Анисов А.М. Современная логика

Подождите немного. Документ загружается.

âàòü íàëè÷èå îøèáêè â èñõîäíûõ âûñêàçûâàíèÿõ, íî âîïðîñ î

òîì, âêðàëàñü îøèáêà â ôàêòè÷åñêèå äàííûå èëè â óòâåðæäåíèÿ

î çàâèñèìîñòÿõ ìåæäó ôàêòàìè ñôîðìóëèðîâàí íåâåðíî – ýòîò

âîïðîñ ðåøàåòñÿ â õîäå âíå ëîãè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé.

Ðàññìàòðèâàåìàÿ òàáëèöà èñòèííîñòè áûëà ïîñòðîåíà ïîë-

íîñòüþ äëÿ èëëþñòðàöèè òîãî îáñòîÿòåëüñòâà, ÷òî êàæäîå íîâîå

ïðîñòîå âûñêàçûâàíèå óâåëè÷èâàåò êîëè÷åñòâî ñòðîê òàáëèöû

âäâîå. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè èìååòñÿ ëèøü îäíî âûñêàçûâàíèå À,

òî äëÿ íåãî åñòü äâå ëîãè÷åñêèå âîçìîæíîñòè. Äëÿ äâóõ âûñêà-

çûâàíèé À è Â ýòèõ âîçìîæíîñòåé ÷åòûðå. Òðè âûñêàçûâàíèÿ À,

Â è Ñ ïðèâîäÿò ê âîñüìè ëîãè÷åñêè âîçìîæíûì êîìáèíàöèÿì

èõ èñòèííîñòíûõ çíà÷åíèé (êàê ýòî áûëî âèäíî íà ïðèìåðå òîëü-

êî ÷òî ïîñòðîåííîé òàáëèöû). Ïîïðîáóéòå ñàìîñòîÿòåëüíî óáå-

äèòüñÿ â òîì, ÷òî äëÿ èñõîäíûõ âûñêàçûâàíèé À, Â, Ñ è D ñóùå-

ñòâóåò 16 ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ ïðèïèñàòü èì èñòèííîñòíûå çíà-

÷åíèÿ.

À ñêîëüêî ñòðîê áóäåò â òàáëèöå, ñîäåðæàùåé ïðîèçâîëüíîå

÷èñëî èñõîäíûõ âûñêàçûâàíèé n? Äîïóñòèì, íàì èçâåñòíî, ÷òî

äëÿ n-1 ÷èñëî ñòðîê òàáëèöû ðàâíî m. Äîáàâëåíèå n-ãî èñõîä-

íîãî âûñêàçûâàíèÿ À

ïðèâîäèò ê ñèòóàöèè, êîòîðóþ ñõåìàòè-

÷åñêè ìîæíî èçîáðàçèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.

1 ñòðîêà è ïðè ýòîì À

= è

1 ñòðîêà

1 ñòðîêà è ïðè ýòîì À

= ë

2 ñòðîêà è ïðè ýòîì À

= è

2 ñòðîêà

2 ñòðîêà è ïðè ýòîì À

= ë

...............

m ñòðîêà è ïðè ýòîì À

= è

m ñòðîêà

m ñòðîêà è ïðè ýòîì À

= ë

Äëÿ êàæäîé èç ïðåæíèõ m ñòðîê êîìáèíàöèé èñòèííîñò-

íûõ çíà÷åíèé ïîÿâëÿåòñÿ äâå íîâûå âîçìîæíîñòè: ëèáî âûðà-

æåíèå À

îêàæåòñÿ èñòèííûì, ëèáî îíî áóäåò ëîæíûì. Òàêèì

îáðàçîì, îáùåå êîëè÷åñòâî âîçìîæíîñòåé (èëè ñòðîê òàáëèöû)

óâåëè÷èâàåòñÿ âäâîå.

Òåïåðü îòâåòèì íà âîïðîñ î êîëè÷åñòâå ñòðîê òàáëèöû â

çàâèñèìîñòè îò ÷èñëà ïðîñòûõ âûñêàçûâàíèé â îáùåì âèäå.

Îáðàòèìñÿ äëÿ ýòîãî ê ìåòîäó ðàññóæäåíèÿ ïî ìàòåìàòè÷åñêîé

èíäóêöèè. Ìû âèäåëè, ÷òî åñëè ÷èñëî èñõîäíûõ âûñêàçûâàíèé

ðàâíî 1, 2 èëè 3, òî ÷èñëî ñòðîê â òàáëèöå ðàâíî 2

, 2

ñîîò-

âåòñòâåííî. Äîïóñòèì, íàì óäàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ÷èñëà n-1

èñõîäíûõ âûñêàçûâàíèé ÷èñëî ñòðîê òàáëèöû ðàâíî 2

n-1

. Êàê

âûòåêàåò èç òîëüêî ÷òî ðàññìîòðåííîé ñõåìû, äîáàâëåíèå íîâî-

ãî n-ãî âûñêàçûâàíèÿ óâåëè÷èâàåò ÷èñëî ñòðîê òàáëèöû âäâîå.

Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ n ïðîñòûõ âûñêàçûâàíèé ÷èñëî ñòðîê áóäåò

n-1

× 2 = 2

Ïîñêîëüêó n áûëî âûáðàíî ïðîèçâîëüíûì, ðàññóæäåíèå âåð-

íî äëÿ ëþáîãî n. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê. Äðóãèìè ñëîâà-

ìè, äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå öåëûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñ-

ëà, äëÿ êîòîðûõ ÷èñëî ñòðîê òàáëèöû íå ïîä÷èíÿåòñÿ íàéäåí-

íîé çàêîíîìåðíîñòè. Òîãäà ñðåäè ýòèõ ÷èñåë áóäåò íàèìåíüøåå.

Îáîçíà÷èì åãî ÷åðåç n. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäïîëîæåíèåì, åñëè

÷èñëî ïðîñòûõ âûñêàçûâàíèé ðàâíî ýòîìó n, òî êîëè÷åñòâî ñòðîê

òàáëèöû íå ðàâíî 2

. ×èñëî n íå ìîæåò ðàâíÿòüñÿ 1, 2 èëè 3,

ïîñêîëüêó äëÿ ýòèõ ÷èñåë çàêîíîìåðíîñòü âåðíà. Ñëåäîâàòåëü-

íî, n>3. Íî n – íàèìåíüøåå ÷èñëî, íàðóøàþùåå çàêîíîìåð-

íîñòü. Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî äëÿ n-1 çàêîíîìåðíîñòü âûïîëíÿ-

åòñÿ, ò.å. äëÿ n-1 ïðîñòûõ âûñêàçûâàíèé êîëè÷åñòâî ñòðîê òàá-

ëèöû ðàâíî 2

n-1

. Îäíàêî îòñþäà ñëåäóåò â ñîîòâåòñòâèè ñ âûøå

ïîñòðîåííîé ñõåìîé, ÷òî ïðè äîáàâëåíèè íîâîãî n-ãî âûñêàçû-

âàíèÿ êîëè÷åñòâî ñòðîê âîçðàñò¸ò âäâîå, òàê ÷òî ïðè n ïðîñòûõ

âûñêàçûâàíèÿõ ÷èñëî ñòðîê áóäåò ðàâíûì (2

n-1

× 2) = 2

, â ïðî-

òèâîðå÷èè ñ ïðåäïîëîæåíèåì.

Èòàê, íàéäåííàÿ çàêîíîìåðíîñòü âûïîëíÿåòñÿ äëÿ ëþáîãî

n. Òåïåðü ëåãêî ïîäñ÷èòàòü, ñêîëüêî ñòðîê äîëæíà èìåòü òàáëè-

öà èñòèííîñòè, åñëè èçâåñòíî ÷èñëî èñõîäíûõ âûñêàçûâàíèé.

Ïðè n = 4 ÷èñëî ñòðîê ðàâíî 2

= 16, ïðè n = 5 ÷èñëî ñòðîê

ðàâíî 2

= 32 è ò.ä. Êàê ìû âèäèì, ÷èñëî ñòðîê òàáëèöû ðàñòåò

î÷åíü áûñòðî ñ íåçíà÷èòåëüíûì óâåëè÷åíèåì èñõîäíîãî êîëè-

÷åñòâà âûñêàçûâàíèé. Íàïðèìåð, ïðè n = 10 ÷èñëî ñòðîê áóäåò

= 1024. Íåòðóäíî ñîñòàâèòü ñëîæíîå âûñêàçûâàíèå, ñîäåðæà-

ùåå 10 ïðîñòûõ, íî âûïèñûâàòü òàáëèöó ñ áîëåå, ÷åì 1000 ñòðîê –

äåëî íåáëàãîäàðíîå.

Îòñþäà âûòåêàåò ïðàêòè÷åñêàÿ ðåêîìåíäàöèÿ: ñëåäóåò ñòðå-

ìèòüñÿ âñÿ÷åñêè îãðàíè÷èâàòü ÷èñëî èñõîäíûõ ïðîñòûõ âûñêà-

çûâàíèé. Íî è ïðè ñîñòàâëåíèè ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøèõ òàá-

ëèö, äàæå åñëè èçâåñòíî, ñêîëüêî ñòðîê îíè äîëæíû ñîäåðæàòü,

íå âñåãäà ëåãêî âûïèñàòü âñå âîçìîæíûå êîìáèíàöèè èñòèííî-

ñòíûõ çíà÷åíèé, åñëè ïðè ýòîì íå ïîëüçîâàòüñÿ îïðåäåëåííûìè

ñòàíäàðòíûìè ïðèåìàìè. Ìîæíî ðåêîìåíäîâàòü ñëåäóþùèé

ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ñòðîê äëÿ ïðîñòûõ âûñêàçûâàíèé. Ïóñòü ÷èñ-

ëî ýòèõ âûñêàçûâàíèé ðàâíî n. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî ñòðîê â

òàáëèöå äîëæíî áûòü ðàâíî 2

. Âûïèøåì èìåþùèåñÿ èñõîäíûå

âûñêàçûâàíèÿ â ëþáîì ïîðÿäêå. Ïîëó÷èì ñïèñîê À

, À

, ..., À

Â ñòîëáöå äëÿ À

íàïèøåì ïîäðÿä 2

n-1

çíàêîâ "è", çàòåì ñòîëüêî

æå çíàêîâ "ë". Ò.ê. 2

n-1

+ 2

n-1

= 2

, òî ñòîëáåö äëÿ À

çàêîí÷åí.

Äëÿ À

ñòîëáåö ñòðîèòñÿ òàê: 2

n-2

çíà÷åíèé "è", çàòåì ñòîëüêî æå

çíà÷åíèé "ë", çàòåì ñíîâà 2

n-2

çíà÷åíèé "è" è ñíîâà 2

n-2

çíà÷åíèé

"ë". Ïîñêîëüêó 2

n-2

+ 2

n-2

+ 2

n-2

= 2n, ñòîëáåö äëÿ À

çàêîí-

÷åí. Äàëåå ÷åðåäóåì áëîêè "è" è "ë" ïî 2

n-3

, 2

n-4

è ò.ä. äî òåõ ïîð,

ïîêà äëÿ À

íå ïîëó÷èì ÷åðåäîâàíèå çíà÷åíèé "è" è "ë" ÷åðåç

îäíó ñòðîêó.

Ïðèìåíèì ïðåäëîæåííûé ìåòîä ê ñëó÷àþ n = 4. Ïîëó÷èì

ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò.

Ïîðÿäîê, â êîòîðîì áåðóòñÿ èñõîäíûå âûñêàçûâàíèÿ, íà

ñàìîì äåëå íåñóùåñòâåíåí. Íàïðèìåð, ðàñïîëîæèâ âûñêàçûâà-

íèÿ â íåàëôàâèòíîì ïîðÿäêå D, C, B A è ïîñòðîèâ äëÿ íèõ

ABCD

èèèè

èèèë

èèëè

èèëë

èëèè

èëèë

èëëè

èëëë

ëèèè

ëèèë

ëèëè

ëèëë

ëëèè

ëëèë

ëëëè

ëëëë

òàáëèöó èñòèííîñòè ïî óêàçàííîìó ìåòîäó, âî âòîðîé ñòðîêå

áóäåì èìåòü êîìáèíàöèþ D = è, Ñ = è, Â = è è À = ë. Ýòîò

ðåçóëüòàò îòëè÷åí îò âòîðîé ñòðîêè ïåðåä ýòèì ïîñòðîåííîé

òàáëèöû, îäíàêî âàæíî íå òî, â êàêîé ñòðîêå òàáëèöû âñòðåòè-

ëàñü äàííàÿ êîìáèíàöèÿ, à òî, íå áûëà ëè îíà ïðîïóùåíà. Ïðî-

âåðèì: â äåâÿòîé ñòðîêå ïðèâåäåííîé â òåêñòå òàáëèöû èìååòñÿ

èìåííî ýòà êîìáèíàöèÿ, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Áîëåå òîãî, òåîðå-

òè÷åñêè íå âàæåí è ïîðÿäîê ñòðîê òàáëèöû. Íàïðèìåð, 16 ñòðîê

ïîñòðîåííîé âûøå òàáëèöû ìîæíî áûëî áû âûïèñàòü â îáðàò-

íîì ïîðÿäêå, íà÷àâ ñ

Îäíàêî äëÿ îáëåã÷åíèÿ ñðàâíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ òàáëè÷íûõ

âû÷èñëåíèé æåëàòåëüíî ïðèäåðæèâàòüñÿ åäèíîîáðàçíîãî ìåòî-

äà ïîñòðîåíèÿ òàáëèö èñòèííîñòè. Óñëîâèìñÿ, ÷òî òàêèì åäè-

íûì ìåòîäîì äëÿ íàñ ñòàíåò âûøåîïèñàííûé ïîðÿäîê âûïèñû-

âàíèÿ ñòðîê, ïðè÷¸ì èñõîäíûå âûñêàçûâàíèÿ áóäåì áðàòü â àë-

ôàâèòíîì ïîðÿäêå, à íå â òîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, â êîòîðîé

îíè âñòðå÷àþòñÿ â ôîðìóëàõ.

§5. Ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå

Îäíîé èç öåíòðàëüíûõ ïðîáëåì ëîãèêè ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î

òîì, ÷òî òàêîå ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå èç îäíèõ óòâåðæäåíèé

äðóãèõ. Èíòóèòèâíî ìû ïîíèìàåì, ÷òî, íàïðèìåð, èç âûñêàçû-

âàíèé "Ïåòÿ íàõîäèòñÿ â èíñòèòóòå èëè ó ðîäèòåëåé" è "Ó ðîäè-

òåëåé Ïåòè íåò" ëîãè÷åñêè ñëåäóåò, ÷òî "Ïåòÿ íàõîäèòñÿ â èí-

ñòèòóòå". Íî êàêîé ëîãè÷åñêèé âûâîä ìîæíî ñäåëàòü, åñëè ê

ïåðâûì äâóì âûñêàçûâàíèÿì äîáàâèòü "Â èíñòèòóòå Ïåòè òîæå

íåò"? Ìîæåò áûòü, îòñþäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå "Íåâåðíî, ÷òî

Ïåòÿ íàõîäèòñÿ â èíñòèòóòå èëè ó ðîäèòåëåé"? À âûñêàçûâàíèå

"Íåâåðíî, ÷òî Ïåòè íåò â èíñòèòóòå" ñëåäóåò èç äàííûõ òðåõ

óòâåðæäåíèé èëè íå ñëåäóåò? Âíîâü èíòóèòèâíûõ ïðåäñòàâëå-

íèé î ëîãè÷åñêèõ ñâÿçÿõ îêàçûâàåòñÿ íåäîñòàòî÷íî. Òðåáóåòñÿ

óñòàíîâëåíèå ÷åòêîé è îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííîé ïðîöåäóðû äëÿ

ðåøåíèÿ âîïðîñà î òîì, èìååò ìåñòî îòíîøåíèå ëîãè÷åñêîãî

ñëåäîâàíèÿ ìåæäó âûñêàçûâàíèÿìè èëè ñëåäîâàíèÿ íåò.

Ïóñòü äàíî ìíîæåñòâî âûñêàçûâàíèé Ì = {À

, À

, ..., À

Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî èç ìíîæåñòâà Ì (èëè èç âûñêàçûâàíèé À

, ..., À

) ëîãè÷åñêè ñëåäóåò âûñêàçûâàíèå Â, åñëè âñÿêèé ðàç,

ëëë ë

êîãäà â òàáëèöå èñòèííîñòè äëÿ Ì' = {À

, À

, ..., À

, Â} âûñêàçû-

âàíèÿ À

, À

, ..., À

èñòèííû, âûñêàçûâàíèå Â òàêæå áóäåò èñòèí-

íî. Äëÿ îáîçíà÷åíèÿ ëîãè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ áóäåì ïðèìåíÿòü

çàïèñü Ì ⎥= Â (èëè À

, À

, ..., À

⎥= Â).

Ìíîæåñòâî Ì çäåñü èãðàåò ðîëü ìíîæåñòâà äîïóùåíèé èëè

ìíîæåñòâà ïîñûëîê, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòü À

, À

, ..., À

– ýòî

ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äîïóùåíèé èëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïîñû-

ëîê. Â ñâîþ î÷åðåäü, âûñêàçûâàíèå Â ÿâëÿåòñÿ çàêëþ÷åíèåì èëè

ñëåäñòâèåì äàííûõ ïîñûëîê. Ïîýòîìó ïðàâîìåðíû, íàïðèìåð,

òàêèå âàðèàíòû ïðî÷òåíèÿ çàïèñåé Ì ⎥= Â è À

, À

, ..., À

⎥= Â:

«Èç ìíîæåñòâà ïîñûëîê Ì ëîãè÷åñêè ñëåäóåò Â», «Çàêëþ÷åíèå

Â ëîãè÷åñêè ñëåäóåò èç äîïóùåíèé À

, À

, ..., À

» è ò.ï.

Ïîïðîáóåì ïðèìåíèòü ïîíÿòèå ëîãè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ.

È áåç ëîãèêè ìû èíòóèòèâíî ñîãëàñèëèñü áû ñ òåì, ÷òî óò-

âåðæäåíèå èìïëèêàöèè âìåñòå ñ å¸ àíòåöåäåíòîì ëîãè÷åñêè

âëå÷¸ò êîíñåêâåíò: «Åñëè ïðîø¸ë äîæäü, òî äîðîãè ìîêðûå.

Äîæäü ïðîø¸ë. Ñëåäîâàòåëüíî, äîðîãè ìîêðûå». Ñîâïàäàåò ëè â

äàííîì ñëó÷àå èíòóèöèÿ ñ òî÷íûì îïðåäåëåíèåì ñëåäîâàíèÿ,

ìîæåò ëè ìû óòâåðæäàòü, ÷òî (À → Â), À ⎥= Â ? – Îòâåòèì íà

ïîñòàâëåííûé âîïðîñ.

Èç òàáëèöû âèäíî, ÷òî âñÿêèé ðàç, êîãäà ïîñûëêè (À → Â) è

À îäíîâðåìåííî èñòèííû (íà ñàìîì äåëå ýòî èìååò ìåñòî òîëü-

êî â ïåðâîé ñòðîêå), çàêëþ÷åíèå Â òîæå èñòèííî (ïîñêîëüêó â

ïåðâîé ñòðîêå Â äåéñòâèòåëüíî èñòèííî). Çíà÷èò, â ñîîòâåòñòâèè

ñ îïðåäåëåíèåì, ñëåäîâàíèå åñòü. Èçäàâíà èçâåñòíàÿ ñõåìà ðàñ-

ñóæäåíèé (À → Â), À ⎥= Â ïîëó÷èëà íàçâàíèå modus ponens.

Ïîñìîòðèì, êàê ðàáîòàåò ïîíÿòèå ëîãè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ

â ïåðâîì ïðèâåä¸ííîì ïðèìåðå. Îáîçíà÷èì âûñêàçûâàíèå «Ïåòÿ

íàõîäèòñÿ â óíèâåðñèòåòå» ÷åðåç p, à âûñêàçûâàíèå «Ïåòÿ íàõî-

äèòñÿ äîìà» ÷åðåç q. Ñëåäóåò ëè èç {(p ∨ q), ¬q} p? Ïîñòðîèì

òàáëèöó èñòèííîñòè äëÿ ìíîæåñòâà {(p ∨ q), ¬q, p}.

(À → Â) À Â

èèèèè

èëëèë

ëèèëè

ëèëëë

(Ìîæíî áûëî áû íå ïèñàòü â êîíöå òàáëèöû ñòîëáåö äëÿ p,

ò.ê. îí ïðîñòî ïîâòîðÿåò ïåðâûé ñòîëáåö, íî â öåëÿõ îáùíîñòè

ðàññìîòðåíèÿ ìû âîñïðîèçâåëè ýòîò ñòîëáåö äâàæäû.)

Åäèíñòâåííûé ñëó÷àé, êîãäà âûñêàçûâàíèÿ (p ∨ q) è ¬q âìå-

ñòå èñòèííû, îòìå÷åí âî âòîðîé ñòðîêå òàáëèöû. Íî â ýòîé æå

ñòðîêå p òàêæå èñòèííî. Ñëåäîâàòåëüíî, èç (p ∨ q) è ¬q ëîãè÷åñ-

êè ñëåäóåò p, ò.å. (p ∨ q), ¬q ⎥= p.

Îòâåòèì òåïåðü íà âîïðîñû, ïîñòàâëåííûå â íà÷àëå ïàðà-

ãðàôà. Ïðîâåðèì, ñëåäóåò ëè èç âûñêàçûâàíèé (p ∨ q), ¬q è ¬p

âûñêàçûâàíèÿ ¬(p ∨ q) è ¬¬p.

(Äëÿ ýêîíîìèè ìåñòà ìû ïîìåñòèëè âûñêàçûâàíèÿ ¬(p ∨ q)

è ¬¬p â îäíó òàáëèöó.)

Ñìîòðèì, â êàêîé ñòðîêå òàáëèöû âûñêàçûâàíèÿ (p ∨ q), ¬q

è ¬p îäíîâðåìåííî èñòèííû. Íî òàêîé ñòðîêè â òàáëèöå íåò!

Êàê æå â ýòîì ñëó÷àå ðåøàåòñÿ âîïðîñ î ëîãè÷åñêîì ñëåäîâà-

íèè? Íà ñàìîì äåëå, ó íàñ óæå äîñòàòî÷íî ëîãè÷åñêèõ çíàíèé,

÷òîáû îäíîçíà÷íî ðåøèòü ýòó ïðîáëåìó. «Âñÿêèé ðàç, êîãäà À

, ..., À

èñòèííû, Â òàêæå èñòèííî» – ýòî óñëîâèå äëÿ íàëè÷èÿ

ëîãè÷åñêîãî ñëåäîâàíèÿ. Îíî îçíà÷àåò, ÷òî «Åñëè À

, À

, ..., À

èñòèííû, òî Â òàêæå èñòèííî». Íî, â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàíåå ïðè-

íÿòûì ñîãëàøåíèåì, ìåòàÿçûêîâàÿ èìïëèêàöèÿ «Åñëè, òî» ïî-

íèìàåòñÿ òàê æå, êàê è îáúåêòíàÿ. Äëÿ áîëåå ÷¸òêîãî óêàçàíèÿ

íà ýòó ñâÿçü ìåòàÿçûêîâîé è îáúåêòíîé èìïëèêàöèè ìû ðàçðå-

øèì ñåáå âìåñòî «Åñëè, òî» èíîãäà èñïîëüçîâàòü áîëåå êîðîò-

êèé ìåòàÿçûêîâîé ñèìâîë ⇒. Â òàêîì ñëó÷àå èìååì «À

, À

, ..., À

(p ∨ q) ¬qp

èèè ë è

èèë è è

ëèè ë ë

ëëë è ë

(p ∨ q) ¬q ¬p ¬(p ∨ q) ¬¬p

èèèë ë ë è

èèëè ë ë è

ëèèë è ë ë

ëëëè è è ë

èñòèííû ⇒ Â òàêæå èñòèííî». Êàê îáúåêòíàÿ, òàê è ìåòàÿçûêî-

âàÿ èìïëèêàöèÿ èñòèííà âñÿêèé ðàç, êîãäà å¸ àíòåöåäåíò ëîæåí.

Ìåòàÿçûêîâîå óòâåðæäåíèå «(p ∨ q), ¬q, ¬p èñòèííû» ëîæíî âî

âñÿêîé ñòðîêå ïîñòðîåííîé òàáëèöû. Ñëåäîâàòåëüíî, â êàæäîé

ñòðîêå ìåòàÿçûêîâàÿ èìïëèêàöèÿ «(p ∨ q), ¬q, ¬p èñòèííû ⇒

D èñòèííî» âåðíà íåçàâèñèìî îò òîãî, êàêîâî âûñêàçûâàíèå

D! À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñëåäîâàíèå (p ∨ q), ¬q, ¬p ⎥= D (èëè, â

îáùåì ñëó÷àå, (À ∨ Â), ¬Â, ¬À ⎥= D) èìååò ìåñòî äëÿ ëþáîãî

âûñêàçûâàíèÿ D, â òîì ÷èñëå è äëÿ âûñêàçûâàíèé ¬(p ∨ q) è ¬¬p.

Êàæóùàÿñÿ ïàðàäîêñàëüíîñòü äàííîãî âûâîäà íå äîëæíà

ñìóùàòü. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ, ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå Ì ⎥= Â

íå èìååò ìåñòà òîëüêî â îäíîì ñëó÷àå: êîãäà âñå ïîñûëêè èç Ì â

êàêîé-òî ñòðîêå òàáëèöû èñòèííû, à âûñêàçûâàíèå Â â ýòîé æå

ñòðîêå îêàçàëîñü ëîæíûì. Íàëè÷èå õîòÿ áû îäíîé òàêîé ñòðîêè

â òàáëèöå èñòèííîñòè äàåò îòðèöàòåëüíûé îòâåò íà âîïðîñ î

ëîãè÷åñêîì ñëåäîâàíèè. Íàïðèìåð, èç À íå ñëåäóåò (À & Â).

Äåéñòâèòåëüíî, ïðè èñòèííîì À è ëîæíîì Â êîíúþíêöèÿ (À &

Â) ëîæíà. Äàëåå, èç (À ∨ Â) íå ñëåäóåò À, ò.ê. ïðè èñòèííîì Â

äèçúþíêöèÿ (À ∨ Â) èñòèííà, íî À ìîæåò áûòü ïðè ýòîì ëîæíî.

Âñ¸ ýòî âèäíî èç ñëåäóþùèõ ïðîñòûõ òàáëèö.

Â ïåðâîé òàáëèöå âî âòîðîé ñòðîêå ïîñûëêà À èñòèííà, à çàê-

ëþ÷åíèå (À & Â) ëîæíî. Âî âòîðîé òàáëèöå â òðåòüåé ñòðîêå ïîñûë-

êà (À ∨ Â) èñòèííà, à çàêëþ÷åíèå À ëîæíî. Â îáîèõ ñëó÷àÿõ ñëåäî-

âàíèÿ íåò, ÷òî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå À ⎥≠ (À & Â) è (À ∨ Â) ⎥≠ À.

Îòìåòèì, ÷òî â îáðàòíóþ ñòîðîíó ñëåäîâàíèå åñòü: (À & Â)

⎥= À è À ⎥= (À ∨ Â). Ïðîâåðêà ïîñðåäñòâîì òàáëèö íå âûçûâàåò

çàòðóäíåíèé.

(À ∨ Â) À

èè è è

èè ë è

ëèèë

ëë ë ë

À(À & Â)

èè è è

èè ë ë

ëë ë è

ëë ë ë

(À & B) A

èè èè

èë ë è

ëë èë

ëë ëë

À(À ∨ Â)

èè è è

èè è ë

ëë èè

ëë ë ë

Â ýòèõ äâóõ òàáëèöàõ íåò íè îäíîé ñòðî÷êè, â êîòîðîé ïî-

ñûëêà èñòèííà, à çàêëþ÷åíèå ëîæíî. Çíà÷èò, ñëåäîâàíèå èìååò

ìåñòî. Â ïåðâîì ñëó÷àå, íàâåðíîå, è áåç çíàíèÿ ëîãèêè ëþáîé

ìàëî-ìàëüñêè ðàññóæäàþùèé ÷åëîâåê ñîãëàñèë áû ñ òåì, ÷òî

êîíúþíêöèÿ äâóõ âûñêàçûâàíèé âëå÷¸ò ïåðâîå èç ýòèõ âûñêà-

çûâàíèé. Èç «Ñîêðàò – ìóäðåö è Ñîêðàò – ãðåê» êîíå÷íî ñëåäó-

åò, ÷òî «Ñîêðàò – ìóäðåö». Íî âîò âûâåäåíèå èç âûñêàçûâàíèÿ

äèçúþíêöèè ýòîãî âûñêàçûâàíèÿ è åù¸ êàêîãî-òî âûñêàçûâà-

íèÿ âðÿä ëè áóäåò ïðèíÿòà áåç ñîìíåíèé. Ïóñòü, íàïðèìåð, À –

âûñêàçûâàíèå «Ìàøà êóðèò». Òîãäà èç «Ìàøà êóðèò» ñëåäóåò,

÷òî «Ìàøà êóðèò èëè ïü¸ò», ãäå â êà÷åñòâå Â âçÿòî âûñêàçûâà-

íèå «Ìàøà ïü¸ò».

Ïðîòèâ òàêîãî âûâîäà ìîãóò âîçíèêíóòü äâîÿêîãî ðîäà âîç-

ðàæåíèÿ. Âî-ïåðâûõ, íåïðàâèëüíî óòâåðæäàòü ÷òî-ëèáî îá îò-

íîøåíèè Ìàøè ê àëêîãîëþ. Èç òîãî, ÷òî îíà êóðèò, åùå íè÷åãî

íå ñëåäóåò. Âî-âòîðûõ, â õîäå ýòîãî âûâîäà áûëà ïîòåðÿíà èí-

ôîðìàöèÿ. Ìû íà÷àëè ñ îïðåäåëåííîãî óòâåðæäåíèÿ, à ïðèøëè

ê àëüòåðíàòèâíîìó çàêëþ÷åíèþ, óìåíüøàþùåìó ñòåïåíü òî÷-

íîñòè çíàíèé.

Ïåðâîå âîçðàæåíèå ëîãè÷åñêè íåñîñòîÿòåëüíî. Îíî èìååò

ïîä ñîáîé ïñèõîëîãè÷åñêèå îñíîâàíèÿ, â ñèëó êîòîðûõ ëþáîå

óïîìèíàíèå îòðèöàòåëüíûõ â íðàâñòâåííîì ïëàíå ôàêòîâ âìåñ-

òå ñ ÷üèì-íèáóäü èìåíåì âûçûâàåò íåïðèÿòíûå ýìîöèè. Îäíà-

êî ëîãèêà íå ÿâëÿåòñÿ ïñèõîëîãè÷åñêîé äèñöèïëèíîé è åé íåò

äåëà äî ïñèõîëîãè÷åñêèõ íþàíñîâ.

Ñî âòîðûì âîçðàæåíèåì ìîæíî ñîãëàñèòüñÿ. Äåéñòâèòåëüíî,

âûâîäû ïî ïðàâèëó À ⎥= (À ∨ Â) ïðèâîäèò ê ïîòåðå èíôîðìàöèè

è ñíèæàåò ñòåïåíü îïðåäåëåííîñòè çàêëþ÷åíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ

ïîñûëêîé. Îäíàêî â äàííîì ñëó÷àå âðåìåííîå îòñòóïëåíèå â äàëü-

íåéøåì ìîæåò ñïîñîáñòâîâàòü óñïåøíîìó ïðîäâèæåíèþ âïåðåä.

Óáåäèìñÿ â ñêàçàííîì. Äîïóñòèì, èìååòñÿ óòâåðæäåíèå «Åñëè

Ìàøà êóðèò èëè ïüåò, òî îíà âðåäèò ñâîåìó çäîðîâüþ». Ïóñòü

òàêæå èçâåñòíî, ÷òî Ìàøà êóðèò, íî íå ïüåò. Òîãäà îíà áû ìîãëà

ðàññóæäàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: «Âðåäÿò çäîðîâüþ ëèøü òå, êòî

êóðÿò èëè ïüþò. ß æå òîëüêî êóðþ, íî íå ïüþ. Ñëåäîâàòåëüíî,

âðåäà ìîåìó çäîðîâüþ íåò». Ýòî ðàññóæäåíèå îøèáî÷íî, ÷òî ìû

ñåé÷àñ ïðîäåìîíñòðèðóåì.

1. Ìàøà êóðèò (äîïóùåíèå 1)

2. Ñëåäîâàòåëüíî, (Ìàøà êóðèò ∨ Ìàøà ïüåò) (âûâîä èç 1)

3. (Ìàøà êóðèò ∨ Ìàøà ïüåò) → Ìàøà âðåäèò çäîðîâüþ

(äîïóùåíèå 2)

4. Çíà÷èò, Ìàøà âðåäèò çäîðîâüþ (âûâîä ïî modus ponens

èç 3 è 2)

Â ïðèâåäåííîì ðàññóæäåíèè áûëî èñïîëüçîâàíî ïðàâèëî

ðàññóæäåíèé À ⎥= (À ∨ Â), áåç êîòîðîãî íåëüçÿ áûëî áû ïîëó-

÷èòü çàêëþ÷åíèå 4, îïðîâåðãàþùåå âûâîä ïðåäûäóùåãî ðàññóæ-

äåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, âðåìåííàÿ ïîòåðÿ èíôîðìàöèè â âûâîäå

óñèëèâàåò âîçìîæíîñòè ëîãè÷åñêîãî àíàëèçà.

Ìåæäó ïðî÷èì, êîìïüþòåðû ðàññóæäàþò èìåííî ïî ïðàâè-

ëó À ⎥= (À ∨ Â). Åñëè âû õîòèòå, ÷òîáû â ñëó÷àå ðåàëèçàöèè

àëüòåðíàòèâû (À ∨ B) âû÷èñëèòåëüíàÿ ìàøèíà âûïîëíèëà äåé-

ñòâèå D, òî â ÿçûêå ïðîãðàììèðîâàíèÿ âû ìîæåòå ïðèìåíèòü

êîíñòðóêöèþ âèäà IF (A OR B) THEN D. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ÝÂÌ

âûïîëíèëà D, äîñòàòî÷íî, ÷òîáû À ñòàëî èñòèííûì. Òîãäà óñ-

ëîâèå (A OR B) òîæå ñòàíåò èñòèííûì (âåäü èç À ñëåäóåò äèçú-

þíêöèÿ (À OR Â)!) è ïðîèçîéä¸ò ïåðåõîä ê äåéñòâèþ D.

Ïåðåéä¸ì ê áîëåå îáùèì ñâîéñòâàì ñëåäîâàíèÿ, íå ñâÿçàí-

íûì ñ êîíêðåòíûìè ôîðìóëàìè è òàáëèöàìè èñòèííîñòè.

Ïåðâîå ñâîéñòâî ⎥=. Â ïðåäûäóùèõ ðàññóæäåíèÿõ ìû ñòîëê-

íóëèñü ñ ñèòóàöèåé, êîãäà èç íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà âûñêàçûâà-

íèé ëîãè÷åñêè ñëåäîâàëî ëþáîå âûñêàçûâàíèå. Ýòà ñèòóàöèÿ íî-

ñèò äîñòàòî÷íî îáùèé õàðàêòåð: âñÿêèé ðàç, êîãäà ìíîæåñòâî Ì

îêàçûâàåòñÿ íåñîâìåñòèìûì, óòâåðæäåíèå Ì ⎥= Â âåðíî äëÿ ëþ-

áîãî Â. Íåñîâìåñòèìîå ìíîæåñòâî óòâåðæäåíèé ëîãè÷åñêè âëå-

÷åò ëþáîå – âîò â ÷åì ñóòü. Ïîýòîìó âàæíî óáåäèòüñÿ â ëîãè÷åñ-

êîé ñîâìåñòèìîñòè ïðèíèìàåìîé ñîâîêóïíîñòè âûñêàçûâàíèé.

Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî óòâåðæäåíèÿ î êàêîì-òî ÿâëåíèè äåéñòâè-

òåëüíîñòè ëîãè÷åñêè íåñîâìåñòèìû. Îòñþäà ìîæíî (ïî çàêîíàì

ëîãèêè!) èçâëå÷ü ëþáîå, ñàìîå àáñóðäíîå è íåëåïîå ñóæäåíèå.

Èìååòñÿ ïðÿìàÿ ñâÿçü ìåæäó íåñîâìåñòèìîñòüþ è ïðîòèâî-

ðå÷èâîñòüþ. Îáû÷íî ïðîòèâîðå÷èâûìè íàçûâàþò óòâåðæäåíèÿ

âèäà (À & ¬À), ò.å. óòâåðæäåíèÿ, êîòîðûå íå÷òî ïðèíèìàþò è ýòî

æå ñàìîå îäíîâðåìåííî îòðèöàþò. Îäíàêî â ÿâíîì âèäå ïðîòè-

âîðå÷èé òàêîãî ðîäà èçáåãàåò íå òîëüêî ñïåöèàëèñò èëè ó÷åíûé,

íî è ëþáîé çäðàâîìûñëÿùèé ÷åëîâåê. Â èñòîðèè ÷åëîâå÷åñêîãî

ïîçíàíèÿ áûëî ëèøü äâà èñêëþ÷åíèÿ èç ýòîãî ïðàâèëà: ñîôèñòè-

êà è òàê íàçûâàåìàÿ äèàëåêòèêà, êîòîðûå íå áîÿëèñü ïðîòèâîðå-

÷èé è ïîýòîìó ìîãëè ïðèõîäèòü ê ëþáûì âûâîäàì, â êîòîðûõ

áûëè çàèíòåðåñîâàíû. Äåéñòâèòåëüíî, èç ïðîòèâîðå÷èé ëîãè÷åñ-

êè ñëåäóåò ëþáîå âûñêàçûâàíèå, àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî â

ñëó÷àå íåñîâìåñòèìûõ âûñêàçûâàíèé. Óáåäèìñÿ â ñêàçàííîì.

100

Ïîñòðîèì òàáëèöó èñòèííîñòè äëÿ âûñêàçûâàíèÿ (À & ¬À).

Ìû âèäèì, ÷òî íåçàâèñèìî îò èñòèííîñòíîãî çíà÷åíèÿ À,

âûñêàçûâàíèå (À & ¬À) ïðèíèìàåò òîëüêî çíà÷åíèå «ë», ò.å.

«ëîæü. Çíà÷èò, êàêîâî áû íè áûëî âûñêàçûâàíèå Â, íåâîçìîæíà

ñèòóàöèÿ, êîãäà ïîñûëêà (À & ¬À) èñòèííà, à çàêëþ÷åíèå Â

ëîæíî. Ïîýòîìó èç (À & ¬À) ëîãè÷åñêè ñëåäóåò ëþáîå âûñêàçû-

âàíèå Â èëè, êîðî÷å, (À & ¬À) ⎥= Â.

Ñóùåñòâóþò ëè âûñêàçûâàíèÿ, êîòîðûå íå èìåþò ôîðìû (À

& ¬À) (èëè ¬À & À), íî, òåì íå ìåíåå, â òàáëèöå èñòèííîñòè

ïðèíèìàþò òîëüêî çíà÷åíèå «ë»? Òàêèå âûñêàçûâàíèÿ, êàê ìû

âèäåëè, ñóùåñòâóþò. Ïî ñâîèì ëîãè÷åñêèì ñâîéñòâàì îíè (çà

èñêëþ÷åíèåì âíåøíåãî âèäà) âî âñåì àíàëîãè÷íû ñòàíäàðòíûì

ïðîòèâîðå÷èâûì âûñêàçûâàíèÿì òèïà (À & ¬À). Íàïðèìåð, âûñ-

êàçûâàíèå ((À ∨ Â) & (¬Â & ¬À)) ïðîòèâîðå÷èâî (óáåäèòåñü â

ýòîì ñàìè). Âîîáùå, âñåãäà, êîãäà âûñêàçûâàíèÿ À

, À

, ..., À

ëîãè÷åñêè íåñîâìåñòèìû, âûñêàçûâàíèå (À

& À

& ... & À

)

ïðîòèâîðå÷èâî (íåçàâèñèìî îò òîãî, êàê â ýòîé êîíúþíêöèè ðàñ-

ñòàâèòü ñêîáêè). Âåðíî è îáðàòíîå: åñëè âûñêàçûâàíèå âèäà (À

& À

& ... & À

) ïðîòèâîðå÷èâî, òî ìíîæåñòâî {À

, À

, ..., À

}

íåñîâìåñòèìî.

Ýòî âûòåêàåò èç ñâîéñòâ êîíúþíêöèè, êàñàþùèõñÿ ðàññòà-

íîâêè ñêîáîê â ôîðìóëàõ âèäà(À & Â & Ñ). Ñêîáêè ìîæíî ïî-

ñòàâèòü ëèáî ñî ñäâèãîì âëåâî: ((À & Â) & Ñ), ëèáî ñî ñäâèãîì

âïðàâî: (À & (Â & Ñ)). Íî ðåçóëüòàò áóäåò òîò æå ñàìûé â òîì

ñìûñëå, ÷òî îáà âàðèàíòà ðàññòàíîâêè ñêîáîê ïðèâîäÿò ê ýêâè-

âàëåíòíûì âûñêàçûâàíèÿì â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíîì àññîöèà-

òèâíîñòè êîíúþíêöèè. Îòìå÷åííîå ñâîéñòâî êîíúþíêöèè (à

òàêæå äèçúþíêöèè) ïîçâîëÿåò íå çàáîòèòüñÿ î òîì, êàê èìåííî

ðàññòàâëåíû ñêîáêè â âûðàæåíèÿõ òèïà (À

& À

& ... & À

) (èëè

â ôîðìóëàõ âèäà À

∨ À

∨ ... ∨ À

Íåñîâìåñòèìîñòü âûñêàçûâàíèé îçíà÷àåò, ÷òî íè â îäíîé

ñòðîêå òàáëèöû îíè íå ìîãóò áûòü âìåñòå èñòèííûìè. Íî êîíú-

þíêöèÿ èñòèííà â îäíîì è òîëüêî â îäíîì ñëó÷àå: êîãäà âñå

÷ëåíû êîíúþíêöèè èñòèííû. Ñëåäîâàòåëüíî, êîíúþíêöèÿ íå-

ñîâìåñòèìîãî ìíîæåñòâà âûñêàçûâàíèé áóäåò ïðèíèìàòü çíà÷å-

íèå «ë» â êàæäîé ñòðîêå òàáëèöû, ò.å. áóäåò ïðîòèâîðå÷èåì.

(À & ¬À)

èëë

ëëè