Бойко А.П., Сковиков А.К. Практикум по логике
Подождите немного. Документ загружается.
Даны два суждения: «Студент сдал экзамен» (А) и «Студент едет на
каникулы домой» (В). Сформулируйте словесно следующие высказывания:
1) А Ú В. 2) А → В. 3) А
В. 4) А
↔
В.
Пример: А
В. Или «студент сдал экзамен», или «студент едет на
каникулы домой».
Упражнение 9
Найдите составляющие сложное суждение простые суждения
и определите, какой связкой они связаны. Определите истинность сложных
суждений с помощью таблиц истинности.
1. По делу гражданина Иванова будет вынесен обвинительный или
оправдательный приговор.
2. Согласно легенде право считаться родиной Гомера оспаривали семь
городов: Смирна, Хиос, Колофон, Саламин, Родос, Аргос, Афины.
3. Кража сотового телефона совершена Ивановым или Петровым.
4. Суд отказывает в иске истцу, если его исковые требования являются
незаконными.
5. Его любимые композиторы Верди и Моцарт.
6. Повысить рентабельность можно за счет повышения
производительности труда или за счет приобретения сырья на более
выгодных условиях.
7. Лекции в Московском университете слушали Радищев и Новиков,
Чаадаев и Белинский, Тургенев и Гончаров.
8. Если и только если Солнце находится в зените, то тени от него
бывают самыми короткими.
9. Неприятное впечатление на слушателей производит не только
физическая скованность, но и беспорядочная жестикуляция оратора.
10. Объяснение трудного в усвоении материала становится тем более
понятным, чем проще и четче излагает его преподаватель.
11. Он не был ни прилежным, ни способным.
12. Я никогда бы не знал хорошо математики, не будь у меня хороших
учителей.
13. Коли лгу, пусть Бог велит не сойти живой мне с места.
14. «Красота ослепляет, а слепого легко обокрасть». (американское
изречение)
15. «Даже если знания отпускаются бесплатно, приходить надо со
51
своей тарой». (пословица)
Пример: «Вам никогда не удастся создать мудрецов, если будите
убивать в детях шалунов» (Ж. Руссо) А → В (см. таблицу истинности для
импликации).
Упражнение 10
При истинности исходного суждения «Х знает Y, но Y не знает Х»
определите истинностные значения следующих суждений:
а) Х и Y не знают друг друга.
б) Y знает Х, или Х не знает Y.
в) Либо Y не знает Х, либо Х знает Y.
г) Х не знает Y и Y не знает Х.
д) Неверно, что Х и Y не знают друг друга.
е) Если Х знает Y, то Y знает Х.
ж) Если Х не знает Y, то Y знает Х.
з) Если Y не знает Х, то Х не знает Y.
и) Х знает Y тогда и только тогда, когда Y знает Х.
Пример: Х и Y знают друг друга. и
л данное высказывание согласно
таблице истинности для конъюнктивного суждения будет ложным.
ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ
Построение таблицы истинности для суждений, в которые входят более
двух переменных, строится по определенным правилам.
Пусть вам необходимо построить таблицу истинности для
следующего суждения: (А → (В
С)).
Для определения количества строк в таблице истинности
воспользуемся следующей формулой: 2
3
= 8 строк, где 2 – логическая
константа, так как любое суждение может быть либо истинным, либо
ложным, третьего в двухзначной логике не дано.
Алгоритм распределения значений И и Л для переменных таков:
– в столбце для А сначала пишем 4 раза «И» и 4 раза «Л»;
– в столбце для В сначала пишем 2 раза «И» и 2 раза «Л», затем повторяем;
– в столбце для С поочередно, начиная со значения «И» чередуем значения.
Пример таблицы для сложного суждения (А → (В
С)).
А
В С (А → (В
С))
И И И И И
И И Л Л Л
52
И Л И Л Л
И Л Л Л Л
Л И И И И
Л И Л И Л
Л Л И И Л
Л Л Л И Л
Порядок выполнения действий в данной таблице такой же, как
и в математике: вначале выполняются действия в скобках, а затем между
скобками. В зависимости от распределения значений «истина» и «ложь» в
результирующем столбце в логике различаются три вида формул: а)
выполнимая формула – та, которая в результирующем столбце может
принимать, по крайней мере, одно значение: «истина»; б) тождественно-
ложная формула – та, которая соответственно принимает только значение
«ложь»; в) тождественно-истинная (или логический закон) формула – та,
которая в результирующем столбце принимает только значение «истина».
Результирующим является столбец истины, который соответствует
последнему выполняемому в ней действию.
Упражнение 11
С помощью простых суждений: а – «Я работаю в офисе», b – «Я
люблю свою профессию», с – «Я учусь в университете» составьте
высказывания, соответствующие следующим формулам:
1. a
¬
b
c.
2. a
¬
b
¬
c.
3. c → (a
b).
4. b → (a
b).
5. (
¬
a
¬
b) →
¬
c.
6. (a → b) → (c → b).
7. (a → b)
a → c .
8. (a Ú b) → c.
9.
¬
c→ (a
¬
b).
10.
¬
c
b
¬
a
При решении данной задачи необходимо учитывать, что
¬
–
логический термин – знак отрицания.
Пример: a
b
c – Я работаю в офисе, и я люблю свою профессию,
и я учусь в университете.
53
Упражнение 12
Установите, являются ли данные формулы тождественно - истинными
(или логическими законами).
1. a → (a
b);
2. b → (a
b);
3. (a → b) → (b → a);
4. a
b
¬
a;
5. (a
b) → b;
6. (a → b) → (
¬
b →
¬
a).
7. ((a → b)
a )→ b.
8. ((a → b)
¬
b) →
¬
a.
9. a
↔
a.
10. ((a
b)
a) →
¬
b.
Пример: (а ∩ b)
↔
(b ∩ a) – является логическим законом
a b
a∩b b∩a
(а ∩ b)
↔
(b ∩ a)
и и и и и
и л л л и
л и л л и
л л л л и
ЛОГИЧЕСКИЕ ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СЛОЖНЫМИ
СУЖДЕНИЯМИ
Сложные суждения могут быть сравнимыми и несравнимыми.
Несравнимые – это суждения, которые не имеют общих
составляющих (пропозициональных) переменных. Например, р ∩ g и m ∩ n.
Сравнимые – это суждения, которые имеют одинаковые
составляющие (пропозициональные) переменные и различаются
логическими связками, включая отрицание. Например, сравнимыми
являются следующие два суждения: «Украина или Болгария имеют выход в
Черное море» (р U g); «Ни Украина, ни Болгария не имеют выхода в черное
море» (┐р ∩ ┐g).
Сложные сравнимые суждения могут быть совместимыми и
несовместимыми.
Совместимыми являются такие сравнимые суждения, которые
одновременно могут быть истинными. Различают три вида совместимости
сложных суждений: эквивалентности; частичная совместимость и
подчинение.
54
Эквивалентные – это суждения, которые принимают одни и те
значения, т. е. одновременно являются либо истинными, либо ложными.
Отношение эквивалентности позволяет выражать одни сложные
суждения через другие – конъюнкцию через дизъюнкцию или импликацию, и
наоборот.
- выражение конъюнкции через дизъюнкцию: ┐ (а ∩ b) ↔ ┐a U ┐b.
- выражение дизъюнкции через конъюнкцию: ┐(а U b) ↔ ┐a ∩ ┐b.
- выражение импликации через конъюнкцию: ┐(a → b) ↔ (a ∩ ┐b).
- выражение импликации через дизъюнкцию: а → b ↔ ┐a U b.
Частичная совместимость характерна для суждений, которые могут
быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.
Подчинение между суждениями имеет место в том случае , когда при
истинности подчиняющего подчиненное всегда будет истинным.
Отношение логического подчинения, позволяющее по истинности
подчиняющего суждения определить истинность подчиненного, составляет
основу фундаментального в науке логики понятия логического следования,
регулирующего все виды рассуждений.
Несовместимыми являются суждения, которые одновременно не
могут быть истинными. Из двух видов несовместимости одна –
противоположность, другая противоречие.
Противоположность – отношение между суждениями, которые
одновременно не могут быть истинными, но могут быть одновременно
ложными, при ложности одного из противоположных суждений нельзя
установить значение другого: оно может быть как истинным, так и ложным.
Противоречие – отношение между суждениями, которые
одновременно не могут быть ни истинными, ни ложными. При истинности
одного из них другое будет ложным, а при ложности первого второе будет
истинным.
Чтобы получить сложное суждение, противоречащее исходному,
последнее нужно подвергнуть отрицанию. Например, для g противоречащим
будет ┐g; для конъюнкции р ∩ g противоречием будет ее отрицание - ┐( р ∩
g).
ДОСТАТОЧНЫЕ И НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ
В научном познании важно проводить различие между достаточными и
необходимыми условиями наступления какого-то факта, события,
отражаемого в условном суждении. Условия являются достаточными, если
при их выполнении всегда наступает данное событие. Условия являются
необходимыми, если без их выполнения данное событие никогда не
55
наступает. Так, в импликативном суждении А → В, А является достаточным
условием для В, а В – необходимым условием для А.
Упражнение 13
Определите необходимость или достаточность условий в
следующих суждениях:
1. Активное участие общественности в борьбе с преступностью
является… условием для ее ликвидации.
2. Обвинительный приговор суда есть… условие для применения
уголовного наказания.
3. Круглая тень Земли на поверхности Луны является… основанием
для утверждения ее шарообразности.
4. Мутации являются… условием естественного отбора.
5. Активная работа с электоратом является…. условием победы на
выборах.
6. Подготовка к экзамену по учебнику, хрестоматии и конспектах
является … условием получения отметки «отлично».
7. Получение золотой медали за курс основной средней школы
является …. условием поступления в Московский государственный
университет имени М. В. Ломоносова.
8. Ежедневное посещение балериной уроков хореографического
искусства является …. успешным выступлением в ведущей партии балета Л.
Минкуса «Дон Кихот».
9. Соблюдение строгой диеты и регулярное занятие спортом является
…. залогом сохранения хорошей физической формы.
10. Поддержка болельщиков футбольной команды является ….
условием ее победы над соперником.
11. Однозначное определение задач, ответственности и компетенции
каждого сотрудника является… условием возникновения в коллективе
хорошего психологического климата.
12. Делимость числа 2 является … условием его четности.
13. Окончание последней цифры чиса 0 или 5 является… условием
того, чтобы число без остатка делилось на 5.
14. Убедительность аргументов является… условием правильности
доказательства теоремы Пифагора.
15. Наличие железнодорожного билета является… условием поездки на
поезде в санаторий.
56
Пример: Наличие атмосферы вокруг Земли является… условием для
возникновения жизни на Земле (необходимым и достаточным).
МОДАЛЬНОСТЬ СУЖДЕНИЙ
Модальность – это дополнительная информация о характере
зависимости между реальными явлениями, о логическом статусе суждений,
об оценочных, регулятивных и других характеристиках.
Наиболее важными и распространенными выступают такие виды
модальностей, как алетическая, деонтическая, эпистемическая и
аксиологическая.
Алетическая модальность – это дополнительная информация,
указывающая на характер зависимости (детерминированности) между S и Р в
суждении в терминах необходимости и возможности.
Различают детерминированность суждений логическую и
фактическую, каждая из них указывает на различные основания принятия и
статус суждения – признать его истинным (или ложным) в силу логических
оснований или же его истинность (или ложность) доказывается фактическим
положением дел.
Эти два различных способа детерминированности суждений
определяют соответствующие типы модальностей.
Логическая модальность – это логическая детерминированность
суждения. Истинность или ложность, которого зависит от его структуры
самого суждения или от других суждений в определенной логической
системе знаний.
К логически истинным (L
и
) относятся суждения, выражающие законы
логики.
К логически ложным (L
л
) относятся сужения, противоречащие
законам логики.
Фактическая модальность связана с объективной или физической
детерминированностью суждений, когда их истинность или ложность
определяется положением дел в реальной действительности. Например,
«Останкинская телебашня находится в г. Москве» - фактически истинное
суждение. Суждение «Ни один студент не знает азбуку Морзе» является
фактически ложным.
Фактически необходимыми является суждения, в которых
содержаться знание о законах науки. В естественном языке эти суждения
обычно выражаются с помощью слов «непременно», «необходимо»,
«обязательно» и др. Например, «Вода в условиях атмосферного давления
кипит при температуре 100 градусов Цельсия».
Фактически случайными являются суждения, которые не содержат
информации о законах науки и в зависимости от конкретных эмпирических
условий могут быть либо истинными, либо ложными. Например, «Юрий
Гагарин является первым человеком-космонавтом» является фактически
случайным, ибо первым космонавтом мог быть человек, носящий другую
57
фамилию и имя.
Фактически возможными являются суждения, содержащие
информацию о принципиальной совместимости двух явлений, выраженных в
S и Р. Например, «Возможно, что фильм русского режиссера будет признан
лучшем на следующем Каннском кинофестивале».
В естественном языке на суждения возможности указывают слова
«возможно», «может быть», «не исключается», «допускается» и др.
Для обозначения логических модальных понятий используются
следующие символы:
– необходимо; ◊ – возможно;
¬
\ – случайно;
¬
◊ - невозможно.
Деонтическая модальность распространяется только на деятельность
людей, нравственные и правовые нормы их поведения
в обществе с помощью таких слов, как «разрешается», «запрещается»,
«обязательно» и т. п.
В зависимости от характера норм деонтическая модальность имеет
разновидности.
Правообязывающие нормы, которые формулируются с помощью
слов: «обязан», «должен», «надлежит», «признается» и др. Например,
«Предварительное следствие по уголовным делам должно быть закончено не
позднее чем в двухмесячный срок».
Правозапрещающие нормы формулируют в юридических актах с
помощью слов «запрещается», «не вправе», «не может», «не допускается» и
др. Например, «Запрещается домогаться показаний обвиняемого путем
насилия, угроз и иных незаконных мер».
Правопредоставляющие нормы формулируются с помощью слов:
«имеет право», «может быть», «может применять» и др. Например,
Наниматель жилого помещения имеет право в любое время расторгнуть
договор».
Рационально построенная нормативно-правовая система должна
удовлетворять минимальным деонтическим требованиям:
1) непротиворечивости;
2) сбалансированности;
3) полноты.
Деонтическая модальность выражается с помощью операторов:
О – обязательно;
F – запрещено;
P – разрешено.
58
Подлежащее исполнению действие обозначают символом d,
участников правоотношения – х, у и т. д.
Эпистемическая модальность характеризует степень достоверности
знания. Она выражается с помощью слов «доказано», «недоказано»,
«опровергнуто» и им подобных. Различают две разновидности
эпистемической модальности:
– суждения, основанные на вере. Например: «Верю в существование
Бога»;
– суждения, основанные на знании. Например: «Автором романа в
стихах «Евгений Онегин» является А. С. Пушкин».
Эпистемическая модальность выражается с помощью операторов:
V – доказуемо (верифицируемо);
F– опровержимо (фальсифицировано);
Р – проблематично (правдоподобно, вероятно).
Аксиологическая модальность выражает отношение человека к
материальным и духовным ценностям. Она включает такие слова, как
«хорошо», «плохо» и т. п. Например, «Хорошо, что я поступил учиться в
Московский гуманитарный университет».
Упражнение 14
Определите алетическую модальность суждений; установите,
является ли суждение фактически необходимым, случайным, возможным
или невозможным. Запишите суждения с помощью модальных операторов:
1. На Марсе есть жизнь.
2. Утверждение о том, что некоторые животные мыслят, является
ложным.
3. Сергей Есенин, возможно, покончил жизнь самоубийством.
4. Ученые-биологи придают особое значение воздействию Луны,
проявляющееся в «приливах» и «отливах», на функциональную
деятельность живых систем Земли.
5. 12 апреля 1961 года произошел исторический полет Ю. А. Гагарина в
космос.
6. Сын является наследником своего отца.
7. Повышение сейсмической активности региона иногда сопровождается
выбросами бесцветного газа из недр озер.
8. Треугольники являются остроугольными, прямоугольными или
тупоугольными.
9. Все планеты Солнечной системы вращаются вокруг своей оси.
10. Вечный двигательпостроен.
11. «Все течет, все изменяется». (Гераклит)
59
12. Два противоречащих суждения не могут быть одновременно
истинными.
13. Все мысли не могут быть истинными.
14. Молодости всегда не хватает знания.
15. Сократ был казнен по приговору суда.
Пример: Все явления, события, процессы в природе, обществе и
мышлении вызываются или обуславливаются другими явлениями,
событиями, процессами, т.е. более или менее определенными причинами.
Данное суждение – фактически необходимое. Его запись: ФН.
Упражнение 15
Определите эпистемическую модальность суждений, запишите ее с
помощью операторов V, P, F.
1. Затраты на осуществление проекта G. окупятся через пять лет.
2. Талант всегда пробьет себе дорогу.
3. Летом я, вероятно, буду отдыхать в Ялте.
4. Неверно сводить сознание к его материальному субстрату –
нервным физиологическим процессам, протекающим в мозгу.
5. Законы экономического развития являются объективными законами.
6. Многие государства Древнего мира потеряли свое могущество,
а иные совсем исчезли в результате хищнического отношения
к почве.
7. Характер человека зависит от знака зодиака, т. е. от расположения планет,
Солнца и Луны в момент его рождения.
8. Неверно, что все разногласия между Единой Россией и ЛДПР были
исчерпаны в результате данных переговоров.
9. Выводы ученых по исследованию состава данных облаков не исключают
наличия в них азотистых соединений.
10. Существуют предположения, что некоторые главы романа G. были
написаны другим автором.
11. «Война закончена лишь тогда, когда похоронен последний солдат». (А.
Суворов)
12. Золотое правило – «Лги о других так, как ты хочешь, чтобы они лгали о
тебе».
13. «Матери признаются, с подружками откровенничают». (Ж.М. Ролан)
14. «Крупные подлости делаются из ненависти, мелкие из страха». (В. Гюго)
15. «Нищета ведет к революции, революция – к нищете». (В. Гюго)
Пример: «По мнению ряда ученых, некоторые континенты
разобщены в результате дрейфа». Суждение проблематично, может
быть выражено с помощью оператора Р.
60