Афанасьев, Ю.О. Гидрогазомеханика

Подождите немного. Документ загружается.

const



 

. (11.5)

После всех выполненных упрощений от двух уравнений

Навье – Стокса (11.1) и (11.2) остается только одно, которое, ес-

ли опять вернуться к размерным величинам, принимает вместе

с уравнением неразрывности (11.3) следующий вид:

( )

x x x x

x y

w w w w

w w

t x y x y

   

      

    

; (11.6)

x y



 

 

, (11.7)

причем граничными условиями будут

= w

= 0 при у = 0; w

= W (х, t) при у = ∞. (11.8)

Система уравнений (11.6) и (11.7) называется уравнениями

Прандтля для пограничного слоя. Скорость W (х, t) идеального

течения следует рассматривать как известную функцию, опреде-

ляемую посредством уравнения (11.4) распределения давления.

Кроме того, для момента времени t = 0 должно быть задано соот-

ветствующее условиям задачи течение в пограничном слое во

всей области рассматриваемых значений х и у.

Для стационарного течения система уравнений (11.6)

и (11.7) принимает более простой вид:

( ) ;

x x x

x y

w w wp

w w

x y x y

x y



  

     



   









 



 



(11.9)

с граничными условиями – w

= w

= 0 при у = 0; w

= W (х) при

у = δ.

Кроме того, в начальном поперечном сечении х = х

должен

быть задан начальный профиль скоростей w

(х

, у). Следова-

тельно, задача расчета течения в пограничном слое сводится к

расчету дальнейшего развития заданного начального профиля

продольных скоростей при заданном идеальном течении.

Впервые решение уравнений пограничного слоя было вы-

полнено Блазиусом в 1908 году как первая иллюстрация приме-

нения уравнений Прандтля.

11.2. Отрыв пограничного слоя. Вихревая дорожка Кармана

С характером распределения давления в пограничном слое

тесно связано явление отрыва пограничного слоя от стенки.

Пограничный слой, возникающий при обтекании плоской пла-

стины в продольном направлении, имеет особенно простую

структуру потому, что при таком обтекании статическое давле-

ние во всем поле течения остается постоянным. Во внешнем

(идеальном) течении скорость постоянна, и поэтому на основа-

нии уравнения Бернулли постоянно и давление. Давление в по-

граничном слое как бы создается внешним течением, следова-

тельно, внутри пограничного слоя в каждом его сечении давле-

ние совпадает с давлением внешнего течения. Поэтому погра-

ничный слой стабильный и отрыв происходит, когда его толщина

достигает некоторого значения, определяемого числом Re

δкр

≈

2800, что соответствует критическому числу Рейнольдса по дли-

не пластины:

кр

Re 3, 2 10

W l



 

  

 



 

Выясним, при каких обстоятельствах происходит перенос

жидкости, заторможенной в пограничном слое, во внешнее тече-

ние, иными словами, при каких обстоятельствах возникает отрыв

течения от стенки. Рассмотрим течение около тела с тупой кор-

мовой частью, например, около круглого цилиндра (рис. 32). При

течении, происходящем без трения, жидкость на передней поло-

вине цилиндра, между точками D и E, движется ускоренно, при-

чем давление по мере приближения к точке E понижается. На

задней половине цилиндра, между точками E и F, происходит

замедление движения, следовательно, давление по мере прибли-

Рис. 32

. Отрыв пограничного слоя

с образованием вихрей

при обтекании

кругло

го цилин

ра:

жения к точке F повышается. При идеальном течении потока

жидкости на пути от D к E происходит преобразование энергии

давления в кинетическую энергию. На пути от E к F происходит

обратное преобразование кинетической энергии в энергию дав-

ления. Таким образом, при идеальном движении частицы жидко-

сти приходят в точку F с той же скоростью, какую они имели в

точке D, и распределение давления симметрично на носовой и

кормовой части цилиндра (рис. 32, б).

Иначе себя ведут частицы

жидкости, движущиеся внутри

пограничного слоя в непосредст-

венной близости от поверхности

цилиндра. Хотя поле давления

здесь такое же, как и во внешнем

течении, но зато здесь действуют

значительные силы трения. Это

приводит к тому, что на пути от D

к Е часть кинетической энергии

частиц жидкости теряется, и ос-

тавшейся кинетической энергии

уже недостаточно, чтобы преодо-

леть повышение давления на пути от E к F. Следовательно, внут-

ри пограничного слоя частица жидкости не может далеко про-

двинуться в область возрастающего давления между точками E и

F и где-то, не доходя до точки F, останавливается (точка А), а за-

тем под воздействием распределения давления внешнего течения

начинает двигаться назад. Точку отрыва определяют как границу

между прямым и возвратным течениями в прилегающем к стенке

слое, следовательно, в точке отрыва должно соблюдаться равен-

ство



 





 



 

Это означает, что профиль скоростей имеет в точке отрыва

пограничного слоя касательную, образующую нулевой угол

с нормалью к стенке в точке отрыва. Профили же скоростей по-

зади точки отрыва имеют вблизи стенки участки с направлением

скорости против основного течения (рис. 33). Возвратное течение

в кормовой части тела является причиной образования вихрей,

которые растут, отрываются от тела и уплывают вниз по тече-

нию. В завихренной зоне, позади кормовой части цилиндра, дав-

ление сильно понижено по сравнению с давлением в невозму-

щенном течении. На рис. 33, б пунктиром показано распределе-

ние давления в кормовой части цилиндра. Это понижение давле-

ния является причиной так называемого сопротивления давле-

ния, имеющего для цилиндра большую величину.

На некотором расстоянии позади обтекаемого тела образу-

ется правильная последовательность вихрей, вращающихся по-

переменно вправо и влево. Такая последовательность вихрей на-

зывается вихревой дорожкой Кармана (рис. 34). Согласно ре-

зультатам Т. Кармана, устойчивой является только дорожка с та-

ким расположением вихрей, для которого h/l = 0,281. Вихревая

дорожка перемещается со скоростью w

, меньшей скорости пото-

ка W, набегающего на тело. Регулярные вихревые дорожки обра-

зуются только в области чисел Рейнольдса

Re 60 5000

W D



 

  

 



 

 





 



 

 





 



 

Рис. 33. Обтекание тела с отрывом в точке А:

а – линии тока; б – распределение скоростей

вблизи точки отрыва

 





 



 

В указанной области имеет место однозначная зависимость без-

размерной частоты, называемой числом Струхала, от числа Re:

 ,

где n – частота отрыва вихрей, с

-1

; D – диаметр цилиндра, м. При

числах Рейнольдса, больших

примерно 1000, число Струха-

ла остается почти постоян-

ным, равным 0,21.

Для цилиндров с не-

большим диаметром и при

умеренных скоростях обтека-

ния частота отрыва вихрей

лежит в области частот звуко-

вых колебаний. Именно этим

объясняется гудение теле-

графных проводов при ветре. При скорости ветра W = 10 м/с и

при диаметре провода D = 2 мм получается частота n =

0,21Ý10/0,002 = 1050 с

-1

(Гц). Этим значениям W и D соответству-

ет число Re ≈ 1200.

11.3. Способы управления пограничным слоем

Существуют способы, позволяющие путем искусственных

мероприятий так влиять на пограничный слой, чтобы все течение

в целом приобретало другой характер, желательный для тех или

иных целей [8]. Все предложенные способы управления погра-

ничным слоем основаны на следующих мероприятиях: а) приве-

дение стенки, на которой образуется пограничный слой, в дви-

жение в сторону течения; б) сообщение ускорения пограничному

слою (сдувание пограничного слоя); в) отсасывание погранично-

го слоя; г) вдувание в пограничный слой другого газа; д) прида-

ние стенке особой формы, позволяющей сохранить ламинарную

форму течения в пограничном слое (ламинаризованные профи-

ли); е) охлаждение обтекаемой стенки.

Рис. 34. Вихревая дорожка Кармана,

при h/l = 0,281

∞

Рис. 35. Течение около

вращающегося цилиндра

1. Приведение стенки в движе-

ние в сторону течения. Наиболее про-

стой способ предупреждения отрыва

пограничного слоя заключается, оче-

видно, в том, чтобы вообще устранить

образование пограничного слоя. Так как

пограничный слой образуется вследст-

вие разности между скоростью внешне-

го течения

и скоростью стенки, то для того, чтобы

он не образовался, достаточно уничтожить эту разность скоро-

стей. Этого можно достичь, если перемещать обтекаемую стенку

вместе

с течением. Легче всего осуществить такую подвижную стенку

для случая круглого цилиндра. Для этого достаточно располо-

жить цилиндр поперек течения и вращать его, как показано на

рис. 35. На верхней стороне цилиндра, где вращение цилиндра

направлено

в сторону движения жидкости, отрыв пограничного слоя полно-

стью отсутствует. Но и на нижней стороне, где течение жидкости

и вращение стенки направлены в противоположные стороны, от-

рыв почти не возникает. В целом получается картина течения,

очень близкая к картине идеального обтекания цилиндра с цир-

куляцией. Такое течение дает большую поперечную силу Р

. Это

явление известно под названием эффекта Магнуса. Оно прояв-

ляется, в частности, при игре в теннис в тех случаях, когда мяч

получает срезывающий удар. Были сделаны попытки использо-

вать поперечную силу, возникающую при вращении цилиндра,

для движения судов (ротор Флеттнера). Для тел иной формы

осуществить движение обтекаемой стенки технически очень

трудно, в связи с чем этот способ управления пограничным сло-

ем почти не нашел практического применения. Тем не менее,

А. Фавр в 1938 году тщательно исследовал влияние движущейся

стенки на модели крыла. Для этой цели часть верхней поверхно-

сти крыла была выполнена в виде бесконечной ленты, вращаю-

щейся на двух валиках. Обратное движение ленты происходило

внутри крыла. Это устройство оказалось весьма эффективным

для предупреждения отрыва пограничного слоя. Безотрывное об-

текание удалось сохранить до очень больших углов атаки (свыше

α = 55Ù) и при этом достигнуть максимального коэффициента

подъемной силы.

2. Сообщение ускорения пограничному слою. Этот способ

предупреждения отрыва состоит в подводе новой энергии части-

цам жидкости, замедлившим свое движение в пограничном слое

(сдувание пограничного слоя). Этого можно достичь либо вдува-

нием в пограничный слой изнутри тела струи жидкости

(рис. 36, а), либо непосредственным использованием энергии ос-

новного течения (рис. 36, б, в).

Для осуществления ускорения пограничного слоя в обте-

каемом теле устраивается щель, через которую в замедливший

свое движение пограничный слой врывается жидкость из внут-

ренней полости крыла (рис. 36, а). При практическом осуществ-

лении вдувания изнутри крыла требуется особенно тщательное

выполнение формы щели, так как иначе выдуваемая струя может

сразу распасться на вихри.

Действие разрезного крыла (см. рис. 36, б) основано на том,

что поток жидкости, вырывающийся из щели между предкрыл-

ком АВ и основным крылом CD, уносит пограничный слой, обра-

зовавшийся на предкрылке АВ, во внешнее течение раньше, чем

он успевает оторваться. Начиная с точки С, образуется новый по-

граничный слой, который при благоприятных условиях достигает

задней кромки крыла D без отрыва. Устройство предкрылка по-

зволяет отодвинуть отрыв до значительно больших углов атаки

и таким путем достичь больших коэффициентов подъемной си-

∞

Рис. 36. Управление пограничным слоем: а – сдувание пограничного

слоя; б – разрезное крыло (АВ – предкрылок, СD – основное крыло);

в – разрезное крыло (EF – закрылок)

а б в

лы. Принцип действия закрылка (см. рис. 36, в) сходен с принци-

пом действия предкрылка.

3. Отсасывание пограничного

слоя. Принцип действия отсасыва-

ния (рис. 37) состоит в удалении из

пограничного слоя частиц жидко-

сти, заторможенных в области воз-

растания давления, прежде чем они

успевают вызвать отрыв течения от

стенки. Позади щели, через которую производится отсасывание,

образуется новый пограничный слой, опять обладающий способ-

ностью к преодолению определенного возрастания давления

и при надлежащем устройстве щели иногда доходящий без отры-

ва до задней кромки тела. Благодаря отсасыванию сильно

уменьшается сопротивление давления. Этот способ управления

пограничным слоем, испробованный Л. Прандтлем уже в 1904

году, впоследствии стал применяться особенно часто для крыль-

ев. Путем отсасывания пограничного слоя удается достичь боль-

шой подъемной силы при значительных углах атаки и при малом

лобовом сопротивлении.

Позднее отсасывание пограничного слоя стало применяться

также для уменьшения сопротивления трения. Для этого щель

располагается в таком месте обтекаемого контура, чтобы точка

перехода ламинарной формы течения в пограничном слое

в турбулентную отодвинулась как можно дальше вниз по тече-

нию. Эффект, достигаемый в этом случае, – сохранение погра-

ничного слоя ламинарным, – объясняется двумя причинами. Во-

первых, вследствие отсасывания пограничный слой делается

тоньше, что уменьшает вероятность перехода течения из лами-

нарной формы течения в турбулентную. Во-вторых, в ламинар-

ном пограничном слое профили скоростей имеют при отсасыва-

нии несколько иную форму, чем без отсасывания, и притом та-

кую, которая даже при одинаковой толщине слоя также умень-

шает склонность течения к переходу из ламинарной формы в

турбулентную.

∞

Рис. 37. Отсасывание

пограничного слоя

4. Вдувание в пограничный слой другого газа. Если через

пористую стенку вдувать в пограничный слой легкий газ, отли-

чающийся от газа во внешнем течении, то благодаря этому преж-

де всего уменьшается теплопередача между стенкой и внешним

течением. Этим обстоятельством пользуются при высоких сверх-

звуковых скоростях для тепловой защиты. При таком вдувании

в пограничном слое образуется смесь газов, что стабилизирует

течение в пограничном слое.

5. Ламинаризованные профили. С сохранением в погра-

ничном слое ламинарной формы те-

чения посредством отсасывания схо-

ден способ, осуществляемый прида-

нием стенке специальной формы (рис.

38). И этот способ предназначен для

уменьшения сопротивления трения

путем перемещения точки, в которой течение в пограничном слое

из ламинарного становится турбулентным, вниз по течению. Ус-

тановлено, что в пограничном слое переход ламинарного течения

в турбулентное сильно зависит от градиента давления внешнего

течения. При понижении давления в направлении течения, пере-

ход ламинарного течения в турбулентное в пограничном слое

происходит при значительно более высоких числах Рейнольдса,

чем при возрастании давления в направлении течения. Пониже-

ние давления во внешнем течении сильно увеличивает, а повы-

шение давления, наоборот, сильно уменьшает устойчивость ла-

минарного пограничного слоя. Это обстоятельство используется

для уменьшения сопротивления трения крыльев. Для этой цели

сечение с наибольшей толщиной профиля отодвигается далеко

назад, что обеспечивает на большей части профиля сохранение

ламинарного пограничного слоя.

6. Охлаждение обтекаемой стенки. Охлаждение обтекае-

мой стенки позволяет в определенной области сверхзвуковых чи-

сел Маха полностью стабилизировать пограничный слой. Кроме

того, посредством охлаждения можно уменьшить толщину по-

граничного слоя, что имеет значение при течении газа с очень

небольшой плотностью через коллектор аэродинамической тру-

∞

Рис. 38. Ламинаризованный

пр

филь

бы, позволяя избежать нежелательного сильного сужения попе-

речного сечения струи вследствие образования толстых погра-

ничных слоев.

Из всех способов управления пограничным слоем, наряду

с ламинаризованными профилями, наибольшее практическое

значение имеют такие способы, как отсасывание и сдувание (ус-

корение) пограничного слоя.

ОСНОВЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

Глава 12. Адиабатное движение газа

Газовая динамика изучает законы движения сжимаемых

жидкостей (газов). Жидкость считается несжимаемой, если ско-

рость ее истечения не превышает 30 % скорости звука, в против-

ном случае говорят о течении сжимаемой жидкости. Приведен-

ное деление, вообще говоря, условно и связано с допускаемой

погрешностью в технических расчетах. В расчетах, для удобства,

часто принимают течение газа, изолированного от внешней сре-

ды, т.е. адиабатное и изоэнтропное. В этом случае можно ис-

пользовать уравнение неразрывности в виде (5.3) [5].

12.1. Параметры полного торможения

Особенно простую и наглядную форму приобретает уравне-

ние сохранения энергии в форме уравнения Бернулли, при отсут-

ствии внешних воздействий. В таком потоке энтропия остается

постоянной. Уравнение Бернулли (5.13) можно записать в виде

const

w p

gz  



. (12.1)