Афанасьев, Ю.О. Гидрогазомеханика

Подождите немного. Документ загружается.

можно найти точные решения уравнений Навье – Стокса. Такими

случаями являются стационарные, ламинарные течения, в кото-

рых частицы жидкости движутся упорядоченно, слоями. Так как

на твердых стенках выполняется условие прилипания, то для та-

кого течения характерно наличие градиента продольной скорости

в направлении от стенок канала.

9.1. Течение Куэтта и Пуазейля

Рассмотрим двумерное установившееся ламинарное течение

несжимаемой жидкости между параллельными пластинами в слу-

чае, когда верхняя пластина движется со скоростью W в направ-

лении оси х по отношению к нижней пластине (рис. 20).

Пусть ось z перпендикулярна пластинам. Для двумерного

течения можно исключить из

рассмотрения одно уравнение

Навье – Стокса в проекции на

ось у. Для стационарного течения

все производные скорости по

времени в уравнениях (6.1) рав-

ны нулю. Движение ламинарное

и направленное вдоль оси х; при этом скорость w

равна нулю. Из

уравнения неразрывности (5.3)

w x

 

=0 при всех х, и, следова-

тельно,

w x

  

, и поэтому w

является функцией только z.

При этих условиях уравнения Навье – Стокса в проекциях х и z

могут быть написаны в виде

x z



   

 

; (9.1)



  



. (9.2)

Все ускорения равны нулю, и в уравнениях Навье – Стокса

исчезают инерционные члены. Из уравнения (9.2) получаем

const

 



Рис. 20. Течение между двумя

параллельными пластинами

Так что распределение давления по нормали к направлению те-

чения совпадает с гидростатическим.

Согласно выражению (9.2)

p x

 

не зависит от z и может

быть записано как

d d

p x

. С учетом этого уравнение (9.1) можно

дважды проинтегрировать по z и получить

1 2

d 2

p z

w C z C

   

. (9.3)

Используя граничные условия w

= 0 при z = 0 и w

= W при z = h,

находим:

2 d

Wz hz p z

h x h

 

  

 



 

. (9.4)

Если

d d 0

p x



, течение называется те-

чением Куэтта или течением чистого

сдвига (рис. 21) и распределение скоро-

стей линейное:

 . (9.5)

Если W = 0, то в этом случае течение параллельноструйное меж-

ду неподвижными пластинами, известное как двумерное тече-

ние Пуазейля. Распределение скоростей является параболиче-

ским

с максимумом скорости при z = h/2. Следовательно,

макс

8 d

h p

 



(9.6)

а средняя скорость Q/S:

ср макс

2 d

3 12 d

Q h p

w w

S x

   



(9.7)

9.2. Ламинарный режим течения жидкости в трубах

Рис. 21. Течение Куэтта

При ламинарном движении вязкой жидкости в прямой тру-

бе круглого сечения всю жидкость можно мысленно разбить на

ряд кольцевых элементарных слоев, соосных с трубой (рис. 22).

Вследствие действия между

слоями сил трения слои бу-

дут двигаться с неодинако-

выми скоростями. Централь-

ный цилиндрический слой

у оси трубы имеет макси-

мальную скорость, но по ме-

ре удаления от оси скорость

элементарных кольцевых

слоев будет уменьшаться.

Непосредственно у стенки

жидкость как бы прилипает

к стенке, и ее скорость пре-

вращается в нуль.

Выделим в потоке жид-

кости, ламинарно движущем-

ся по трубе радиусом R, ци-

линдрический слой длиной l и радиусом r. Движение слоя проис-

ходит под действием разности сил давления Р

и Р

с обеих тор-

цевых сторон цилиндра:





1 2 1 2

P P p p r

   

где р

, р

– гидростатические давления в сечениях 1-1 и 2-2.

Движению цилиндра оказывает сопротивление сила внут-

реннего трения Т, для которой, согласно уравнению (1.6) с уче-

том (1.7), справедливо выражение

T F

  ,

где w

– скорость движения жидкости вдоль оси цилиндра на рас-

стоянии r от оси; F = 2πrl – наружная поверхность цилиндра; μ –

динамический коэффициент вязкости жидкости.

Знак минус указывает на убывание скорости с увеличением

радиуса r (при r = R величина w

= 0). При установившемся дви-

жении разность сил давления Р

– Р

затрачивается на преодоле-

Рис. 22. К выводу закона Стокса

для ламинарного движения жидкости

в трубах

ние силы трения Т, и сумма проекций всех этих сил на ось потока

должна быть равна нулю. Вследствие трения движение рассмат-

риваемого цилиндрического слоя тормозится, значит, сила тре-

ния, приложенная к его боковой поверхности, направлена проти-

воположно разности Р

– Р

и проектируется на ось, направление

которой совпадает с направлением движения, со знаком минус.

Следовательно,

 

1 2

p p r F

   

или

 

1 2

p p r rl

     .

Откуда, после сокращения и разделения переменных, получим

1 2

d d

p p

r r w



  



Переходя ко всему объему жидкости в трубе, проинтегриру-

ем это дифференциальное уравнение с учетом граничных усло-

вий: при текущем радиусе r – скорость равна w

, и при r = R ве-

личина w

= 0:

1 2

d d

r w

p p

r r w



  



 

Тогда

2 2

1 2

2 2 2

p p R r

 



 

 



 

или

 

2 2

1 2

p p

w R r



 



. (9.8)

Скорость имеет максимальное значение по оси трубы, где r = 0:

1 2

макс

p p

w R







. (9.9)

Сопоставляя выражения (9.8) и (9.9), получим:

2 2 2

макс макс

2 2

R r r

w w w

R R

 



  

 

 

. (9.10)

Уравнение (9.10) с учетом (9.8), (9.9) представляет собой

закон Стокса, выражающий параболическое распределение

скоростей в сечении трубопровода при ламинарном движе-

нии.

Для определения расхода жидкости при ламинарном дви-

жении рассмотрим элементарное кольцевое сечение (см. рис. 22,

б)

с внутренним радиусом r и внешним радиусом (r + dr), площадь

которого равна dS = 2πrdr. Объемный расход жидкости через это

сечение составляет

d d 2 d

r r

Q w S w r r

  

или с учетом уравнения (9.8)

2 2

1 2

d ( )2 d

p p

Q R r r r



  



Интегрируя последнее уравнение, получим общий расход

жидкости через трубу:

2 2 2 3 4

1 2 1 2

0 0 0

( )2 d 2 d 2 d .

4 8

R R R

p p p p

Q R r r r R r r r r R

l l

 

 

        

 

 

 

  

Подставляя вместо R диаметр трубы d = 2R и обозначая

(р

– р

) = Δp, окончательно получим:

1 2

8 128

p p

d p

Q R

l l



 

  

 

. (9.11)

Уравнение (9.11), определяющее расход жидкости при ее

ламинарном движении по круглой прямой трубе, носит название

уравнения Пуазейля.

Соотношение между средней скоростью w и максимальной

скоростью w

макс

можно получить, определив значение средней

скорости из уравнения расхода (9.11):

Q wS w R

  

2 4

1 2

p p

R w R



  



откуда

1 2

p p

w R







(9.12)

Сравнивая уравнения (9.12) и (9.9), находим:

макс

w  . (9.13)

Таким образом, при ламинарном потоке в трубе средняя

скорость жидкости равна половине скорости по оси трубы.

Соответственно параболический закон распределения ско-

ростей по сечению трубы, выражаемый уравнением (9.10), может

быть представлен в виде

2 1

w w

 

 

 

 

. (9.14)

Этот закон, выведенный теоре-

тически, хорошо подтверждается

эпюрами скоростей, полученных

опытным путем (рис. 23).

9.3. Движение тел в жидкости

При движении тела в жидкости (или при обтекании непод-

вижного тела движущейся жидкостью) возникают сопротивле-

ния, для преодоления которых и обеспечения равномерного дви-

жения тела должна быть затрачена определенная энергия. Возни-

кающее сопротивление зависит главным образом от режима

движения

и формы обтекаемого тела.

При ламинарном (ползущем) дви-

жении, наблюдающемся при малых ско-

ростях и малых размерах тел или при вы-

сокой вязкости среды, тело окружено по-

граничным слоем жидкости и плавно об-

текается потоком (рис. 24, а). Потеря

энергии в таких условиях связана в ос-

новном лишь с преодолением сопротив-

ления трения.

С развитием турбулентности потока

(например, с увеличением скорости дви-

Рис. 23. Профиль скоро

стей

при ламинарном движении

жидк

сти

Рис. 24. Движение тела

в жидкости:

а – ламинарный поток;

б – турбулентный поток

жения тела) все большую роль начинают играть силы инерции.

Под действием этих сил пограничный слой отрывается от по-

верхности тела.

Это приводит к понижению давления за движущимся телом

в непосредственной близости от него и образованию беспоря-

дочных местных завихрений в данном пространстве

(рис. 24, б). При этом разность давлений жидкости на переднюю

(лобовую) поверхность тела, встречающую обтекающий поток,

и на его заднюю (кормовую) поверхность все более превышает

разность давлений, возникающую при ламинарном обтекании те-

ла. Начиная с некоторых значений критерия Рейнольдса, роль

лобового сопротивления становится преобладающей, а сопротив-

лением трения можно практически пренебречь. В данном случае,

как и при движении жидкости в трубах, наступает автомодель-

ный (по отношению к критерию Рейнольдса) режим.

При движении тела в среде возникает сила сопротивления

среды R, которая может быть выражена уравнением закона со-

противления

R S



 

, (9.15)

где S – площадь поверхности тела на плоскость, перпендикуляр-

ную направлению его движения, м

; w – скорость движения тела,

м/с; ρ – плотность среды, кг/м

; ζ – коэффициент сопротивления

среды.

Отношение R/S представляет собой перепад давлений Δр

(Па), преодолеваемый движущимся телом. Поэтому, решив урав-

нение (9.15) относительно ζ, можно установить, что коэффициент

сопротивления ζ пропорционален критерию Эйлера







(ζ отличается от Eu лишь множителем 2). Соответственно, урав-

нения для расчета ζ при различных гидродинамических режимах

могут быть получены обработкой опытных данных в виде обоб-

щенных зависимостей между критериями гидродинамического

подобия.

На рис. 25 представлена зависимость ζ от критерия Re при

движении шарообразных частиц диаметром d. Этот диаметр и

является определяющим размером в критерии Рейнольдса. Из

графика видно, что существуют четыре различных режима обте-

кания тела, каждому из которых соответствует определенный ха-

рактер зависимости ζ от Re:

ламинарный режим обтекания (область действия закона

Стокса) приблизительно при Re < 2

  ; (9.16)

переходный режим обтекания при Re = 2Ü500

0,6

18,5

  ; (9.17)

автомодельный режим (область действия квадратичного

закона сопротивления) при ~ 2Ý10

> Re > ~ 500

ζ = 0,44 = const.

Четвертый, турбулентный режим обтекания характеризу-

ется резким снижением коэффициента сопротивления при крите-

рии Re, превышающем ~3Ý10

. Столь резкое уменьшение ζ объ-

ясняется возникновением в пограничном слое турбулентного те-

чения. Турбулизация пограничного слоя, т.е. возникновение в

нем турбулентного перемешивания, значительно усиливает увле-

кающее действие внешнего потока по сравнению со случаем ла-

минарного пограничного слоя, и это приводит к перемещению

0,1

Закон Стокса

Промежуточная зона

Автомодельная зона

Рис. 25. Зависимость ζ от критерия Re

при движении тел шарообразной формы

точки отрыва назад, т.е. вниз по течению. Если для пограничного

слоя, остающегося ламинарным на всем протяжении, точка от-

рыва лежит приблизительно на экваторе шара, то после турбули-

зации пограничного слоя она перемещается на довольно значи-

тельное расстояние назад, т.е. на заднюю половину шара. Вслед-

ствие этого область застойного течения позади тела значительно

суживается, и распределение давления приближается к распреде-

лению давления при течении без трения (идеального). Сужение

застойной области приводит к значительному уменьшению со-

противления давления, как показано на рис. 25, в виде скачкооб-

разного понижения кривой ζ = f (Re).

Глава 10. Турбулентный режим движения жидкости

В промышленной практике наиболее распространено тур-

булентное движение жидкостей. Как было определено выше, тур-

булентным называется течение жидкости, характеризующееся

неупорядоченным движением частиц. Состояние движения

жидкости, называемое турбулентным, возникает в результате

распада упорядоченного течения, сопровождающегося

появлением в потоке особых вихреобразований (турбулентных

вихрей), распространение которых приводит к возмущению

течения нерегулярными флуктуационными движениями. При

соответствующих условиях турбулентность становится

квазиустойчивым состоянием движения.

10.1. Причины появления турбулентности

Одним из первоисточников турбулентности, порождающим

вихри, являются поверхности разрыва скорости, т.е. такие облас-

ти, где имеется резкий скачок скорости между прилегающими

слоями жидкости. Примеры такого рода: течения за острыми вы-

ступами, за кромками различных тел и в зонах отрыва погранич-

ных слоев, показаны на рис. 26.

У поверхности разрыва скорости имеется ¬склонность°

к образованию волн, которые возникают на таких поверхностях

либо от случайных внешних причин, либо от случайных возму-

щений, несомых жидкостью. Эти волны неустойчивы и стре-

мятся расти по амплитуде.

Турбулентность генерируется в течениях со сдвигом, где

имеется градиент скорости, но без резкого разрыва. Эксперимент

Рейнольдса со струйкой краски в стеклянной трубе, описанный

в гл. 4, является примером течения со сдвигом, которое теряет

устойчивость и становится турбулентным.

Такие явления турбулентности связаны главным образом

с течениями жидкости, которые ограничены одной или несколь-

кими твердыми поверхностями. В этих случаях применяется тер-

мин пристеночная турбулентность.

10.2. Характеристики турбулентного потока

При турбулентном движении из-за хаотического движения

частиц происходит выравнивание скоростей в основной массе

потока и их распределение по сечению трубы характеризуется

кривой, отличающейся от параболы (рис. 27, а); кривая имеет

значительно более широкую вершину (рис. 27, б). Опыт показы-

вает, что средняя скорость

w при турбулентном дви-

жении не равна половине

максимальной w

max

(как

для ламинарного течения),

а значительно больше,

причем w/w

max

= f(Re). На-

пример, при Re = 10

ско-

рость

w ≈ 0,8w

max

, а при Re = 10

Рис. 27. Распределение скоростей

при различных режимах движения

жидкости: а – ламинарный поток;

б – турбулентный поток

а б

Рис. 26. Образование вихрей на поверхностях

разрыва скорости: а – острый выступ; б – тупая лобовая кромка;

в – задняя кромка профиля; г – отрыв пограничного слоя