Афанасьев, Ю.О. Гидрогазомеханика

Подождите немного. Документ загружается.

Оно выражает по существу закон сохранения энергии: сум-

ма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной

вдоль линии потока.

В случае сжимаемой жидкости (что имеет место при тече-

нии газов) плотность уже не является постоянной. В этом случае

следует воспользоваться зависимостью плотности от давления

d 1

d d d

p p p p

x y z

 

  

  

 

    

 

. (12.2)

Трехчлен может быть представлен в виде полного диффе-

ренциала от некоторой функции р = f(х, у, z). Эту функцию всегда

можно ввести, если рассматривать давление как функцию только

плотности. Жидкость, для которой выполняется это условие, на-

зывается баротропной. Воздух или любой другой газ можно

считать баротропным, если изменение его состояния происходит

изотермически или адиабатно (изоэнтропно).

Для изотермы (Т = const) справедливо р/ρ = const, а для изо-

энтропы (S = const) – p/ρ

= const = A. После формального диффе-

ренцирования трехчлена (12.2) с учетом уравнения изоэнтропы

d d

p k A



  

. (12.3)

Подставим в уравнение Бернулли значение dp из (12.3):

d const

Ak gz



    



Если пренебречь силой тяжести, что для газовой динамики

вполне допустимо, то интеграл Бернулли для сжимаемой жидко-

сти примет вид

const

2 1

w k p

 

 

. (12.4)

Это уравнение, известное под названием уравнения Бернул-

ли для сжимаемой жидкости, выражает закон сохранения энер-

гии для адиабатного (изоэнтропного) течения.

Запишем это уравнение (12.4) для сечения, где скорость по-

тока уменьшается до нуля, следовательно, поток тормозится,

и найдем выражение для его постоянной, правой части (w = 0):

0 0

const

h c T

  

 

, (12.5)

где h

– энтальпия заторможенного потока или его полная энер-

гия; Т

, р

, ρ

– параметры заторможенного потока или парамет-

ры полного торможения. При полном торможении потока вся

кинетическая энергия переходит в теплоту и температура Т

, так

же как и энтальпия, имеет одно вполне определенное значение.

Давление торможения р

и плотность ρ

могут принимать любые

значения, но их отношение всегда постоянная величина. При ис-

пользовании параметров полного торможения уравнение энергии

можно записать

;

2 1 1

p p

h h

w k p k

k k

c T c T



 



 



   



 





(12.6)

Эти зависимости показывают, что в стационарном энерго-

изолированном потоке сумма кинетической и потенциальной

энергии, отнесенной к единице движущейся массы жидкости, ос-

тается постоянной вдоль трубки тока.

12.2. Скорость звука

Скоростью звука называют скорость распространения

в среде слабых возмущений. Слабыми называют такие возмуще-

ния среды, амплитуда которых пренебрежимо мала по сравнению

с общим давлением.

Сопоставляя скорость движения жидкости w со скоростью

звука а, все течения можно разделить: на дозвуковые (w < а)

и сверхзвуковые (w > а). Подобное деление течений на две груп-

пы обусловлено принципиальным различием между дозвуковыми

и сверхзвуковыми потоками. Кроме того, сравнение абсолютной

скорости потока со скоростью звука дает основание для оценки

Рис. 39. Истечение газа

из сопла

1 2

той границы скоростей, где еще можно считать жидкость несжи-

маемой и не учитывать в расчетах изменение ее плотности.

Скорость звука определяется по формуле

a kpv

 . (12.7)

С учетом уравнения состояния идеальных газов Клапейрона

pv RT



получаем для идеального газа

a kRT

 . (12.8)

Это уравнение называют уравнением Лапласа. Величина а,

рассчитанная по уравнению Лапласа, называется термодина-

мической скоростью звука или скоростью звука нулевой час-

тоты. Дело в том, что при распространении в среде звуковых

волн высокой частоты перестает быть справедливым предполо-

жение об изоэнтропном характере распространения звуковых

волн.

Однако для широкого интервала частот, представляющих

практический интерес, уравнение Лапласа дает значение а, сов-

падающее с экспериментальными величинами в пределах сотых

долей процента.

Как следует из уравнения (12.8), скорость звука в идеальном

газе зависит для данного газа только от температуры. Для реаль-

ного газа скорость звука зависит не только от температуры, но

и от давления.

Рассмотрим адиабатное истечение газа из суживающего ка-

нала (сопла), как показано на рис. 39. Массовый расход газа при

перепаде давлений (р

– р

) определяется по уравнению

2 1

1 2 2

1 1 1

k k

p p p

G S

k v p p



 

   

 

 

   

 



   

 

 

. (12.9)

Данное уравнение связывает между собой расход через по-

перечное сечение сопла S, при об-

ратимом адиабатном течении,

с термодинамическими парамет-

рами p

, p

и v

. С ее помощью

можно решить и обратную задачу

макс

кр

 

 

 

= Ψ

кр

Рис. 40. Зависимость

расхода газа G от перепада

давлений на сопле

– найти, какой должна быть площадь сечения сопла S, для того

чтобы обеспечить заданный расход G.

Анализ характера зависимости расхода G от отношения дав-

лений газа р

/р

показан на графике (рис. 40). Очевидно, что при

= 1, обозначим это отношение через Ψ, расход газа G = 0. При

уменьшении Ψ величина G начинает возрастать, достигая макси-

мума при некотором значении Ψ

кр

. При дальнейшем уменьшении

Ψ величина G уменьшается, достигая нуля при Ψ = 0.

Сравнение описанной зависимо-

сти с экспериментальными данными

по истечению газов из сопл обнару-

жило следующую зависимость. В

интервале Ψ от 1 до Ψ

кр

(соответст-

вующего G

макс

) результаты расчета

по уравнению (12.9) хорошо совпа-

дают с опытом. В области между

макс

и нулем был обнаружен удиви-

тельный результат – уменьшение

давления р

за соплом никак не

влияет на величину расхода газа G

через сопло.

Для того чтобы объяснить это

расхождение теории с экспериментом, в 1839 году Сен-Венаном

была выдвинута гипотеза о том, что при расширении газа в су-

живающем сопле невозможно получить давление газа ниже неко-

торого критического давления р

кр

, соответствующему G

кр

через

сопло. Следовательно, при сколь угодно низких давлениях среды

за соплом, меньших р

кр

, давление газа в выходном сечении будет

постоянным и равным р

кр

. Дальнейшие исследования показали,

что гипотеза была правильной. Скорость истечения из сопла при

макс

макс 1 1

w p v





. (12.10)

Заменим в уравнении (12.10) величины p

, v

через парамет-

ры газа в выходном сечении сопла p

кр

, v

кр

, учитывая, что

кр

v v

 



 

 

, где

кр

 

 

 

 

При исследовании выражения

G f

 



 

 

на максимум

получаем

кр



 

 

 



 

. (12.11)

Заменяя отношение

кр

 

 

 

 

выражением (12.11), получаем:

кр

v v



 



 



 

;

кр

p p



 



 



 

Подставляя полученные значения p

, v

в уравнение w

макс

получаем:

кр кр

макс

w kp v

 .

Из сравнения уравнения местной скорости звука а видно,

что w

макс

= а. Именно этим объясняется характер зависимости

G = f(Ψ). Если в какой-то момент времени давление р

за соплом

уменьшить, то волна разряжения распространится в направле-

нии, обратном движению потока. Вдоль сопла установится новое

распределение давления (при р

– const) и скорость истечения

возрастет. При этом волна разряжения будет распространяться

вдоль сопла с относительной скоростью (a – w). Если р

будет

равно р

кр

, то скорость истечения w будет равна местной скорости

звука а. При дальнейшем снижении давления ниже р

кр

волна раз-

ряжения уже не может распространиться вдоль сопла, т.к. ее от-

носительная скорость (a – w) = 0. Никакого распределения дав-

ления вдоль сопла не произойдет, несмотря на то, что давление

среды снизилось – скорость истечения остается прежней, равной

скорости звука на выходе из сопла.

12.3. Переход на сверхзвуковую скорость течения газа

При течении газа в канале любого сечения применим урав-

нение неразрывности

const

 . Логарифмируем это уравнение

ln ln ln const

S w v

  

;

дифференцируя это соотношение, имеем уравнение неразрывно-

сти в дифференциальной форме:

d d d

S v w

  .

Уравнение первого закона термодинамики для потока газа,

который движется без трения, в дифференциальной форме

w w

v p

  или

w gv

w w

  . (12.12)

Для идеального адиабатного течения в соответствии

с уравнением показателя адиабаты

v p

p v



 

 

 



 

получим

d d

v p

v kp

 

Подставим эти значения в уравнение неразрывности

S kgpv w

S kpw



 .

С учетом уравнения Лапласа получим

2 2

S a w

S kpw



 (12.13)

или то же самое

d 1 1

1 d

S kp M

 

 

 

 

, (12.14)

где



– так называемое число Маха. Значение М < 1 соот-

ветствует течению с дозвуковыми скоростями и М > 1 – течению

со скоростью, превышающей скорость звука.

Уравнение (12.14) связывает изменение площади попереч-

ного сечения канала (при адиабатном течении без трения) с из-

менением давления в потоке и со значением числа Маха. Подста-

вив в уравнение (12.13) значение dp из (12.12), получим уравне-

ние, связывающее изменение площади сечения канала с измене-

нием скорости потока w и числом М:

 

d d

w S

  .

(12.15)

Из уравнения (12.14) следует, что

при дозвуковых скоростях течения (М <

1) сужение канала (dS < 0) соответству-

ет снижению давления в потоке вдоль

канала (dр < 0), т.е. в случае обычного сужающего сопла; уравне-

ние (12.15) показывает, что в этом случае (М < 1) при сужении

канала скорость потока увеличивается

(dw > 0).

Если в дозвуковом течении канал расширяется (dS > 0), то

скорость потока снижается (dw < 0),

а давление в потоке вдоль канала возрастает (dр > 0). Расши-

ряющиеся каналы, применяемые для торможения дозвукового

потока, т.е. для превращения кинетической энергии потока

в потенциальную энергию давления, носят название диффузо-

ров (рис. 41).

Уравнения (12.14) и (12.15) позволяют сделать важные вы-

воды для случая течения потока со сверхзвуковой скоростью

(М > 1). Из уравнений следует, что при М > 1 течение в расши-

ряющемся канале (dS > 0) происходит с уменьшением давления

вдоль потока (dр < 0) и с увеличением скорости (dw > 0). Наобо-

рот, сверхзвуковой поток в суживающем канале (dS < 0) замедля-

ется (dw < 0), а его давление возрастает (dр > 0). Таким образом,

профили сопла (конфузора) и диффузора для сверхзвукового по-

тока меняются местами – сверхзвуковое сопло представляет со-

бой расширяющийся канал, а сверхзвуковой диффузор – сужи-

вающийся канал.

12.4. Сопло Лаваля

Из этого анализа становится очевидным, как осуществить

дальнейшее ускорение потока, который при р

≤ р

кр

приобрел на

Рис. 41. Истечение

газа из диффузора

выходе из суживающего канала (сопла) звуковую скорость. Для

этого сопло должно быть спрофилировано таким образом, чтобы

канал суживался до тех пор, пока давление в канале не станет

равным критическому давлению истечения р

кр

(в этом сечении

скорость потока равна скорости звука). За этим сечением канал

должен быть выполнен расширяющимся. Здесь поток перейдет

через скорость звука и будет продолжать ускоряться в расши-

ряющейся части сопла.

Таким образом, для ускорения потока будет использован

весь перепад давлений от давления на входе р

до давления сре-

ды

< р

кр

, а не только часть этого перепада от р

до р

кр

, реализуемая

в суживающемся дозвуковом сопле.

Такое комбинированное

сопло, состоящее из сужи-

вающей и расширяющейся

частей, впервые было приме-

нено для получения сверхзву-

ковых скоростей истечения

газа шведским инженером Ла-

валем. Разрез сопла Лаваля изображен на рис. 42.

12.5. Ударная волна. Прямой и косой скачок уплотнения

При течении реальных сжимаемых жидкостей (газов) могут

возникать резкие изменения давления, плотности, температуры

и скорости [5]. Эти явления чаще возникают при переходе от доз-

вукового течения к сверхзвуковому и наоборот. Такие разрывы

параметров течения называют скачками уплотнения или удар-

ными волнами.

На поверхности тела, обдуваемого или летящего с высокой

скоростью, могут возникать местные сверхзвуковые области. Ес-

ли при повышении давления, сопровождающем движение, ско-

рость течения из сверхзвуковой переходит в дозвуковую, то

практически это всегда осуществляется в виде скачка уплотне-

ния. Слой, на протяжении которого происходит скачок, имеет

толщину порядка пути свободного пробега молекул.

Рис. 42. Сопло Лаваля

Скачок уплотнения можно также рассматривать как непод-

вижный, относительно стенок канала, фронт ударной волны в га-

зе (так называемая волна сжатия), распространяющаяся против

течения, в случае, когда скорость фронта оказывается равной

скорости течения газа.

Рассмотрим случай распространения волны сжатия в одно-

мерном потоке, например, в сопле Лаваля. Скачок уплотнения

в таком случае является прямым.

При движении поршня со скоростью w (рис. 43) в первона-

чально покоящемся газе, заполняющем канал, создается область

повышенного давления. На рис. 43 схематически показано рас-

пространение возникающей при этом волны сжатия для ряда по-

следовательных моментов времени. После начала движения

поршня перед ним (по движению) образуется зона повышенного

давления; значения давления

в этой области меняются от р

(в сечении п) до р

(в сечении 0). Вызванные в газе

возмущения будут распростра-

няться с различными местными

скоростями звука (12.7); по-

скольку в сечении п давление

выше, чем в сечении 0, то и ме-

стная скорость звука а

в сече-

нии п будет больше, чем а

в сечении 0 (рис. 43, а). В ре-

зультате ¬гребень° волны сжа-

тия, перемещающийся с боль-

шей местной скоростью

(а

+ w), будет догонять ¬под-

ножие° волны, которое пере-

мещается со скоростью а

(рис. 43, б).

Таким образом, пологая

волна сжатия будет постепенно

трансформироваться в крутую

Рис. 43. Схема возникновения

ударной волны

n 0

волну (рис. 43, в), на фронте которой будут иметь место резкие –

скачком – изменения плотности, давления и температуры. Если

пренебречь скоростью движения поршня, скорость распростра-

нения ударной волны (скачка уплотнения) определяется по фор-

муле





 

0 0

p p







   

, (12.16)

где р

, ρ

– давление и плотность невозмущенного газа.

Прямой скачок уплотнения, возникающий в сопле Лаваля,

является предельным случаем косого скачка уплотнения. Особый

интерес (с точки зрения баллистики и сверхзвуковой авиации)

имеет косой скачок уплотнения, который может образоваться

в сверхзвуковом газовом потоке при резком повороте стенки.

НАСОСЫ И КОМПРЕССОРНЫЕ МАШИНЫ

Глава 13. Насосы

В подавляющем большинстве отраслей промышленности

большое значение имеет транспортирование жидких или газооб-

разных продуктов по трубопроводам как внутри предприятий

между отдельными аппаратами и установками, так и вне пред-

приятий. При перемещении жидкости по горизонтальным трубо-

проводам и с низшего уровня на высший применяют насосы.

Насосы – гидравлические машины, которые преобразуют

механическую энергию двигателя в энергию перемещаемой жид-

кости, повышая ее давление. Разность давлений жидкости в на-

сосе и трубопроводе обусловливает ее перемещение.

13.1. Классификация насосов по принципу действия

Различают насосы двух основных типов: динамические

и объемные.

В динамических насосах жидкость перемещается при воз-

действии сил на незамкнутый объем жидкости, который непре-

рывно сообщается с входом в насос и выходом из него.