ято називати функціональним. Кожна точка цього простору відповідає певному розподілу величин, що характе-
ризують систему (наприклад, полю швидкості для гідродинамічної течії). Розв’язок відповідного рівняння в
частинних похідних, яке описує систему, задає фазову траєкторію у функціональному просторі.
Гідродинамічна течія належить до дисипативних систем, відповідно до цього рівняння Нав’є – Стокса
містить дисипативний доданок. Як ми вже знаємо, в процесі еволюції дисипативних систем об’єм фазової крап-
лі зменшується, і вона потрапляє на деякий атрактор. В принципі, можливі й нескінченновимірні атрактори (хо-
ча це питання досі вивчене недостатньо). Але в багатьох випадках атрактори у функціональному просторі мо-
жуть мати скінчену геометричну розмірність
. Такі атрактори можуть бути як простими (стаціонарні точки, гра-
ничні цикли), так і дивними. Саме дивні атрактори визначають турбулентний рух.
Наявність атрактора зі скінченою геометричною розмірністю у функціональному просторі системи
означає, що усталений рух системи можна повністю описати скінченою кількістю рівнянь у повних похідних,
що є величезним спрощенням порівняно з
рівнянням у частинних похідних.
Найменшу кількість незалежних змінних, які однозначно визначають усталений рух нерівноважної ди-
сипативної системи з розподіленими параметрами, називають розмірністю вкладення атрактора d
e
. З геометри-
чної точки зору розмірність вкладення атрактора – це мінімальна розмірність фазового простору, до якого може
бути вкладений (тобто вміщений без самоперетинів) гладенький підмноговид, що повністю утримує цей атрак-
тор. Зрозуміло, що розмірність вкладення має завжди бути більшою від розмірності атрактора.
Показано, що будь-який гладенький многовид розмірності m завжди може
бути вкладений у простір з
розмірністю 2m+1. Скажемо, крива (розмірність 1) завжди може бути вкладена в тривимірний простір. На пло-
щину таку криву можна вкласти не завжди (це не можна зробити, наприклад, із обмоткою тора). Дивний атрак-
тор із фрактальною розмірністю d
F
завжди можна вкласти в простір із цілою розмірністю k≥2d
F
+1. В деяких
випадках розмірність вкладення може бути й меншою – включно до значення [d
F
]+1, де квадратні дужки позна-
чають цілу частину числа.
3.3.1.3. Різновиди гідродинамічної турбулентності
Якщо розмірність вкладення дивного атрактора для гідродинамічної турбулентності невелика (скаже-
мо, не перевищує двадцяти), таку гідродинамічну турбулентність називають слабкою. Усталений режим такої
турбулентності описується невеликою кількістю рівнянь у повних похідних, у фазовому просторі якої існує
дивний атрактор. Можна сказати, що властивості такої турбулентності по суті нічим не відрізняються від хао-
тичної
динаміки дисипативних систем зі скінченою кількістю ступенів вільності, яка була розглянута в розділі
3.2. Очевидно, для течії, описуваної рівнянням Нав’є – Стокса (3.3.1), режим слабкої турбулентності буде реалі-
зуватися при помірних значеннях числа Рейнольдса. Більш детально про режим слабкої гідродинамічної турбу-
лентності буде говоритися нижче (п. 3.3.2).
Як випливає з виконаних вище оцінок
, дисипативний доданок у рівнянні Нав’є – Стокса буде істотним
лише для вихорів малих характерних масштабів (при R≤1), причому зі збільшенням швидкості течії цей масш-
таб зменшуватиметься. З іншого боку, як уже говорилося, нестійкість, що приводить до виникнення вихорів,
розвивається на великих масштабах. Таким чином, при великих швидкостях течії енергія надходить
у систему у
вигляді великомасштабних вихорів, а розсіюється на дрібномасштабних вихорах. Отже, в такій течії відбува-
ється перекачування енергії від великих просторових масштабів до малих через деякий проміжний інтервал
масштабів, на яких відсутнє як надходження енергії до системи, так і її розсіювання. Цей інтервал прийнято
називати інерційним.
Наявність процесу перекачування енергії
від великих до малих масштабів через інерційний інтервал
характеризує розвинену гідродинамічну турбулентність. Розвинена гідродинамічна турбулентність буде дета-
льніше розглянута у п. 3.3.3.
Контрольні питання до пункту 3.3.1
1. Що таке ламінарний та турбулентний режими течії? Відповідь дайте на основі аналізу рівняння Нав’є – Сто-
кса.
2. Чому при збільшенні числа Рейнольдса в турбулентній течії з’являються вихори все менших розмірів?
3. Який доданок у рівнянні Нав’є – Стокса породжує турбулентність? Звідки виникає цей доданок
?
4. Поясніть якісно механізм виникнення вихорів при обтіканні течією циліндричної перешкоди (рис. 3.3.2).
Чому при великих швидкостях течії ці вихори починають відриватися від місця свого виникнення?
5. Виходячи з рівняння Нав’є - Стокса, спробуйте відповісти на питання, на скільки частин буде розпадатися
вихор у дуже швидкій течії.
6. Запропонуйте якісне пояснення
механізму ділення вихорів при великих швидкостях течії.
3.3.2. Слабка гідродинамічна турбулентність
Як уже вказувалося, слабка гідродинамічна турбулентність в усталеному режимі характеризується ма-
лою кількістю ступенів вільності (умовно кажучи, до десяти), тобто її можна описати порівняно невеликою кі-
лькістю рівнянь у повних похідних. Виявляється, що розмірність вкладення дивного атрактора (тобто, по суті,