓÚ ÚÂÍÛ˘ÂÈ ÌÂÙÚÂÓÚ‰‡˜Ë η:
1 – Ù‡ÍÚ˘ÂÒÍË ‰‡ÌÌ˚ ÔÓ ÏÂÒÚÓÓÊ-
‰ÂÌ˲-‡ÌÓÎÓ„Û; 2 – ‡Ò˜ÂÚ̇fl Á‡‚ËÒË-
ÏÓÒÚ¸
193
I
d
=
−
∫
η
νη
η
1
0
()
.
ùÚÓ ÏÓÊÌÓ Ò‰Â·ڸ, ÔÓ‰ÒÚ‡‚Îflfl ‚ ÔÓ‰˚ÌÚ„‡Î¸ÌÓ ‚˚‡ÊÂÌË Ô˂‰ÂÌÌ˚Â
ÙÓÏÛÎ˚ ËÎË ‚˚˜ËÒÎflfl ËÌÚ„‡Î ˜ËÒÎÂÌÌ˚Ï ÔÛÚÂÏ Ò ËÒÔÓθÁÓ‚‡ÌËÂÏ ËÒıÓ‰ÌÓÈ
Á‡‚ËÒËÏÓÒÚË ν = ν(η) ‰Îfl ‡Á΢Ì˚ı Á̇˜ÂÌËÈ η.
çÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ Á‡‰‡Ú¸Òfl ËÁÏÂÌÂÌËÂÏ „Ó‰Ó‚Ó„Ó ÓÚ·Ó‡ ÊˉÍÓÒÚË q
Ê
‚Ó ‚ÂÏÂÌË t.
ùÚ‡ Á‡‚ËÒËÏÓÒÚ¸ Ô‰ÒÚ‡‚ÎÂ̇ ̇ ËÒ. 90. èÛÚÂÏ ËÌÚ„ËÓ‚‡ÌËfl ÒÚÓËÚÒfl
Á‡‚ËÒËÏÓÒÚ¸ ̇ÍÓÔÎÂÌÌÓÈ ÊˉÍÓÒÚË Q
Ê
(t) ÓÚ ‚ÂÏÂÌË t (ÒÏ. ËÒ. 90).
èÓÒÍÓθÍÛ η = Q
Ì
(t)/G
0
, ÚÓ ‰Îfl Í‡Ê‰Ó„Ó Á̇˜ÂÌËfl η ÏÓÊÌÓ ÓÔ‰ÂÎËÚ¸ Q
Ì
(t).
èÓÒÍÓθÍÛ Òӄ·ÒÌÓ (IV.102) I(η) = Q
Ê
(t)/G
0
, ÚÓ ‰Îfl Í‡Ê‰Ó„Ó Á̇˜ÂÌËfl η Ë t
·Û‰ÛÚ ËÁ‚ÂÒÚÌ˚ Q
Ê
(t) Ë Q
Ì
(t) (ÒÏ. ËÒ. 90). ÇˉÌÓ, ˜ÚÓ ˜ÂÂÁ 15 ÎÂÚ Q
Ì
≈ 26 ×
× 10
6
Ï
3
.
§ 21. êÄëóÖí èãÄëíéÇéÉé ÑÄÇãÖçàü
à ÑÖÅàíéÇ ëäÇÄÜàç
èË ÓÔ‰ÂÎÂÌËË Á‡·ÓÈÌÓ„Ó ‰‡‚ÎÂÌËfl ‚
ÒÍ‚‡ÊË̇ı Ò ˆÂθ˛ ‚˚·Ó‡ ÒÔÓÒÓ·Ó‚ ÔÓ‰˙Âχ ÊˉÍÓÒÚË ËÁ
„ÎÛ·ËÌ˚ ̇ ‰Ì‚ÌÛ˛ ÔÓ‚ÂıÌÓÒÚ¸, ÓˆÂÌÍË Ù‡ÁÓ‚Ó„Ó ÒÓÒÚÓflÌËfl
ÌÂÙÚË Ë ‚Ó‰˚, ‡ Ú‡ÍÊ ‰Îfl ‚˚˜ËÒÎÂÌËfl „‡‰ËÂÌÚÓ‚ Ô·ÒÚÓ‚Ó„Ó
‰‡‚ÎÂÌËfl Ò ˆÂθ˛ ÓÔ‰ÂÎÂÌËfl ÒÍÓÓÒÚÂÈ ÔÂÂÏ¢ÂÌËfl
ÙËθÚÛ˛˘ËıÒfl ‚¢ÂÒÚ‚, „‡Ìˈ ‡Á‰ÂÎÓ‚ ÏÂÊ‰Û ÌÂÙÚ¸˛ Ë
‚Ó‰ÓÈ ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ Á̇ڸ ÔÓΠÔ·ÒÚÓ‚Ó„Ó ‰‡‚ÎÂÌËfl.
èË Â¯ÂÌËË Á‡‰‡˜ ÙËθڇˆËË ÌÂÓ‰ÌÓÓ‰Ì˚ı ÊˉÍÓÒÚÂÈ, ‚
˜‡ÒÚÌÓÒÚË ÌÂÙÚË Ë ‚Ó‰˚, ̇fl‰Û Ò ‚˚˜ËÒÎÂÌËÂÏ ÔÓÎfl
‚Ó‰Ó̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚË ÓÔ‰ÂÎfl˛Ú Ë ÔÓΠÔ·ÒÚÓ‚Ó„Ó ‰‡‚ÎÂÌËfl. Ç
ÒÎÛ˜‡Â ‚˚ÚÂÒÌÂÌËfl ÌÂÙÚË ‚Ó‰ÓÈ ËÁ ÔflÏÓÎËÌÂÈÌÓ„Ó ËÎË
‡‰Ë‡Î¸ÌÓ„Ó Ô·ÒÚ‡ ÔË ËÒÔÓθÁÓ‚‡ÌËË ÏÓ‰ÂÎË Ôӯ̂ӄÓ
‚˚ÚÂÒÌÂÌËfl ÔÓΠ‰‡‚ÎÂÌËfl ‚˚˜ËÒÎflÂÚÒfl ÔÓÒÚÓ ÔÓ ÙÓÏÛ·Ï,
Ô˂‰ÂÌÌ˚Ï ‚ § 17.
Ç ÒÎÛ˜‡Â ÌÂÔÓ¯ÌÂ‚Ó„Ó ‚˚ÚÂÒÌÂÌËfl ÌÂÙÚË ‚Ó‰ÓÈ ‰‡Ê ËÁ
ÔflÏÓÎËÌÂÈÌÓ„Ó Ô·ÒÚ‡ ‡ÒÔ‰ÂÎÂÌË ‰‡‚ÎÂÌËfl ‚ ÌÂÏ
êËÒ. 90. ᇂËÒËÏÓÒÚ¸ q
Ê
,
Q
Ê
, Q
Ì
ÓÚ ‚ÂÏÂÌË t:
1 – q
Ê
; 2 – Q
Ê
; 3 – Q
Ì
194
ÛÒڇ̇‚ÎË‚‡Ú¸ ÌÂÒÍÓθÍÓ ÒÎÓÊÌÂÂ. èÓ˝ÚÓÏÛ ‡ÒÒÏÓÚËÏ ÔÓÒΉ-
ÌËÈ ÒÎÛ˜‡È ·ÓΠÔÓ‰Ó·ÌÓ ‰Îfl ÒÎÛ˜‡fl Ó‰ÌÓÏÂÌÓÈ ÔflÏÓ-
ÎËÌÂÈÌÓÈ ÙËθڇˆËË.
ëӄ·ÒÌÓ ËÒ. 91 Ë Ô˂‰ÂÌÌ˚Ï ‚ § 18 ÙÓÏÛ·Ï, ËÏÂÂÏ
ÒÎÂ‰Û˛˘Â ‚˚‡ÊÂÌË ‰Îfl ÒÛÏχÌÓÈ ÒÍÓÓÒÚË ÙËθڇˆËË
ÌÂÙÚË Ë ‚Ó‰˚ ‚ Ô·ÒÚÂ:
vv v k
kkp
x
=+=− +
‚Ì
‚
‚
Ì
Ì
µµ
∂
∂
.
(IV.107)
éÚÒ˛‰‡, Û˜ËÚ˚‚‡fl ‚˚‡ÊÂÌË ‰Îfl ÙÛÌ͈ËË f(s), ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ
qvvbh k k
bhk
p
x
=+ = + =
()
‚Ì
‚
‚
‚
Ì
Ì
µ
µ
µ
∂
∂
=
bhk
ks
fs
p
xµ
∂
∂
‚
‚
()
()
.
(IV.108)
èË ˝ÚÓÏ ‰Îfl ÔÓÒÚÓÚ˚ ·Û‰ÂÏ ÔÓ·„‡Ú¸ ‚ ‰‡ÌÌÓÏ Ô‡‡„‡ÙÂ,
˜ÚÓ Ó·˙ÂÏ Á‡Í‡˜‡ÌÌÓÈ ‚ Ô·ÒÚ ‚Ó‰˚ V
‚Á
= qt. èÓÒÍÓθÍÛ
xdxd
qt
bhm
qt
bhm
==ξξ;,
ÔÓÒΠËı ÔÓ‰ÒÚ‡ÌÓ‚ÍË ‚ (IV.108) ËÏÂÂÏ
q
bhk k s
fs
p
ı
bhmk
qt
ks
fs
p
= − = −
µ
∂
∂ξ
∂ξ
∂ µ
∂
∂ξ
‚
‚
‚
‚
()
()
()
()
.
22
(IV.109)
ì˜ËÚ˚‚‡fl, ˜ÚÓ dξ = f′′(s)ds Ë Á‡ÏÂÌflfl ˜‡ÒÚÌ˚ ÔÓËÁ‚Ó‰Ì˚Â
Ó·˚ÍÌÓ‚ÂÌÌ˚ÏË, ËÁ (IV.109) ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ
q
bhmk
qt
ks
fsf s
p
s
= −
′′
22
µ
∂
∂
‚
‚
()
() ()
ËÎË
qt
bhmk
fsf s
ks
ds dp
µ
‚
‚
22
() ()
()
.
′′
= − (IV.110)
êËÒ. 91. ëıÂχ ÌÂÔӯ̂ӄÓ
‚˚ÚÂÒÌÂÌËfl ÌÂÙÚË ‚Ó‰ÓÈ ËÁ
ÔflÏÓÎËÌÂÈÌÓ„Ó Ô·ÒÚ‡:
1 – ÌÂÙÚ¸; 2 – ‚Ó‰‡
195
ëӄ·ÒÌÓ ËÒ. 91, ‚ ӷ·ÒÚË Ô·ÒÚ‡ ÔË x
‚
≤
x
≤
l ‰‚ËÊÂÚÒfl
˜ËÒÚ‡fl ÌÂÙÚ¸. ÅÛ‰ÂÏ Ò˜ËÚ‡Ú¸, ˜ÚÓ Ù‡ÁÓ‚‡fl ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚ¸ ‰Îfl
ÌÂÙÚË ‚ ˝ÚÓÈ Ó·Î‡ÒÚË ‡‚̇ ‡·ÒÓβÚÌÓÈ. íÓ„‰‡ ‰Îfl ÔÓÎÌÓ„Ó
ÔÂÂÔ‡‰‡ ‰‡‚ÎÂÌËfl
∆
p ‚ ÔflÏÓÎËÌÂÈÌÓÏ Ô·ÒÚ ÔÓÎÛ˜ËÏ
ÒÎÂ‰Û˛˘Â ‚˚‡ÊÂÌËÂ:
∆
psds
qlk
bhk
qt
bhmk
s
s
=+
−
∗
∫
µµ
ψ
Ì‚ ‚
‚
()
() ;
2
22
ψ
()
() ()
()
;
s
fsf s
ks
=
′′
‚
x
fsqt
bhm
‚
‚
=
′
()
. (IV.111)
ÇÓ‰Ó̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚ¸ ̇ ÙÓÌÚ ‚˚ÚÂÒÌÂÌËfl s
‚
ÓÔ‰ÂÎflÂÏ ÔÓ
ÏÂÚÓ‰ËÍÂ, Ô˂‰ÂÌÌÓÈ ‚ § 18. àÌÚ„‡Î ÓÚ ÙÛÌ͈ËË ‚Ó‰Ó̇Ò˚-
˘ÂÌÌÓÒÚË ψ(s) ÏÓÊÌÓ ‚˚˜ËÒÎËÚ¸ ˜ËÒÎÂÌÌ˚Ï ÔÛÚÂÏ. èË ˝ ÚÓÏ
‚ıÓ‰fl˘Û˛ ÙÛÌÍˆË˛ ψ(s) Ë ‚ÚÓÛ˛ ÔÓËÁ‚Ó‰ÌÛ˛ ÙÛÌ͈ËË f(s)
ÏÓÊÌÓ Ì‡ÈÚË ÔÛÚÂÏ ˜ËÒÎÂÌÌÓ„Ó ‰ËÙÙÂÂ̈ËÓ‚‡ÌËfl.
Ç ‡‰Ë‡Î¸ÌÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ̇ ÓÒÌÓ‚Â ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘Ëı ÙÓÏÛÎ
§ 18 ËÏÂÂÏ
q
khr
ks
fs
p
r
= −
2π
µ
∂
∂
‚
‚
()
()
. (IV.112)
ÑËÙÙÂÂ̈ËÛfl ÙÓÏÛÎÛ (IV.77), ËÏÂÂÏ
′′
= −fsds
hmrdr
qt
() .
2π
(IV.113)
èÓ‰ÒÚ‡‚Îflfl (IV.113) ‚ (IV.112) Ë Á‡ÏÂÌflfl ˜‡ÒÚÌÛ˛
ÔÓËÁ‚Ó‰ÌÛ˛ ̇ Ó·˚ÍÌÓ‚ÂÌÌÛ˛, ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ
q
mr h k
qt
ksp
fsfss
= −
′′
4
222
π
µ
∂
∂
‚
‚
.
()
()()
ËÎË
q
kh
fsf s
fsks
ds dp
µ
π
‚
‚
4
() ()
() ()
.
′′
′
= − (IV.114)
ÑÎfl ÔÓÎÌÓ„Ó ÔÂÂÔ‡‰‡ ‰‡‚ÎÂÌËfl ∆p
Ò
ÏÂÊ‰Û ÒÍ‚‡ÊËÌÓÈ Ë
ÍÓÌÚÛÓÏ ÔËÚ‡ÌËfl ÔÓÎÛ˜ËÏ ÒÎÂ‰Û˛˘Â ‚˚‡ÊÂÌËÂ:
∆pds
q
kh
fsf s
fsks
q
kh
r
r
s
s
u
c
‚
‚
‚
Ë
‚
=+
′′
′
∗
∫
µ
π
µ
π42
() ()
() ()
.
ln (IV.115)
ÇÂ΢ËÌ˚ s
‚
Ë r
‚
ÓÔ‰ÂÎflÂÏ ÔÓ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ËÏ ÙÓÏÛ·Ï
§ 18.
196
èË Â¯ÂÌËË ÔÎÓÒÍËı Á‡‰‡˜
‚˚ÚÂÒÌÂÌËfl ÌÂÙÚË ‚Ó‰ÓÈ ˜ËÒÎÂÌ-
Ì˚ÏË ÏÂÚÓ‰‡ÏË ÔÓΠÔ·ÒÚÓ‚Ó„Ó
‰‡‚ÎÂÌËfl ‚˚˜ËÒÎfl˛Ú Ó‰ÌÓ‚ÂÏÂÌ-
ÌÓ Ò ÔÓÎÂÏ ‚Ó‰Ó̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚË Ë
ÌÂÙÚÂ̇Ò˚˘ÂÌÌÓÒÚË.
ç‡ Ô‡ÍÚËÍ ·˚‚‡ÂÚ ‚‡ÊÌÓ ÓÔ-
‰ÂÎËÚ¸ ÔÂÂÔ‡‰˚ Á‡·ÓÈÌÓ„Ó ‰‡‚ÎÂÌËfl ÏÂÊ‰Û Ì‡„ÌÂÚ‡ÚÂθÌ˚ÏË
Ë ‰Ó·˚‚‡˛˘ËÏË ÒÍ‚‡ÊË̇ÏË Ì ‚Ó ‚Ò ÔÂËÓ‰˚, ‡ ‚ ÓÔ‰ÂÎÂÌ-
Ì˚ ÏÓÏÂÌÚ˚ ‡Á ‡·ÓÚÍË, ̇ÔËÏ ‚ ̇˜‡Î¸Ì˚È Â ÔÂËÓ‰, ÍÓ„-
‰‡ ‚ Ô·ÒÚ ‰‚ËÊÂÚÒfl Ӊ̇ Ô‡ÍÚ˘ÂÒÍË ÌÂÓ·‚Ó‰ÌÂÌ̇fl ÌÂÙÚ¸,
ËÎË ‚ ÌÂÍÓÚÓ˚  ÏÓÏÂÌÚ˚ ÔÓÒΠ̇˜‡Î‡ Ó·‚Ó‰ÌÂÌËfl ‰Ó·˚‚‡ÂÏÓÈ
ËÁ Ô·ÒÚ‡ ÔÓ‰Û͈ËË.
ÑÎfl ÓˆÂÌÍË ˝ÚË ÔÂÂÔ‡‰˚ ‰‡‚ÎÂÌËfl ÏÓÊÌÓ ÓÔ‰ÂÎËÚ¸ ÔË-
·ÎËÊÂÌÌÓ, ËÒÔÓθÁÛfl ÏÂÚÓ‰ ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚ı ÙËθڇˆËÓÌÌ˚ı
ÒÓÔÓÚË‚ÎÂÌËÈ, ÒÛ˘ÌÓÒÚ¸ ÍÓÚÓÓ„Ó ËÁÎÓÊÂ̇ ‚ „Î. II.
ê‡ÒÒ˜ËÚ‡ÂÏ ‡ÒÔ‰ÂÎÂÌË Ô·ÒÚÓ‚Ó„Ó ‰‡‚ÎÂÌËfl ÔË ÚÂıfl‰-
ÌÓÈ ÒıÂÏ ‡ÒÔÓÎÓÊÂÌËfl ÒÍ‚‡ÊËÌ ÔÓ ÏÂÚÓ‰Û ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚ı
ÙËθڇˆËÓÌÌ˚ı ÒÓÔÓÚË‚ÎÂÌËÈ. ÑÎfl ÔÓÒÚÓÚ˚ ‚ÓÁ¸ÏÂÏ Ó‰ÌÓ-
Ó‰Ì˚È Ô·ÒÚ Ë ‰ÓÔÛÒÚËÏ, ˜ÚÓ ÔÓËÒıÓ‰ËÚ Ôӯ̂Ӡ‚˚ÚÂÒÌÂ-
ÌË ËÁ ÌÂ„Ó ÌÂÙÚË ‚Ó‰ÓÈ.
ê‡ÒÒÏÓÚËÏ Í ÔËÏÂÛ ÚÓÚ ÒÎÛ˜‡È, ÍÓ„‰‡ ÔÓˆÂÒÒ Á‡‚Ó‰ÌÂÌËfl
ÚÓθÍÓ Ì‡˜‡ÎÒfl Ë ÌÂÙÚ¸ ‚˚ ÚÂÒÌÂ̇ Î˯¸ ËÁ ӷ·ÒÚË r
Ò
≤ r ≤
≤ r
‚
< σ/π ‚ÓÍÛ„ ̇„ÌÂÚ‡ÚÂθÌÓÈ ÒÍ‚‡ÊËÌ˚ ‡‰ËÛÒÓÏ r
Ò
(ËÒ.
91). ÅÛ‰ÂÏ Ò˜ËÚ‡Ú¸, ˜ÚÓ ‚ ˜‡ÒÚ¸ ÔÓÎÓÒ˚ ‡Á‡·ÓÚÍË, ÒÓ‰Âʇ˘ÂÈ
ÚË fl‰‡ ‰Ó·˚‚‡˛˘Ëı ÒÍ‚‡ÊËÌ, Á‡Íβ˜ÂÌÌ˚ı ÏÂÊ‰Û fl‰‡ÏË Ì‡-
„ÌÂÚ‡ÚÂθÌ˚ı, Á‡Í‡˜Ë‚‡ÂÚÒfl ‚Ó‰‡ Ò ‡ÒıÓ‰ÓÏ q. ÑÎË̇ ‡ÒÒχÚ-
Ë‚‡ÂÏÓÈ ˜‡ÒÚË ÔÓÎÓÒ˚ ‡‚̇ L. í‡ÍËÏ Ó·‡ÁÓÏ, ÂÒÎË ‚ÁflÚ¸
Ô‡‚˚ È fl‰ ̇„ÌÂÚ‡ÚÂθÌ˚ı ÒÍ‚‡ÊËÌ (ÒÏ. ËÒ. 92), ÚÓ ‚ÎÂ‚Ó ÓÚ
Ì„Ó, Ú.Â. ‚ ‡ÒÒχÚË‚‡ÂÏÛ˛ ÔÓÎÓÒÛ, ·Û‰ÂÚ ÔÓÒÚÛÔ‡Ú¸ ‚Ó‰‡ Ò
‡ÒıÓ‰ÓÏ, ‡‚Ì˚Ï q/2. éÒڇθ̇fl ˜‡ÒÚ¸ ‚Ó‰˚ ·Û‰ÂÚ ÛıÓ‰ËÚ¸ ‚
ÒÓÒÂ‰Ì˛˛ ÔÓÎÓÒÛ, ÍÓÚÓ‡fl ‰ÓÎÊ̇ ̇ıÓ‰ËÚ¸Òfl ÒÔ‡‚‡. í‡Í ͇Í
ÂÊËÏ ‡Á‡·ÓÚÍË Ô·ÒÚ‡ Ò˜ËÚ‡ÂÚÒfl ‚Ó‰Ó̇ÔÓÌ˚Ï, Ó·˙ÂÏÌ˚È
‡ÒıÓ‰ ‚Ó‰˚ ‡‚ÂÌ Ó·˙ÂÏÌÓÏÛ ‰Â·ËÚÛ ÌÂÙÚË ‚ Ô·ÒÚÓ‚˚ı ÛÒÎÓ-
‚Ëflı. Ñ·ËÚ ÔÂ‚Ó„Ó fl‰‡ ‰Ó·˚‚‡˛˘Ëı ÒÍ‚‡ÊËÌ ‡ÒÒχÚË‚‡Â-
ÏÓÈ ˜‡ÒÚË ÔÓÎÓÒ˚ ‡‚ÂÌ q
1
, ‡ ‰Â·ËÚ ‚ÚÓÓ„Ó (ˆÂÌڇθÌÓ„Ó)
fl‰‡ ÒÍ‚‡ÊËÌ q
2
. èÓÒÍÓθÍÛ ‚ ˆÂÌڇθÌ˚È fl‰ ÒÍ‚‡ÊËÌ ÔÓÒÚÛ-
Ô‡ÂÚ ÌÂÙÚ¸ Ú‡ÍÊ Ò΂‡, ÚÓ ËÏÂÂÏ ÒÎÂ‰Û˛˘Â ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËÂ
·‡Î‡ÌÒ‡ ÊˉÍÓÒÚË ‚ Ô·ÒÚÂ:
êËÒ. 92. ëıÂχ ˜‡ÒÚË ÔÓÎÓÒ˚ ÚÂıfl‰ÌÓÈ
ÒËÒÚÂÏ˚ ‡Á‡·ÓÚÍË:
1, 3 – ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ ÔÂ ‚˚È Ë ‚ÚÓÓÈ
fl‰˚ ‰Ó·˚‚‡˛˘Ëı ÒÍ‚‡ÊËÌ; 2 – fl‰ ̇-
„ÌÂÚ‡ÚÂθÌ˚ı ÒÍ‚‡ÊËÌ
197
q/2 = q
1
+ q
2
/2. (IV.116)
ëӄ·ÒÌÓ ÏÂÚÓ‰Û ˝Í‚Ë‚‡ÎÂÌÚÌ˚ı ÙËθڇˆËÓÌÌ˚ı ÒÓÔÓ-
ÚË‚ÎÂÌËÈ Ò Û˜ÂÚÓÏ ÚÓ„Ó, ˜ÚÓ r
‚
≤
σ
/
π
, ËÏÂÂÏ ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ËË Ò
ËÒ. 92 Ë § 11
pp pp
q
r
r
nkkh
q
r
nkkh
Ì‚
‚
‚
c
Ì‚
‚Ì
Ì
‚
ÌÌ
2
2
− = −
′
=
µ
π
µ
σ
π
π
ln ln
;;
′
−
′
=
pp
ql
kk hL
ÌÒ1
Ì
Ì
2
µ
;
′
− =
′
−
′
=
pp pp
q
r
nkkh
ql
kk hL
c1 c1
Ì
c
c1 Ì
c1 c2
Ì
Ì
2
2
1
212
µ
σ
π
π
µ
ln
;;
2
c2 c2
Ì
c
c2 Ì
.
′
− =pp
q
r
nkkh
2
µ
σ
π
π
ln
(IV.117)
á‰ÂÒ¸ n
Ì
, n
Ò1
Ë n
Ò2
– ˜ËÒÎÓ ÒÍ‚‡ÊËÌ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ ‚
̇„ÌÂÚ‡ÚÂθÌÓÏ, Ô‚ÓÏ Ë ‚ÚÓÓÏ fl‰‡ı. éÒڇθÌ˚ ӷÓÁ̇˜ÂÌËfl
Û͇Á‡Ì˚ (ÒÏ. ËÒ. 92) ËÎË ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛Ú ÔËÌflÚ˚Ï ‡ÌÂÂ. ÖÒÎË
ÒÎÓÊËÚ¸ Ô‚˚ ˜ÂÚ˚ ËÁ ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËÈ (IV.117), ÚÓ ÔÓÎÛ˜ËÏ
ÒÎÂ‰Û˛˘Û˛ ÙÓÏÛÎÛ:
pp
q
kh
r
r
nk
r
nk
l
kL
q
r
nkkh
Ìc1
‚
‚
c
Ì‚
Ì
c
ÌÌ
Ì
Ì
Ì
c
c1 Ì
2
.− =+++
2
1
µ
π
µ
σ
π
π
µ
µ
σ
π
π
ln ln ln
(IV.118)
ëÎÓÊËÏ ÔÓÒΉÌË ÚË ÒÓÓÚÌÓ¯ÂÌËfl ÙÓÏÛÎ (IV.117). Ç
ÂÁÛθڇÚ ÔÓÎÛ˜ËÏ
pp
q
kh
l
kL
r
nk
q
r
nkkh
c1 c2
Ì
Ì
Ì
c
Ò2 Ì
Ì
c
c1 Ì
2
.− =+−
212
1
2
µ
µ
σ
π
π
µ
σ
π
π
ln ln
(IV.119)
ä‡Í ËÁ‚ÂÒÚÌÓ, ÔË ‡Ò˜ÂÚ‡ı ÔÓˆÂÒÒÓ‚ ‡Á‡·ÓÚÍË ÌÂÙÚflÌ˚ı
ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËÈ Á‡‰‡Ì˚: 1) ‰Â·ËÚ˚ ÒÍ‚‡ÊËÌ, ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ Ì‡ÈÚË
ÔÂÂÔ‡‰˚ ‰‡‚ÎÂÌËfl ÏÂÊ‰Û Á‡·ÓflÏË Ì‡„ÌÂÚ‡ÚÂθÌ˚ı Ë ‰Ó·˚-
‚‡˛˘Ëı ÒÍ‚‡ÊËÌ; 2) ÔÂÂÔ‡‰˚ ‰‡‚ÎÂÌËÈ, ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ Ì‡ÈÚË
‰Â·ËÚ˚ fl‰Ó‚ ÒÍ‚‡ÊËÌ.
Ç Ô‚ÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ÒΉÛÂÚ ËÒÔÓθÁÓ‚‡Ú¸ ÙÓÏÛÎ˚ (IV.118) Ë
(IV.119), ‚Ó ‚ÚÓÓÏ ÌÂÓ·ıÓ‰ËÏÓ Â¯‡Ú¸ ÒËÒÚÂÏÛ ËÁ ÒÎÂ‰Û˛˘Ëı
ÚÂı ÎËÌÂÈÌ˚ı ‡Î„·‡Ë˜ÂÒÍËı Û‡‚ÌÂÌËÈ:
Aq + Bq
1
= p
Ì
– p
Ò1
; Cq
2
– Bq
1
= p
Ò1
– p
Ò2
; q = 2q
1
+ q
2
;
198
AB
kh
r
r
nk
r
nk
l
kL
r
nkkh
=++=
1
22
µ
π
µ
σ
π
π
µ
µ
σ
π
π
‚
‚
c
Ì‚
Ì
‚
ÌÌ
Ì
Ì
Ì
Ò
Ò1 Ì
ln ln ln
;;
C
l
kk hL
r
nkkh
=+
µ
µ
σ
π
π
Ì
Ì
Ì
c
c2 Ì
12
22
ln
.
(IV.120)
ꯇfl ˝ÚÛ ÒËÒÚÂÏÛ Û‡‚ÌÂÌËÈ, ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ
q
ABp p Bp p
ACB AC
2
2
2
=
+ − + −
++
()( )( )
)
;
Ò1 Ò2 Ì Ò1
(
q
Cq p p
B
1
2
=
−−()
.
Ò1 Ò2
(IV.121)
Ä̇Îӄ˘Ì˚Ï Ó·‡ÁÓÏ Â¯‡˛Ú ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘Ë Á‡‰‡˜Ë ‚
ÒÎÛ˜‡Â ÔflÚËfl‰ÌÓÈ Ë ‰Û„Ëı ÒıÂÏ ‡ÒÔÓÎÓÊÂÌËfl ÒÍ‚‡ÊËÌ.
è Ë Ï Â IV.5. èË ‡Á‡·ÓÚÍ ÌÂÍÓÚÓÓ„Ó ÌÂÙÚflÌÓ„Ó ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËfl
ÔËÏÂÌÂ̇ ÚÂıfl‰Ì‡fl ÒıÂχ ‡ÒÔÓÎÓÊÂÌËfl ÒÍ‚‡ÊËÌ (ÒÏ. ËÒ. 92). ê‡ÒÒÚÓflÌËfl
ÏÂÊ‰Û Ì‡„ÌÂÚ‡ÚÂθÌ˚ÏË Ë ‰Ó·˚‚‡˛˘ËÏË ÒÍ‚‡ÊË̇ÏË Ó‰Ë̇ÍÓ‚˚Â, Ú.Â. 2σ
Ì
=
= 2σ
Ò
= 2σ = 500 Ï. ê‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û fl‰ÓÏ Ì‡„ÌÂÚ‡ÚÂθÌ˚ı Ë Ô‚˚Ï fl‰ÓÏ
‰Ó·˚‚‡˛˘Ëı ÒÍ‚‡ÊËÌ, ‡ Ú‡ÍÊ ÏÂÊ‰Û fl‰‡ÏË ‰Ó·˚‚‡˛˘Ëı ÒÍ‚‡ÊËÌ Ó‰Ë̇ÍÓ‚ÓÂ,
‡‚ÌÓ l = l
12
= 600 Ï. ꇉËÛÒ Ì‡„ÌÂÚ‡ÚÂθÌ˚ı ÒÍ‚‡ÊËÌ r
ÌÒ
= 0,1 Ï, ‡
Ô˂‰ÂÌÌ˚È ‡‰ËÛÒ ‰Ó·˚‚‡˛˘Ëı ‚ÒΉÒÚ‚Ë ÛıÛ‰¯ÂÌËfl ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚË Ëı
ÔËÁ‡·ÓÈÌ˚ı ÁÓÌ r
Ò
= 0,01 Ï. íÓ΢Ë̇ Ô·ÒÚ‡ h = 10 Ï. ÇflÁÍÓÒÚ¸ ÌÂÙÚË ‚
Ô·ÒÚÓ‚˚ı ÛÒÎÓ‚Ëflı µ
Ì
= 3 ⋅ 10
-3
è‡ ⋅ Ò, ‡ ‚flÁÍÓÒÚ¸ ‚Ó‰˚ µ
‚
= 10
-3
è‡ ⋅ Ò.
èÓËÒıÓ‰ËÚ Ôӯ̂Ӡ‚˚ÚÂÒÌÂÌË ÌÂÙÚË ‚Ó‰ÓÈ, Ô˘ÂÏ ‚ ÔÓÏ˚ÚÓÈ ‚Ó‰ÓÈ
ӷ·ÒÚË Ô·ÒÚ‡ Ù‡ÁÓ‚‡fl ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚ¸ ‰Îfl ‚Ó‰˚ k
ÙÌ
= 0,4 ÏÍÏ
2
, ‡ Ù‡ÁÓ‚‡fl
ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚ¸ ‰Îfl ÌÂÙÚË ‚ ÌÂÙÚÂ̇Ò˚˘ÂÌÌ˚ı ӷ·ÒÚflı k
ÙÌ
= 0,5 ÏÍÏ
2
. Ç
‡ÒÒχÚË‚‡ÂÏ˚È ÏÓÏÂÌÚ ‚ÂÏÂÌË ‚Ó‰‡, ‚˚ÚÂÒÌflfl ÌÂÙÚ¸ ËÁ Ô·ÒÚ‡, ÔÓ‰‚Ë-
ÌÛ·Ҹ ̇ ‡ÒÒÚÓflÌË r
‚
= 0,5 σ/π. ч‚ÎÂÌË ̇ Á‡·Óflı ̇„ÌÂÚ‡ÚÂθÌ˚ı
ÒÍ‚‡ÊËÌ p
Ì
= 20 åè‡, ‡ ̇ Á‡·Óflı ÒÍ‚‡ÊËÌ ÔÂ‚Ó„Ó Ë ‚ÚÓÓ„Ó ‰Ó·˚‚‡˛˘Ëı
fl‰Ó‚ p
Ò1
= p
Ò2
= 15 åè‡.
í·ÛÂÚÒfl ÓÔ‰ÂÎËÚ¸ ‰Â·ËÚ˚ ÔÂ‚Ó„Ó Ë ‚ÚÓÓ„Ó fl‰Ó‚ q
1
Ë q
2
, ‡ Ú‡ÍÊÂ
‡ÒıÓ‰ Á‡Í‡˜Ë‚‡ÂÏÓÈ ‚Ó‰˚ ‚ ˜‡ÒÚ¸ ÔÓÎÓÒ˚ ‰ÎËÌÓÈ l = 1500 Ï.
èËÒÚÛÔ‡fl Í Â¯ÂÌ˲ Á‡‰‡˜Ë, ‚˚˜ËÒÎËÏ ‚̇˜‡Î ‚Â΢ËÌ˚ A, B Ë C.
àÏÂÂÏ
A
h
r
r
nkk
r
nkk
l
kk L
=++
=
1
2
µ
π
π
µ
σ
π
π
µ
‚
‚
Ìc
Ì‚
Ì
‚
ÌÌ
Ì
Ì
ln ln
=
⋅
⋅
⋅
⋅⋅ ⋅
+
⋅
⋅
⋅⋅
⋅⋅⋅
+
⋅⋅
⋅⋅
=
−
−
−
−
−
−
1
210
10
0 5 250
314 01
314 3 0 4 10
310
250 3 14
3 14 0 5 250
3 3 14 0 5 10
3 10 600
0 5 10 1500
3
12
3
12
3
12
ln
,
,,
,,
ln
,
,,
,, ,
199
= 221,6 ⋅ 10
6
è‡ ⋅ Ò/Ï
3
;
B
r
nkkh
==
⋅
⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅⋅
−
−
µ
σ
π
π
Ì
c
c1 Ì
3
è‡ Ò/Ï
ln
ln
,,
,,
,;
2
310
250
314 001
2 3 3 14 0 5 10 10
286 1 10
3
12
6
ë
l
kk hL
r
nkkh
=+ =
⋅⋅
⋅⋅ ⋅⋅
+
−
−
µ
µ
σ
π
π
Ì
Ì
Ì
c
Ò2 Ì
2
12
3
12
3 10 600
2 0 5 10 10 1500
ln
,
+
⋅
⋅
⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅⋅
−
−
310
250
314 001
2 3 3 14 0 5 10 10
406 10
3
12
6
ln
,,
,,
; è‡ Ò/Ï
3
q
Bp p
AÇB AC
2
66
12 12
2
286 1 5 10 10
627 6 286 1 10 2 221 6 406 10
== =
−
++
⋅⋅ ⋅
⋅⋅+ ⋅⋅⋅
()
()
,
,, ,
Ìc1
= 0,4 ⋅ 10
-2
Ï
2
/Ò = 344 Ï
3
/ÒÛÚ,
q
Cq
B
1
2
6
6
406 10 344
286 1 10
488==
⋅⋅
⋅
=
,
/ Ï ÒÛÚ.
3
ê‡ÒıÓ‰ Á‡Í‡˜Ë‚‡ÂÏÓÈ ‚Ó‰˚ ‚ ˜‡ÒÚ¸ ÔÓÎÓÒ˚ ‰ÎËÌÓÈ L
q = 2q
1
+ q
2
= 2⋅ 488 + 344 = 1320 Ï
3
/ÒÛÚ.
§ 22. èêéÅãÖåõ êÄáêÄÅéíäà
åÖëíéêéÜÑÖçàâ ë èêàåÖçÖçàÖå
áÄÇéÑçÖçàü
èÓÏ˚¯ÎÂÌÌÓ ÔËÏÂÌÂÌË Á‡‚Ó‰ÌÂÌËfl ÌÂÙÚfl-
Ì˚ı Ô·ÒÚÓ‚ ‚ êÓÒÒËË ·˚ÎÓ Ì‡˜‡ÚÓ ‚ 1948 „. ÔË ‡Á‡·ÓÚÍ ‰Â-
‚ÓÌÒÍËı „ÓËÁÓÌÚÓ‚ íÛÈχÁËÌÒÍÓ„Ó ÌÂÙÚflÌÓ„Ó ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËfl.
ä ˝ÚÓÏÛ ‚ÂÏÂÌË ÛÊ ·˚ÎË ËÁ‚ÂÒÚÌ˚ ÓÔ˚Ú˚ Á‡Í‡˜ÍË ‚Ó‰˚ ‚
ÌÂÙÚflÌ˚ Ô·ÒÚ˚ Ò ˆÂθ˛ ÔÓÔÓÎÌÂÌËfl Ô·ÒÚÓ‚ÓÈ ˝Ì„ËË, ÔÓ-
‚Ӊ˂¯ËÂÒfl ‚ ‡Á΢Ì˚ı ÒÚ ‡Ì‡ı.
èË ‡Á‡·ÓÚÍ ÌÂÙÚflÌ˚ı ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËÈ ‚ êÓÒÒËË Ò ÔËÏÂ-
ÌÂÌËÂÏ Á‡‚Ó‰ÌÂÌËfl ‚̇˜‡Î ËÒÔÓθÁÓ‚‡ÎË Á‡ÍÓÌÚÛÌÓ Á‡‚Ó‰ÌÂ-
ÌËÂ. èË ˝ÚÓÏ Ì‡„ÌÂÚ‡ÚÂθÌ˚ ÒÍ‚‡ÊËÌ˚ ·ÛËÎË Á‡ ‚̯ÌËÏ
ÍÓÌÚÛÓÏ ÌÂÙÚÂÌÓÒÌÓÒÚË, ‚‰Óθ Ì„Ó. ÑÓ·˚‚‡˛˘Ë ÒÍ‚‡ÊËÌ˚
‡ÒÔÓ·„‡ÎË Ú‡ÍÊ ‚‰Óθ ÍÓÌÚÛ‡ ÌÂÙÚÂÌÓÒÌÓÒÚË. ãËÌËË ‡ÒÔÓ-
ÎÓÊÂÌËfl ̇„ÌÂÚ‡ÚÂθÌ˚ı ÒÍ‚‡ÊËÌ ·˚ÎË Û‰‡ÎÂÌ˚ ÓÚ Ô‚˚ı fl-
‰Ó‚ ‰Ó·˚‚‡˛˘Ëı ÒÍ‚‡ÊËÌ Ì‡ 1 – 6 ÍÏ.
200
á‡ÍÓÌÚÛÌÓ Á‡‚Ó‰ÌÂÌË ÔËÏÂÌflÎË Ì‡ ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËflı, ÔÓ-
‰ÛÍÚË‚Ì˚ Ô·ÒÚ˚ ÍÓÚÓ˚ı ·˚ÎË ÒÎÓÊÂÌ˚ ‚ ÓÒÌÓ‚ÌÓÏ ÔÂÒ˜‡ÌË-
͇ÏË Ë ‡Î‚ÓÎËÚ‡ÏË Ò ÔÓÌˈ‡ÂÏÓÒÚ¸˛ 0,3–1,0 ÏÍÏ
2
. ÇflÁÍÓÒÚ¸
ÌÂÙÚË ‚ Ô·ÒÚÓ‚˚ı ÛÒÎÓ‚Ëflı Á‡‚Ó‰ÌflÂÏ˚ı ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËÈ ÒÓ-
ÒÚ‡‚Îfl· 1–5
⋅
10
-3
è‡
⋅
Ò.
á‡ÍÓÌÚÛÌÓ Á‡‚Ó‰ÌÂÌË ÓÒÛ˘ÂÒÚ‚ÎflÎÓÒ¸ ˜‡ÒÚÓ ÌÂ Ò Ò‡ÏÓ„Ó
̇˜‡Î‡ ‡Á‡·ÓÚÍË ÏÂÒÚÓ ÓʉÂÌËÈ, ‡ ÒÔÛÒÚfl ÌÂÍÓÚÓÓ ‚ÂÏfl, ‚
Ú˜ÂÌË ÍÓÚÓÓ„Ó ÔÓËÒıÓ‰ËÎÓ Ô‡‰ÂÌË Ô·ÒÚÓ‚Ó„Ó ‰‡‚ÎÂÌËfl.
íÂÏ Ì ÏÂÌ Á‡Í‡˜Í‡ ‚Ó‰˚ ‚ Á‡ÍÓÌÚÛÌÛ˛ ӷ·ÒÚ¸ Ô·ÒÚ‡ ÔÓÁ‚Ó-
Îfl· ‚ Ú˜ÂÌË ӉÌÓ„Ó-‰‚Ûı ÎÂÚ Ì‡ÒÚÓθÍÓ ‚ÓÒÔÓÎÌËÚ¸ Á‡Ô‡Ò
Ô·ÒÚÓ‚ÓÈ ˝Ì„ËË, ˜ÚÓ ÓÌÓ ÒÚ‡·ËÎËÁËÓ‚‡ÎÓÒ¸.
àÒÔÓθÁÓ‚‡ÌË Á‡‚Ó‰ÌÂÌËfl ÌÂÙÚflÌ˚ı Ô·ÒÚÓ‚ ÔË‚ÂÎÓ ‚̇˜‡-
ÎÂ Í ‚ÓÁÌËÍÌÓ‚ÂÌ˲ ÚÂıÌÓÎӄ˘ÂÒÍÓÈ Ú Û‰ÌÓÒÚË, Ò‚flÁ‡ÌÌÓÈ Ò
ÌËÁÍÓÈ ÔËÂÏËÒÚÓÒÚ¸˛ ̇„ÌÂÚ‡ÚÂθÌ˚ı ÒÍ‚‡ÊËÌ. è·ÒÚ˚, ÍÓÚÓ-
˚Â, Òӄ·ÒÌÓ ÙÓÏÛÎÂ Ñ˛Ô˛ Ë, ‰ÓÎÊÌ˚ ·˚ÎË ÔË ËÒÔÓθÁÛÂ-
Ï˚ı ÔÂÂÔ‡‰‡ı ‰‡‚ÎÂÌËfl ÔÓ„ÎÓ˘‡Ú¸ Á‡ÔÓÂÍÚËÓ‚‡ÌÌ˚ ‡ÒıÓ‰˚
‚Ó‰˚ Ô‡ÍÚ˘ÂÒÍË Â Ì ÔËÌËχÎË. òËÓÍÓ ÔËÏÂÌÂÌË ÏÂÚÓ-
‰Ó‚ ‚ÓÁ‰ÂÈÒÚ‚Ëfl ̇ ÔËÁ‡·ÓÈÌÛ˛ ÁÓÌÛ ÒÍ‚‡ÊËÌ, Ú‡ÍËı, Í‡Í „ˉ-
‡‚΢ÂÒÍËÈ ‡Á˚‚ Ô·ÒÚ‡ Ë ÍËÒÎÓÚÌ˚ ӷ‡·ÓÚÍË, Ë, „·‚Ì˚Ï
Ó·‡ÁÓÏ, ËÒÔÓθÁÓ‚‡ÌË ÔÓ‚˚¯ÂÌÌ˚ı ‰‡‚ÎÂÌËÈ Ì‡„ÌÂÚ‡ÌËfl ÔË-
‚ÂÎË Í ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÂÌÌÓÏÛ Û‚Â΢ÂÌ˲ ÔËÂÏËÒÚÓÒÚË Ì‡„ÌÂÚ‡ÚÂθ-
Ì˚ı ÒÍ‚‡ÊËÌ Ë, ÔÓ ÒÛÚË ‰Â·, Í Â¯ÂÌ˲ ÔÓ·ÎÂÏ˚ Ëı ÓÒ‚ÓÂ-
ÌËfl.
éÔ˚Ú ‡Á‡·ÓÚÍË ÌÂÙÚflÌ˚ı ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËÈ Ò ÔËÏÂÌÂÌËÂÏ
Á‡ÍÓÌÚÛÌÓ„Ó Á‡‚Ó‰ÌÂÌËfl ÔË‚ÂÎ Í ÒÎÂ‰Û˛˘ËÏ ÓÒÌÓ‚Ì˚Ï ‚˚‚Ó-
‰‡Ï.
1. á‡ÍÓÌÚÛÌÓ Á‡‚Ó‰ÌÂÌË ÔÓÁ‚ÓÎflÂÚ Ì ÚÓθÍÓ ÔÓ‰‰ÂÊË-
‚‡Ú¸ Ô·ÒÚÓ‚Ó ‰‡‚ÎÂÌË ̇ Ô‚Ó̇˜‡Î¸ÌÓÏ ÛÓ‚ÌÂ, ÌÓ Ë ÔÂ-
‚˚¯‡Ú¸ „Ó.
2. àÒÔÓθÁÓ‚‡ÌË Á‡ÍÓÌÚÛÌÓ„Ó Á‡‚Ó‰ÌÂÌËfl ‰‡ÂÚ ‚ÓÁÏÓÊÌÓÒÚ¸
Ó·ÂÒÔ˜˂‡Ú¸ ‰Ó‚‰ÂÌË χÍÒËχθÌÓ„Ó ÚÂÏÔ‡ ‡Á‡·ÓÚÍË ÏÂÒÚÓ-
ÓʉÂÌËÈ ‰Ó 5–7 % ÓÚ Ì‡˜‡Î¸Ì˚ı ËÁ‚ÎÂ͇ÂÏ˚ı Á‡Ô‡ÒÓ‚, Ô ËÏÂ-
ÌflÚ¸ ÒËÒÚÂÏ˚ ‡Á‡·ÓÚÍË Ò Ô‡‡ÏÂÚÓÏ ÔÎÓÚÌÓÒÚË ÒÂÚÍË ÒÍ‚‡-
ÊËÌ 20–60 ⋅ 10
4
Ï
2
/ÒÍ‚ ÔË ‰Ó‚ÓθÌÓ ‚˚ÒÓÍÓÈ ÍÓ̘ÌÓÈ ÌÂÙÚÂ-
ÓÚ‰‡˜Â, ‰ÓÒÚË„‡˛˘ÂÈ 0,50 – 0,55 ‚ Ò‡‚ÌËÚÂθÌÓ Ó‰ÌÓÓ‰Ì˚ı
Ô·ÒÚ‡ı, Ë ÔË ‚flÁÍÓÒÚË ÌÂÙÚË ‚ Ô·ÒÚÓ‚˚ı ÛÒÎÓ‚Ëflı ÔÓfl‰Í‡ 1
– 5 ⋅ 10
-3
è‡ ⋅ Ò.
3. èË ‡Á‡·ÓÚÍ ÍÛÔÌ˚ı ÔÓ ÔÎÓ˘‡‰Ë ÏÂÒÚÓÓʉÂÌËÈ Ò
˜ËÒÎÓÏ fl‰Ó‚ ‰Ó·˚‚‡˛˘Ëı ÒÍ‚‡ÊËÌ ·Óθ¯Â ÔflÚË Á‡ÍÓÌÚÛÌÓÂ
Á‡‚Ó‰ÌÂÌË Ó͇Á˚‚‡ÂÚ Ò··Ó ‚ÓÁ‰ÂÈÒÚ‚Ë ̇ ˆÂÌڇθÌ˚ ˜‡Ò-
ÚË, ‚ ÂÁÛθڇÚ ˜Â„Ó ‰Ó·˚˜‡ ÌÂÙÚË ËÁ ˝ÚËı ˜‡ÒÚÂÈ Ó͇Á˚‚‡ÂÚÒfl
ÌËÁÍÓÈ. ùÚÓ ‚‰ÂÚ Í ÚÓÏÛ, ˜ÚÓ ÚÂÏÔ ‡Á‡·ÓÚÍË ÍÛÔÌ˚ı ÏÂÒÚÓ-
ÓʉÂÌËÈ ‚ ˆÂÎÓÏ Ì ÏÓÊÂÚ ·˚Ú¸ ‰ÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓ ‚˚ÒÓÍËÏ ÔË Á‡-
ÍÓÌÚÛÌÓÏ Á‡‚Ó‰ÌÂÌËË.