ті від ρ теж не буде. Тоді, виходячи з міркувань розмірності, можна сконструювати єдину комбінацію величин l
та Δu, яка матиме розмірність Е:
()
()
3
,~
u
Eful
l
Δ
=Δ
. (3.3.27)
Формула (3.3.27) підтверджує, що потужність для втрат великомасштабних пульсацій визначається
саме перекачуванням енергії в пульсації менших масштабів, оскільки вона залежить лише від швидкості та ха-
рактерного розміру цих пульсацій.
Різниця тиску Δр на межах області турбулентного руху може, в принципі, залежати від ρ, l та Δu. Вихо-
дячи з міркувань розмірності
, можна записати:
()
2
~
u
ρ
ΔΔ. (3.3.28)
Як бачимо, ця величина виявляється незалежною від розмірів області турбулентного руху. Якщо величина Δр
відома, то з (3.3.28) випливає оцінка для пульсаційної швидкості найбільшого масштабу l:
~
u
Δ
Δ
. (3.3.29)
3.3.3.4. Локальні властивості розвиненої турбулентності
Розглянемо тепер властивості розвиненої турбулентності на масштабах λ<<l. Їх прийнято називати ло-
кальними властивостями турбулентності.
Природно припустити, що на далеких віддалях d від стінок (d>>λ) локальні властивості розвиненої ту-
рбулентності характеризуються однорідністю та ізотропністю. Це, зокрема, означає, що на ділянках із характе-
рними розмірами порядку
λ властивості турбулентного руху не залежать від напрямку середньої швидкості u.
Якщо масштаб пульсацій задовольняє умові λ
0
<<λ<<l, тобто потрапляє в інерційний інтервал, то лока-
льні властивості турбулентності мають залежати лише від Е, ρ та λ і не повинні залежати від ν, l та Δu.
Тоді зміна пульсаційної швидкості на масштабі λ, виходячи з міркувань розмірності, визначається
співвідношенням
()
13
~vE
λ
. (3.3.30)
Величина v
λ
, як уже вказувалося, характеризує одночасно й швидкість руху рідини у вихорах масштабу λ.
Співвідношення (3.3.30) відоме в літературі як закон Колмогорова – Обухова.
Турбулентність характеризується локальною нестійкістю. Нехай дві маленькі крапельки рідини знахо-
дяться на малій відстані λ. Зміна цієї відстані з часом визначається швидкістю v
λ
: v
λ
=dλ/dt. Тоді, інтегруючи
співвідношення (3.3.30), можна отримати закон зростання віддалі між сусідніми крапельками з часом:
()
13
~
d
E
dt
,
звідки
()
12 32
~tEt
λ
. (3.3.31)
Відповідно до (3.3.31), час, за який сусідні крапельки розходяться на віддаль λ, яка значно перевищує початко-
ву відстань між ними, складає
()
23
13
~t
E
λ
. (3.3.31 а)
Оцінимо співвідношення між v
λ
та Δu. Для цього запишемо Δu через Е та l із формули (3.3.27):
()
13
~uElΔ . (3.3.27 а)
Поділивши (3.3.30) на (3.3.27 а), отримаємо:
13
~
v
ul
λ
λ
⎛⎞
⎜⎟
Δ
⎝⎠
. (3.3.32)
Як уже згадувалося, турбулентний потік рідини можна уявити собі як набір вихорів різних масштабів, які зно-
сяться із середньою швидкістю u. Тому зміну швидкості потоку за час τ<<T=l/u в певній нерухомій точці прос-
тору можна записати, замінивши у формулі (3.3.30) масштаб λ на пройдений шлях uτ:
()
13
~vEu
τ
. (3.3.30 а)
Зовсім інакше виглядає зміна швидкості за час τ для деякої виділеної краплі рідини, яка рухається в
потоці. Ця величина має залежати лише від Е та τ. Тоді на основі аналізу розмірності можна записати:
()
12
~vE
τ
′
. (3.3.33)