Підручник / Домбровський В. А., Крижанівський І. М., Мацьків Р. С.,
Мигович Ф. М., Неміш В. М., Окрепкий Б. С., Хома Г. П.,
Шелестовська М. Я.; за редакцією Шинкарика М. І. – Тернопіль:
Видавництво Карп’юка, 2003 - 480с.
ISBN 966-7946-15-0
Підручник Вища математика містить теоретичні відомості всіх розділів вищої математики, рекомендованих типовою навчальною програмою Міністерства освіти і науки України для економічних спеціальностей. Виклад теоретичного матеріалу послідовний і розкриває зміст кожного поняття, його прикладне значення. Представлено достатню кількість розв’язаних задач як математичного так і економічного змісту.
Підручник написаний для студентів економічних спеціальностей вузів, може бути корисний для аспірантів, викладачів, економістів-практиків.
ЗМІСТ
Передмова
ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ
Поняття визначника. Визначники другого і третього
порядків
Властивості визначників
Обчислення визначників довільного порядку
Поняття матриці
Дії над матрицями
Обернена матриця
Ранг матриці
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Метод Крамера
Матричний метод
Метод Гаусса
Метод Жордана-Гаусса
Довільні системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Системи лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь
Деякі економічні задачі
АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ І ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ
Метод координат на прямій та його застосування
Прямокутна система координат на площині та її за
стосування
Декартова прямокутна система координат в просторі
Скалярні і векторні величини
Дії над векторами
Проекція вектора на вісь
Проекція вектора на осі координат
Напрямні косинуси вектора
Розклад вектора по ортам
Дії над векторами, заданими в координатній формі
Скалярний добуток двох векторів
n-мірний вектор і векторний простір
Базис. Розклад вектора по даному базису
Власні числа та власні вектори матриці
Лінійна модель торгівлі
Квадратичні форми
Пряма лінія на площині
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
Рівняння прямої, що проходить через задану
точку в даному напрямку
Рівняння прямої, що проходить через дві зада
ні точки
Рівняння прямої у відрізках
Кут між двома прямими
Загальне рівняння прямої та його дослідження
Нормальне рівняння прямої
Віддаль від точки до прямої
Площина та її рівняння
Дослідження загального рівняння площини
Рівняння площини у відрізках
Кут між двома площинами. Умови паралельно
сті і перпендикулярності площин
Нормальне рівняння площини
Віддаль від точки до площини
Пряма в просторі
Загальне рівняння прямої
Канонічне рівняння прямої
Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
Кут між двома прямими
Взаємне розміщення прямої і площини
Криві другого порядку
Коло і його рівняння
Еліпс і його рівняння
Гіпербола та її рівняння
Асимптоти гіперболи
Парабола та її рівняння
Перетворення прямокутних координат
Перенесення початку координат
Поворот осей координат
Полярна система координат
ВСТУП У МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ
Множини дійсних чисел
Сталі і змінні величини
Множини дійсних чисел
Абсолютна величина дійсного числа
Властивості абсолютної величини, зв’язаної з нерівностями величин. Окіл точки
Верхня і нижня грані дійсних чисел
Класифікація функцій
Поняття функції. Способи задання функції
Класифікація функцій
Криві попиту і пропозиції. Точка рівноваги
Границя числової послідовності
Числова послідовність
Границя числової послідовності
Основні теореми про границі числових послідовностей
Деякі правила розкриття невизначеностей ( ? )
?
Павутинна модель ринку
Існування границі монотонної числової послідовності
Нескінчено малі величини та їх властивості
Границя функції
Означення границі функції
Односторонні границі
Перша визначна границя
Допоміжні твердження
Число e. Друга визначна границя
Порівняння нескінчено малих величин
Неперервність функції
Означення неперервності функції в точці і на відрізку
Класифікація точок розриву функції
Властивості неперервних на відрізку функцій
Обмеженість функції
Існування найменшого і найбільшого значення
Теорема про перетворення функції в нуль
Деякі економічні задачі і їх розв’язування
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Означення похідної
Задачі, що приводять до поняття похідної
Геометричний зміст похідної
Дотична і нормаль до графіка функції
Механічний зміст похідної
Економічний зміст похідної
Зв’язок між неперервністю та диференційовністю
функції
Основні правила диференціювання
Похідна від складної функції
Похідна від оберненої функції
Поняття оберненої функції і її похідна
Похідні від обернених тригонометричних
функцій
Диференціювання функцій, заданих неявно та па
раметрично
Похідні деяких елементарних функцій
Похідна логарифмічної функції
Похідна від показникової функції
Похідна степеневої функції
Таблиця похідних
Приклади на використання таблиці похідних
Похідні вищих порядків
Диференціал функції
Означення диференціала
Геометричний зміст диференціал
Основні властивості диференціала
Властивість інваріантності форми диференціала
Застосування диференціалів при наближених обчисленнях
Основні теореми диференціального числення
Теорема Ферма
Теорема Ролля
Теорема Лагранжа
Теорема Коші
Правило Лопіталя
Формула Тейлора
Формула Тейлора для многочлена
Формула Тейлора для довільної функції
Формула Маклорена
Зростання і спадання функції на проміжку
Необхідна умова зростання та спадання функцій
Достатні умови зростання і спадання функції
Екстремум функції
Поняття екстремуму
Необхідні умови екстремуму
Достатні умови екстремуму
Найменше та найбільше значення функції на відрізку
Приклади задач оптимізації з економічним змістом
Опуклість і вгнутість графіка функції. Точки перегину
Асимптоти графіка функції
Загальна схема дослідження функції і побудова її графіка
Еластичність функції
Означення і властивості еластичності функцій
Еластичність попиту відносно ціни
Еластичність пропозиції відносно ціни
ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ
Основні поняття про функції багатьох змінних
Означення функції багатьох змінних
Функція двох змінних та її графічне зображення
Економічні задачі, що приводять до поняття функцій багатьох змінних
Лінії та поверхні рівня. Гіперповерхні рівня
Поняття лінії та поверхні рівня
Поверхні другого порядку
Гіперповерхня рівня
Границя функції двох змінних в точці
Неперервність функції двох змінних
Границя функції двох змінних
Неперервність функції двох змінних в точці
Частинні похідні функції багатьох змінних. Геометричний та економічний зміст частинних похідних
Частинні похідні першого порядку
Геометричний зміст частинних похідних
Економічний зміст частинних похідних
Частинні похідні функції багатьох змінних
Градієнт функції багатьох змінних
Похідна функції по напрямку
Градієнт функції багатьох змінних
Похідна складної функції
Похідна функції по напрямку
Повний приріст та повний диференціал функції багатьох змінних
Частинні похідні вищих порядків
Екстремум функції двох змінних. Необхідні та достатні умови екстремуму функції
Екстремум функції багатьох змінних. Необхідна та достатня умови екстремуму. Критерій Рауса-Гурвіца
Умовний екстремум функції багатьох змінних
Емпіричні формули. Побудова формули лінійної за лежності методом найменших квадратів
Побудова емпіричних формул у випадку нелінійної залежності
Параболічна залежність
Нелінійні залежності, які зводяться до лінійних. Гіперболічна залежність
Показникова залежність
Степенева залежність
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Невизначений інтеграл
Первісна функція та невизначений інтеграл
Основні властивості невизначеного інтеграла
Таблиця невизначених інтегралів
Методи обчислення інтегралів
Інтегрування раціональних дробів
Інтегрування тригонометричних функцій
Інтегрування деяких ірраціональних функцій
Поняття про невизначений інтеграл, що не має первісних в елементарних функціях
Визначений інтеграл
Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла
Визначений інтеграл, як границя інтегральних сум
Основні властивості визначеного інтеграла
Теорема про середнє значення визначеного інтеграла
Геометричний зміст визначеного інтеграла
Зв'язок невизначеного і визначеного інтегралів. Формула Ньютона-Лейбніца
Методи обчислення визначеного інтеграла
Наближене обчислення визначених інтегралів
Невласні інтеграли та їх знаходження
Інтеграл з нескінченними межами інтегрування
Інтеграл від розривної функції
Застосування визначених інтегралів
Обчислення площ
Задача про розподіл доходів населення держави
Обчислення об’ємів
Обчислення довжини дуги плоскої кривої
Задача про максимізацію прибутку за часом
Задача про витрати, дохід і прибуток
Поняття про подвійний інтеграл. Зведення
подвійного інтеграла до повторного
Поняття про подвійний інтеграл
Повторний інтеграл. Перехід від подвійного до повторного
Інтеграл Ейлера-Пуассона
ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ І РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ
Основні поняття про диференціальні рівняння
Диференціальні рівняння першого порядку
Диференціальні рівняння з відокремленими змінними
Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
Однорідні диференціальні рівняння
Лінійні диференціальні рівняння
Диференціальне рівняння Бернуллі
Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь першого порядку
Диференціальні рівняння другого порядку
Лінійні однорідні диференціальні рівняння друго
го порядку
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку
Метод варіації довільних сталих
Лінійні однорідні диференціальні рівняння
другого порядку з сталими коефіцієнтами
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами
Система звичайних диференціальних рівнянь
Системи диференціальних рівнянь першого порядку
Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами
Різницеві рівняння
Поняття різниці та різницевого рівняння
Різницеві рівняння першого порядку з сталими коефіцієнтами
Приклади застосування різницевих рівнянь в
економічних задачах
РЯДИ
Числовий ряд та його збіжність. Ряд геометричної
прогресії
Гармонічний ряд
Необхідна ознака збіжності числового ряду
Достатні ознаки збіжності числових рядів з додатніми
членами
Ознака порівняння рядів
Ознака Даламбера
Інтегральна ознака Коші
Знакопереміжні ряди. Ознака збіжності Лейбніца
Абсолютна та умовна збіжність ряду
Поняття про степеневий ряд та його збіжність
Диференціювання та інтегрування степеневих рядів
Розклад деяких функцій в степеневі ряди
Розклад функції в ряд Маклорена
Розклад функції в ряд Тейлора
Застосування степеневих рядів до наближених обчислень
ДОДАТКИ
Деякі означення і формули елементарної математики
Комплексні числа. Коротка довідка
Графіки деяких елементарних функцій
Таблиця значень експоненціальних функцій
Таблиця відсотків рахунків накопичення та ренти
Таблиця значень натуральних логарифмів
Короткий словник економічних термінів
Алфавітно-предметний покажчик
Латинський алфавіт
Грецький алфавіт
ISBN 966-7946-15-0
Підручник Вища математика містить теоретичні відомості всіх розділів вищої математики, рекомендованих типовою навчальною програмою Міністерства освіти і науки України для економічних спеціальностей. Виклад теоретичного матеріалу послідовний і розкриває зміст кожного поняття, його прикладне значення. Представлено достатню кількість розв’язаних задач як математичного так і економічного змісту.
Підручник написаний для студентів економічних спеціальностей вузів, може бути корисний для аспірантів, викладачів, економістів-практиків.
ЗМІСТ
Передмова
ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ
Поняття визначника. Визначники другого і третього
порядків
Властивості визначників
Обчислення визначників довільного порядку
Поняття матриці
Дії над матрицями
Обернена матриця
Ранг матриці
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Метод Крамера
Матричний метод
Метод Гаусса
Метод Жордана-Гаусса
Довільні системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Системи лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь
Деякі економічні задачі
АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ І ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ
Метод координат на прямій та його застосування
Прямокутна система координат на площині та її за
стосування
Декартова прямокутна система координат в просторі
Скалярні і векторні величини
Дії над векторами
Проекція вектора на вісь
Проекція вектора на осі координат
Напрямні косинуси вектора
Розклад вектора по ортам
Дії над векторами, заданими в координатній формі
Скалярний добуток двох векторів
n-мірний вектор і векторний простір
Базис. Розклад вектора по даному базису
Власні числа та власні вектори матриці
Лінійна модель торгівлі
Квадратичні форми
Пряма лінія на площині
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
Рівняння прямої, що проходить через задану
точку в даному напрямку
Рівняння прямої, що проходить через дві зада
ні точки
Рівняння прямої у відрізках
Кут між двома прямими
Загальне рівняння прямої та його дослідження
Нормальне рівняння прямої
Віддаль від точки до прямої
Площина та її рівняння
Дослідження загального рівняння площини
Рівняння площини у відрізках
Кут між двома площинами. Умови паралельно
сті і перпендикулярності площин
Нормальне рівняння площини
Віддаль від точки до площини
Пряма в просторі
Загальне рівняння прямої
Канонічне рівняння прямої
Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
Кут між двома прямими
Взаємне розміщення прямої і площини
Криві другого порядку
Коло і його рівняння
Еліпс і його рівняння
Гіпербола та її рівняння
Асимптоти гіперболи
Парабола та її рівняння
Перетворення прямокутних координат
Перенесення початку координат
Поворот осей координат
Полярна система координат
ВСТУП У МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ
Множини дійсних чисел
Сталі і змінні величини
Множини дійсних чисел
Абсолютна величина дійсного числа
Властивості абсолютної величини, зв’язаної з нерівностями величин. Окіл точки
Верхня і нижня грані дійсних чисел
Класифікація функцій
Поняття функції. Способи задання функції
Класифікація функцій
Криві попиту і пропозиції. Точка рівноваги
Границя числової послідовності
Числова послідовність
Границя числової послідовності
Основні теореми про границі числових послідовностей
Деякі правила розкриття невизначеностей ( ? )
?
Павутинна модель ринку
Існування границі монотонної числової послідовності
Нескінчено малі величини та їх властивості
Границя функції
Означення границі функції
Односторонні границі
Перша визначна границя
Допоміжні твердження
Число e. Друга визначна границя
Порівняння нескінчено малих величин
Неперервність функції
Означення неперервності функції в точці і на відрізку
Класифікація точок розриву функції
Властивості неперервних на відрізку функцій
Обмеженість функції
Існування найменшого і найбільшого значення
Теорема про перетворення функції в нуль
Деякі економічні задачі і їх розв’язування
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Означення похідної
Задачі, що приводять до поняття похідної
Геометричний зміст похідної
Дотична і нормаль до графіка функції
Механічний зміст похідної
Економічний зміст похідної
Зв’язок між неперервністю та диференційовністю
функції
Основні правила диференціювання
Похідна від складної функції
Похідна від оберненої функції
Поняття оберненої функції і її похідна
Похідні від обернених тригонометричних
функцій
Диференціювання функцій, заданих неявно та па
раметрично
Похідні деяких елементарних функцій
Похідна логарифмічної функції
Похідна від показникової функції
Похідна степеневої функції
Таблиця похідних
Приклади на використання таблиці похідних
Похідні вищих порядків
Диференціал функції
Означення диференціала
Геометричний зміст диференціал
Основні властивості диференціала
Властивість інваріантності форми диференціала
Застосування диференціалів при наближених обчисленнях
Основні теореми диференціального числення
Теорема Ферма
Теорема Ролля
Теорема Лагранжа
Теорема Коші
Правило Лопіталя
Формула Тейлора
Формула Тейлора для многочлена
Формула Тейлора для довільної функції
Формула Маклорена
Зростання і спадання функції на проміжку
Необхідна умова зростання та спадання функцій
Достатні умови зростання і спадання функції
Екстремум функції
Поняття екстремуму
Необхідні умови екстремуму
Достатні умови екстремуму
Найменше та найбільше значення функції на відрізку
Приклади задач оптимізації з економічним змістом
Опуклість і вгнутість графіка функції. Точки перегину
Асимптоти графіка функції
Загальна схема дослідження функції і побудова її графіка
Еластичність функції
Означення і властивості еластичності функцій
Еластичність попиту відносно ціни
Еластичність пропозиції відносно ціни
ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ
Основні поняття про функції багатьох змінних
Означення функції багатьох змінних
Функція двох змінних та її графічне зображення
Економічні задачі, що приводять до поняття функцій багатьох змінних
Лінії та поверхні рівня. Гіперповерхні рівня
Поняття лінії та поверхні рівня
Поверхні другого порядку
Гіперповерхня рівня
Границя функції двох змінних в точці
Неперервність функції двох змінних
Границя функції двох змінних
Неперервність функції двох змінних в точці
Частинні похідні функції багатьох змінних. Геометричний та економічний зміст частинних похідних
Частинні похідні першого порядку
Геометричний зміст частинних похідних
Економічний зміст частинних похідних
Частинні похідні функції багатьох змінних
Градієнт функції багатьох змінних
Похідна функції по напрямку
Градієнт функції багатьох змінних
Похідна складної функції
Похідна функції по напрямку
Повний приріст та повний диференціал функції багатьох змінних
Частинні похідні вищих порядків
Екстремум функції двох змінних. Необхідні та достатні умови екстремуму функції
Екстремум функції багатьох змінних. Необхідна та достатня умови екстремуму. Критерій Рауса-Гурвіца
Умовний екстремум функції багатьох змінних
Емпіричні формули. Побудова формули лінійної за лежності методом найменших квадратів
Побудова емпіричних формул у випадку нелінійної залежності
Параболічна залежність
Нелінійні залежності, які зводяться до лінійних. Гіперболічна залежність
Показникова залежність
Степенева залежність
ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Невизначений інтеграл
Первісна функція та невизначений інтеграл
Основні властивості невизначеного інтеграла
Таблиця невизначених інтегралів
Методи обчислення інтегралів
Інтегрування раціональних дробів
Інтегрування тригонометричних функцій
Інтегрування деяких ірраціональних функцій
Поняття про невизначений інтеграл, що не має первісних в елементарних функціях
Визначений інтеграл
Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла
Визначений інтеграл, як границя інтегральних сум
Основні властивості визначеного інтеграла
Теорема про середнє значення визначеного інтеграла
Геометричний зміст визначеного інтеграла
Зв'язок невизначеного і визначеного інтегралів. Формула Ньютона-Лейбніца
Методи обчислення визначеного інтеграла
Наближене обчислення визначених інтегралів
Невласні інтеграли та їх знаходження
Інтеграл з нескінченними межами інтегрування
Інтеграл від розривної функції
Застосування визначених інтегралів
Обчислення площ
Задача про розподіл доходів населення держави
Обчислення об’ємів
Обчислення довжини дуги плоскої кривої
Задача про максимізацію прибутку за часом
Задача про витрати, дохід і прибуток
Поняття про подвійний інтеграл. Зведення
подвійного інтеграла до повторного
Поняття про подвійний інтеграл
Повторний інтеграл. Перехід від подвійного до повторного
Інтеграл Ейлера-Пуассона
ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ І РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ
Основні поняття про диференціальні рівняння
Диференціальні рівняння першого порядку
Диференціальні рівняння з відокремленими змінними
Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними
Однорідні диференціальні рівняння
Лінійні диференціальні рівняння
Диференціальне рівняння Бернуллі
Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь першого порядку
Диференціальні рівняння другого порядку
Лінійні однорідні диференціальні рівняння друго
го порядку
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку
Метод варіації довільних сталих
Лінійні однорідні диференціальні рівняння
другого порядку з сталими коефіцієнтами
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами
Система звичайних диференціальних рівнянь
Системи диференціальних рівнянь першого порядку
Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами
Різницеві рівняння
Поняття різниці та різницевого рівняння
Різницеві рівняння першого порядку з сталими коефіцієнтами
Приклади застосування різницевих рівнянь в
економічних задачах
РЯДИ
Числовий ряд та його збіжність. Ряд геометричної
прогресії
Гармонічний ряд
Необхідна ознака збіжності числового ряду
Достатні ознаки збіжності числових рядів з додатніми
членами
Ознака порівняння рядів
Ознака Даламбера
Інтегральна ознака Коші
Знакопереміжні ряди. Ознака збіжності Лейбніца
Абсолютна та умовна збіжність ряду
Поняття про степеневий ряд та його збіжність
Диференціювання та інтегрування степеневих рядів
Розклад деяких функцій в степеневі ряди
Розклад функції в ряд Маклорена
Розклад функції в ряд Тейлора
Застосування степеневих рядів до наближених обчислень
ДОДАТКИ
Деякі означення і формули елементарної математики
Комплексні числа. Коротка довідка
Графіки деяких елементарних функцій
Таблиця значень експоненціальних функцій
Таблиця відсотків рахунків накопичення та ренти
Таблиця значень натуральних логарифмів
Короткий словник економічних термінів
Алфавітно-предметний покажчик
Латинський алфавіт
Грецький алфавіт