а
б
Рис. 2.1.20. Графіки модельної функції
λ
(
ρ
) (а) та відповідного їй розв’язку
ρ
(r) (б).
Врахування наступних наближень дозволяє в явному вигляді знайти невідомі величини ρ
∞
, k
∞
та ω.
Відзначимо, що в автоколивних середовищах, на відміну від середовищ із відновленням, багато рукавні
спіральні хвилі виявляються нестійкими.
Контрольні питання до підрозділу 2.1.3
1. Коли синхронні коливання у середовищах, описуваних
λ
-
ω
моделлю, є стійкими щодо збурень?
2. Який фізичний зміст функцій
λ
(
ρ
) та
ω
(
ρ
) в рівнянні для
λ
-
ω
моделі?
3. Які припущення використовуються при виведенні рівняння для фазових хвиль?
4. Чи можна описувати короткі хвилі в автоколивному середовищі за допомогою рівняння для фазових хвиль?
5. Дайте фізичну інтерпретацію фазовим хвилям.
6. Чи існують фізичні обмеження на швидкість фазових хвиль?
7. Проаналізуйте застосовність понять фазової та групової швидкості до фазових хвиль.
8.
Якісно опишіть механізм виникнення пейсмекерів.
9. Опишіть часову еволюцію фазових хвиль в автоколивному середовищі, яке має два локальні максимуми для
частоти локальних автоколивань.
10. Як властивості локального збурення впливають на характеристики відповідного пейсмекера?
11. Чи можливі спіральні хвилі в автоколивному середовищі?
Задачі до підрозділу 2.1.3
2.1.3.1. Знайти нелінійне дисперсійне рівняння для гармонічних фазових
хвиль безпосередньо з нелінійного
кінетичного рівняння з дифузією λ-ω моделі. При якій мінімальній довжині ці хвилі ще можуть існувати?
2.1.3.2. Нелінійне кінетичне рівняння з дифузією для середовищ автоколивного типу (
λ
-
ω
модель) має вигляд
() ()
[]
()
ηηρωρλ
Δ−++=
∂
∂
21
iDDi
t
,
де
ρ
=|
η
|,
λ
(
ρ
) – монотонно спадна функція, така, що
λ
(
ρ
0
)=0,
ω
(
ρ
) – довільна функція, D
1
та D
2
- сталі. Середо-
вище неоднорідне:
ρ
0
=
ρ
0
(r), причому виконується умова
ρ
0
(r
→∞
)=
ρ
∞
. 2.1.3.3. Отримати рівняння для фазових
хвиль у такому середовищі. За яких умов воно буде еквівалентне до початкового рівняння?
2.1.3.4. Користуючись рівнянням для фазових хвиль у двовимірному автоколивному середовищі, дослідити вза-
ємодію двох зустрічних фазових хвиль, хвильові вектори яких не є паралельними.
2.1.3.5. Узагальнене рівняння Гінзбурга – Ландау має вигляд:
()()()
ηΔηηββηαα
21
2
2121
iDDii
t
+++−+=
∂
∂
(функція
η
комплексна, всі параметри дійсні). Знайти рівноважні значення амплітуди та частоти локальних ав-
токоливань і характерний час релаксації амплітуди. Побудувати графік неізохронності локальних автоколивань.
2.1.3.6*. Користуючись рівнянням Гінзбурга-Ландау, дослідити числовими методами плоскі фазові хвилі малої
довжини (в області, де рівняння для фазових хвиль стає незастосовним).
2.1.3.7*. Користуючись рівнянням Гінзбурга-Ландау, дослідити
числовими методами поведінку пейсмекера,
який породжує хвилі малої довжини (в області, де рівняння для фазових хвиль стає незастосовним).
2.1.3.8*. Для рівняння Гінзбурга-Ландау числовими методами побудувати розв’язок, що відповідає спіральній
хвилі. Дослідити поведінку багаторукавних спіралей.
2.1.3.9*. Побудувати клітинний автомат із елементарними комірками правильної шестикутної форми. Для авто-
коливного середовища змоделювати на
ньому пейсмекер та спіральну хвилю.
Контрольні питання до розділу 2.1
1. Назвіть особливості автохвильових процесів порівняно з іншими типами хвиль.
2. Назвіть загальні властивості середовищ, у яких можуть мати місце автохвильові процеси.
3. Як пов’язані властивості середовищ із типами автохвильових процесів, що можливі в цих середовищах?