Афанасьев, Ю.О. Гидрогазомеханика

Подождите немного. Документ загружается.

величина w ≈ 0,9w

max

В связи со сложным характером турбулентного течения не

представляется возможным строго теоретически получить про-

филь распределения скоростей и значение w/w

max

. Кроме того,

при турбулентном потоке профиль скоростей (рис. 27, б) выра-

жает распределение не истинных, а осредненных во времени

скоростей.

В каждой точке турбулентного потока истинная скорость не

остается постоянной во времени из-за хаотичности движения

частиц. Ее мгновенные значения испытывают флуктуации, или

нерегулярные пульсации, носящие хаотический характер.

Типичная картина изменения составляющей истинной мгно-

венной скорости w

(вдоль оси х потока) для некоторой точки

в зависимости от времени t представлена на рис. 28. Как видно из

рисунка, истинные скорости пульсируют около некоторого ос-

редненного во времени значения. Для данной точки осредненная

во времени скорость ω

может быть найдена из соотношения

w t

 



. (10.1)

Таким образом, величина

равна высоте прямоугольни-

ка, равновеликого площади, за-

ключенной между пульсацион-

ной кривой и осью абсцисс,

в пределах изменения времени

от 0 до t.

Разность между истинной и осредненной скоростями назы-

вают мгновенной пульсационной скоростью и обозначают че-

рез Δw:

w w

   

. (10.2)

Величина Δw может принимать и положительные и отрица-

тельные значения.

Понятие осредненной скорости ω

не следует путать с вве-

денным ранее понятием средней скорости w. Средняя скорость

представляет собой не среднюю во времени скорость в данной

Рис. 28. Истинные и осредненная

локальные скорости жидкости

при турбулентном течении

точке, а скорость, осредненную для всего поперечного сечения

трубопровода.

Хотя турбулентное движение по существу не является уста-

новившимся, осреднение скоростей во времени позволяет при-

ближенно считать это движение стационарным. В этом смысле

турбулентное движение может рассматриваться как квазиста-

ционарное.

Мерой пульсаций в данной точке потока является интен-

сивность турбулентности, которая выражается отношением







, (10.3)

где



– среднеквадратичное значение пульсационной скорости,

с помощью которого усредняются во всех направлениях мгно-

венные пульсационные скорости по их абсолютной величине.

Если средние пульсации скорости одинаковы по всем на-

правлениям, то такая турбулентность называется изотропной.

Турбулентность практически всегда в той или иной степени

отличается от изотропной, приближаясь к ней вблизи оси разви-

того турбулентного потока и все больше отклоняясь от нее в по-

перечном направлении, по мере приближения к стенке трубы.

При турбулентном течении жидкости по трубам интенсивность

турбулентности I

≈ 0,01Ü0,1.

Помимо интенсивности турбулентности другими важными

характеристиками турбулентного движения являются масштаб

турбулентности и турбулентная вязкость.

Чем ближе друг к другу находятся две частицы жидкости

в турбулентном потоке, тем более близки их истинные (мгновен-

ные) скорости. В то же время у достаточно удаленных одна от

другой частиц совсем нет связи между колебаниями, или пульса-

циями их скоростей. Достаточно близко расположенные части-

цы, движущиеся совместно, можно считать принадлежащими к

некоторой единой совокупности, называемой обычно вихрем.

Размер таких вихрей зависит от степени развития турбулентности

в потоке, или от ее масштаба, и поэтому носит название мас-

штаба турбулентности.

Для характеристики турбулентной вязкости рассмотрим две

частицы жидкости в турбулентном потоке, движущемся в на-

правлении оси х, параллельно оси трубы. Пусть расстояние меж-

ду частицами в направлении, перпендикулярном оси трубы, рав-

но dy. Составляющие скорости частиц по направлению потока

и w

отличаются друг от друга на dω

, причем вследствие разно-

сти скоростей возникает касательное напряжение τ

, определяе-

мое по уравнению (1.7):



  



  , (10.4)

где τ

– ньютоновские касательные напряжения; μ и ν – коэффи-

циенты динамической и кинематической вязкости; ρ – плотность

жидкости.

В ламинарном потоке τ

было бы единственным напряжени-

ем, возникающим между расположенными на расстоянии dy

слоями жидкости. Однако в турбулентном потоке частицы жид-

кости перемещаются относительно друг друга не только в про-

дольном (вместе с потоком), но и в поперечном направлении. Это

создает дополнительное касательное напряжение τ

(индекс ¬т° –

турбулентное), которое по аналогии с τ

можно выразить уравне-

нием

т т



    . (10.5)

Величину ν

называют коэффициентом турбулентной

вязкости, или просто турбулентной вязкостью.

Турбулентная вязкость, в отличие от обычной вязкости, не

является физико-химической константой, определяемой приро-

дой жидкости, ее температурой и давлением. Турбулентная вяз-

кость зависит от скорости жидкости и других параметров, обу-

словливающих степень турбулентности потока (в частности, рас-

стояния от стенки трубы и т.д.).

Суммарное касательное напряжение в потоке определяется,

следовательно, как вязкостью жидкости, так и турбулентностью

потока:

Рис. 29. Структура

турбулентного потока:

а – ядро потока;

б – гидродинамический пограничный

слой; в – вязкий подслой

 

н т т

τ = τ + τ = ρ ν + ν

 . (10.6)

При анализе профиля распределения скоростей по сечению

канала воспользуемся теорией пограничного слоя, изложенной

в гл. 11. На рис. 29 показано, что в основной массе потока скоро-

сти жидкости в значительной

мере выравнены по сечению

трубы. Однако вблизи стенки

трубы скорость резко снижа-

ется, обращаясь у самой

стенки в нуль. В непосредст-

венной близости от стенки,

с приближением к ней, дви-

жение жидкости становится

все менее турбулентным и все

более ламинарным, вследст-

вие того что твердая стенка

как бы ¬гасит° турбулентные

пульсации в поперечном направлении.

Условно различают центральную зону, или основную массу

жидкости, называемую ядром потока (рис. 29, а), в которой

движение является развитым турбулентным, и гидродинамиче-

ский пограничный слой вблизи стенки (рис. 29, б), где происхо-

дит переход турбулентного движения в ламинарное.

У самой стенки трубы (в области пограничного слоя) имеет-

ся тонкий слой толщиной δ, где силы вязкости оказывают прева-

лирующее влияние на движение жидкости. Этот слой называют

ламинарным вязким подслоем (рис. 29, в), поскольку характер

течения жидкости в нем в основном ламинарный. Градиент ско-

рости в вязком подслое очень высок, причем у самой стенки ско-

рость равна нулю.

Ламинарный вязкий подслой в турбулентном потоке харак-

теризуется очень малой толщиной (составляющей иногда доли

миллиметра), которая уменьшается с возрастанием турбулентно-

сти потока. Однако явления, происходящие в нем, оказывают

значительное влияние на гидравлическое сопротивление при

движении жидкости.

Между ядром потока и ламинарным подслоем существует

переходная зона, причем ламинарный подслой и эту зону назы-

вают гидродинамическим пограничным слоем. Толщина его оп-

ределяется тем, что напряжения сдвига между частицами жидко-

сти в пограничном слое, обусловленные ее вязкостью и турбу-

лентными пульсациями, а следовательно, значения ν и ν

стано-

вятся сравнимыми по порядку.

Из приведенного упрощенного представления о структуре

турбулентного потока следует, что турбулентное движение все-

гда сопровождается ламинарным у твердой границы потока.

В действительности структура турбулентного потока является

более сложной, так как четких границ между названными зонами

не существует. Поэтому точнее использовать представление не

о чисто ламинарном, а о вязком подслое, в котором влияние вяз-

кости преобладает над влиянием турбулентных пульсаций, т.е.

его толщина характеризуется тем, что в этом подслое τ

>> τ

Глава 11. Основы теории пограничного слоя

Во второй половине XIX столетия наука о движении жидко-

сти распалась на две ветви, почти не связанные между собой.

С одной стороны, достигла большого совершенства теоретиче-

ская гидродинамика, исходившая из уравнений, составленных

Эйлером для идеальной жидкости. Однако результаты этой так

называемой классической гидродинамики во многом резко про-

тиворечили опыту. Особенно явное противоречие получалось

в весьма важных вопросах о потере давления в трубах и каналах

и о сопротивлении, которое оказывает жидкость движущемуся

в ней телу, поэтому классическая гидродинамика имела для прак-

тики лишь небольшое значение. Это побудило инженеров создать

для решения важных проблем, поставленных быстро развиваю-

щейся техникой, свою собственную науку о движении жидкости,

так называемую гидравлику. Эта наука, принявшая резко выра-

женный эмпирический характер, опиралась на большое число

Рис. 30. Пограничный слой на стенке

тонкого цилиндрического тела

экспериментальных результатов и сильно отличалась от теорети-

ческой гидродинамики как своими методами, так и своей целью.

В 1904 году Л. Прандтль в своем докладе ¬О движении жид-

кости при очень малом трении° указал путь, сделавший доступ-

ным теоретическому исследованию течения жидкости с трением

в практически важных случаях [8]. А именно, исходя из теорети-

ческих соображений и некоторых простых экспериментов,

Л. Прандтль показал, что течение в окрестности тела можно раз-

делить на две области. Это область очень тонкого слоя вблизи

тела (пограничный слой), где трение играет существенную роль,

и область вне этого слоя, где трением можно пренебречь. Эта ги-

потеза, с одной стороны, позволила получить физически очень

наглядное объяснение важной роли вязкости в проблеме гидрав-

лического сопротивления, а с другой стороны, дала возможность

преодолеть математические трудности и тем самым открыла путь

теоретическому исследованию течений жидкости с трением. Та-

ким образом, гипотеза Л. Прандтля положила начало восстанов-

лению утраченной связи между теорией и практикой.

11.1. Дифференциальные уравнения пограничного слоя

В своей работе Л. Прандтль показал, как упростить диффе-

ренциальные уравнения Навье – Стокса и получить их прибли-

женные решения в предельном случае очень малой вязкости.

С целью физически наглядного пояснения способа, позво-

ляющего упростить уравнения Навье – Стокса для случая очень

малой вязкости, рассмотрим простой пример плоского течения

около тонкого цилиндрического тела (рис. 30). Точные наблюде-

ния показывают, что жидкость не скользит по поверхности тела,

а прилипает к ней. Переход от нулевой скорости на стенке к пол-

ной скорости, существую-

щей на некотором рас-

стоянии от стенки, совер-

шается в очень тонком

слое, называемом погра-

ничным слоем или слоем

трения. Следовательно, в

течении нужно различать две области, между которыми, правда,

нельзя провести резкой границы:

1. Первая область – очень тонкий слой в непосредственной

близости от тела. В этой области градиент скорости

w y

 

в на-

правлении, перпендикулярном стенке, очень велик (пограничный

слой), а вязкость μ, как бы она ни была мала, оказывает сущест-

венное влияние на течение. Это обусловлено тем, что касательное

напряжение

w y

    

, вызванное трением, может прини-

мать большие значения.

2. Вторая область – все остальное течение вне погранич-

ного слоя. В этой области градиент скорости не достигает таких

больших значений, как в пограничном слое, поэтому действие

вязкости здесь не играет роли и можно считать, что течение здесь

идеальное.

Как правило, пограничный слой тем тоньше, чем меньше

вязкость и, в более общей формулировке, чем больше критерий

Рейнольдса. Численные решения уравнений Навье – Стокса по-

казали, что толщина пограничного слоя пропорциональна корню

квадратному из кинематической вязкости, т.е.

 



. В сущно-

сти решения уравнений пограничного слоя представляют собой

асимптотические решения для очень больших чисел Рейнольдса.

Приступим к упрощению уравнений Навье – Стокса [(6.1)

с учетом (7.11)] для течения в пограничном слое. Для этой цели

прежде всего произведем оценку отдельных членов этих уравне-

ний с точки зрения порядка их величины. Рассматривается двух-

мерная задача, жидкость обтекает плоскую стенку, и уравнение

в проекции на ось z отпадает. Ось x направлена вдоль стенки,

а ось у перпендикулярна ей (рис. 30). Перепишем уравнения На-

вье – Стокса в безразмерной форме, для чего все скорости отне-

сем к скорости W набегающего потока, а все длины к характер-

ному линейному размеру тела L:

 ;



;



;



Характерный линейный размер L выбираем так, чтобы без-

размерная величина

0 0

w x

 

в рассматриваемой области течения

не превышала по порядку единицу. Давление и время сделаем

безразмерными, разделив их соответственно на ρW

и на L/W:





;

 .

Введем число Рейнольдса, которое, согласно основному

предположению, должно быть очень велико:

WL WL



 

 

В результате уравнения Навье – Стокса для рассматривае-

мой плоской задачи примут вид:

в проекции на ось х

2 2

0 0 0 0 0 0

0 0

2 2

0 0 0 0 0 0

x x x x x

x y

w w w p w w

w w

t x y x x y

 

     

     

 

     

 

; (11.1)

1 1 1 δ 1/δ δ

1 1/δ

в проекции на ось у

2 2

0 0 0 0 0

0 0

2 2

0 0 0 0 0 0

y y y y y

x y

w w w w w

w w

t x y y x y

 

    



     

 

     

 

. (11.2)

δ 1 δ δ 1 δ

δ 1/δ

Безразмерным уравнением неразрывности будет

0 0

x y



 

 

. (11.3)

1 1

Граничными условиями здесь являются:

– прилипание жидкости к стенке, т.е. при у = 0, w

= w

= 0;

– совпадение скорости w

на внешнем крае пограничного

слоя со скоростью W внешнего течения, т.е. при у = δ, w

= W.

Разделим толщину пограничного слоя δ на характерный ли-

нейный размер тела L, т.е. сделаем эту толщину безразмерной.

Такая безразмерная толщина должна быть весьма мала по срав-

нению с единицей



 



Введем шкалу поряд-

ков величин (рис. 31), ис-

пользуя в качестве меры

Рис. 31. Шкала порядков величин



порядка безразмерную толщину пленки. Величины δ



явля-

ются пренебрежимо малыми, которыми можно пренебречь.

Приступим к оценке отдельных членов уравнений (11.1),

(11.2) и (11.3) с целью отбросить численно малые члены и тем

самым упростить уравнения. Из уравнения неразрывности (11.3)

видно, что, поскольку величина

0 0

w x

 

имеет порядок едини-

цы, такой же порядок имеет и величина

0 0

w y

 

Но так как на стенке скорость w

= 0, то отсюда следует,

что в пограничном слое величина скорости w

имеет порядок δ

Такой же порядок δ

имеют в пограничном слое и величины

0 0

w x

 

2 2

0 0

w x

 

. Величина

2 2

0 0

w x

 

имеет порядок еди-

ницы:







 

;







 

;



 

Примем, что величина локального ускорения

0 0

w t

 

имеет

такой же порядок, как и величина конвективного ускорения

0 0 0

x x

w w x

 

. Это означает, что очень внезапные ускорения, на-

пример, подобные тем, которые возникают при сильных волнах

давления, исключаются из рассмотрения. Члены, зависящие от

вязкости, входят в уравнения (11.1) и (11.2) с малым множителем

1/Re. Тем не менее, некоторые из этих членов должны быть по

своей величине одного порядка с инерционными членами, по

крайней мере, в непосредственной близости от стенки. Следова-

тельно, в близком к стенке слое жидкости некоторые из вторых

производных скорости должны быть очень велики. Такими про-

изводными могут быть только

2 2

0 0

w y

 

2 2

0 0

w y

 

. Так как

составляющая скорости, параллельная стенке, изменяется в тон-

ком слое, имеющем толщину δ

, от нуля на стенке до единицы на

границе с внешним течением, то

0 0



 



2 2

0 0



 



, в то

время как

0 0





 

 

0 0



 



Подпишем эти оценки под соответствующими величинами

в уравнениях (11.1) и (11.2). В первом уравнении величина чле-

нов, зависящих от вязкости, имеет в пограничном слое одинако-

вый порядок с инерционными членами только при условии, что

величина критерия Рейнольдса имеет порядок 1/δ

, т.е. при усло-

вии, что 1/Re = δ

Таким образом, для течения, в котором число Рейнольдса

велико, можно упростить первое уравнение движения, отбросив

для этого величину

2 2

0 0

w x

 

как малую по сравнению

2 2

0 0

w y

 

. Уравнение неразрывности в этом случае остается

неизменным. Что касается второго уравнения движения, то из не-

го видно, что величина

0 0

p y

 

имеет порядок δ

. Следовательно,

величина разности давлений поперек пограничного слоя, кото-

рую можно было бы вычислить путем интегрирования второго

уравнения, имеет порядок



, т.е. очень мала, и поэтому давление

в поперечном направлении пограничного слоя остается практи-

чески постоянным. Его можно принять равным тому давлению,

которое существует на внешнем крае пограничного слоя и

которое определяется здесь течением без трения (идеальным).

Таким образом, давление в пограничном слое как бы создается

внешним течением, и его следует рассматривать как известную

функцию, зависящую только от продольной координаты х и от

времени t. На внешней границе пограничного слоя продольная ско-

рость w

0х

переходит в скорость W (х, t) внешнего течения. Во

внешнем течении нет сильного градиента скорости в направле-

нии, перпендикулярном стенке, поэтому в уравнении (11.1) отпа-

дают все члены, зависящие от вязкости. Если вернуться к раз-

мерным величинам, то для внешнего течения уравнение (11.1)

принимает вид

x x

W W

t x x

 



  

   

. (11.4)

Для стационарного течения

W t

  

и давление зависит

только от х. Перейдя к полным производным и проинтегрировав

это уравнение, получаем уравнение Бернулли: