Частина 3. ХАОС І ТУРБУЛЕНТНІСТЬ
Як уже відзначалося у Вступі, явище турбулентності є однією з форм самоорганізації, а турбулентну
динаміку системи (наприклад, турбулентну течію) в загальному випадку можна розглядати, як нестаціонарну
дисипативну структуру.
На сьогодні турбулентність залишається одним з найменш вивчених явищ у рамках класичної фізики.
Однак уже зрозуміло, що в багатьох випадках при виникненні
турбулентності системи з розподіленими параме-
трами можна звести до моделей систем зі скінченою кількістю ступенів вільності. Прикладом такого зведення
є, зокрема, отримана вище система Лоренца (див. п. 2.2.2.6), що, як буде показано нижче (див. п. 3.3.2.2), опи-
сує також і турбулентний режим конвекції. З іншого боку, хаотична динаміка систем із невеликою кількістю
ступенів вільності вивчена значно краще – особливо це стосується консервативних (гамільтонівських) систем.
Тому наш розгляд турбулентності ми розпочнемо з аналізу хаотичної динаміки систем зі скінченою кількістю
ступенів вільності, проаналізувавши спочатку гамільтонівські, а потім і дисипативні системи.
3.1. Хаос у гамільтонівських системах
Щойно було відзначено, що на сьогодні найбільш вивченою є хаотична
динаміка гамільтонівських сис-
тем, тобто автономних чи неавтономних консервативних систем з обмеженою кількістю ступенів вільності.
Крім того, суттєво, що методи дослідження та кількісні характеристики хаотичного руху гамільтонівських сис-
тем у багатьох випадках переносяться на дисипативні системи.
3.1.1. Інтегровні гамільтонівські системи
Перш ніж розглянути хаотичну динаміку гамільтонівських систем, нагадаємо деякі відомі з
попередніх
курсів (теоретична механіка, коливання та хвилі) поняття, що стосуються гамільтонівських систем взагалі та
інтегровних гамільтонівських систем зокрема.
Інтегровні гамільтонівські системи складають лише незначну частину всіх гамільтонівських систем.
Але ці системи служать свого роду еталоном, з яким зручно порівнювати інші гамільтонівські системи. Напри-
клад, окремо виділяють клас систем, близьких до інтегровних
. Чим далі знаходиться система від інтегровної,
тим складнішою є її поведінка.
3.1.1.1. Рівняння Гамільтона
Будемо розглядати системи, які можна подати як набір частинок, що взаємодіють одна з одною. Закон
залежності сили взаємодії від віддалі між частинками вважатимемо відомим. Очевидно, дисипація в таких сис-
темах відсутня. Стан подібної системи повністю задається положеннями та швидкостями (або імпульсами) всіх
частинок, що входять до її складу. Системи такого типу
зручно описувати за допомогою гамільтонівського фо-
рмалізму.
Як відомо з курсу теоретичної механіки, гамільтоніаном H=H(p,q) називають повну енергію системи,
записану через її узагальнені імпульси p={р
1
, р
2
, …, p
n
} та узагальнені координати q={q
1
, q
2
, …, q
n
}. Якщо гамі-
льтоніан системи не залежить від часу, така система, очевидно, буде консервативною (і автономною). Явна за-
лежність гамільтоніана від часу відповідає неавтономній системі, тобто системі, на яку діє зовнішня сила.
З принципу найменшої дії можна вивести так звані рівняння Гамільтона – рівняння руху системи у фо-
рмі:
i
i
p
H
q
∂
∂
=
,
i
i
q
H
p
∂
∂
−=
,
ni ,1=
. (3.1.1)
Розв’язок рівнянь Гамільтона для системи з n ступенями вільності описує рух зображувальної точки в
2n-вимірному фазовому просторі {p,q}.
Гамільтонівський формалізм застосовний і тоді, коли гамільтоніан явно залежить від часу.
3.1.1.2. Теорема Ліувілля
Розглянемо деяку обмежену замкнену область Ω0 у фазовому просторі, яку назвемо фазовою краплею.
Будемо розглядати точки цієї
області як початкові умови для набору фазових траєкторій, задані в момент t=0. З
плином часу зображувальні точки рухатимуться у фазовому просторі вздовж відповідних фазових траєкторій.
Відповідно рухатиметься утворена ними фазова крапля, яку в момент t позначимо через Ωt.
З рівнянь Гамільтона випливає умова нестисливості фазової рідини:
∑∑
==
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
n
i
n
i
iiiii
i
i
i
q
H
pp
H
qp
p
q
q
11
0
, (3.1.2)
яку можна переписати у формі:
() ()
0 t
dpdq dpdq
ΩΩ
=
∫∫
. (3.1.2 а)
Співвідношення (3.1.2)-(3.1.2 а) складають зміст теореми Ліувілля.